过圆上一点求圆切线方法
过一点求圆的切线方程
过一点求圆的切线方程
在几何学中，“过一点求圆的切线方程”是一个非常有用的概念。
一个圆的半径是由它的中心点和任意一点确定的，所以我们可以在圆的某一点上计算出准确的切线方程。
让我们以圆(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5为例，来进行说明。
首先，复习以下几何学概念：
* 圆形具有唯一的中心，它称为圆心，坐标(2, -1)；
* 圆的半径是指从圆心出发，到圆上任意一点的距离，半径长度为
sqrt(5)；
* 圆的法线是从圆心出发，沿着圆的方向水平的直线，这里的法线方程为y=-1。
然后，我们可以使用求导的方法求出过这一点的切线方程。
首先，用微积分的方法求出圆的方程：
d/dx[(x-2)^2 + (y+1)^2 - 5] = 2(x-2) + 2(y+1) dy/dx = (y+1) / (x-2)
因为我们想求的是切线方程，所以我们需要求出这个圆的法线方程。
圆的法线方程是：y = (-1 / (x-2))x + (1 / (x-2))
接下来，我们就可以求出过给定点的切线方程，这里的切线方程为：y = (-1 / (x-2))x + ((1-y0) / (x-2))
其中，y0为给定点的坐标，如果给定点为(2,-2)，则过此点的切线方程为：y = (-1 / (x-2))x + (3 / (x-2))
综上所述，本文介绍了如何求出过一点求圆的切线方程的方法，即先求出圆的方程，然后求出法线方程，再求出过给定点的切线方程。
通过此方法，我们可以轻松地计算出某一圆上某一点的准确切线方程。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考.1.利用几何性质来求切线方程当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程.例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线.设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3),化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0.由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1＝2, 解得k ＝3±265. 所以切线方程为y －2＝3±265(x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解.2.利用方程的判别式来求切线方程当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程.例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线.当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2).直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0,因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0.解得k ＝－34. 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34(x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2.3.利用垂直关系求切线方程当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程.例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程.解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线.设切线方程为l :y －2＝k (x －3).由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5.点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算.小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.。
求点在圆外到圆的切线方程的快速方法
求点在圆外到圆的切线方程的快速方法要求点在圆外到圆的切线方程，可以采用以下步骤：
1．确定圆的方程：首先需要知道圆的方程，通常表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
2．确定点在圆外的条件：如果点(x_0, y_0)在圆外，那么(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 > r^2。
3．设定切线方程：设切线方程为y-y_0 = k(x-x_0)，其中k是切线的斜率。
4．利用圆心到切线的距离等于半径：由于切线与圆相切，圆心到切线的距离应该等于圆的半径，即|((a-x_0)/sqrt(1+k^2)) - ((b-y_0)/sqrt(1+k^2))| = r。
5．解方程求得切线斜率：将上述方程化简后得到关于k的一元二次方程，解这个方程可以得到k的两个可能值。
6．写出切线方程：对于每个k的值，都可以写出对应的切线方程y-y_0 = k(x-x_0)。
需要注意的是，由于过圆外一点可以作两条切线，因此求得的k可能会有两个值，对应的两条切线中，一条是标准的切线，另一条是垂直于圆心的直线，其方程为x=x_012。
此外，有一种快速求解的方法是基于圆的切线定义，直接写出切线方程的形式，如(x-a)*(x_0-a) + (y-b)*(y_0-b) = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，(x_0, y_0)是给定的点3。
这种方法适用于熟练掌握圆的切线性质并能够迅速应用到具体问题中的情况。
高中数学必圆的切线方程
y = k(x + 3) -3
．(2, 2)
O
x
B(-3,- 3)
1、知识结构 圆上一点
四、小 结
圆的切线
几何法 代数法
圆外一点
斜率已知
结论1 结论2 结论3
应用 2、通过这节课的学习，对圆的切线有较全面的认识。 3、思维相似律在解决问题、知识创新诸方面作用巨大.
五、思考与作业
课后思考：
1、圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 上一点 (x0, y0 ) 的切 线方程为：(x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2.
求 y 2 的取值范围。y x 1
A (1, 2)
B
OCx P (x, y)
已知实数x, y满足x2 y2 1,
求 y 2 的取值范围。y x 1
A (1, 2)
B
k AP k AB
OCx
P (x, y)
自点A( -3, 3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射，
其反射光线所在的直线与圆
l x02 y02 Dx0 Ey0 F
例3 已知直线 l 的斜率为 k ,且与圆
x2 y2 r 2只有一个公共点 . 求直线 l 的方程.
