高斯积分点以和有限元中应用
各单元高斯点
各单元高斯点在有限元分析中，高斯点是一种用于数值计算的重要概念。
在分析结构或材料时，通常会将其离散成有限个单元来进行计算。
而每个单元都会包含若干个高斯点，用来近似表示单元内的物理量。
在这篇文章中，我将讨论各单元高斯点的重要性及其在有限元分析中的应用。
首先，让我们来了解一下高斯点的概念。
高斯点是一种数值积分点，通过在这些点上对被积函数进行数值积分，可以得到近似的积分值。
在有限元分析中，高斯点通常被用来近似表示单元内的应力、应变、位移等物理量。
通过在高斯点上对这些物理量进行插值，可以得到整个单元内的近似解。
在有限元分析中，单元是构成整个结构或材料的基本单位。
不同类型的单元可以用来表示不同的几何形状，比如一维线元、二维三角形元、四边形元等。
而每个单元内都包含若干个高斯点，这些高斯点的数量通常是提前确定的。
在进行有限元计算时，我们需要在每个单元内对物理量进行数值积分，而高斯点就是用来指定积分的位置和权重的。
在有限元分析中，各单元高斯点的选择对计算结果的精度和稳定性有着重要的影响。
一般来说，高斯点的数量越多，计算结果越精确，但计算量也会增加。
因此，在实际应用中，需要在计算精度和计算效率之间进行权衡。
通常情况下，工程师会根据具体问题的需求和计算资源的限制来选择合适的高斯点数量。
除了高斯点的数量，高斯点的位置也是至关重要的。
在有限元分析中，高斯点的位置通常被选取在单元的几何中点或者重心附近。
这样可以保证在近似表示单元内物理量时，能够更好地反映单元内部的特性。
而如果高斯点的位置选择不当，可能会导致计算结果出现偏差，甚至无法收敛。
在实际工程中，有限元分析是一种非常重要的工具，可以用来分析结构的应力、变形等物理量。
而各单元高斯点的选择是有限元分析中一个至关重要的环节。
通过合理选择高斯点的数量和位置，可以提高计算结果的精度和可靠性。
因此，在进行有限元分析时，工程师需要仔细考虑各单元高斯点的选择，以确保得到准确的计算结果。
有限元平面单元 高斯积分点个数
有限元方法是一种工程分析中常用的数值计算方法，它可以有效地解决复杂结构的力学问题。
在有限元分析中，平面单元是一种常用的元素类型，通过对平面单元内部的高斯积分点进行数值计算，可以得到结构的受力状态和应变分布。
合理选择高斯积分点的数量对于有限元分析的准确性和计算效率都至关重要。
本文将从有限元平面单元的基本原理和高斯积分点的作用入手，探讨高斯积分点个数对于有限元分析的影响，并给出一些建议。
一、有限元平面单元基本原理1.平面单元的定义和分类在结构分析中，平面单元是一种用来模拟二维结构的有限元素。
按照形状的不同，平面单元可以分为三角形单元、四边形单元和多边形单元等。
这些不同类型的平面单元各有特点，适用于不同类型的结构分析。
2.平面单元的应力应变计算通过有限元平面单元的网格划分和材料特性定义，可以利用有限元方法计算结构的受力状态和应变分布。
平面单元内部的高斯积分点是进行数值积分运算的基本单位，它决定了计算的精度。
二、高斯积分点的作用1.高斯积分点的定义和选择在有限元分析中，高斯积分点是一种用来进行数值积分计算的特殊点。
通过在平面单元内部选择合适数量的高斯积分点，并配以适当的权重系数，可以对平面单元内部的物理量进行数值积分计算，如应力、应变、位移等。
2.高斯积分点的作用高斯积分点的选择直接影响了有限元分析的结果。
合理选择高斯积分点数量可以提高计算精度和效率，否则会导致计算结果不准确甚至发散。
在有限元分析中，高斯积分点的选择至关重要。
三、高斯积分点个数对有限元分析的影响1.高斯积分点个数对计算精度的影响在有限元分析中，增加高斯积分点的数量可以提高计算的精度，特别是对于曲率较大或者应力集中的区域。
然而，过多的高斯积分点会增加计算成本，降低计算效率，因此需要在精度和效率之间进行权衡。
2.高斯积分点个数对计算效率的影响适当减少高斯积分点的数量可以提高计算效率，减少计算时间和内存占用。
但是，过少的高斯积分点会导致计算结果的不准确，甚至出现数值不稳定的情况。
高斯积分点以及有限元中应用
解析法
对于一些简单的函数，可以通过解析法直接计算高斯积分点的函数值。
02
有限元方法简介
有限元方法的定义
有限元方法是一种数值分析方法，通 过将复杂的物理系统离散化为有限个 简单元（或称为元素）的组合，来模 拟和分析系统的行为。
高斯积分点在求解偏微分方程中的应用
高斯积分点被用于求解偏微分方程的数值解，通过将偏微分方程离散化，将连续的求解 问题转化为离散的求解问题。
具体应用
在有限元方法中，高斯积分点被用于求解弹性力学、流体力学等领域的偏微分方程，得 到结构的应力、应变和位移等数值结果。
高斯积分点在优化设计中的应用
优化设计的概念
高斯积分点在形状函数中的应用
在有限元的离散化过程中，高斯积分点被用于计算形状函数的数值 积分，以获得场变量的近似值。
具体应用
通过高斯积分点，可以计算出每个节点的位移、应力和应变等数值 结果，进而得到整个结构的近似解。
高斯积分点在求解偏微分方程中的应用
偏微分方程的求解
偏微分方程是描述物理现象的数学模型，求解偏微分方程可以得到描述物理现象的数值 解。
04
有限元的实现过程
建立模型
确定分析对象和边界条件
根据实际问题，明确分析对象及其所受的边界条件，为建立有限 元模型做准备。
建立几何模型
