简单期权的连续时间模型定价

合集下载

期权的定价

期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。

期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。

BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。

该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。

该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。

通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。

BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。

有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。

与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。

该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。

通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。

二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。

无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。

其中，最关键的参数是标的资产的波动率。

波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。

根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。

其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。

需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。

实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。

因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。

总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。

BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。

简析期权的三种定价模型及其应用

厂＾一一］
二、期权定价模型介绍及其应用
参 ¨ 夏考出应用：韩国证券期货交易所（ＫＲＸ）对于ＫＯＳＰＩ２００期文权采用的是二叉树定价方法，也是大多数交易所做市商时版献社普遍采用的方法。
Ｕ９
●
ｃ＝Ｉ ‘ 了：卜尸）叫［０一，］Ｉ
９
，
（一）Ｂ－Ｓ期权定价模型三定价模型对比及应用建议期。介绍：首先假设标的价格服从标的价格波动率和预期收由于定价模型自身的定价原理，Ｂ—ｓ定价模型的优势在权益率为常数的几何布朗运动，即于它的解析解是封闭的，计算速度快而精确；劣势是他不能＝ＨＳｄｔ＋ｅＴｄＺ计算美式期权。Ｂｌａｃｋ（７６）定价模型也具有封闭解析解，计算速度快的优势，但是它的可用范围受限，只能计算欧式期原理：通过卖出一手看涨期权，买入份股票，构造了权。最后，二叉树定价模型的优点很容易看出：方法简单易懂，同时具有扩展性。但是它的缺点是：增加了步长个数，份无风险投资＝一ｆ＋・Ｓ模型收敛度强精度得到提高，但是计算耗时大大增加；如果由无套利原理可知，该组合的收益率和无风险投资的收减少步长个数，可以减少计算时间，但是精度却又降低了。益率相同，即、在期权交易过程中，我们只有选择了合适的定价模型才Ａｚ’ ：ｒ砖ｆ能得到理想的结果，所以我们在选择定价模型时应当根据１：所掌握的的各种资源和实际情况来进行选择和权衡，以获＋＋

金融学中的期权定价模型

金融学中的期权定价模型在金融学领域中，期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。

期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。

本文将介绍金融学中常用的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。

布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。

该模型于1973年由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）共同提出，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。

布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设，包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。

根据这些假设，该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。

该公式可以用来计算欧式期权的价格，在交易中发挥了重要的作用。

风险中性定价模型（Risk-Neutral Pricing Model）是另一种常用的期权定价模型。

该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度，即市场对未来价格的期望值等于当前价格。

根据这个假设，风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度，将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。

相对于布莱克-斯科尔斯模型，风险中性定价模型更加灵活，可以应用于更复杂的市场情况，并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。

除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型，金融学中还有其他的期权定价模型，如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。

这些模型都有各自的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。

需要注意的是，期权定价模型只是一种理论框架，模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。

实际应用中，投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素，并结合自身的投资策略进行决策。

总结而言，金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。

金融工程中的期权定价模型

金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。

通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。

期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。

二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。

期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。

下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。

1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。

这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。

布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。

其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。

2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。

这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。

期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。

在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。

这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。

其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。

几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。

这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。

通过这个方程，可以计算出期权的价格。

另一个常用的连续模型是扩散模型。

扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。

在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。

这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。

BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。

它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。

BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。

期权定价的连续模型及BS公式

调整。
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型（为什么？）
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么？
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
20520/10/8
特别注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的：对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计：
波动率漂移率
思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据，这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成，如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68