解：圆心到直线 y kx b 的距离
d | b | r. 1 k2
b r 1 k2 .
y y=kx+b
O
x
直线 l 的方程是 y kx r 1 k 2 .
x
结论二：
过圆 (x a)2 ( y b)2 r2 上一点 (x0, y0) 的切 线方程为： (x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2.
y
M (x0 , y0 )
过一点求圆的切线的方程
[练习]
1.下列方程各表示什么图形?
(1) x2 y2 0 原点(0,0)
x y (2)
2
2
2x 4y 6 0
圆心(1,-2),半径
11
(3) x2 y2 2ax b2 0,(ab 0)
圆心 ( a,0), 半径 a 2 b2
2.求下列各圆的半径和圆心坐标.
3、当D2 E2 4F 0时，方程（1）不表示任何图形。
当D2 E2 4F 0时，方程（1）表示以（ D , E )为圆心，
1 D2 E2 4F为半径的圆。
22
2
圆的一般方程 判断以下方程是不是圆的方程： ① x2 ＋ y2 － 2x ＋ 4y ＋ 1 ＝ 0 ② X 2＋ y 2－ 2x ＋ 4y ＋ 5 ＝ 0 ③ X2 ＋ y 2－ 2x ＋ 4y ＋ 6 ＝0
因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解
F 0
D
E
F
2
0
解得F＝0，D＝8，E＝6
4D 2E F 20 0
圆的半径为 r D2 E2 4F 5 2
于是得到所求圆的方程x2+y28x+6y＝0．
∴圆的半径为5、圆心坐标是(4，－3)
(ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想 [如习题示例(2)] 11. [作业]
P826 , 7 , 8
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
过已知点求圆的切线方程
过已知点求圆的切线方程已知问题：如何求解过已知点的圆的切线方程？解决方案：1. 理论介绍在几何学中，圆是由一组等距离的点构成的图形，其中任意两点与圆心的距离相等。
圆的切线是与圆相切且仅与圆相交于切点的直线。
对于求解过已知点的圆的切线方程，我们可以利用圆的性质和几何分析来解决。
2. 基本概念在进一步讨论之前，需要了解一些基本的几何概念：2.1. 圆心：圆心是圆的中心点，由于圆的对称性质，任意一条过圆心的直径都是圆的一个对称轴。
2.2. 半径：半径是从圆心到圆上的任意点的距离，半径长短决定了圆的大小。
2.3. 弦：弦是连接圆上两个点的线段，当弦的两个端点重合时，称之为直径。
2.4. 切线：切线是与圆相切且仅与圆相交于切点的直线。
3. 求解过已知点的圆的切线方程的方法在已知圆的前提下，我们需要找到过给定点的切线。
下面介绍两种求解过已知点的圆的切线方程的方法。
3.1. 切线的性质对于切线的性质，我们可以得出以下结论：- 切线与半径垂直于切点。
- 圆的切点与圆心、切线上的点构成的直角三角形的两个锐角和为90°。
- 切线对应的切点在圆上。
3.2. 法一：几何分析通过几何分析，我们可以按照以下步骤求解过已知点的圆的切线方程：步骤1：已知圆的方程和已知点的坐标。
设已知圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，已知点的坐标为(x₀,y₀)。
步骤2：计算圆心到已知点的距离。
d = √[(x₀-a)²+(y₀-b)²]步骤3：计算切点坐标。
切点P(x₁,y₁)的坐标可通过以下公式计算：x₁ = a + r * (x₀-a) / dy₁ = b + r * (y₀-b) / d步骤4：利用切点和圆心的坐标，计算切线的斜率。
切线的斜率k = (y₁-b) / (x₁-a)步骤5：利用斜率k和切点的坐标，利用直线的点斜式求解切线方程。
切线方程的一般形式为y = kx + c，其中直线上的点为切点P(x₁,y₁)。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。
222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。
223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。
224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。
+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
过圆上一点的切线方程推导过程
过圆上一点的切线方程推导过程好嘞，今天咱们聊聊过圆上一点的切线方程。
这听起来有点儿高大上，但其实说白了就是一个简单又有趣的几何小故事。