根据分析对象的几何形状，使用CAD软件建立几何模型。
定义材料属性
根据实际材料的物理属性，如弹性模量、泊松比等，定义材料属性。
划分网格
1 2
选择合适的网格类型
根据分析对象的几何形状和边界条件，选择合适 的网格类型，如四边形网格、六面体网格等。
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
关于坐标系
直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ，2维 球坐标系(r,θ, ) 柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
➢选轨迹上任一点O为原点 ➢用轨迹长度S 描写质点位置
m
OS
n
➢质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector)
➢质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
U e 1 (x( )) (x( ))dV 1 x2 Ee (x( )) (x( ))Aedx
2 e
2 x1
U e 1 1 EeB( )qeB( )qe Ae (le / 2)d
2 1
U e
1 qeT [
1
(l e
/
T
2)B
( )Ee AeB( )d ]qe
2
1
U e 1 qeT Keqe 2
x(,) N(,)xe
u(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe
N1
1 4
(1
)(1 )
N2
1 4
(1
)(1 )
N3
1 4
(1
)(1 )
N4
1 4
(1 )(1)
ε(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe B(,)qe
x
B(
, )
0
y
0
x 1 2 3 4 N1x1 N2x2 N3x3 N4x4
y
1
2
3
4
N1 y1
N2
y2
N3
y3
N4
y4
N1
三角形单元数值积分
三角形单元数值积分一、引言数值积分是数值分析中的一个重要内容，它是利用数值方法来近似计算定积分的过程。
在实际应用中，很多函数都无法求出其解析式，因此需要采用数值积分方法来进行近似计算。
本文将重点介绍三角形单元数值积分的相关知识。
二、三角形单元三角形单元是有限元方法中最基本的单元之一，它由三个节点构成。
在实际应用中，我们通常采用局部坐标系来描述三角形单元。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，则可以定义局部坐标系x-y为：以AB边为x轴正方向，以C点到AB边垂线为y轴正方向。
三、三角形单元上的积分对于一个在三角形上定义的函数f(x,y)，我们需要对其进行积分。
根据高斯公式，可以将二维平面上任意闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分。
因此，在三角形内部进行二重积分时，可以将其转化为对该三角形边界上的积分。
四、高斯公式高斯公式是将一个闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分的公式。
对于一个在平面区域D上连续可微的函数f(x,y)，高斯公式可以表示为：∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，P和Q是f(x,y)的偏导数，C为D的边界曲线。
五、三角形单元数值积分在实际应用中，我们需要采用数值方法来进行三角形单元上的积分计算。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法、高斯积分法等。
其中，高斯积分法是一种比较常用和精确的方法。
六、高斯积分法高斯积分法是一种通过求解一组带权重系数和节点坐标的代数方程组来近似计算定积分的方法。
在三角形单元上进行高斯积分时，我们通常需要将其转化为在标准三角形（即顶点坐标为(0,0)、(1,0)、(0,1)）上进行计算。
七、标准三角形上的高斯积分对于一个定义在标准三角形上的函数f(x,y)，可以采用如下公式进行高斯积分：∫∫f(x,y)dxdy=∑wi*f(xi,yi)其中，wi为权重系数，(xi,yi)为高斯积分点的坐标。
在实际应用中，通常采用2-3-4-5阶高斯积分公式进行计算。
单元类型选择
1、三维实体单元的类型及应用选择ABAQUS 具有丰富的单元库，单元种类多达433 种，共分为分8 大类：连续体单元（continuum element，即实体单元solidelement）、壳单元、薄膜单元、梁单元、杆单元、刚体单元、连接单元和无限元。
另外，abaqus 还提供了针对特殊问题的特种单元：如针对钢筋混凝土结构或轮胎结构的加强筋单元，针对海洋工程结构的土壤/管柱连接单元和锚链单元等。
用户还可以通过用户子程序来建立自定义单元。
因为别的单元，到目前为止我接触了解的不够深，所以暂且在这个帖子里先说一下八大类单元中的连续体单元（continuum element，即实体单元solidelement）。
