沪教版(上海)高二数学第二学期-13.2 复数的坐标表示-教案
沪教版(上海)数学高二下册-13.3 复数的加减法教案
复数的加减法一、教学目标：1、 掌握复数的加法以及其运算律，理解复数加法与向量加法的关系；2、 掌握复数的减法，理解复数减法与向量减法的关系；3、 会利用复数模的概念，计算平面上两点之间的距离。
二、教学过程：复习：复数的代数表示以及与复数对应的点和向量引入：同过实数加、减的运算结果仍然在实数域内，那么复数的加、减法运算呢？（引出今天上课的主要内容复数的加减法）板书：复数的加、减法；记：)R d 、c 、b 、a (dic z ,bi a z 21∈+=+= 一、 复数的加法：规定)R d 、c 、b 、a (i）d b （）c a （z z 21∈+++=+ 例1、 计算：)i 27()i 41)(1(-++)i 41()i 27)(2(++-i 5)]i 34()i 23)[(3(+++-+-]i 5)i 34[()i 23)(4(+++-+-复数运算律：交换律：1221z z z z +=+结合律：)z z (z z )z z (321321++=++ （学生自己给出证明）例2、 在复平面上，分别标出：i 28、i 2-7、i 41++对应的向量，观察，有何发现？ 复数的加法，可以用对应向量的加法来解释。
二、 复数的减法：（复数的减法可以看成是复数减法的逆运算）)R d 、c 、b 、a (i ）d b （）c a （z z 21∈-+-=-例3、（1）计算：)i 27()i 41(--+（2）在复平面中，标出)i 27(、)i 41(-+以及（1）中运算结果对应的向量，观察，有何发现？复数的减法运算，也可以用其对应的向量减法来解释。
小结：（1） 复数的加、减法运算，就是实部与虚部分别对应相加减。
（2） 复数的加、减法运算，都可以用其对应的向量加、减法来解释。
三、 复平面上两点之间的距离令复平面上)R b 、a (bi a z 1∈+=对应的点为）b ,a （Z 1，)R d 、c (di c z 2∈+=对应的点为）d ,c （Z 22221)d b ()c a (|z z |-+-=-（1） |z z |21-的值可以理解为点1Z 和2Z 的距离；（2）|z z |21-的值也可以理解为对应向量12Z Z 的模。
13.2复数的坐标表示
| z | x 2 y 2 5
5
y
–5 O
5 x
x 2 y 2 25
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
–5
五、模的几何意义
例5.（2）满足 3<|z|<5
(z∈C)的复数z对应的点在复平 5
四、复数的模
例4.求证：下列四个复数在复平面内对应的点 在同一个圆上. 2 2 z1 1 ，z2 i，z3 cos15 sin 15i，z4 i 2 2 2 2 证明： OZ1 1 0 1
OZ 2
Hale Waihona Puke 0 1 12 2
OZ 3
cos 15 sin 15 1
(1) | Z | 1
( 2)2 Re Z 4 ( 3) | Z | 3, Im Z 0
五、模的几何意义
例7、复数Z ( x 1) 2xi, 且满足 | Z | 2, (1)求实数x的取值范围; (2)求 | Z | 的最小值.
六、课堂小结
1.复数的坐标表示；
2.复数的向量表示； 3.复数的模；
y
面上将构成怎样的图形？
设z = x+yi(x、y∈R)
3 x2 y2 5
3
O
5
–5 –3
3
5 x
9 x 2 y 2 25
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
五、模的几何意义
例6、根据条件，在复平面内，画出Z=x+yi,(x,y∈R)对应 的点Z所表示的图形.