想象一下，你在一个阳光明媚的下午，正悠闲地在公园的草坪上躺着，四周都是花花草草的，心情美美的。
这时候，突然有人在你旁边打了个球，正好砸到了一个圆球上，那圆球就哒的一声弹起来，形成了一条切线。
这个切线可不是随便来的，它有自己的“小脾气”。
得搞清楚什么是圆。
圆就是那种外面一圈，里面有个“心”的东西。
比如，一个大大的披萨，四周都是香喷喷的边，中心部分是美味的奶酪和配料。
圆的方程，咱们通常用这样的方式来表示：(x^2 + y^2 = r^2)。
这r就代表半径，越大越好，像你那颗越来越大的心。
咱们说说过圆上一点。
这点就是在披萨上的某个位置，咱们给它取个名字，比如说叫A点，坐标是(x₀, y₀)。
这个点可重要了，它可是切线的“出发地”。
想象一下A点在披萨上的某个甜点区域，那个位置就让人忍不住想去碰一碰。
然后，咱们还需要找出这条切线的斜率。
别担心，这听起来复杂，其实就像是滑冰，滑得好就行。
切线的斜率，咱们可以用圆的半径来算。
半径就是从圆心到A点的连线，斜率很简单，记住啦，圆心的坐标是(0, 0)，所以斜率就可以用这样的方法求出：(frac{y₀0{x₀ 0 = frac{y₀{x₀)。
这就是那条半径的斜率。
切线的斜率和半径的斜率是相反的，喔，真有意思吧！所以，切线的斜率就是(frac{x₀{y₀)，就像把冰淇淋反着吃一样，味道不一样，但就是那么美妙。
咱们得写出切线的方程。
用一个非常好记的公式，(y y₀ = m(x x₀))，这里的m 就是切线的斜率。
换句话说，你可以想象成在跟小朋友玩抛球，他们总是期待你把球抛向他们的方向。
把刚才得到的斜率代进去，咱们就有了：(y y₀= frac{x₀{y₀(x x₀))。
看，这个方程就是你从A点出发，哐当哐当地延伸出去的切线。
你还可以把这个方程整理一下，变得更简洁明了，比如说乘上y₀，再整理一下，最后得到的切线方程看起来就是：(y₀x + x₀y = r^2)。
三招求圆的切线方程
三招求圆的切线方程江西省永丰中学 吴全根求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招。
一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：① 过圆x 2+y 2= r 2上点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2。
② 过圆（x —a)2+（y-b ）2= r 2上点P(x 0，y 0）的切线方程为（x 0-a)(x —a)+（y 0-b)(y-b ）= r 2.③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P(x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 20x x ++E 20y y ++F=0 。
点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用。
(3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.例1 求过点A （4,1)且与圆(x —2)2+（y+1)2=8 相切的切线方程。
解一：(公式法） （4-2)2 +（1+1）2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上，∴ 圆的切线方程为（4-2）(x —2）+(1+1) （y+1)=8,即x+y-5=0.解二：（公式推导法） 圆心C （2，—1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= —1.∴ 所求切线方程为y —1= —1（x — 4),即x+y-5=0。
二、待定系数法 可求过圆外一点P （x 0,y 0）的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k （x —x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .例2 求过点M （2，4)向圆（x-1)2+(y+3）2=1所引的切线方程.解：设所求切线方程为y-4=k （x-2）即kx —y-2k+4=0 (倾斜角不为900）， d=114232=++-+k k k ，∴k=724，∴切线方程为24x —7y-20=0。
圆上一点的切线方程结论及推导
圆上一点的切线方程结论及推导圆是我们数学中的重要概念，圆上的任意一点都具有特殊的性质。
当我们研究圆上的一点时，切线是非常重要的工具。
本文将讲解圆上一点的切线方程，包括其定义、性质及推导过程。
一、圆的定义圆是由平面上所有距离某一点固定距离的点组成的集合。
该点叫做圆心，距离叫做半径。
圆的符号为“O”。
二、圆上一点的切线定义圆上一点的切线是过该点且与圆相切的直线。
切点是切线与圆的交点。