在ABAQUS中，基于应力/位移的实体单元类型最为丰富：（1）在ABAQUS/Sandard中，实体单元包括二维和三维的线性单元和二次单元，均可以采用完全积分或缩减积分，另外还有修正的二次Tri单元（三角形单元）和Tet单元(四面体单元)，以及非协调模式单元和杂交单元。
（2）ABAQUS/Explicit中，实体单元包括二维和三维的线性缩减积分单元，以及修正的二次二次Tri单元（三角形单元）和Tet单元(四面体单元)，没有二次完全积分实体单元。
按照节点位移插值的阶数，ABAQUS里的实体单元可以分为以下三类：线性单元（即一阶单元）：仅在单元的角点处布置节点，在各个方向都采用线性插值。
二次单元（即二阶单元）：在每条边上有中间节点，采用二次插值。
修正的二次单元（只有Tri 或Tet 才有此类型）：在每条边上有中间节点，并采用修正的二次插值。
1、线性完全积分单元当单元具有规则形状时，所用的高斯积分点的数目足以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确积分。
缺点：承受弯曲载荷时，会出现剪切自锁，造成单元过于刚硬，即使划分很细的网格，计算精度仍然很差。
2、二次完全积分单元优点：（1）应力计算结果很精确，适合模拟应力集中问题；（2）一般情况下，没有剪切自锁问题（shear locking）。
abaqus 对单元体积积分
abaqus 对单元体积的积分
Abaqus广泛应用于工程领域。
在Abaqus中，对单元体积的积分是数值模拟的基础，它用于计算单元内每个点的材料响应。
在Abaqus中，对单元体积的积分是通过高斯积分法实现的。
高斯积分法是一种数值积分方法，它将一个函数在某个区间上的积分近似为一定数量的高斯点上的函数值乘以相应的权重，并将这些乘积相加得到最终的积分结果。
对于三维模型，Abaqus提供了完全积分和减缩积分两种类型的单元。
完全积分单元使用更多的高斯点来近似函数值，因此可以获得更高的精度，但同时也需要更多的计算资源。
减缩积分单元则使用较少的高斯点来近似函数值，因此可以节省计算资源，但精度相对较低。
对于线性减缩积分单元，如C3D8R，其积分点数目较少，可能出现没有刚度的零能模式，即所谓的“沙漏模式”。
这种零能模式主要出现在应力/位移场分析中，可能导致计算结果无意义或导致严重的网格畸变。
为了解决这个问题，可以采用非协调模式的C3D8I单元或至少划分四层厚度方向的单元。
除了选择合适的单元类型外，合理的网格划分也是保证数值模拟精度的重要因素。
在进行网格划分时，需要考虑模型的形状、材料属性、边界条件等因素。
一般来说，应该尽量使网格均匀分布，避免出现过于细长的单元和畸形单元。
此外，还需要注意网
格质量指标（如纵横比、曲率等），以确保网格质量符合要求。
在Abaqus中对单元体积进行积分是有限元分析的基础，它直接影响到计算结果的准确性和精度。
为了获得可靠的分析结果，需要选择合适的单元类型和进行合理的网格划分。
高斯公式应用案例
高斯公式应用案例高斯公式是数学上非常重要且广泛应用的公式。
它可以帮助我们计算各种形状的定积分，例如曲线下面积、曲线围成的曲边梯形面积、曲线周长等。
在不同的领域中，高斯公式都有着重要的应用。
本文将介绍高斯公式在物理、工程、经济和生物等领域中的应用案例，以及其在实际问题中的重要性。
一、物理高斯公式在物理学中有着广泛的应用，特别是在电磁学和力学领域。
在电场和磁场中，高斯公式可以用来计算电场线和磁场线的通量，从而求解电荷和磁荷的分布情况。
在引入高斯公式后，可以简化问题求解的复杂度，从而更方便地研究电磁场的性质。
在静电学中，高斯定律描述了电场的产生和分布。
利用高斯公式，可以求解由不同电荷分布所产生的电场强度，进而解决电场环绕导体的分布问题。
高斯公式还可以对电场在不同介质中的分布情况进行精确的描述，为电场的应用提供了重要的理论基础。
在力学领域，高斯公式也常用于计算曲线轨迹下物体的运动状态。
当一个物体沿着曲线运动时，我们可以利用高斯公式来计算曲线上的力的合成，求解物体的加速度和速度等动力学问题。
高斯公式的应用使得复杂的动力学问题变得更加清晰和可计算，为物理学研究提供了重要的数学工具。
二、工程在工程领域，高斯公式也有着重要的应用价值。
特别是在结构分析和流体力学中，高斯公式可以帮助工程师解决各种复杂的结构计算和流体运动问题。
在结构分析中，高斯公式可以用来计算不同形状结构的受力情况。
利用高斯公式可以求解曲线形状的梁在受力作用下的变形和内应力分布，为结构设计提供了重要的数学工具。
在有限元分析中，高斯公式也可以用来建立与结构形状相关的数学模型，进而对结构进行精确的应力分析和应变计算。
在流体力学中，高斯公式被广泛应用于计算流体在不同形状容器中的流动情况。
在管道工程中，高斯公式可以用来计算管道中流体的流速分布和流量情况，从而指导管道的设计和运行。
高斯公式还可以对复杂的流场进行数值模拟和计算，为工程师提供了重要的工具来研究流体动力学问题。
高斯积分点以及有限元中应用
有限元分析主要步骤
所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度 矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计 算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在 单元内分布一些高斯点