期权定价模型

二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。

基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。

因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。

期权定价的三种方法

期权定价的三种方法期权是一种权利，持有者有权买卖证券或商品的特定数量。

期权的定价对投资者来说至关重要，因为它决定了期权的价值。

为了定价期权，投资者需要先了解市场和期权的各种因素，然后选择一种有效的定价方法。

本文将介绍期权定价的三种方法，分别是Black-Scholes 模型、蒙特卡罗模拟法和实际条件定价法。

Black-Scholes模型是一种简单而有效的期权定价模型，由美国经济学家贝克-施罗斯和美国数学家史蒂文-黑格森于1973年提出。

Black-Scholes模型假设期权价格受到无风险利率、资产价格、波动率和时间等因素的影响，通过分析复杂的概率函数实现定价。

Black-Scholes模型以期权价值收益率为基准，以确定期权价格是否有利于投资者。

另一种期权定价方法是蒙特卡罗模拟法，它能够模拟出异常动态市场中期权价格的情况。

蒙特卡罗模拟法可以预测风险事件如何影响期权价格，并计算不同投资决策下期权价格的变化。

它根据投资者的投资组合来确定抗风险性，以提供可靠的期权定价评估结果。

最后一种期权定价方法是实际条件定价法，它是基于真实的市场数据定价的。

实际条件定价法主要考虑的因素包括期权的行使价格、期权期限、可买入或卖出的股票价格等。

它可以考虑期权的复杂性，从而帮助投资者做出更精确的定价决策。

总之，期权定价方法有Black-Scholes模型、蒙特卡罗模拟法和实际条件定价法。

期权投资者可以根据他们对期权的理解以及对市场变化的看法，来灵活使用这些方法，以进行有效的期权定价。

期权定价是一个有挑战性的过程，但是把握住期权定价的技巧可以帮助投资者实现更好的投资回报。

许多期权定价模型都是针对特定市场环境的，所以投资者在使用期权定价方法时，需要充分考虑当前市场环境中的多种因素，以确保最优的定价结果。

此外，投资者也需要定期更新期权定价模型，以便于更好地捕捉新的变化并且按照新的变化作出有效的期权定价决定。

股指期货的四种定价方法

股指期货的四种定价方法[摘要]我国金融市场已经推出沪深300股票指数期货,本文吸收借鉴了国内外的研究成果,说明了股指期货四种定价理论和相关的实证结果,并提出今后理论研究的方向。

[关键词]股指期货定价定价理论实证研究研究方向一、定价理论1、持有成本定价模型Comell&French(1983)最早提出在无摩擦市场以及借贷利率相等且保持不变情况下的股指期货持有成本定价公式,股指期货的理论价格为■。

该模型假设条件较多,且定价偏差大,但是最经典的定价模型。

2、连续时间模型Ramaswamy&Sundaresan(1985)修正了期权定价模型进而推导出随机利率条件下无套利股指期货的理论价格。

该模型有四个假设条件:采用单因子CIR描述无风险利率,无风险贴现债券用局部期望假设来描述,无摩擦市场,股指服从对数正态分布。

Cakici&Chatterjee(1999)引入另一种利率模型,通过对S&P500实证比较发现,利率的平方根过程和对数正态过程对定价没有显著性影响。

3、一般均衡定价模型Cox和Ross等人在1985年推出资产定价的一般均衡模型, 随后Hemler&Longstaff(1991)推导出利率随机波动和市场随机波动情况下的股指期货一般均衡定价模型。

该模型有四个假设:经济个体同质预期,企业产品被消费或被投资,投资回报率是随机过程,经济体状态变量X 和Y均值复归。

股指期货的偏微分方程的PDE解析解和持有成本定价模型异曲同工。

4、区间定价模型Klemkosky&Lee(1991)考虑交易成本、股利和借贷利率不相等因素,“做多指数现货,做空指数期货”得到套利区间的上限,“做多指数期货,做空指数现货”得到套利区间的下限,在此区间内不可套利,在此区间外可套利。