三、切线的性质1.切线与半径垂直。
2.切线与切点的切线平行。
3.圆的切线只有一个。
4.切点在半径的延长线上。
5.切线与相切点处的圆弧相切。
6.切线的长度等于切点到圆心的距离。
四、圆上一点的切线方程的推导我们现在来推导圆上一点的切线方程。
假设圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，切点为$(x_1,y_1)$，切线方程为$y-y_1=k(x-x_1)$。
我们可以求出切点处的切线斜率$k$。
由于切线与半径垂直，所以半径的斜率为$-\frac{x_1-a}{y_1-b}$。
切线与半径垂直，所以切线的斜率为$\frac{y_1-b}{x_1-a}$，即$-\frac{1}{\frac{x_1-a}{y_1-b}}$。
因此，切点处的切线斜率$k$为$-\frac{1}{\frac{x_1-a}{y_1-b}}$。
接下来，我们可以得到切线方程的一般形式$y-y_1=k(x-x_1)$。
将$k$代入切线方程中，我们得到$y-y_1=-\frac{x_1-a}{y_1-b}(x-x_1)$。
化简后，得到$y=\frac{y_1-b}{x_1-a}(x-x_1)+y_1$。
这就是圆上一点的切线方程。
五、圆上一点的切线方程的应用圆上一点的切线方程在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用：1.计算切线与切点处的曲率。
2.计算切线与圆心连线之间的夹角。
3.计算切线与圆的交点。
4.计算切点处的切线方程，从而确定切线的位置和方向。
圆上一点切线方程公式
圆上一点切线方程公式一、几何解释我们先来看一个具体的实例。
设有一个圆C，圆心为O，半径为r，外部一点P，要求过该点切圆。
根据圆的性质，从圆心O到点P必然与点P到圆的切线相垂直，即垂直于OP的方向。
这样我们就可以根据点P和半径r构造一个直角三角形，从而求解切点坐标。
设切点坐标为(x0，y0)，圆心坐标为(x，y)，切线与直线OP的交点坐标为(Ax，Ay)。
由直角三角形的特性可知，向量PA与向量PO垂直，即两个向量点乘为0，即PA·PO=0(x0-x)(x0-x)+(y0-y)(y0-y)=r²展开上述方程后得到(x0²-2xx0)+(y0²-2yy0)=r²-(x²+y²)进一步化简可得x0²+y0²-2xx0-2yy0+r²=x²+y²x0²+y0²-(xx0+yy0)=r²(x0-x)²+(y0-y)²=r²由此可以得到切线与圆心的一般关系表达式，即圆点与切点的距离的平方等于圆的半径的平方。
二、代数解释我们还可以从代数的角度来推导圆上一点切线的方程。
假设圆方程为(x-a)²+(y-b)²=r²我们要求过点(Px，Py)的切线方程。
那么切线方程一般形式为Ax+By+C=0(x-a)²+(y-b)²=r²同时，切线与圆只有一个交点，即切点。
该交点坐标(x0，y0)同时也满足圆方程。
由于切点处的切线斜率与切线垂直于半径，所以切线和半径的斜率相乘得到-1，即[(y0-b)/(x0-a)][(y-b)/(x-a)]=-1将上述两个等式联立，可以消去y和y0，最终得到[(y-b)/(x-a)][(y0-b)/(x0-a)]=-1这是切线方程的一般形式，可以通过该方程求解出A、B、C。
过点作圆的切线 求切线方程
过点作圆的切线1. 引言在几何学中，切线是一条与曲线相切的直线。
本文将讨论如何求解过给定点作圆的切线方程。
这个问题在数学和物理学中都有广泛的应用，尤其是在曲线的研究和问题求解中。
2. 基本概念在讨论过点作圆的切线之前，我们先来了解一些基本概念。
2.1 圆圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点所组成的集合。
这个固定点被称为圆心，而所有到圆心距离相等的距离被称为半径。
2.2 切线切线是一条与曲线相切且只与曲线有一个公共交点的直线。
在几何学中，我们经常使用切线来研究曲线的性质和求解相关问题。
3. 求解过点作圆的切线方程3.1 圆心和半径已知情况下假设我们已知一个圆心坐标为(a,b)，半径为r，以及一个外部点P(x0,y0)。
我们需要求解过点P作圆的切线方程。
首先，我们需要确定点P与圆的位置关系。
根据勾股定理，点P到圆心的距离为：d=√(x0−a)2+(y0−b)2如果d<r，则点P在圆内；如果d=r，则点P在圆上；如果d>r，则点P在圆外。
对于切线方程的求解，我们只需要考虑d<r的情况。
在这种情况下，我们可以得到两条切线。
设切线与x轴的夹角为θ1和θ2由图可知，tan(θ1)=tan(θ2)=y0−bx0−a因此，θ1=arctan(y0−bx0−a)θ2=arctan(y0−bx0−a)+π其中arctan()是反正切函数。