这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应 变，其方法如下： 在高斯积分点上，依据几何方程:{ε }={B}{U} 计算出高斯积分点上的应变:ε 然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积
1 1
nn
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j1
1 1 1
nnn
f ( ,, )ddd
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j 1 k 1
高斯积分法
更好的精度。（减缩积分）
完全精确积分
减缩积分
线性单元
二次单元
有限元分析主要步骤
我们知道，经过单元方程的组装以后，结构静力学有 限元方程如下
{F}=[K]{U} 其中，{F}----节点载荷向量；[K]---总体刚度矩阵； {U}---节点位移向量 在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节 点位移向量{U}.这是求解结构静力学方程组所得到的第一 组解，它是最精确的。 得到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。 与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先 在积分点上获得的。
H 2 (C0
C1
C2
2 2
C3
3 2
)
高斯积分法
，
，
为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精 确的，显然应有
H1 H2 2
高斯积分点 三角形 科普
高斯积分点三角形科普高斯积分点是数值分析中常用的数值积分方法之一，它在三角形中的应用也是非常广泛的。
本文将科普高斯积分点在三角形中的原理和应用。
一、高斯积分点的基本原理高斯积分点是一种数值积分方法，它通过在特定位置上选取一些积分点，然后根据这些积分点的位置和权重来近似计算积分值。
对于三角形而言，高斯积分点的选取是基于三角形的几何特性和高斯积分公式来进行的。
在三角形中，高斯积分点通常是通过将三角形映射为标准区域（如单位正三角形）上的积分来实现的。
然后，在标准区域上选取一些积分点，再通过坐标变换将这些积分点映射回原始三角形上，即可得到在原始三角形上的高斯积分点。
二、高斯积分点的应用高斯积分点在三角形中的应用非常广泛，以下列举几个常见的应用领域。
1. 有限元法有限元法是一种常用的数值分析方法，它在求解偏微分方程问题时需要进行积分计算。
而高斯积分点正是在有限元法中用于进行积分计算的主要方法之一。
通过选取适当数量的高斯积分点，可以高效准确地进行积分计算，从而得到精确的数值解。
2. 三角形网格生成三角形网格生成是计算机图形学和计算机模拟中的一个重要问题。
在三角形网格生成过程中，需要将复杂的几何体离散化为由三角形组成的网格。
而高斯积分点可以用于计算每个三角形的质心、面积等几何属性，从而帮助生成高质量的三角形网格。
3. 图像处理在图像处理领域，高斯积分点也有着重要的应用。
例如，高斯滤波是一种常用的图像平滑方法，它通过对图像进行高斯加权平均来降低噪声和纹理。
而高斯积分点可以用于计算图像中每个像素周围的加权平均值，从而实现高效的高斯滤波算法。
4. 计算几何学在计算几何学中，高斯积分点也有广泛的应用。
例如，计算三角形的面积、重心、外接圆等几何属性时，可以使用高斯积分点进行数值计算。
通过选取适当的高斯积分点，可以提高计算准确度和效率。
高斯积分点在三角形中的应用非常广泛，涉及到有限元法、三角形网格生成、图像处理、计算几何学等多个领域。
高斯积分点坐标
高斯积分点坐标高斯积分点是一种在数值计算中常用的一种积分方法。
在计算复杂的积分时，通过使用高斯积分点，可以有效地提高计算的精度和效率。
高斯积分点的坐标是根据一定的积分权重和节点位置计算得出的。
在本文中，我们将详细介绍高斯积分点的计算方法和应用。
高斯积分点的计算方法主要有两种：Legendre法和Lobatto法。
Legendre法计算的是在[-1,1]区间上的高斯积分点，而Lobatto法计算的是在[-1,1]区间上的高斯积分点以及边界点。
在实际应用中常用的是Legendre法，因为它更简单且计算量更小。
要计算高斯积分点，首先需要确定积分的区间和权重函数。
在Legendre法中，积分区间为[-1,1]，权重函数为W(x)=1。
然后，需要确定使用的积分点的个数，一般可以根据需要的积分精度来确定。
积分点的个数决定了计算的精度和效率，但过多的积分点会增加计算的复杂度。
在Legendre法中，积分点的坐标可以通过解一个特定的代数方程组得到。
这个方程组的解对应于经过新蒙特卡罗变换的积分点坐标。
解这个方程组的方法有很多种，其中最常用的是牛顿法或割线法。
通过迭代计算，可以得到具体的积分点坐标。
高斯积分点的坐标和权重可以用一个表格来表示。
对于每个积分点，都有相应的坐标和权重。
积分点的坐标越靠近积分区间的端点，权重越大。
这是因为积分近似的精度与积分点的位置有关，越靠近端点的积分点具有更高的权重。
高斯积分点在众多科学计算领域中都得到了广泛的应用。