国内对股指期货定价的理论探索较少,其中陈晓杰,黄志刚(2007)在无风险套利原理下,改良B-S方程通解,推导出股指期货的定价模型。

期权定价的连续模型之B-S公式

如何使概率问题转化为实变量的函数形式？
如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式？
我们研究的对象是随机事件的概率我们研究的对象是随机变量的取值或取值范围的概率 P( X = x ), P( X x ), P( X > x ), P ( x1 X x2 ),…
能否选用一个事件将所有事件都表达出来？
用随机变量的取值或取值范围来表示随机事件
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高. 我们可以把可能的身高看作随机变量 X , 然后我们可以提出关于X 的各种问题. 如 P(X > 1.7 )=？ P(X ≤1.5 )= ? P(1.5<X<1.7) =?
一旦我们实际选定了一个学生并量了其身高之后，我们就得到 X 的一个具体的值，记作 x . 这时要么 x≥1.7, 要么 x <1.7，再求 P(x ≥1.7)就没有意义了.
这种选择并不是唯一的
P( X x)
P( A ) X() P( X x )
本质是什么？
函数
变量？
由此引进了分布函数的概念：
随机变量的分布函数
1. 定义
F ( x) P( X x)
分布函数是一个普通的函数, , 我们就可以用分析的设 X 是随机变量，称通过它特殊形式事件的概率 ( x )工具来研究随机变量的取值规律
期权定价的连续模型之B-S公式

期权定价理论的发展几何布朗运动 Black-Scholes定价公式其他有关知识
概率知识：§1 随机变量
(1) 掷一颗骰子，出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，……

期权定价的二叉树模型

期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。

二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。

下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。

首先，我们需要确定二叉树模型的参数。

主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。

其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。

接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。

树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。

具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。

其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。

在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。

通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。

具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。

而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。

通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。

需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。

参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。

此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。

总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。

期权与期货课件第11章 BSM连续时间期权定价模型——动态复制方法

2
©中央财经大学期权与期货
第十一章 B-S-M期权定价模型——动态复制方法
学习要点
➢ B-S-M期权定价模型的假设； ➢ B-S-M期权定价模型的推导； ➢ B-S-M期权定价方程的求解过程。
©©中中央央财财经经大大学学期期权权与与期期货货
第十一章 B-S-M期权定价模型——动态复制方法
本章知识结构图
©©中中央央财财经经大大学学期期权权与与期期货货
©©中中央央财财经经大大学学期期权权与与期期货货
第十一章 B-S-M期权定价模型——动态复制方法
第〇节导言
©中央财经大学期权与期货
第〇节导言
期权定价的发展
➢ 1942-1943年，伊藤清定义随机积分 ➢ 1969年，默顿指出几何布朗运动比起布朗运动更适合作为股票价格的模型 ➢ 1973年，布莱克、斯科尔斯、默顿期权定价理论利用了伊藤的随机积分理论和伊藤公式，并在实际市
5、不存在无风险套利机会。
6、证券交易在时间上是连续的。
7、所有资产可以无限细分。
©中央财经大学期权与期货
第一节 B-S-M期权定价模型的假设
模型的假设
➢B-S-M模型假设的数学表达
假设债券的无风险利率为r，则其价格 S0(t) = S0(0)ert 满足dS0(t) = rS0(0)dt
基础资产股票的价格S(t)服从几何布朗运动，
©中央财经大学期权与期货
第十一章 B-S-M期权定价模型——动态复制方法
第二节用动态复制方法推导 B-S-M期权定价偏微分方程
©中央财经大学期权与期货
第二节用动态复制方法推导B-S-M期权定价偏微分方程
动态复制方法
➢构造一个投资策略，使得在到期日时刻的资产价值等于期权的到期收益。

期权及期权定价模型(pdf 115页)