沪教版高二数学下期课程目录与教学计划表
沪教版高中数学高二下期课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第11章坐标平面上的直线
11.1直线的方程
11.2直线的倾斜角和斜率
11.3两条直线的位置关系
11.4点到直线的距离
本章综合与测试
第12章圆椎曲线
12.1曲线和方程
12.2圆的方程
12.3椭圆的标准方程
12.4椭圆的性质
12.5双曲线的标准方程
12.6双曲线的性质
12.7抛物线的标准方程
12.8抛物线的性质
本章综合与测试
第13章复数
13.1复数的概念
13.2复数的坐标表示
13.3复数的加法与减法13.4复数的乘法与除法13.5复数的平方根与立方根13.6实系数一元二次方程本章综合与测试。
高二年级数学-寒假教案-复数的概念与坐标表示
高二年级数学-寒假教案-复数的概念与坐标表示排列组合习题巩固1.3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？2.有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有多少种？3. 七个同学排成一横排照相。
（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？复数的概念一、虚数单位：（1）规定，i2=﹣1，即i是﹣1的一个平方根。
我们把形如a+bi（a、b∈R）的数叫做复数。
全体复数组成的集合叫做复数集，用C表示（2）单个复数用z表示，即z=a+bi（a、b∈R），a和b分别叫做复数z=a+bi的实部（Rez）与虚部（Imz）。
b=0时，复数z是实数；b≠0时，z叫做虚数；当a=0且b≠0时，z叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z是实数0.（3）实数集R是复数集C的真子集，即R C例1、判断下列结论是否正确：（1）a、b∈R，则a+bi是虚数；（2）b ∈R ，则bi 是纯虚数；（3）z=a （a ∈R ）不是复数；（4）z=a+bi （a 、b ∈N ﹡）是虚数例2、写出复数2+3i ，﹣3+21i ，﹣31i ，﹣3﹣5i 的实部和虚部，哪个数是纯虚数？例3、实数m 取什么数值时，复数z=m+1+（m ﹣1）i 是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？二、复数相等如果两个复数z 1=a+bi （a ，b ∈R ）和z 2=c+di （c ，d ∈R ）的实部与虚部分别相等，即a=c 且b=d ，那么这两个复数相等，记作a+bi=c+di例4、已知（3﹣10i ）y+（﹣2+i ）x=1﹣9i ，求实数x 、y 的值【练习一】1. 判断下列命题的真假。
泸教版高二下册数学复数的坐标表示教案
泸教版高二下册数学复数的坐标表示教案泸教版高二下册数学复数的坐标表示教案作为一名默默奉献的教育工作者，常常要写一份优秀的教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
那要怎么写好教案呢？下面是小编收集整理的泸教版高二下册数学复数的坐标表示教案，欢迎阅读与收藏。
一、教学目标本课时的教学目标为：①借助直角坐标系建立复平面，掌握复数的几何形式和向量表示；②经历复平面上复数的“形化”过程，理解复数与复平面上的点、向量之间的一一对应关系；③感悟数学的释义：数学是研究空间形式和数量关系的科学、笔者认为，教学目标总体设置得较为适切，符合三维框架、修改：“掌握复数的几何形式和向量表示”改为“掌握在复平面上复数的点表示和向量表示”。
二、教学重点本课时的教学重点为：复数的坐标表示：几何形式与向量表示、教学重点设置得较为适切，部分用词表达配合教学目标一并修改、修改：复数的坐标表示：点表示与向量表示。
三、教学难点本课时的教学难点为：复数的代数形式、几何形式及向量表示的“同一性”、首先，“同一性”说法有待商榷，这个词有着严格的定义，使用时需谨慎、其次，经过思考，复数的代数表示、点表示及向量表示之间的互相转化才是本课时的教学难点。
四、教学过程（一）类比引入本环节通过实数在数轴上的“形化”表示，类比至复数，引出复数的“几何形式”：复平面与点、但在设问中，有一提问值得商榷：实数的几何形式是什么？此提问较为唐突，在试讲课与正式课中学生均表示难以理解，原因如下、①学生最近发展区中未具备“实数的几何形式”，②实数的几何形式是教师引导学生对数的一种有高度的认识与表达，属于理解层面、经过思考，修改：①如何“画”实数？；②对学生直接陈述：我们知道，每一个实数都有数轴上唯一确定的一个点和它对应；反过来，数轴上的每一个点也有唯一的一个实数和它对应。
（二）概念新授本环节给出复平面的定义及相关概念，并且帮助学生形成复数与复平面上点两者间的一一对应关系、教学设计中对概念的注释是：表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，表示虚数的点在四个象限或虚轴上，表示实数的点为原点、经过思考，修改：表示实数的点都在实轴上、实轴上的点表示全体实数；表示纯虚数的点都在虚轴上、虚轴上的点表示全体纯虚数与实数；表示虚数的点不在实轴上；实数与原点一一对应。
13.2复数的坐标表示
a (a 0) | a | = | OA | a(a 0)
z=a+bi Z (a,b)
O
x
2
| z | = |OZ| a b
2
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
复数的模
说明： （1） z 0 ，当且仅当 z 0 时 z 0 ； （2）复数 z 的模表示复数 z a bi a, b R 所对应的点 Z a , b 到原点的距离．
例题讲解
例 5、设 Z C ，满足条件 2 | Z | 4 的点 z 的集合 是什么图形？
的元素是一一对应的， z a bi Z (a, b) ；
一一对应
③复数 z a bi 中 z 的书写是用小写字母，复平面内点
Z (a, b) 中 Z 的书写是用大写字母．
