高斯积分点以和有限元中应用

一、一维积分的高斯公式
1
n
f ( )d
1
H i f (i )
i 1
其中f(ξ i)是被积函数在积分点ξ i处的数值，Hi为 加数系数，n为积分点数目。
对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点 位置，能够使式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时 精确成立。
由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应 于大多数函数。
H 2 (C0
C1

C2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2

C3
3 2
)
高斯积分法
，
，
为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精 确的，显然应有
H1 H2 2
H11 H 22 0
H
2
11

H
2
22

2 3
H
3
11

H
2
3 2

0
1 2

1 3
0.577 ,350,269,2
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j1 k 1
中的n，m，l是分别关于变量ξ，η，ζ的积分点数目。
各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出 现的最高次数分别决定，一般并不要求相同。但为应用方便，常常 在各个方向取相同的积分数，即统一为最高值
应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节 点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点 具有更高阶的误差。
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f ( ) C0 C1 C2 2 C3 3
其精确积分为 数值积分为
I
1 1
f
( )d

2C0

2 3 C2
2
I H i f (i ) H1 f (1 ) H 2 f (2 ) i 1

H1 (C0

C1
C212
C313 )
1 1
nn
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j1
1 1 1
nnn
f ( ,, )ddd
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j 1 k 1
高斯积分法
高斯积分法
数值积分：在积分区域内按一定规则选出 一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ ， η ，ζ )在这些积分点处的值，然后再乘以相 应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值积分的方法有多种，其中高斯积分法 可以用相同的积分点数达到较高的精度，或 者说用较少的积分数达到同样的精度。
高斯积分法
有限元分析主要步骤
所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度 矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计 算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在 单元内分布一些高斯点
这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应 变，其方法如下： 在高斯积分点上，依据几何方程:{ε }={B}{U} 计算出高斯积分点上的应变:ε 然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积
有限元分析主要步骤
总之，求解节点应力的步骤是： （1）根据总体方程，得到节点的位移解。 （2）根据几何方程，得到单元高斯点的应变解。 （3）根据物理方程，得到单元高斯点的应力解。 （4）在某一个单元内，基于形函数，将高斯点的应力外 推到该单元的所有节点。 （5）对于某一个公共节点，将该节点关联的所有单元所 推出的该节点的应力解进行平均，最终得到该节点的应力 解。
更好的精度。（减缩积分）
完全精确积分
减缩积分
线性单元
二次单元
有限元分析主要步骤
我们知道，经过单元方程的组装以后，结构静力学有 限元方程如下
{F}=[K]{U} 其中，{F}----节点载荷向量；[K]---总体刚度矩阵； {U}---节点位移向量 在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节 点位移向量{U}.这是求解结构静力学方程组所得到的第一 组解，它是最精确的。 得到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。 与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先 在积分点上获得的。
高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个 积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也 就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式， 用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分 结果。
积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工 作量。
积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全 精确积分）
很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精 确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分
由前面的推导可见，当在每个方向取n个积分点时 ，只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n-1，则用高 斯求积公式求得的积分值是完全精确的。
反过来，对于m次多项式的被积函数，为了积分值 完全精确，积分点的数目必须取 。
高斯积分法
高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权 系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数 值，加权后求和，就得到了该函数的积分。
所以，应取
H1 H 2 1.000,000,000,0
高斯积分法
n个插值结点非等距分布
结点和积分权系数可以查表
1
n
f ( )d
1
Ai f (i )
i 1
高斯积分法
二维积分的高斯公式
以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维
重积分
11
f ( ,)dd 1 1
高斯积分法
高斯积分法
在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度 矩阵时，需用到如下形式的定积分：
11
f ( ,)dd 1 1
111
f ( ,, )ddd 1 1 1
其中被积分函数f(ξ ，η ，ζ )一般是很 复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也 是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函 数的定积分。
分点的应力。:{σ }={D}{B}{U}
有限元分析主要步骤
可见，在应变和应力计算方面，高斯积分点的应变 和应力是最最准确的。
利用特定单元的形函数以及高斯点的应力，应变值， 将这些值外推到该单元的节点上，就得到了单元上节点的 应力应变值。
显然，不同的单元会共用一些节点，而从不同单元内 的积分点外推到这些公共节点的应变值和应力值一般不相 同,将一个公共节点的多个应力进行平均，以代表该节点 的应力值。
高斯积分法
例如，n=1时 不论f(ξ )的次数是0还是1，只需取H１=2，
ξ 1＝０，上式均是精确成立的。因为
1
I 1 f ( )d H1 f (1 )
f ( ) C0 C1
1
I 1 f ( )d 2C0 2 f (0)
高斯积分法
当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式 的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为
积分点与节点的关系
我们需要对应变在单元内的面积上进行积分时，因为 节点的应力、位移显然与x,y无关，我们只需要考虑对形 函数积分。
采用Gauss-Legendre多项式计算积分时，我们只需要 计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可 以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可 以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为 形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。
i 1
或改写成
1 1
nm
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j 1
这就是二维的高斯积分公式。
高斯积分法
三维积分的高斯公式
同样，可以求得三维高斯积分公式：
1 1 1
nm l
f ( ,, )ddd
的数值时，可以先对ξ 、η 进行积分，
1
n
f ( ,)d
1
H i f (i ,) ()
i 1
1
m
()d
1
H j ( j )
j 1
1 1
m
n
f ( ,)dd
1 1
Hj
H i f (i , j )
j 1