随着有效期的增加，欧式看涨期权和欧式看跌期权的价值并不一定增加。
考虑同一个股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为1 个月，另一个到期期限为2个月。假定预计在6周以后将支付大量的红利，红利会使股票的价格下降，这就有可能使有效期短的期权的价值超过有效期长的期权的价值
波动率volatility
股票的现价S 执行价格，X; 到期期限，T 股票价格的波动率σ；无风险利率r 期权有效期内预计max(ST-X,0) 看跌期权 max(X- ST,0)
到期期限当期权的到期期限增加时，美式看跌期权和看涨期权的价值都会增加。因为有效期长的期权不仅包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而且他的获利机会会更多。因此有效期长的期权价值总是大于或等于有效期短的期权价值。
主要讨论影响股票期权价格的一些因素。我们探讨欧式期权价格、美式期权价格和标的资产价格之间的关系。这些关系中最重要的是看涨期权-看跌期权的平价关系。
讨论美式看涨期权是否应该提前执行。我们可以证明提前执行不付红利股票美式看涨期权决不是最佳选择，即不分红股票的美式买权不可能提前执行。
一影响期权价值的因素：
期权市场机制
期权市场的历史交易:做市商,场内会员经纪人,指令登记员
期权市场的历史
早在18世纪，欧洲和美国开始了首批看涨期权和看跌期权的交易。
20世纪的前几年，一些公司成立了经纪人与交易者协会 (Put and Call Brokers and Dealers Association).—— 柜台交易(over-the-counter market).
期权式单边风险工具，它只保护价格向一个方向变化
期权的风险特征（续）
ST X

期权定价理论

期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。

它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。

这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。

期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。

该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。

布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。

布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。

通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。

这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。

除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。

这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。

需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。

市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。

此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。

总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。

布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。

然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。

期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。

期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。

期权定价-二叉树模型

期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。

二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。

在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。

通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。

期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。

首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。

然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。

在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。

这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。

然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。

通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。

这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。

需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。

首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。

其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。

因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。

总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。

通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。

然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。

期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。

期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。

很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。

因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。

期权定价模型

期权定价模型期权定价模型是金融学中一种重要的定价工具，用于估计期权的合理价值。

期权是金融衍生品的一种，它为买方提供了在未来某个时间以特定价格购买或出售标的资产的权利，而无需承担义务。

期权定价模型的主要目的是通过考虑不同的因素，如标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率、波动率等，来计算期权的合理价格。

传统上，期权定价模型主要分为两类：基于风险中性定价（Risk-neutral pricing）的模型和基于实物资产价格和风险度量的模型。

其中，最著名的模型包括布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型和它的变体。

布莱克-斯科尔斯期权定价模型是由费希尔·布莱克、默顿·米勒和罗伯特·斯科尔斯于20世纪70年代提出的。

该模型基于以下几个假设：1）市场是完全的，不存在交易费用和税收；2）资产的价格满足几何布朗运动；3）没有风险套利机会；4）无风险利率和波动率是已知且恒定的。

根据布莱克-斯科尔斯模型，期权的定价公式如下：C = S(t)e^(-qt)N(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - S(t)e^(-qt)N(-d1)其中，C表示买方购买的看涨期权的价格，P表示买方购买的看跌期权的价格，S(t)为资产在当前时间的价格，X为行权价格，r为无风险利率，t为到期时间，q为股息率，N(d1)和N(d2)为标准正态分布的累积分布函数，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S(t)/X) + (r - q + σ^2/2)t) / (σsqrt(t))d2 = d1 - σsqrt(t)其中，σ为资产的波动率。