在数值分析中，高斯积分点可以用于数值积分、函数逼近和微分方程等问题的求解。
在工程领域中，高斯积分点可用于计算结构力学、流体力学和电磁场等问题。
例如，在计算机图形学中，高斯积分点可以用于计算图像的滤波和模糊效果。
通过在图像上应用高斯积分点，可以实现对图像进行平滑和模糊处理，使图像更加清晰和真实。
在物理学中，高斯积分点常用于量子力学中的波函数求解。
通过将波函数表示为高斯积分点的线性组合，可以更准确地描述量子体系的行为。
有限元法及其应用_概述及解释说明
有限元法及其应用概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中各种结构、流体和热传导问题的分析与求解。
该方法将实际问题转化为数学模型，并通过离散化方法将复杂的连续域分割成许多简单的子域，然后建立局部方程并组合求解得出整个系统的行为。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分来阐述有限元法及其应用。
首先是引言部分，在这部分中我们对有限元法进行综述和概括性介绍。
接下来是有限元法基础，包括定义与原理、离散化方法以及数学模型和方程组等内容。
第三部分是有限元法的应用领域，具体涵盖了结构力学分析、流体力学模拟以及热传导分析等方面。
紧接着是有限元法的优势与局限性的讨论，其中包含了优势点和局限性两个方面。
最后在结论与展望部分对目前取得的成果进行总结，并展望未来该领域发展的方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍有限元法及其应用，使读者对该方法有一个全面的了解。
通过分析有限元法的原理和数学基础，以及讨论其在结构力学、流体力学和热传导等不同领域中的应用，读者可以更好地理解该方法在实际工程问题中的作用和意义。
同时，通过对有限元法的优势和局限性进行深入讨论，读者也可以对该方法的适用范围和限制条件有一个清晰的认识。
最后，在总结现有成果并展望未来发展方向的部分，本文希望促进该领域进一步的研究和应用，并为相关领域从业人员提供参考与借鉴。
2. 有限元法基础：2.1 定义与原理：有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种工程数值分析方法，通过将复杂的连续体问题转化为离散的有限元模型，并通过求解一系列代数方程组来获得数值近似解。
它基于强大的计算能力和离散化技术，广泛应用于各个领域的工程问题求解。
有限元法原理包括两个基本步骤：离散化和解。
在离散化过程中，需要将复杂的连续体划分为多个单元，每个单元具有简单的几何形状（如线段、三角形或四边形）。
这些单元可以通过节点进行连接，并构成整个结构或区域。
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
高斯积分的计算方法
1 一维积分
通过一维高斯积分公式， 将定积分转化为有限个节 点上的数值积分。
2 二维积分
通过二维高斯积分公式， 将二维平面上的积分转化 为有限个节点上的数值积 分。
3 三维积分
通过三维高斯积分公式， 将三维空间中的积分转化 为有限个节点上的数值积 分。
高斯积分在有限元分析中的应用
等参元和非等参元
1 等参元
等参元使用相同数目的自由度描述几何和插 值，适用于规则和光滑变形的分析。
2 非等参元
非等参元使用不同数目的自由度描述几何和 插值，适用于非规则和大变形的分析。
高斯积分基本原理
1
节点和权重
2
高斯积分采用节点和权重的概念，通过
特定的节点和权重系法
应力分析
高斯积分方法可以计算复杂结构的应力分布， 帮助工程师评估结构的强度和稳定性。
流体流动
高斯积分方法可以求解流体流动方程，分析空 气动力学、水力学和流体力学问题。
热传导
高斯积分方法可以模拟热传导过程，预测工件 的温度分布和热传导性能。
电磁场
高斯积分方法可以计算电磁场的分布和力线， 用于分析电磁场和电磁设备。
总结和要点
1 有限元方法
2 等参元和非等参元
有限元方法是一种计算工程问题的数值分析 方法，通过离散化和数值积分求解连续问题。
等参元适用于规则和光滑变形的分析，非等 参元适用于非规则和大变形的分析。
3 高斯积分基本原理
高斯积分通过节点和权重的计算，实现对函 数定积分的数值近似。
4 高斯积分的优点
高斯积分能够提供精确的计算结果，同时具 有高效计算的特点。
高斯积分是一种数值积分方法，用于近 似计算基于数学函数的定积分。
第07讲 高斯积分-11_805707009
则：
I = ∫ f (ξ )d ξ = 2(C0 + C2 / 3)
−1
+1
若选两个高斯积分点 ξ1和ξ2, 相应得权系数为H1 和H2 ，则：
= f (ξ ) H + f (ξ ) H I 1 1 2 2
(6-26)
将f (ξ1) 和f (ξ2) 由(6-24)代入(6-26)：
= H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) + H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) I 1 0 1 1 2 1 3 1 2 0 1 2 2 2 3 2
ξ1 = −ξ 2 = −
(6-29)
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.5 高斯积分法简介
