常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质课件
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圆锥曲线优质课件
y
由一元二次方程根与系数的关系，可知 x1+x2=6, x1·2=4 x
∵y1=x1-2 , y2=x2-2; ∴y1·2=(x1-2)(x2-2)=x1·2-2(x1+x2)+4 y x =4-12+4=-4
A
O
B
x
kOA kOB
∴OA⊥OB
y1 y2 y1 y2 4 1 x1 x2 x1 x2 4
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 对称性 焦点坐标 离心率 e= c/a 准线方程 双曲线 抛物线
X轴 （p/2,0)
X轴，长轴长2a, X轴，实轴长2a, Y轴，短轴长2b Y轴，虚轴长2b （±c,0) （±c,0)
c2=a2-b2
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
2、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(1)解法二:(参数法)设P(5cosθ,4sinθ), 易知:c=3, 得F1(-3,0),由两点间距离公式得:
| PF1 |2 ( x 3) 2 y 2 16 x 6 x 9 (25 x 2 ) 25 9 2 3 x 6 x 25 ( x 5) 2 25 5
2
5 x 5 PF1 |max 8, | PF1 |min 2 |
(一)定义的应用
| PF1 |2 (5 cos 3) 2 (4 sin ) 2 9 cos2 30 cos 25 (3 cos 5) 2
圆锥曲线PPT优秀课件
F1
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为
高中数学《§94 圆锥曲线的性质》教学讲解课件
例1.椭圆的几何性质
4.离心率： (特征值)
<1> e c d点点 a d点线
<2> 0＜e＜1
<3> ① e越接近 1，椭圆就越扁 ② e越接近 0，椭圆就越圆
e
O
e
1
例2.双曲线的几何性质
1.范围：(定义域与值域)
y
o
x
因
x2 a2
y2 b2
1
,故
x2 a2
1
所以
,即x≤ － a或x≥a
双曲线位于不等式 x≤ － a与x≥a表示的区域内
例2.双曲线的几何性质
2.对称性： (奇偶性)
y
在方程 x2 y2 1 中
a2 b2
o
x
①把x换成－x,方程不变,说明双曲线关于 y 轴对称
②把y换成－y,方程不变,说明双曲线关于 x 轴对称 ③把x换成-x,y换成-y,方程不变,说明双曲线关于原点对称
求PF PM min
P
MF 5
P
M 0,1
P
A1,0 F 2,0
一、性质种类有多条 光学物理及数学 二、定义要当性质用 碰到距离想定义
三、课本五条是通性 数法推导是本意 模仿函数论性质 通过范例明方法 陌生曲线用此法 数形结合特征值
1.范围： (定义域与值域) 2.顶点： (截距，零点，极值点) 3.对称性： (奇偶性) 4.渐近线： (渐近性) 5.离心率： (特征值)
高中数学教学讲解课件
§94 圆锥曲线的性质
一、性质种类有多条 光学物理及数学 二、定义要当性质用 碰到距离想定义
三、课本五条是通性 数法推导是本意 模仿函数论性质 通过范例明方法 陌生曲线用此法 数形结合特征值
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
椭圆的参数方程可以表示 为$x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$是参数。
椭圆的面积是$pi ab$， 周长是$4a$。
02 抛物线
定义与方程
定义
抛物线是一种二次曲线，它是由一个定点和一条定直线所决 定的平面曲线。这个定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛 物线的准线。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何 性质