布莱克-斯科尔斯模型的优点是计算简单，结果直观易懂。

然而，该模型的假设有时不符合实际情况，特别是在市场不完全时。

因此，研究人员开发了各种变体模型，以修正或扩展布莱克-斯科尔斯模型的假设。

此外，还有其他的期权定价模型，如二叉树模型、蒙特卡洛模拟、期权隐含波动率等。

期权定价模型介绍

C uuM AX[0,u2SK]
Cu
C
C duM A X [0 ,udSK ]
Cd
C ddM A X[0,d2SK ]
图19.4 期权收益的二叉树图
假设有一个投资组合包含了份股票和价值为B的无风险债券，那
么在期末，这个组合的价值会变成（r为无风险利率），
S B
uSrB
以概率q
dSrB 以概率1-q
以此类推
u 2S
uS
S
udS
dS
d 2S
图19.3 资产价格的二叉树图
下面来分析一下以上述资产为标的物的期权的二叉树情况。
在0时刻，期权价格为C；时间为 t 时，期权价格有两种可
能：Cu和Cd ；时间为 2 t 时，期权价格有三种可能
Cuu，Cdu和Cdd。以此类推，图19.4中给出了期权价格的完整树图。在时刻 i t ，期权价格有i+1种可能：
Black-Scholes期权定价模型的一个重要假设是资产价格遵循对数正态分布，即 F(S,t)ln S(t)。将该式与（19.9）式同时代入（19.10）式，有
d lS n (t) ( 1 2 2 )d td(tB )
从而有 Rt lnS((St( t)1))Zt
其中 122，R t 为资产在t期的收益率，Zt B(t)B(t1)i~idN(0,1)
二叉树期权定价模型
衍生证券的有效期可分为n段时间间隔t，假设在每一个时间段内资产价格从开始的S运动到两个新值uS和dS中的一个。其中 u>1,d<1，设价格上升的概率是p，下降的概率则为1-p。在0时
刻，股票价格为S；时间为 t 时，股票价格有两种可能：uS和 dS；时间为 2 t 时，股票价格有三种可能：u2S,udS和d2S ，

6_期权定价的连续模型及BS公式

采用股价模型
代替真正股价
，方差保持不变，且满足下式
于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式
现在的问题是，是否存在这样的？
2015/10/18
45
第五节 Black-Scholes公式的推导
如果令
（5-15）
于是
2015/10/18
46
第五节 Black-Scholes公式的推导
2015/10/18
10
第二节离散模型
该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一个不足之处，即有两个不确定项。第一个漂移项来自
中的
，其作用类似于债券
第二个漂移项来自于
当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即
和货币基金市场中的利率
2015/10/18
11
第二节离散模型
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。对
2015/10/18
37
第四节 Black-Scholes公式
所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。
是否注意到，这一公式中没有出现漂移率：
参数是投资者在短时间后获得的预期收益率，依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。参数是股票价格波动率。
2015/10/18
36
第四节 Black-Scholes公式

简单期权的连续时间模型定价

5.13
B-S公式的基本假设
股票价格遵循“几何布朗运动”的随机过程不存在交易费用和税收交易连续进行，股票高度可分，股票不支付红利不存在无风险套利机会投资者可以在期权生命期内以无风险利率r无限量借入或
贷出资金允许卖空标的证券以欧式期权为前提
金融工程应用技术讲义,Chapter 5,Copyright ©
5.24
参考书目
[1] 约翰霍尔著，张陶伟译：《期权、期货和其他衍生品（第三版）》，华夏出版社2000年
[2] 邵宇著：《微观金融学及其数学基础》，清华大学出版社，2003年
[3] 郑振龙著：《金融工程》，高等教育出版社，2003年
金融工程应用技术讲义,Chapter 5,Copyright ©
第五章
简单期权的连续时间模型定价
本章内容提要
布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展随机过程介绍马尔科夫过程、维纳过程、伊藤过程股票价格的行为模式伊藤引理
金融工程应用技术讲义,Chapter 5,Copyright ©
5.2
布莱克-斯克尔斯公式的提出与发展
Myron Scholes和Fischer Black发表题为“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文，提出了一个连续时间模型条件下复杂的期权定价公式
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
金融工程应用技术讲义,Chapter 5,Copyright ©
5.11
股票价格的行为模式
一个合理的描述股价运动的形式是
dS / S dt dz
上式被称为几何布朗运动离散处理
S / S t t
金融工程应用技术讲义,Chapter 5,Copyright ©