*两点高斯积分 上式表明，对三次多项式的被积函数，采用两点高 斯积分，并满足(6-29)，便可得到精确解。 两点高斯积分的几何定义如下图：
f (ξ )
ξ
-1
ξ1 = −1/ 3
ξ 2 = 1/ 3
+1
H1
H2
n × n − 高斯积分点数 H i H j − 权系数
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.5 高斯积分法简介
6.5.2 二维和三维高斯积分 三维高斯积分
I =∫
1 −1 −1 −1
∫ ∫
j
1
1
= ∑∑∑ H H H f (ξ ,η , ζ ) f (ξ ,η , ζ )dξ dηdζ ≈ I i j k i j k
∫
1
-1
F (ξ )dξ ,
∫ ∫
1
有限元高斯积分方法
有限元高斯积分方法我一开始接触有限元高斯积分方法的时候，说实话，那就是瞎摸索。
我就知道这是个很重要的东西，在有限元分析里经常用到，可到底怎么回事，完全一头雾水。
我最开始就去翻那些教科书，那上面的公式又长又复杂，什么被积函数乘以加权系数求和之类的。
就好比你要数一堆乱七八糟形状的东西，还得按照特定的规则数，那些规则又特别拗口，我当时看了就犯困，根本没理解透。
后来我想啊，干脆就从最简单的例子入手吧。
我找了个简单的线性函数，想用高斯积分来算它在一个区间上的积分。
我按照书上公式一点一点套，可算出的结果完全不对。
然后我就开始检查，发现是加权系数用错了。
这就像你做菜的时候，盐和糖放反了，那味道肯定不对。
我又重新仔细看加权系数那部分，才发现原来是它跟高斯点有关。
这里我要好好说说高斯点，这就像是一些特殊的观察点，在这些点上看这个函数，再按照特定的规则就能算出积分。
我当时把高斯点对应的加权系数记错了，那结果肯定就错嘛。
然后我又试了几个更复杂点的函数，每次都小心翼翼地确定高斯点和对应的加权系数。
我还做了个小本子，把一些常见的函数类型对应的高斯点和加权系数记下来，就像背单词一样。
这样下次再遇到类似的函数，就可以直接用了。
但是这里我得跟你说，我还是有一些不确定的地方。
比如说对于一些更高维的函数，到底要怎么选择合适的高斯点组合呢。
我试过用一些经验性的方法，不过有时候效果不是很好。
我的心得就是，多做计算对比，你可以用传统方法把积分算出来，再用高斯积分方法算，看看结果是不是一样。
要是不一样，就说明这里面肯定有哪里出问题了。
慢慢积累这些经验，就能更好地掌握有限元高斯积分方法了。
虽然说我现在不能说完全精通，但至少比一开始强多了。
还有对于那些很不规则的函数，我还在探索怎么能更高效地用这个方法。
反正实践是最重要的，多做实际的计算例子才能更好地上手这个有限元高斯积分方法。
另外我发现，如果能把函数先进行一些化简，再用高斯积分方法会简单很多。
Gauss型求积公式
Gauss型求积公式具有高精度和高效性，特别是对于一些特殊函数（如多项式函数）的积分，其精度更高。此外， Gauss型求积公式还具有对称性、规范性和最优性等性质。
Gauss型求积公式的分类
01
按照节点数分类
根据使用的节点数不同，可以将Gauss型求积公式分为一 元、二元和多元等类型。一元Gauss型求积公式使用一个 节点，二元Gauss型求积公式使用两个节点，以此类推。
Gauss型求积公式
• 引言 • Gauss型求积公式的基本概念 • Gauss型求积公式的构造方法 • Gauss型求积公式的误差分析 • Gauss型求积公式的应用实例 • 结论
01
引言
背景介绍
01
Gauss型求积公式是数值分析中的一种重要方法，主要用于解决 积分问题。
02
它以德国数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名，是数值积分
工程设计
在工程设计中，Gauss型求积公 式可用于计算几何形状的面积、 体积等，以及优化设计参数。
金融工程
在金融工程中，Gauss型求积 公式可用于计算期权定价、风 险评估等金融衍生品的价值。
02
Gauss型求积公式的基本概念
定义与性质
定义
Gauss型求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。它通过选择一组特定的节点和权重，将积分 区间划分为有限个小区间，然后利用这组节点和权重来逼近积分。
02
Gauss型求积公式具有高精度和高效率的特点，能够 快速准确地计算积分。
03
它能够减小误差，提高计算精度，特别适合处理复 杂函数积分问题。
结论 Gauss型求积公式的优点与局限性
局限性
Gauss型求积公式需要预先确定节点和权重，对于某些复杂函数可能难以 找到合适的节点和权重。
有限元分析及应用
应力边界条件
58
.
53
二维问题：应力边界条件
xlyxmX xylymY
59
.
54
圣维南原理（局部影响原理）
物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等
效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离
这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。
60
.
55
61
.
56
62
.
