简单期权的连续时间模型定价

5.15
B-S微分方程的推导过程
f
构造无风险组合： 票 （买入数量为f
-1份期权 （卖空一份期权）+ 的股票）该资产组合的价值
S
份股
S
f f S S
在无套利机会的条件下，该组合必定取得无风险收益
这就是Black-Scholes微分方程
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人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。例如一股票现 在的价格为100，则这个时间之前的任意时间的价格与这 只股票未来的价格预测无关，未来预测只与现在的价格 100有关
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5.7
维纳过程——标准的维纳过程
一个随机过程z，定义它在一个微小时间间隔t 之间的变化 为 z
布莱克-斯克尔斯期权定价模型为包括股票、债券、货币、 商品在内的新兴衍生金融市场的各种基于基础资产价格变 动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础
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5.4
随机过程介绍
股票价格的变化过程符合什么样的规律涉及到随机过程的 内容
如果某变量的值随着时间以不确定的方式变化，则称该变 量遵循某种随机过程（Stochastic Process）
5.16
风险中性定价原理
Black-Scholes微分方程不包括股票的预期收益率 利用这一特性可以假设：在衍生证券定价中，所有投资者
都是风险中性的 所有投资者都是风险中性条件下，所有证券的预期收益率
均为无风险利率r，所有现金流都应该使用无风险利率贴 现。这就是风险中性定价原理。
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从严格意义上讲，股票价格的变动属于离散型随机序列， 但在大多数应用中，我们可以把它近似为连续型随机过程。
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5.6
马尔科夫过程
马尔科夫过程（Markov process）是一种特殊的随机过程， 它认为变量的未来预测只与当前情况有关，而与变量过去 的历史和从过去到现在的演变方式无关
布莱克-斯克尔斯公式，即B-S期权定价公式 推导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满
足的随机微分方程，推导出了股票的欧式看涨期权和看跌 期权的定价公式
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5.3
布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展
Robert Merton也发现了同样的公式及许多其它有关期权的 有用结论，在若干方面（例如当存在红利支付时）做了重 要推广。所以，B-S公式也被称为布莱克-斯克尔斯-默顿 （或B-S-M）公式
第五章
简单期权的连续时间模型定价
本章内容提要
布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展 随机过程介绍 马尔科夫过程、维纳过程、伊藤过程 股票价格的行为模式 伊藤引理
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5.2
布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展
Myron Scholes和Fischer Black发表题为“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文，提出了一个连续时 间模型条件下复杂的期权定价公式
假设 {}是随机试验的样本空间，T是时间集，对于每一 个 t0 T ，都有随机变量X (,t0)与之对应，则称依赖于t 的一 族随机变量X (,t) ，t T 为随机过程
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5.5
随机过程分类
可以根据状态和时间是否连续把随机过程进行如下分类 连续型随机过程 离散型随机过程 连续型随机序列 离散型随机序列
如果z遵循满足以下两个性质： z t 其中 是服从标准正态分布的随机变量 z是独立增量过程
那么z遵循漂移率为0方差率为1的标准维纳过程
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5.8
维纳过程——标准的（ 维纳过程
t 0.001 t 0 时接近于真实的维纳过程
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dx a(x,t)dt b(x,t)dz
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5.11
股票价格的行为模式
一个合理的描述股价运动的形式是
dS / S dt dz
上式被称为几何布朗运动 离散处理
S / S t t
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5.13
Bwk.baidu.comS公式的基本假设
股票价格遵循“几何布朗运动”的随机过程 不存在交易费用和税收 交易连续进行，股票高度可分，股票不支付红利 不存在无风险套利机会 投资者可以在期权生命期内以无风险利率r无限量借入或
贷出资金 允许卖空标的证券 以欧式期权为前提
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5.9
一般的维纳过程
一般维纳过程表示为
dx adt bdz
其中 a 表示漂移率的期望值，b2 表示方差率的期望值，a 和 b
都是常数，dz 是标准维纳过程
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5.10
伊藤过程（Ito Process）
伊藤过程的漂移率和方差率都随着时间的变化而变化
5.12
伊藤引理
伊藤引理描述了衍生证券价格和基础资产价格以及时间变 量之间所满足的关系
df
f S
dS f t
dt
1 2
2 f S 2
b2dt
将股票价格行为模式假设带入
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
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5.14
B-S微分方程的推导思路
1、期权（或其他衍生品）价格与股票价格受同一种不确 定性的影响
2、可以构造一个包含该期权与股票的资产组合来消除这 一不确定性
3、在无套利机会条件下，这一无风险的资产组合的收益 率必定为无风险利率r
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