线性变换与矩阵地关系

线性变换与矩阵的关系

学院：数学与计算机科学学院

班级：2011级数学与应用数学

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学号：

线性变换与矩阵的关系

（西北民族大学数学与应用数学专业， 730124）

指导教师

一、线性变换

定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。

设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即

T(V)={ β=T(α)|α∈V},

显然T(V) ⊂U

注：变换的概念实际上是函数概念的推广。

定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足

（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);

（2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。

那么，就称T为从V n到U m的线性变换。

说明：

○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。

○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元

α在变换下的象。

○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空

V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。

二、线性变换的性质

设T是V n中的线性变换，则

(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);

(2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα

m;

(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；

注：讨论对线性无关的情形不一定成立。

(4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。

记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。

设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么

(i)σ是满射Im(σ)=W;

(ii)σ是单射Ker(σ)={0}

定理1 设V 和W 是数域F 上的向量空间，而σ：V →W 是一个线性映射。那么V 的任意子空间在σ之下的像是W 的一个子空间。而W 的任意子空间在σ之下的原像是V 的一个子空间。 三、线性变换的运算

设L (V )是向量空间V 的全体线性变换的集合，定义L (V )中的加法，数乘与乘法如下：

加法： 数乘： ； 乘法： ， 其中， .

易验证，当A , B 是V 的线性变换时，A+B ，AB 以及kA 都是V 的线性变换.

四、线性变换的矩阵

设V 是数域F 上的一个n 维向量空间,n ααα,,,21 是V 的一个基,)(V L ∈σ.由于,,,2,1,)(n i V i =∈ασ因而它们可由基n ααα,,,21 线性表出.令

,12211111)(n n a a a αααασ+++=

,22221122)(n n a a a αααασ+++= (1)

…………………

n nn n n n a a a αααασ+++= 2211)(.

(1) 也可以表示为：

A n n ),,,(),,(2121αααααασ = , (2)

其中

11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn a

称A 为σ关于基n ααα,,,21 的矩阵.A 的第j 列元为)(j ασ在基

n ααα,,,21 下的坐标,,,,2,1n j =因而当取定基之后,σ在这一基下的

矩阵是唯一的.

设V 是数域F 上一个n 维向量空间.令是V 的一个线性变换.取定一个基

1α,2α,⋯,n α.考虑

V 中任意一个向量.2211n n x x x ααα+++

σ(ξ)仍是V 的一个向量.设σ(ξ)=.2211n n y y y ααα+++ 自然要问,如何σ(ξ)计算的坐标()n y y y ,,,21 .

令 (),12211111n n a a a αααασ+++=

(),22221122n n a a a αααασ+++= (2) ………………………………

(),2211n nn n n n a a a a ααασ+++=

这里ij α,i,j=1,…,n,就是()j ασ关于基n αα,,1 的坐标 .令

11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn a

n 阶矩阵 A 叫做线性变换σ关于基{}n ααα,,,21 的矩阵.矩阵A 的第j 列元素就是这样,取定F 上n 维向量空间V 的一个基之后,对于V 的每一个线性变换,有唯一确定的

F 上n 阶矩阵与它对应.

为了计算()ξσ关于基{}n ααα,,,21 的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式

(3) ()()()()n ασασασ,,,21 =()A n ααα,,,21 .

设 =ξn n x x x ααα+++ 2211

=()n ααα,,,21 ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎝n x x 21

因为σ是线性变换,所以 (4) ()()()()n n x x x ασασασξσ+++= 221