目录
• 椭圆 • 抛物线 • 双曲线 • 三种圆锥曲线的对比与联系
01 椭圆
定义与方程
定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1$和$F_2$之间的距离）的点的 轨迹。
方程
对于中心在原点、焦点在x轴上的椭圆， 其标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$ 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
方程
对于开口向右的抛物线，其标准方程为 $y^2 = 2px$（$p > 0$）；对于开口向左的抛物线，其标准方程为 $y^2 = -2px$ （$p > 0$）。
性质与特征
性质
抛物线具有对称性，其对称轴为直线 $x = -frac{p}{2}$。
特征
抛物线在焦点处的曲率最大，而在准 线处的曲率最小。抛物线的离心率等 于1。
04 三种圆锥曲线的对比与联 系
定义与方程的对比
椭圆
抛物线
双曲线
定义为平面内与两定点F1、F2 的距离之和等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹。标准方程 为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$和$b$是椭圆的半轴长，$c = sqrt{a^2 - b^2}$是焦距。
圆锥曲线基本知识-椭圆课件
椭圆是平面上到两个固定点距离之和等于常数的点的图形。
2 椭圆的性质
椭圆具有对称性、焦点与直径的对应关系以及两个焦点到任意点的距离之和等于常数。
3 椭圆的离心率和焦点
椭圆的离心率小于1，焦点是椭圆的特定点。
椭圆方程的求解方法
标准式和一般式
椭圆方程可以表示为标准式和一般式，每种形 式适用于不同的问题。
椭圆用于描述椭球、行星 轨道和其他几何问题。
椭圆描述了许多物理现象， 如行星运动和光学问题。
椭圆用于设计汽车、船舶、 建筑和其他工程结构。
椭圆的应用案例分析
椭圆的应用案例分析1
如何使用椭圆创建一个能反射激光的聚焦器。
椭圆的应用案例分析2
如何利用椭圆轨道设计一个高效的卫星通信系统。
椭圆的应用案例分析3
如何使用椭圆的性质解决一个几何优化问题。
总结与展望
1 圆锥曲线的总结
圆锥曲线是数学中重要的研究方向，其中椭圆作为圆锥曲线的一个分支具有广泛的应用。
2 圆锥曲线的拓展应用
除了椭圆，圆锥曲线还有其他形式和应用，例如双曲线和抛物线。
3 圆锥曲线的未来发展趋势
随着科学和技术的进步，圆锥曲线的研究和应用将持续发展。
椭圆方程的求解步骤
通过将已知条件代入椭圆方程，可以得到椭圆 的具体方程。
椭圆的图像表示
椭圆的图像特征
椭圆是一个闭合的曲线，形状类 似于一个拉伸的圆。
椭圆的参数方程
椭圆可以使用参数方程描述其坐 标。
椭圆的极坐标方程
椭圆也可以使用极坐标中的应用 2 椭圆在物理中的应用 3 椭圆在工程中的应用
圆锥曲线基本知识-椭圆 ppt课件
在这个演示文稿中，我们将介绍圆锥曲线中的一个重要分支 - 椭圆。椭圆在数 学、几何学、物理学和工程学中有广泛的应用。
2 椭圆的性质
椭圆具有对称性、焦点与直径的对应关系以及两个焦点到任意点的距离之和等于常数。
3 椭圆的离心率和焦点
椭圆的离心率小于1，焦点是椭圆的特定点。
椭圆方程的求解方法
标准式和一般式
椭圆方程可以表示为标准式和一般式，每种形 式适用于不同的问题。
椭圆用于描述椭球、行星 轨道和其他几何问题。
椭圆描述了许多物理现象， 如行星运动和光学问题。
椭圆用于设计汽车、船舶、 建筑和其他工程结构。
椭圆的应用案例分析
椭圆的应用案例分析1
如何使用椭圆创建一个能反射激光的聚焦器。
椭圆的应用案例分析2
如何利用椭圆轨道设计一个高效的卫星通信系统。
椭圆的应用案例分析3
如何使用椭圆的性质解决一个几何优化问题。
总结与展望
1 圆锥曲线的总结
圆锥曲线是数学中重要的研究方向，其中椭圆作为圆锥曲线的一个分支具有广泛的应用。
2 圆锥曲线的拓展应用
除了椭圆，圆锥曲线还有其他形式和应用，例如双曲线和抛物线。
3 圆锥曲线的未来发展趋势
随着科学和技术的进步，圆锥曲线的研究和应用将持续发展。