57
均匀分布载荷作用 下的平板，应力分 布是均匀的。
工程领域中不断得到深入应用，现已遍及
宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、
海洋等工业，是机械产品动、静、热特性
分析的重要手段。早在70年代初期就有人
给出结论：有限元法在产品结构设计中的
应用，使机电产品设计产生革命性的变化，
理论设计代替了经验类比设计。
5
.
5
有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
-0 .0 2
-0 .0 0 1
-0 .0 4
-0 .0 0 2
-0 .0 6
-0 .0 0 3
0 .0 5 4
0 .0 5 6
0 .0 5 8
0 .0 6
X
-0 .0 8
-0 .1 0
0 .0 2
0 .0 4
0 .0 6
0 .0 8
0 .1
0 .1 2
X
29
.
27
30
.
28
受垂直载荷的托架
31
从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中 未标出），是四面微分体的高。
56
.
51
设斜微分面的面积为dA，则其它三个微分
有限元分析及应用第五章_第二部分
其中系数
∫ Cm
=
2m + 2
1
1 −1
Lm
(
x)q(
x)dx
特别，对于 n 次多项式 Pn(x)有
４、一维情况
n
∑ Pn (x) = Cm ⋅ Lm (x) m=0
设需要计算积分
1
I = ∫ f (x)dx −1
我们可以取 x1=0 为积分点（图 5-2４(a)），以常量 f(0) 代替 f(x) 进行积分，作为Ｉ的近似值
−1
−1
−1
−1
Rn−1 (x)为 n-1 阶多项式，因此仅需 n 个样点及其样点值即可精确重构该多项式，进而给出
精确的积分值，若取 Ln (x) 的 n 个零点为积分样点，则
( ) ( ) P2n−1 xi = Rn−1 xi (i = 1 ~ n)
结论：用 n 个 Legendre 多项式的零点作为积分样点，式(5-5-1)可以给出精确的积分值，这
)
根
x1、4 = m
15 + 120 , 35
x2、3 = m
15 − 120 35
L0=1
L1=x
L2
L3
1
1
x
x
x1
x2 x
x
-1
1 -1
1 -1
1 -1
1
-1/2
图 5-23
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有限元分析与应用
霍战鹏
一般 n 阶 Legendre 多项式的定义为
Ｌ n
(x)
=
2
1 n⋅
n!
L２( x)
=
3 2
(x2
−
1) 3
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。
此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。
有限元计算取单元格平均值
有限元计算取单元格平均值有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，主要用于求解各种结构的力学问题。
在有限元分析中，一个重要的计算步骤是计算单元格的平均值。
本文将介绍有限元计算中如何取单元格平均值，并讨论其应用。
一、有限元计算简介有限元法是一种将连续的问题离散化为离散的有限单元的数值方法。
它将大的计算域分割成许多小的单元格，通过在每个单元格中近似求解，得到整体问题的近似解。
在有限元计算中，常常需要计算单元格的平均值。
二、单元格平均值的定义在有限元计算中，单元格平均值是指在每个单元格内的某一物理量的平均值。
对于一个单元格内的物理量，可以通过在单元格内的各个高斯积分点上计算物理量的值，并取其平均值得到。
三、计算单元格平均值的方法计算单元格平均值的方法有多种，下面将介绍两种常用的方法。
1. 数值积分法数值积分法是一种基于数值积分的方法，可以在有限元网格的每个单元格上进行计算。
该方法的基本思想是将单元格内的物理量分解成一组基函数的线性组合，在每个高斯积分点上计算基函数的权重，然后将每个高斯积分点上的物理量值乘以相应权重，并将它们相加，最后除以单元格的体积得到平均值。
2. 重心法重心法是一种简单但有效的方法，特别适用于规则形状的单元格，如三角形和四边形。
该方法的基本思想是将一个单元格划分为一组三角形或四边形，通过计算每个三角形或四边形的重心，并将其与相应的物理量值相乘，然后将结果相加并除以单元格的面积得到平均值。
四、单元格平均值的应用单元格平均值在有限元计算中有广泛的应用，下面介绍两个常见的应用场景。
1. 应力分析在结构力学中，计算应力是一个重要的任务。
单元格平均值可以用于计算每个单元格内的应力分布，并用于评估结构的强度和稳定性。
2. 热传导分析在热传导分析中，计算温度场是一个常见的问题。
单元格平均值可以用于计算每个单元格内的温度分布，并用于评估材料的热传导性能。
五、总结有限元计算中取单元格平均值是一个重要的步骤，可以用于计算各种物理量，如应力和温度等。
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所以，应取
H1 H 2 1.000,000,000,0
高斯积分法
n个插值结点非等距分布
结点和积分权系数可以查表
1
n
f ( )d
1
Ai f (i )
i 1
高斯积分法
二维积分的高斯公式
以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维
重积分
11
f ( ,)dd 1 1
1 1Leabharlann nnf ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j1
1 1 1
nnn
f ( ,, )ddd
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j 1 k 1
高斯积分法
分点的应力。:{σ }={D}{B}{U}
有限元分析主要步骤
可见，在应变和应力计算方面，高斯积分点的应变 和应力是最最准确的。
利用特定单元的形函数以及高斯点的应力，应变值， 将这些值外推到该单元的节点上，就得到了单元上节点的 应力应变值。
显然，不同的单元会共用一些节点，而从不同单元内 的积分点外推到这些公共节点的应变值和应力值一般不相 同,将一个公共节点的多个应力进行平均，以代表该节点 的应力值。
高斯积分法
数值积分：在积分区域内按一定规则选出 一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ ， η ，ζ )在这些积分点处的值，然后再乘以相 应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值积分的方法有多种，其中高斯积分法 可以用相同的积分点数达到较高的精度，或 者说用较少的积分数达到同样的精度。
高斯积分法
f ( ) C0 C1 C2 2 C3 3
其精确积分为 数值积分为
I
1 1
f
( )d
2C0
2 3 C2
2
I H i f (i ) H1 f (1 ) H 2 f (2 ) i 1
H1 (C0
C1
C212
C313 )
H 2 (C0
C1
C2
2 2
C3
3 2
)
高斯积分法
，
，
为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精 确的，显然应有
H1 H2 2
H11 H 22 0
H
2
11
H
2
22
2 3
H
3
11
H
2
3 2
0
1 2
1 3