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义: 实数a在数轴上所 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A到原点 O 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 到原点的距离。 a y
例 2、已知集合 A 0,1, 2, ,8,9 ，设复数 z a bi ，
a、b 可以取集合 A 中的任意一个整数．
求： （1）复数 z a bi 共有多少个？
（2）复数 z a bi 共有多少个实数？
（3）复数 z a bi 共有多少个纯虚数？
（4）复数 z a bi 的模等于 1 共有多少个？
例题讲解
例 1、说出下列复数的实部、虚部，并出它们的模： （1） z 5i ； （3） z 5 5i ； （2） z 3 4i ； (4) z cos i sin
（5） z 1 mi(m R) ；（6） z 4a 3ai(a 0) ．
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念 课件 (共14张PPT)
有理数集Q
整数集Z
自然数集N
思考：
在实数范围内，
方程：x2+1=0是否有解？
？
实数
有理数
整数 自然数
课题：复数的概念
虚数单位： i
笛卡尔 1637
欧拉 1777
1、虚数单位i 规定： i 2= －1，即i是-1的一个平方根
2、复数的概念
把形如 a+b i（其中 a、b R）的数称为复数
复数全体所组成的集合叫做复数集C
单个复数通常用z表示，即z=a+b i（ a、b R）
称为复数的代数形式. 并规定0i=0
其中a叫做复数z的 实部 ，记为Rez zabi
b叫做复数z的 虚部 .记为Imz
实虚 部部
练习1、概念辨析：请写出下列复数的实部与虚部
3、复数的分类
对于复数：z=a+b i（ a、b R） （1）当b=0时，z=a,为实数 （2）当b≠0时,z=a+b i，为虚数， （3）当a=0且b≠0时，z=b i，为纯虚数
分别满足下列条件，若存在，求出m的值，若不存在，说 明理由 （1）z是实数 （2）z是虚数 （3）z是纯虚数 （4）z是零
imaginary
特别地，当且仅当a=b=0时，z为实数0
复数集C
实数
虚数
复数集C
实数集R
有理数集Q 整数集Z
自然数集N
典型例题：
求当m为何实数时，复数 z m 2 m 2 (m 2 1 )i 分别是：（1）实数 （2）虚数
（3）纯虚数 (4) 0
练习3、判断是否存在实数m，使复数
zm 22m 15m 2 m 25 m 25 6i
上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第二讲复数的方根与实系数一元二次方程
沪教版数学高二下春季班第二讲课题 复数的方根与实系数一元二次方程单元第十三章 学科数学年级十一学习 目标1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值；2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 教学安排版块 时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根 设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 图1图2三、常见几何图形的复数表达式 复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）615212(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028223(22)112313i i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭． 例题解析【注意】 （1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； （2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； （3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz 得实系数一元二次方程；（不作要求） （4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效； 如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值． 【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -=-+ ． 【难度】★ 【答案】（1）122-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，211022z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++Λ的值.【难度】★★【答案】122i ω=-+时，原式=15-；122ω=--时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x ±=．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=， ∴240t t -+=，∴122t i =±，即1212z z =．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤． 当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根； （2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且022=++y xy x ，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞； 当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =，min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。