椭圆方程的求解步骤
通过将已知条件代入椭圆方程，可以得到椭圆 的具体方程。
椭圆的图像表示
椭圆的图像特征
椭圆是一个闭合的曲线，形状类 似于一个拉伸的圆。
椭圆的参数方程
椭圆可以使用参数方程描述其坐 标。
椭圆的极坐标方程
椭圆也可以使用极坐标中的应用 2 椭圆在物理中的应用 3 椭圆在工程中的应用
圆锥曲线基本知识-椭圆 ppt课件
在这个演示文稿中，我们将介绍圆锥曲线中的一个重要分支 - 椭圆。椭圆在数 学、几何学、物理学和工程学中有广泛的应用。
方法技巧专题07圆锥曲线的概念及其几何性质
方法技巧专题07圆锥曲线的概念及其几何性质圆锥曲线是平面几何中的一个重要概念，是指由一个动点P在平面上，以一个定点F为焦点和一个定直线L为准线，满足动点P到焦点F的距离与动点P到准线L的距离的比值始终保持不变的轨迹。
根据这个定义可以推导出圆锥曲线的几何性质。
一、圆锥曲线的种类根据焦点和准线的位置不同，圆锥曲线分为三种：1.当焦点F在线上准线L上时，得到的是一个圆。
2.当焦点F在准线L上方时，得到的是一个椭圆。
3.当焦点F在准线L下方时，得到的是一个双曲线。
二、圆锥曲线的性质1.定义性质：圆锥曲线上的任意一点P到焦点F的距离与点P到准线L的距离的比值始终保持不变。
这个比值称为离心率，用e表示。
2.焦点和准线之间的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离是有限的。
对于双曲线，焦点到准线的距离大于焦点到曲线上任意一点的距离。
对于椭圆，焦点到准线的距离小于焦点到曲线上任意一点的距离。
3.长轴和短轴：对于椭圆，长轴是两个焦点之间的距离的2倍，而短轴是两个准线之间的距离的2倍。
长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
4.焦点和准线的关系：焦点位于准线的内部，且焦点到准线的距离等于焦点到曲线上最远的点的距离。
每条曲线上都存在两个焦点，两个焦点是关于准线的镜像。
5.对称性：圆锥曲线具有轴对称性。
对于椭圆和双曲线，轴是通过两个焦点的直线，称为主轴。
对于圆和抛物线，轴是和准线平行的直线，称为准轴。
6.双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线无限延伸的两个分支趋于平行。
渐近线的斜率是曲线离心率e的倒数。
7.抛物线的焦点性质：抛物线的焦点是准线上的一个点，且抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
三、圆锥曲线的应用圆锥曲线广泛应用于科学和工程中的各个领域，如天文学、物理学、航天工程、建筑设计等。
其中一些应用包括：1.天体运动：天体运动中的椭圆轨道和抛物线轨道可以用圆锥曲线来描述。
2.反射器：抛物线可以用于设计反射器，如车灯和卫星碟天线。
圆锥曲线PPT课件
则 P 点的轨迹形状为_双__曲_线__的_一__支_____．
本
解析 由动点P满足PA－PB＝3<4＝AB，
课 栏
结合双曲线的定义及右图可知：点P的轨
目 开
迹是以A、B为焦点的双曲线的一支．
关
第14页/共24页
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 2.1
填一填 研一研 练一练
探究点三 抛物线的定义
问题 1 用平面去截圆锥面，怎样得到一条抛物线？
答案 设圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥 面的顶点的截面与轴所成的角为α，当0<α<π2时，截线
本
的形状是椭圆．(如图阴影部分)
课
栏
目
开
关
第5页/共24页
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 2.1
填一填 研一研 练一练
问题 4 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板， 能画出椭圆吗？
答案 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出
目
开 4． 椭圆、双曲线、抛物线统称为__圆_锥__曲_线______.