根据直线与x轴夹角和斜率之间的关系，我们可以得到切线的斜率：k1=tan(θ1)k2=tan(θ2)因此，切线方程可以表示为：y−y0=k1(x−x0)y−y0=k2(x−x0)将切线方程整理为一般形式：y=k1x+(y0−k1x0)y=k2x+(y0−k2x0)这样，我们就得到了过点P作圆的两条切线方程。
3.2 圆上一点已知情况下现在假设我们已知一个圆心坐标为(a,b)，半径为r，以及一个圆上的点Q(x q,y q)。
我们需要求解过点Q作圆的切线方程。
与前面类似，首先我们需要确定点Q与圆的位置关系。
过点求圆的切线方程公式
过点求圆的切线方程公式在我们学习数学的旅程中，圆这个家伙可是个常客。
而今天咱们要唠一唠的，是过点求圆的切线方程公式。
咱们先来说说啥是切线。
想象一下，你在操场上跑步，跑着跑着到了一个圆形跑道的边缘，这时候你沿着跑道边缘跑的那一小段轨迹，就好像是圆的切线。
切线跟圆就那么一个交点，而且在这个交点上，切线跟圆那是“亲密无间”，垂直着呢！那过点求圆的切线方程公式到底是啥呢？咱们来看个具体的例子。
假设咱们有个圆，它的方程是$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，然后有个点$(x_0, y_0)$在圆外。
那咱们先求出圆心$(a, b)$到这个点的连线的斜率$k_1$，用两点间的斜率公式就行，就是$(y_0 - b) / (x_0 - a)$。
接下来，如果切线的斜率存在，设为$k$，因为切线跟圆心和给定点的连线是垂直的，所以它们的斜率乘积为$-1$，就能求出切线的斜率$k$啦。
然后把点$(x_0, y_0)$代入切线方程$y - y_0 = k(x - x_0)$，就能得到切线方程啦。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙总是弄不明白。
我就问他：“你就想想那个操场的跑道，你站在跑道外面，要怎么才能沿着边缘跑一小段，还不跑偏？”这孩子眨巴眨巴眼睛，好像有点开窍了。
后来做题的时候，虽然还是会出错，但起码知道从哪儿入手去思考了。
再给大家举个例子加深一下印象。
比如说圆的方程是$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$，给定点是$(5, 1)$。
先算圆心到这个点的连线斜率，就是$(1 - 3) / (5 - 2) = -2/3$。
因为切线跟它垂直，所以切线斜率就是$3/2$。
把点$(5, 1)$代入切线方程$y - 1 = 3/2(x - 5)$，整理一下就能得到切线方程啦。
学习这个公式啊，可不能死记硬背，得理解其中的道理。
多做几道题，找找感觉，慢慢地就能熟练运用啦。
就像骑自行车，刚开始可能摇摇晃晃，但骑得多了，自然而然就顺溜了。
如何求圆的切线方程
如何求圆的切线方程圆的切线方程是指切点在圆上，与圆的切线相切的直线方程。
求圆的切线方程可以使用两种方法：一种是几何法，一种是解析几何法。
下面我将详细介绍这两种方法。
一、几何法：1.切点坐标的确定：设圆的方程为x^2+y^2=r^2，其中圆心坐标为（a,b），切点坐标为（x0,y0）。
首先，我们需要找到切线过圆的切点坐标。
切点坐标的确定有多种方法，其中一种常用方法是使用相似三角形：a）过切点（x0,y0）作圆的半径的垂直向量，与x轴的夹角为θ1，与y轴的夹角为θ2b）设此向量的x轴分量为r*cosθ1，y轴分量为r*sinθ2c）由于切线与半径垂直，切线的斜率为-k，其中k为半径的斜率，k=tanθ1=tan(π/2-θ2)=-cotθ2d）则切线的斜截式方程为：y-y0=-k(x-x0)y=y0-k(x-x0)2.斜率的确定：接下来，我们需要确定切线的斜率k。
a）过切点（x0,y0）作圆的切线，与$x^2+y^2=r^2$的导数成正交关系。
求导并求导数的负倒数可以得到斜率：k=(dy/dx)=-x0/y0b）根据切点坐标的确定部分，我们可以将切线的斜率表示为：k=-cotθ2=-x0/y03.切线方程的确定：根据斜截式方程以及确定切点坐标的部分，我们可以得到切线方程的最终形式：y=y0-x0/y0(x-x0)二、解析几何法：使用解析几何法，我们可以根据给定的圆的方程以及切点坐标的确定方法来求解切线方程。
1.切点坐标的确定：根据几何法中的部分，我们可以确定切点的坐标。
2.切线斜率的确定：根据几何法中的部分，我们可以确定切线的斜率。
3.切线方程的确定：使用点斜式，我们可以得到切线方程的最终形式。
y-y0=-k(x-x0)y=y0-k(x-x0)需要注意的是，如果圆的方程不是以原点为圆心，可以通过平移变换将其变换到以原点为圆心的方程形式。
然后使用上述方法求解切线方程。
希望上述内容对于你理解如何求圆的切线方程有所帮助。
过圆上一点的切线方程推导
过圆上一点的切线方程推导在数学的世界里，圆就像是一个永恒的朋友，温柔而优雅，永远在那儿等着我们去探索。
今天我们要聊聊圆上一点的切线方程。
听起来很复杂？别担心，咱们一步一步来，轻松搞定。