高二下册数学教案13.1复数的概念沪教版
复数的概念教学目标：1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；3．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质．教学重点：复数的有关概念,复数的表示和共轭复数的概念；教学难点：复数概念的理解,复数与复平面上点一一对应关系的理解．教学过程一、引入我们知道，对于实系数一元二次方程，当时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？二、授课1．引入数i我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i2= -1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．根据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是．2．复数的概念根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi .形如的数，我们把它们叫做复数．复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有N* N Z Q R C ． 数的分类复数⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧虚数（特例：纯虚数）无理数分数整数有理数实数3.相等复数如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等.即： a,b,c,d ∈R, 则a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d注意：两个复数中若有一个是虚数，则它们不能比较大小. 4．复数的几何表示法任何一个复数 都可以由一个有序实数对(a,b ) 唯一确定．而有序实数对(a,b ) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的．由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应．复平面、实轴、虚轴等概念，并结合实例对这些概念进行一一说明． 由此可知，复数集C 和复平面内所有的点所组成的集会是—一对应的，即这就是复数的几何意义．这时提醒学生注意复数 中的字母z 用小写字母表示，点Z(a,b) 中的Z 用大写字母表示．复数的向量表示. 5．共轭复数（1）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不为0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数． （2）复数z 的共轭复数用 表示，即如果 ，那么．三、例题例1 实数 分别取什么值时，复数226(215)3a a z a a i a --=+--+ 是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。
沪教版高二C专题(复数的概念和坐标表示2星)
专题C ：复数的概念和坐标表示（★★）教学目标1.理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念，理解两个复数相等的概念；2.理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础，掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系.1 min.知识梳理6 min.1.虚数单位i :它的平方等于1-，即：21i =-.（注：实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立）；2.i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -. 3.i 的周期性： 41n ii +=， 421n i +=-，43n i i +=-， 41n i =.4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈ 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.5.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系： N ZQ R C 苘苘.8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =，,b d =.9.复数模的几何意义：对应平面向量oz u u r 的模|oz u u r|，即复数 (,)z a bi a b R =+∈在复平面上对应的点Z(a ,b )到原点的距离；10.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O 为起点，复数z 在复平面内的对应点Z 为终点的向量OZ →，与复数z 一一对应，OZ →的模叫做复数z 的模.典例精讲28min.例1（★★）判断下列结论是否正确： （1）a b R ∈、,则a bi +是虚数； （2）b R ∈，则bi 是纯虚数； （3）=z a 不是虚数；（4）*(,)z a bi a b N =+∈是虚数. 解：（1）、（2）、（3）错，（4）对.巩固练习：判断下列命题的真假： 命题1：20∈≥若z C,则z ；命题2：22,,,()()0,x y z C x y y z x y z ∈-+-===若则； 命题3：,2a R a ∈+若则()i 是纯虚数；命题4：,,00,00p q C p q pq p q ∈>>>+>若且则且.