关
第3页/共24页
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 2.1
填一填 研一研 练一练
探究点一 椭圆的定义
问题 1 什么是圆锥面？
本
课 栏
答案 圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直
目 开
线(两条直线不互相垂直)旋转一周所形成的曲面．
能力．
第1页/共24页
填一填·知识要点、记下疑难点
§ 2.1
填一填 研一研 练一练
1． 椭圆的定义
平面内到_两__个__定_点__F_1，__F_2的__距__离_的__和________等于常数(大于
圆锥曲线PPT课件
2021/3/7
CHENLI
26
(1)若设动点M到F1，F2的距离之和为2a，则 当0<F1F2<2a时，动点M的轨迹是椭圆；当 F1F2＝2a>0时，动点M的轨迹是线段F1F2； 当0<2a<F1F2时，动点M的轨迹不存在．
(2)椭圆的定义可以表述为PF1＋PF2＝ 2a(0<F1F2<2a)，它是点P在椭圆上的充要条 件．
2021/3/7
CHENLI
19
抛物线的定义
根据抛物线的定义判断动点轨迹是否为抛物 线，关键看两点：
(1)定点是否在定直线l上； (2)到定Байду номын сангаас的距离和到定直线的距离是否相等 ．
2021/3/7
CHENLI
20
例3 若动圆与定圆(x－2)2＋y2＝1外切，又 与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ________．
2021/3/7
CHENLI
16
例2 (本题满分14分)曲线上的点到两个定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别 等于(1)6，(2)10，(3)12.若满足条件的曲线 存在，则是什么样的曲线；若不存在，请说 明理由．
【思路点拨】 本题中已知条件与两定点距 离差的绝对值有关，因此可结合双曲线定义 求解．
2021/3/7
CHENLI
14
自我挑战1 平面内有定点A、B及动点P，命 题甲：|PA|＋|PB|是定值，命题乙：点P的轨 迹是以A、B为焦点的椭圆，那么甲是乙的 ________条件．
解析：由椭圆定义知，甲 乙且乙⇒甲．
答案：必要不充分
2021/3/7
CHENLI
15
双曲线的定义
三种圆锥曲线统一定义及动画演示ppt课件
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
抛物线的定义：
▪ 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫 做抛物线的准线
说明：(1)点F不能在直线l上， 否则其轨迹是过点F且与l垂直的直线
(2)与椭圆、双曲线不同， 抛物线只有一个焦点和一条准线
的点的轨迹叫做双曲线，
两个定点F1，F2叫做双
曲线的叫焦点，两焦点 F1 0
间的距离叫做双曲线的
焦距
p F2 X
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
请同学们观察这样一个小实验？
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做 抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,有 MF=d（d为动点M到
直线L的距离）
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质PPT课件
y
焦点在y轴上
y
图象
P
F1
O F2
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐 标
标准方 程
F 1(c,0)F ,2(c,0) x2 y2 a2 b2 1(a0,b0)
F 1(0,c)F ,2(0,c) y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
(1 )三 个 a ,b ,c 中 ,参 c 最 ,且 数 b 大 2 c 2 a 2 ;
正 半 轴 ,一上 次项系,焦 数点 为在 负负.半轴上
最新课件
7
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
8
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐 标
标准方 程
F 1(c,0)F ,2(c,0) x2 y2 a2 b2 1(ab0)
F 1(0,c)F ,2(0,c) y2 x2 a2 b2 1(ab0)
(1 )三 个 a ,b ,c 中 ,参 a 最 ,且 数 b 大 2 a 2 c 2 ;
说 明 (2椭 ) 圆的焦x点 2与 y位 2的置 分由 母的,大 焦小 点确 在
思考:在双曲线的定义中,如果这个常数大于或等于F1F2,动点
M的轨迹又如何呢? 若 2aF1F2,则 点 M 的轨迹 F1,F是 2为以 端x轴 点向 沿外的 . 两
若 2aF1F2,则 符 合 条M 件 不的 存 ,即 点 在M 点 的 轨 迹.不 存 在
最新课件
4
基本概念
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
设 平 面 内 M,的 动M 动 点 到点 直 l的 为 线 距d离 ,则为
MFd
特注 :
1.椭圆、双曲线、统 抛称 物为 线 圆 锥 曲 线 . 2.我 们 可 以 用 关上 系面 式的 来 M 的 三 判轨 条 断迹 动是 .点什
焦点在y轴上
y
图象
P
F1
O F2
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐 标
标准方 程
F 1(c,0)F ,2(c,0) x2 y2 a2 b2 1(a0,b0)
F 1(0,c)F ,2(0,c) y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
(1 )三 个 a ,b ,c 中 ,参 c 最 ,且 数 b 大 2 c 2 a 2 ;
正 半 轴 ,一上 次项系,焦 数点 为在 负负.半轴上
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8