想象一下，圆就像一个大大的披萨，中心就是那美味的奶酪，而圆周上的每一个点就像是各色的配料。
我们今天就来研究一片配料，没错，就是圆上的一个点，看看它和切线的故事。
想想那根切线。
切线就像是一个贴心的小朋友，悄悄地在某个点上跟圆打个招呼，却不愿意走进圆里。
它和圆只有一个交点，亲密又不干扰。
我们可以用一个简单的公式来描述这个切线。
想象一下，有一个圆心在原点，半径为 r，那么这个圆的方程就是x² + y² = r²。
现在，假设你在圆上选了一个点，这个点的坐标是 (x₀, y₀)。
这个点就像是派对上的明星，所有的光都聚焦在它身上。
好啦，接下来就是切线的部分了。
根据几何知识，切线的斜率是跟圆心到这个点的连线垂直的。
很简单吧？如果我们知道了点 (x₀, y₀) 的坐标，圆心在 (0, 0)，那连线的斜率就可以用 y₂ y₁除以 x₂ x₁来算。
可是，切线的斜率可不是这个。
它是连线斜率的负倒数，这里我们来点数学：连线斜率是 y₀/x₀，切线的斜率就是 x₀/y₀。
现在我们有了切线的斜率，接下来就要找到切线方程了。
你还记得一元一次方程吗？那种 y = mx + b 的形式。
我们可以代入点 (x₀, y₀) 和切线斜率来写出切线方程。
用公式代入，我们得到了 y y₀ = x₀/y₀(x x₀)。
说白了，就是把所有的成分混在一起，调成一个完美的方程。
听起来是不是很有成就感？说到这里，或许你会想：“这和我有什么关系呢？”这个切线方程就像生活中的许多事情一样，有时候我们需要找到自己的位置，跟周围的环境保持一种平衡。
就像那根切线，能在某个点上稳稳扎根，但又不深入其中。
生活中的每一次选择，每一个决定，其实都是在寻找那根切线，既想保持与圆的亲密关系，又想保持自己的独立性。
圆切线方程求法
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数学必修一
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
例2：已知圆C的方程为 (x 1)2 ( y 3)2 1 ，
求过点 M (2,4) 的切线方程。
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四、练习
1.求圆C x2 y2 4x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程。
一、复习讨论
1、圆的切线有何性质？
圆心与切点间的距离等于半径
圆心与切点的连线与切线垂直
2、怎样判断一条直线和圆是否相切？
d r
0
3、两条直线垂直，它们的斜率有什么关系？
k1 k2 1
4、直线的点斜式方程是怎样的？
y y0 k(x x0 )
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二、经过圆上一点，求圆的切线方程
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
已知圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r，2
求经过圆外一点 M (x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况
2.一般情况： 经过圆外一点可以作两条切线 思路一：求切点坐标
设切点坐标 A(x, y)
(x a)2 ( y b)2 r 2
已知圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r，2
求经过圆上一点 M (x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况 2.一般情况： 经过圆上一点可以作一条切线
连结CM，CM l kCM kl 1
求出l的点斜式方程化为一般式
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如何求圆的切线方程
如何求圆的切线方程圆是我们生活中常见的几何图形之一，它具有许多有趣的性质和特点。
其中一个重要的性质就是圆与其切线之间的关系。
在本文中，我们将探讨如何求圆的切线方程。
在开始之前，我们先来回顾一下圆的基本定义和性质。
圆是由一组距离中心点相等的点组成的闭合曲线。
其中心点到圆上任意一点的距离称为半径，而直径则是通过圆心的两个点之间的距离。
圆的切线是与圆上一点相切且与半径垂直的直线。
要求圆的切线方程，我们首先需要确定切点的坐标。
假设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
我们需要找到一个点(x₀, y₀)在圆上，然后求出该点的切线方程。
为了找到切点的坐标，我们可以使用以下方法之一：1. 已知切点坐标：如果我们已经知道切点的坐标(x₀, y₀)，那么我们可以直接使用这些坐标来确定切线方程。