解：命题1，命题2，命题3均为假命题，命题4为真命题.（注：本题目考察学生对复数的概念的理解以及掌握，讲解以互动，提问学生，老师总结的形式）例2（★★）实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =++-是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 解：（1）=1m （2）1m ≠（3）=1m -.巩固练习：m 取何值时，复数226(215)3m m z m m i m -+=+--+.（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 解：（1）=5m ； (2) 5m ≠且3m ≠- (3) =2m -或=3m . （注：题目考察学生对复数的概念的掌握，属于基础题型）例3（★★）已知(310)(2)19i y i x i -+-+=-，求实数x ，y . 解：=1x ，=1y .巩固练习：已知223(1)2()x y i i x yi +-+=-，期中x ，y 都是实数，求复数+x yi . 解：有四种情况：3-3i,3+i,-1-3i,-1+i .若x R ∈，试确定a 取什么实数时，等式2211022ax x i xi x i --=--3成立？ 解： 522111145x x a a ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或.（注：题目考察复数的简单运算以及复数相等的概念，解方程组求x ，y ，注意分类的情况）例4（★★★）求满足221222(1)(3)(2)(33)log m log m i log n log n n i ++->++--的实数m ，n 的取值范围.解：=2m ，=1n -.分析：由梳理知识我们已经知道，虚数只有相等关系，没有大小关系，所以若有12z z >，则隐含有12,z z R ∈这个前提条件.例5（★★★）已知复数213(5)z a a i =-++，221(21)()z a a a i a R =-++-∈，分别对应向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r（O为原点）.若向量121212Z Z (Z Z =z -z )u u u u u r u u u u u r对应的复数为纯虚数，求a 的值.解： 1a =-.巩固练习：在复平面内，已知等边三角形ABC 的两个顶点AB所表示的复数分别为122+和2，求第三个顶点的坐标.解：12,2or +.课堂检测：1.（★★）已知z i =-1，则在复平面上与iz 对应的点所在的象限是 （ ）A .第一象限；B .第二象限；C .第三象限；D .第四象限. 解：B .2.（★★）将复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转512π，再把它的模变为原来的2倍，则与所得到的 向量对应的复数是（ ）A .-+3i ；B .--3i ；C .3-i ；D .3+i .解：C .3．（★★）复数2(1)(35)2(23)i m i m i +-+-+时纯虚数时，实数m 的取值为 4 或-1 . 4．（★★）=0a 是复数=+z a bi 是纯虚数的 必要 条件（必要，充分，充要）.5．（★★）如果210(7)z a a i a R =+-∈（），Rez=Imz ，则a = 2或5 . 6.（★★）求下列各等式的x ，y ：（1）22()(24)138x y x y i i ++-=-； （2）22()22x y xyi i -+=-；（3）22(1130)(6)0x x y y i -+++-=. 解：（1）1825,135x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或；（2）11,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或； （3）5566,,3232x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩或或或. 7.（★★★）若复数()()21+4a a i -- (i 为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数a 的范围为 .解：本题考查复数概念以及不等式组解法等问题.由题意知21-<0-4<0a a ⎧⎨⎩,解之得1<<2a .答案：(1，2) .回顾总结5min.1.复数的分类:复数=+z a bi (),a b R ∈中，z 是实数⇔ b=0 ；z 是虚数⇔ b ≠0 ；z 是纯虚数⇔=00a b ⎧⎨≠⎩2.+a bi 与a bi -(),a b R ∈互为共轭复数；3.两个复数相等的充要条件：+=+a bi c di (),,,a b c d R ∈ ⇔=a c 且=b d .特别+=0a bi (),a b R ∈⇔=0a 且=0b .（注：两个复数不全是实数，就不能比较大小，只有相等与不相等的关系） 4.若复数()()24+3+1a a a i --是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A .1；B .3；C .1或3；D .－1.解：选B .。
沪教版高中数学高二下册 -13.2 复数的坐标表示(1)教案设计
