概率统计(1)(1)

考试试卷（考试时间：１２０分钟）科目：概率论与数理统计 适用专业：全校各专业查表数据： 9772.0)00.2(=Φ975.0)96.1(=Φ95.0)645.1(=Φ952.0)66.1(=Φ一、填空题、)8163('=⨯'１、已知31)(=A P ，41)(=A B P ，61)(=B A P ，则=⋃)(B A P ２、设A ,B 相互独立，且91)(=B A P ，)()(B A P B A P =，则()P A = ３、已知X 的概率密度为2)1(1)(--=x ex f π，则=)(X D４、已知)9,0(~N X ,)4,0(~N Y ,相关系数25.0-=XY ρ，则ov(,)C X Y =５、样本4321,,,X X X X 取自于总体)1,0(N ，则统计量∑=412i iX 服从６、设总体)5.1,(~2μN X ,现从总体中抽取容量为9的样本,其样本均值12.34x =,则μ的置信度为05.0=α的置信区间为二、 )01('某厂生产的一类产品中90%是正品，其余为废品。

用某种方法进行质量检查时，误认正品为废品的概率为2.0，而误认废品为正品的概率为3.0。

求检验结果为正品的一种产品确实是正品的概率。

三、)51('设连续型随机变量X 的概率密度函数为：(1),01()0,Ax x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它 试求：① 系数A . ② X 的分布函数. ③ {0.10.5}P X <<四、)01('袋中装有2只白球及3只黑球，现从中摸球两次，每次摸一只，进行有放回的摸球,定义下列随机变量:⎩⎨⎧=第一次摸出黑球第一次摸出白球,0,1X ⎩⎨⎧=第二次摸出黑球第二次摸出白球,0,1Y求),(Y X 的联合分布律及边缘分布律，写出计算过程，最后结果用下面表格表示：五、)01('设随机变量X 的概率密度函数为：22()x f x x -=-∞<<+∞,求Y X =的概率密度.六、)21('有48道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的。

规定选择正确得1分，选择错误得0分。

假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，问他的得分X 服从何种分布？并用中心极限定理计算他的得分能够超过18分的概率。

七、)01('设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它;010;)(1x x x f θθ其中0>θ是未知数，n X X X ,,21是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，求θ的矩法估计量和极大似然估计量。