0.577 ,350,269,2
有限元分析主要步骤
总之，求解节点应力的步骤是： （1）根据总体方程，得到节点的位移解。 （2）根据几何方程，得到单元高斯点的应变解。 （3）根据物理方程，得到单元高斯点的应力解。 （4）在某一个单元内，基于形函数，将高斯点的应力外 推到该单元的所有节点。 （5）对于某一个公共节点，将该节点关联的所有单元所 推出的该节点的应力解进行平均，最终得到该节点的应力 解。
应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节 点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点 具有更高阶的误差。
放映结束 感谢各位观看！
谢 谢！
让我们共同进步
的数值时，可以先对ξ 、η 进行积分，
1
n
f ( ,)d
1
H i f (i ,) ()
i 1
1
m
()d
1
H j ( j )
j 1
1 1
m
n
f ( ,)dd
1 1
Hj
H i f (i , j )
j 1
高斯积分法
高斯积分法
在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度 矩阵时，需用到如下形式的定积分：
11
f ( ,)dd 1 1
111
f ( ,, )ddd 1 1 1
其中被积分函数f(ξ ，η ，ζ )一般是很 复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也 是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函 数的定积分。
一、一维积分的高斯公式
1
n
f ( )d
1
H i f (i )
i 1
其中f(ξ i)是被积函数在积分点ξ i处的数值，Hi为 加数系数，n为积分点数目。
对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点 位置，能够使式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时 精确成立。
由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应 于大多数函数。
由前面的推导可见，当在每个方向取n个积分点时 ，只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n-1，则用高 斯求积公式求得的积分值是完全精确的。
反过来，对于m次多项式的被积函数，为了积分值 完全精确，积分点的数目必须取 。
高斯积分法
高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权 系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数 值，加权后求和，就得到了该函数的积分。
高斯积分法
例如，n=1时 不论f(ξ )的次数是0还是1，只需取H１=2，
ξ 1＝０，上式均是精确成立的。因为
1
I 1 f ( )d H1 f (1 )
f ( ) C0 C1
1
I 1 f ( )d 2C0 2 f (0)
高斯积分法
当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式 的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为
更好的精度。（减缩积分）
完全精确积分
减缩积分
线性单元
二次单元
有限元分析主要步骤
我们知道，经过单元方程的组装以后，结构静力学有 限元方程如下
{F}=[K]{U} 其中，{F}----节点载荷向量；[K]---总体刚度矩阵； {U}---节点位移向量 在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节 点位移向量{U}.这是求解结构静力学方程组所得到的第一 组解，它是最精确的。 得到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。 与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先 在积分点上获得的。
高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个 积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也 就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式， 用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分 结果。
积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工 作量。
积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全 精确积分）
很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精 确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分
i 1
或改写成
1 1
nm
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j 1
这就是二维的高斯积分公式。
高斯积分法
三维积分的高斯公式
同样，可以求得三维高斯积分公式：
1 1 1
nm l
f ( ,, )ddd
有限元分析主要步骤
所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度 矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计 算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在 单元内分布一些高斯点
这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应 变，其方法如下： 在高斯积分点上，依据几何方程:{ε }={B}{U} 计算出高斯积分点上的应变:ε 然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积
积分点与节点的关系
我们需要对应变在单元内的面积上进行积分时，因为 节点的应力、位移显然与x,y无关，我们只需要考虑对形 函数积分。
采用Gauss-Legendre多项式计算积分时，我们只需要 计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可 以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可 以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为 形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j1 k 1
中的n，m，l是分别关于变量ξ，η，ζ的积分点数目。
各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出 现的最高次数分别决定，一般并不要求相同。但为应用方便，常常 在各个方向取相同的积分数，即统一为最高值