13.2（1）复数的坐标表示一、教学目标设计1、掌握复平面的概念、复数集与复平面上点的集合之间的一一对应关系；2、理解复数与向量之间的对应关系；3、进一步运用类比思想.二、教学重点及难点复平面上的点集和复数集之间的一一对应关系.复数与复平面的向量的一一对应关系的理解三、教学过程设计一、复习引入1.复数z＝a+bi与有序数对（a，b）之间存在一一对应的关系.2.复习有序实数对（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）间的一一对应关系,3.讨论复数z＝a+bi与直角坐标平面内的点z（a，b）之间的关系，从而引入复平面及其相关概念.[说明]通过复习直角坐标系类比学习复平面，学生可以类比学习知识，这是数学中很常用的思想方法.而且通过类比思想得到的知识，即便是新知，但也可以和以前的知识联系起来.这里可以设计这样的问题“已知有序实数对（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）一一对应，那么复数z＝a+bi与有序数对（a，b）是否也是一一对应呢？”学生很容易理解复数z＝a+bi和平面上的点一一对应，从而引入复平面及相关概念，这样平面和数的理解就变成简单的回忆.二．学习新课1.建立复平面，并规定实轴，虚轴，讨论实数，虚数，纯虚数与复平面上的点的对应关系，特别要指出虚轴上原点所表示的数不是纯虚数，而是实数零.2.例题分析例1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，设复数z＝a+bi，a，b 可以取集合A中的任意一个整数，问1）复数z＝a+bi共有多少个？2）复数z＝a+bi中有多少个实数？3）复数z＝a+bi中有多少个纯虚数？例2.辨析：下列命题中的假命题是（）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。
[说明]最后一个命题是错误的，其他命题都是正确的，用以考察学生对前面复平面概念的理解.例 3.复平面内表示复数3+4i 的点关于实轴对称的点所对应的复数是_________；关于虚轴对称的点所对应的复数是_________；关于原点对称的点所对应的复数是_________。
数学13.2复数的坐标表示教案2沪教版高中二级第二学期
13.2（2）复数的坐标表示一、教学目标设计理解复数的模（绝对值）的概念及它与实数绝对值的关系，并会求复数的模.渗透数形结合的数学思想．二、教学重点及难点复数的模在复平面上的几何意义及求复数的模.三、教学用具准备多媒体设备四、教学流程设计五、教学过程设计一、类比引入1.复习13.2（1）的内容，实数绝对值的定义，几何意义.2.类比猜测复数模（绝对值）的定义，几何意义.[说明]这里由于还没有学习复数的运算，共轭复数的概念.因此在模的学习中，还是以简单的运算和几何意义为主，因此为了加强几何意义的理解，从实数绝对值的几何意义入手，因为实数的几何意义是数轴上的点到原点的距离，让学生猜测复数的“绝对值”的几何意义，学生应该很容易猜测到复平面上的点到原点的距离.再从几何意义上距离的理解又很容易得到模的运算公式就是距离公式.最后只需交代在复数这里更多时候说的是复数模，这样，这部分内容就变成了给绝对值取了个新名字，其他知识都是顺理成章的.二．学习新课1.学习复数模的定义|z|=|a+bi|=22b a +.2.|z|的几何意义.通过|z|＝2，|z|<4, 2<|z|<4等一系列相似但不相同的问题，帮助学生巩固概念，加深对模的理解.3.体会z ＝a+bi, |z|与向量OZ 的模|OZ |两者之间的关系.4.例题分析例3.求下列复数的模1）z 1=3+4i2）z 2＝i 221-- 3）z 3＝icos θ+sin θ[说明]这里增加第3小题，出现字母的情况.课堂小练习：求复数z 1=3+4i 及z 2=-1+2i 的模，并比较它们的大小例4. 求证：复平面内分别和复数z 1＝1，z 2＝-i ，z 3＝cos150+sin150i ，z 4＝i 2222+对应的四点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4共圆.三、巩固练习课本p78 T3.4复平面内，方程|z|2+2|z|-3＝0所表示的轨迹是什么？（|z|＝1，一个圆）[说明]进一步理解复数模的一些性质，为什么这里要舍去一解等等.四、课堂小结1. 复数模的定义，几何意义.2. 会求复数的模.五、作业布置：课本p78 T5 练习册 p47 T3 p48 T5，6补充作业：1212z ,,,,||||6,x yi z x yi x y R z z ==∈+=已知：求x 、y 满足的等式.（答案：14y 9x 22＝+） 已知：z 1=x 2+12+x i ，z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围.答案：(－1，12] 六、教学设计说明这节课主要是认识、掌握复数模的概念，通过对已有的实数的绝对值概念的拓展，对复数的模从“数”和“形”的两个角度进行理解和学习.在第一堂课的设计中更加偏重一点“形”，在直观的基础上，对抽象的概念理解和运用才会水到渠成。
沪教版(上海)数学高二下册-13.1复数的概念(课件)
解：由已知得：
x x
y 2x5 2y 3x y
x
y
3 2
2、已知 2x 1 i y 3 yi 其中x，
y∈R，求x与y
• 解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y
• 1 3 y
得
x
5 2
y 4
课堂练习：
1、(2015年高考)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是 虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C ) A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.∅
整数集
有理数集
实数集
分数
，
无理数
，
开 方，
+×
+× ÷
+×
+×
，
，
，
，
乘
乘
乘
乘
方
方
方
方
，
，
，
减
减
减
法
法
法
，
，
÷
，
探究问题二：数系扩充中，有什么共同特点？
①增添了新元素； ②原有的一些基本关系和运算法则在新数集里 仍能运用； ③新数集解决了原数集一些不能解决的问题.
类比推理的数学思想
自然数 整数 有理数 实数
是：
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 (4) 0
五、复数相等
探究问题四：如何定义两个复数相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
若a,b,c,d ∈R,
,则 a+bi = c+di 反之,也成立.