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐 标
标准方 程
F 1(c,0)F ,2(c,0) x2 y2 a2 b2 1(ab0)
F 1(0,c)F ,2(0,c) y2 x2 a2 b2 1(ab0)
(1 )三 个 a ,b ,c 中 ,参 a 最 ,且 数 b 大 2 a 2 c 2 ;
说 明 (2椭 ) 圆的焦x点 2与 y位 2的置 分由 母的,大 焦小 点确 在
思考:在双曲线的定义中,如果这个常数大于或等于F1F2,动点
M的轨迹又如何呢? 若 2aF1F2,则 点 M 的轨迹 F1,F是 2为以 端x轴 点向 沿外的 . 两
若 2aF1F2,则 符 合 条M 件 不的 存 ,即 点 在M 点 的 轨 迹.不 存 在
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4
基本概念
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
设 平 面 内 M,的 动M 动 点 到点 直 l的 为 线 距d离 ,则为
MFd
特注 :
1.椭圆、双曲线、统 抛称 物为 线 圆 锥 曲 线 . 2.我 们 可 以 用 关上 系面 式的 来 M 的 三 判轨 条 断迹 动是 .点什
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说 明 (2)双曲线的焦点位置由x2与y2的系数的正负确定, 焦点
在系数为正的项所对应的坐标轴上.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
5
基本概念
抛物线的定义:
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做 抛物线的准线.
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M , 动点M到直线l的距离为d ,则
椭圆.双曲线.抛物线
的图像及几何性质
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
1
基本概念
椭圆的定义:
平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的 点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距.
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,则
MF1 MF2 2a (2a F1F2 )
正半轴上,一次项系数为负, 焦点在负半轴上.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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思考:在椭圆的定义中,如果这个常数小于或等于F1F2,动点M
的轨迹又如何呢?
若2a F1F2 ,则点M的轨迹是线段F1F2 . 若2a F1F2 ,则符合条件的点M不存在,即点M的轨迹不存在.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
y
焦点在y轴上
y
图象
P
F1
O F2
y
y
y
y
. O F x
.
F
O
xl
F.
O
l
x
FO 2
l
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
开口方向
向右
向左
向上
向下
(1)方程中: p为焦点到准线的距离,简称焦准距 . 说 明 (2)焦点在一次项对应的坐标轴上;一次项系数为正, 焦点在
思考:在双曲线的定义中,如果这个常数大于或等于F1F2,动点
M的轨迹又如何呢?
若2a F1F2 ,则点M的轨迹是以F1, F2为端点沿x轴向外的两条射线. 若2a F1F2 ,则符合条件的点M不存在,即点M的轨迹不存在.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐 标
标准方 程
F1(c,0), F2 (c,0) x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
F1(0,c), F2 (0, c) y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
(1)三个参数a, b, c中, a最大, 且b2 a2 c2;
说 明 (2)椭圆的焦点位置由x2与y2的分母的大小确定, 焦点在
分母大的项所对应的坐标轴上.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念
双曲线的定义:
平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦 点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,则
MF1 MF2 2a (2a F1F2 )
焦点在y轴上
y
图象
P
F1
O F2
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐 标
标准方 程
F1(c,0), F2 (c,0) x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
F1(0,c), F2 (0, c) y2 x2 a2 b2 1(a 0, b 0)
(1)三个参数a, b, c中, c最大, 且b2 c2 a2;
MF d
特注 :
1.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 2.我们可以用上面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么曲线.
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
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基本概念 抛物线的标准方程
标准方程 图形
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)