2. 已知切线斜率：如果我们知道切线的斜率k，那么我们可以使用切线与半径垂直的性质来求得切点的坐标。
首先我们可以通过圆心和切点的坐标求出切线的斜率k₁，然后我们可以使用垂直直线的性质求得切线的斜率k₂。
如果k₁和k₂互为相反数，那么切线的斜率就是k。
一旦我们确定了切点的坐标，我们可以使用切点和斜率来求得切线方程。
切线方程的一般形式为y = mx + c，其中m为斜率，c为截距。
现在让我们通过一个具体的例子来解释如何求圆的切线方程。
假设有一个圆，其方程为(x-2)² + (y-3)² = 5²。
我们想要求出圆上点(4, 6)处的切线方程。
我们可以计算圆心的坐标为(2, 3)，半径为5。
然后我们可以通过圆心和切点的坐标求得切线的斜率k₁。
k₁ = (y₀ - b) / (x₀ - a) = (6 - 3) / (4 - 2) = 3/2接下来，我们可以使用垂直直线的性质求得切线的斜率k₂。
k₂ = -1 / k₁ = -2/3由于切线与点(4, 6)相切，我们可以使用该点和斜率来求得切线方程。
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浅谈过圆上一点求圆的切线的方法
近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程。
本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。
设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2形式，把其中一个x换成 x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（ y0-b）（y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。
此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。
此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。
下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切
线互相垂直，两者斜率互为负倒数即k直径=y0/ x0，
k切线=—x 0/ y 0，又因为切线过点（x0，y0），根据点斜式直线方程得：
（y— y0）=—x 0/ y 0（x— x0），整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02，由于点（x0，y0）在圆上且圆心在原点，所以x02+ y 02=r2，由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2，即我们所讨论的方法的特殊形式（圆心在原点）。
在此基础上，我们又推想圆心不在原点的圆的切线方程的推导方法，设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点（x0，y0）的切线方程，我们以（a，b）为坐标原点建立新坐标系x‘o‘y‘，新坐标系与原坐标系的坐标之间关系为x‘=x-a，y‘=y-b，则（x0，y0）在新坐标系中的坐标为（x0‘，y0‘），x0‘=x0-a，y0‘=y0-b，在新坐标系中圆的方程为x‘2+y‘2= r2，根据第一种情况推导出结论：经过（x0‘，y0‘）点的切线方程为x0‘x‘+y0‘y‘= r2，然后根据坐标之间的关系转换到原坐标系方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。
以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂直，通过垂直直线间的斜率关系k1k2=-1可以得到切线的斜率，然后应用点斜式求解直线方程，第二种情况是在第一种情况的基础上，借助坐标变换得出的，在新坐标系中构建出第一种情况的模型，然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中，这种方法化简了推导过程，解决了运算的困难，取得深入浅出的效果。
针对有些问题中出现的圆的一般方程，笔者建议先对圆的一般方
程进行配方，得出标准方程后再进行运算。
最后要说明的是，在介绍此方法时，不能只给学生结论而不给推导过程，要让学生知其然知其所以然，带动学生思维发展，否则只能会固化学生思维，使学生失去创造力，对学生未来的发展有害无益。
此方法的介绍会激发学生学习数学的兴趣，鼓舞学生学会独自总结数学规律的方法，促进学生的行动，在此过程中培养学生的多种能力，如分析、归纳、运算、推理等。
由于本人数学水平有限，在撰写本文过程中可能有不当之处，权当抛砖引玉，敬请读者不吝指正。