转化化归和方程的思想，变未知为已知。
例题赏析(学生探究)
例2、已知 (x y) (x 2y) i (2x 5) (3x y) i 其中 x, y R ,求 与 ．
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的基本概念 教案
§13.1复数的基本概念[教学目标]1、知道数集扩展的意义及扩展的基本原理；掌握虚数单位i 的意义，掌握复数及其有关概念；掌握两复数相等的充要条件；2、从一元二次方程中引出复数的概念，介绍数集的发展。
3、体会数学内部的矛盾和运动对数学发展的作用。
[教学重点和难点] 虚数单位i 的意义 [教学过程]一、数集的扩展在自然数集中，方程a x b +=并不总能求解，添加负数成为整数集Z ； 在整数集Z 中，方程ax b =并不总能求解，添加分数成为有理数集Q ；在有理数集Q 中，方程220x -=没有解，添加无理数成为实数集R ； 在实数集R 中，方程210x +=没有解，添加虚数单位i 成为复数集C ，使得此方程有解。
i 叫做虚数单位，并规定： （1）21i =- ； （特定的字母 i R ∉）（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立 2()1i -=-，所以-1的平方根为i ±i =±）二、对i 与实数的运算（同x 的运算）三、复数的引入及相关概念 1、形如(,)z a bi a b R =+∈的数，我们把它们叫做复数． 复数a +bi (a , b ∈R )由两部分组成，实数a 称为复数z 的实部，记作Re z a =；实数b 称为复数z 的虚部，记作Im z b =例1、指出下列复数的实部和虚部 （1）134z i =-;（2）2z =;(3) 3cos sin z i θθ=+;(4)4z 2、对于复数(,)z a bi a b R =+∈当b =0时，z a =就是实数， 当b ≠0时，z a bi =+是虚数，其中a =0且b ≠0时z bi =称为纯虚数。
例2、已知复数22(1)(2)()z m m m i m R =-+--∈，当m 取何值时，z 是：（1）实数；（2）虚数；（3）春虚数；（4）0？解：（1）2201,2m m m orm --=⇒=-= （2）2101m m -=⇒=±(,)z a bi a b R =+∈ 叫做代数式实部和虚部都是实数注意：a =0仅是复数z a bi =+ 为纯虚数的必要条件，若a =b =0，则a +bi =0是实数（3）2210120m m m m ⎧-=⇒=⎨--≠⎩ （4）2210120m m m m ⎧-=⇒=-⎨--=⎩ 练习1．当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：（1）即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得m =2，∴ m =2时，z 为实数。
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复数的坐标表示
【教学目标】
掌握复平面的概念、复数集与复平面上的点的集合之间的一一对应关系，进一步运用类比思想。
【教学重难点】
（1）重点：复平面上的点集和复数集之间的一一对应关系。
（2）难点：复数与复平面的向量的一一对应关系的理解。
【教学过程】
（一）复习引入
复习直角坐标系及一对有序的实数（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）间的一一对应关系。
讨论复数z＝a+bi与有序数对（a，b）的关系及直角坐标平面内的点z（a，b）之间的关系，从而引入复平面及其相关概念。
说明：通过复习直角坐标系类比学习复平面，学生可以类比学习知识，这是数学中很常用的思想方法。
而且通过类比思想得到的知识，即便是新知，但也可以和以前的知识联系起来。
这里可以设计这样的问题“已知有序实数对（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）一一对应，那么复数z＝a+bi与有序数对（a，b）是否也是一一对应呢？”学生很容易理解复数z＝a+bi和平面上的点一一对应，从而引入复平面及相关概念，这样平面和数的理解就变成简单的回忆。
（二）学习新课
1．建立复平面，并规定实轴，虚轴，讨论实数，虚数，纯虚数与复平面上的点的对应关系，特别要指出虚轴上原点所表示的数不是纯虚数，而是实数零。
2．概念辨析：
在复平面内，对应于实数的点都在实轴上。
在复平面内，对应于虚数的点都在虚轴上。
在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数。
在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。
说明：最后一个命题是错误的，其他命题都是正确的，用以考察学生对前面复平面概念的
理解。
3．例题分析
已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，设复数z ＝a+bi ，a ，b 可以取集合A 中的任意一个整数，问
（1）复数z ＝a+bi 共有多少个？
（2）复数z ＝a+bi 中有多少个实数？
（3）复数z ＝a+bi 中有多少个纯虚数？
课堂小练习：课本。
在复平面内，若所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围。
答案：(3，4)
4．复数的向量表示。
研究复数z ＝a+bi ，复平面上对应点Z （a ，b ），向量三者之间的关系，这里主要研究向量和前两者的关系。
在复平面内以原点为起点，点Z （a ，b ）为终点的向量，由点Z （a ，b ）唯一确定。
因此复平面内的点集与复数集C 之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应，常把复数z=a+bi 用点Z （a ，b ）或向量表示，并规定相等向量表示同一复数。
5．例题分析
例2．在复平面上做出表示下列复数的向量
z1＝2+2i ，z2＝-3-2i ，z3＝2i ，z4＝-4，z5＝2-2i
（三）巩固练习。
（四）课堂小结
复平面的基本概念。
复数向量的表示。
【作业布置】
已知：复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围。
答案：（-0.5，0）
i i m i m z 6)4()1(2-+-+=OZ OZ OZ i m m m m m m m z 62
232222-+++---=
【教学反思】
这节课主要是把复数从数到形的一个形态转换，由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想。
因此在例题和练习的选择上以基本概念练习为主，加强概念的理解。
同时在练习上也以及时练习为主，在每个例题后面都配了相关的练习，为的也是能够及时巩固知识。