八、)01('乙方要接收甲方的一批货物手机充电器，要考察的指标是其输出电压X ，已知总体)2,(~2μN X ，合同规定μ应为5（伏特），取05.0=α。

现在抽样得16个样本值，算出4x =（伏特）。

现在：甲方认为μ就是5（伏特），因为抽样总是有随机误差，应接受这批产品；而乙方认为x 与5（伏特）相差太大，无法接受这批产品。

请你用所学知识作出判决。

九、(7)'设随机变量X 和Y 独立，都在区间[]1,3上服从均匀分布；引进事件{},{}A X a B Y a =≤=>。

（1）已知7()9P A B ⋃=，求常数a ；（2）求1X 的数学期望。

试卷一答案：一、填空题：(每空3分,共18分)1、3/42、2/33、1/24、-1.55、)4(2χ6、[11.36 13.32]二、(共10分)解: P(A)=0.75 …………………………………………… (5分)P(B|A)=0.72/0.75=24/25=0.96 …………………….(5分)三、(共15分)解: A=6 ……………………………………………………(5分)⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤-<=x x x x x x F 11102300)(32……………………………(5分)472.0}5.01.0{=<<X P ………………………………… (5分)四、(共10分五、(共10分) }{}{)(y X P y Y P y F y ≤=≤=…………………………………… (2分)当0≤y 时，0)(=y F y ………………………………………(2分)当0>y 时 ，)()(}{)(y y y X y P y F y -Φ-Φ=≤≤-=…………(3分)⎩⎨⎧>≤=0)(200)(y x y y f Y ϕ………………………………………….(3分)六、(共12分))4/1,48(~B X …………………………………………(5分)P{S>18}=)00.2(1}31218312{Φ-=->-S P =1-0.9772=0.0228…. (7分)七、(共10分)矩法估计量：xx-=1ˆθ……………………………….(5分)极大似然估计为:∑=-=ni ixn1ln ˆθ………………………………(5分)八、(共10分)0H ：5=μ 1H ：5≠μ……………………………………………(3分)拒绝域：2ασμu nX >- ……………………………………………(3分)2-=u 2αu u >拒绝0H ……………………………………………(4分)九、 125/3,7/3a a ==……………………………………………(3分)1()ln 32E X =……………………………………………(4分)湖南城市学院考试试卷（考试时间：１２０分钟）科目：概率论与数理统计 适用专业：附表：,0.9394)(1.55,95.0)645.1(,975.0)96.1(,8413.0)1.0(=Φ=Φ=Φ=Φ.9214.0)414.1(,5.0)0(=Φ=Φ一．填空题：（每空3分，共18分）1. 设事件A 与B 相互独立，5.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)|(B A P .2．设随机变量X 的概率密度为||)(x ke x f -=，+∞<<∞-x ，则=k . 3．若 ()2,2~σN X ，且{}3.042=<<X P ，则{}=<0X P .4．已知随机变量)1(~πX （泊松分布），)2.0,25(~B Y ，且X 与Y 相互独立，则()=+-432Y X D .5．若样本 921,,,X X X 取自总体),(2σμN ，X ，2S 分别代表样本均值和样本方差，则S )X3(μ－ 服从 分布.6．设n X X X ,,,21 是总体 ()θ,0~U X 的一个样本，X a =θˆ是参数θ的无偏估计，则=a .二．（11分）某电镀车间据以往的资料表明，当电流稳定时优质品率为60%，当电流波动时优质品率为20%，通常电流稳定的概率为0.8.某日从这些产品中任取一件进行检验，求：（1）取出的这件产品不是优质品的概率；（2）若已知取出的不是优质品，问该日电流稳定的概率是多少？三．（11分）袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取一只，如果是黑球则不放回，而从袋中重新取一只球，直到取出白球为止.以X 表示直到取出白球为止时所需的取球次数.求：（1）X 的分布律；（2）分布函数)(x F ；（3）{}31<≤X P .（注：本题答案用最简分数表示）四．（11分） 设随机变量)1,0(~N X ，求2X Y =的概率密度.五．（11分）设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e y f yY ，求：（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设关于a 的二次方程为022=++Y Xa a ，求此方程有实根的概率.六．（11分）在次品率为 61的一大批产品中，任意抽取360件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在50与70之间的概率.七．（11分）设总体X 的概率密度为 ⎩⎨⎧<<+=其它,010,)1()(x x x f θθ，n 21X X X ，，， 是来自总体X 的一个样本，求未知参数θ的矩估计量和极大似然估计量.八．（10分）某种零件的长度服从正态分布，方差21.12=σ.现从零件堆中随机抽取6件，测得长度（单位：毫米）为: 32.46 31.54 30.10 29.76 31.6731.23问：当显著性水平为05.0=α时，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？九．（6分）游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层 起行。

假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在)60,0(内均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.一、填空题（3分⨯6＝18分）1、0.6，2、21，3、0.2，4、40，5、)8(t ，6、2二、令{}质品取出的这件产品不是优=A ，{}电流稳定=1B ，{}电流波动＝2B ，则1B 、2B 是一划分，且8.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，4.0)|(1=B A P ，8.0)|(2=B A P .（2分）则（1）由全概率公式有48.08.02.04.08.0)|()()(21=⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P （7分）（2）由Ba y e s 公式有667.03248.04.08.0)()|()()|(111≈=⨯==A PB A P B P A B P （11分）三、（1）由题知，X 所有可能的取值为1，2，3，4，且{}851==X P {}56155832=⨯==X P{}5657233=⨯⨯==X P {}5611172834=⨯⨯⨯==X P故所求的分布律为（5 分）（2）由概率的有限可加性，得分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=15655282550)(x F 44332211≥<≤<≤<≤<x x x x x （8分） （3）{}{}{}28252131==+==<≤X P X P X P （11分）四、由)1,0(~N X 知)(21)(22R x ex f x X ∈=-π（2分）又{}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=2)(，故 当0≤y 时：0)(0)(=⇒=y f y F Y Y （5分）当0>y 时：{})()()(y F y F y X y P y F X X Y --=≤≤-=[])()(21)()(y f y fyy F y f X XY Y -+='=⇒22121y ey --=π（10分）即⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--00021)(221y y e y y f y Y π（11分）五、（1）由)1,0(~U X 知：⎩⎨⎧=,0,1)(x f X 其他10<<x （2分） 又X 与Y 相互独立，故所求联合概率密度为其他0,10,0,21)()(),(><<⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=-y x e y f x f y x f yY X （4分）（2）由于22044X Y Y X ≤⇒≥-∆＝. 故方程有实根的概率为{}dxe dx dy e dxdy y xf X Y P x yx x y ⎰⎰⎰⎰⎰--≤-===≤102122)1()21(),(222（7分）[]1448.0)0()1(21212112110222≈Φ-Φ-=-=-=--⎰⎰πππdx edx ex x （11分）六、令X 表示抽取的产品中次品的件数，则)61,360(~B X ， 则6061360)(=⨯=X E ， 506561360)(=⨯⨯=X D ，由中心极限定理有 （6分）{})2()2(50607050605060507050-Φ-Φ≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<X P X P8428.01)2(2=-Φ= （11分）七、（1）由题有21)1()1()(1110++=+=⋅+=+⎰⎰θθθθθθdx x xdx x X E令∑===ni i X n X X E 11)(得θ的矩估计量为X X --=112ˆθ（5 分） （2）似然函数为θθθθθ)()1()1()()(2111n n i ni n i i x x x x x f L +=+==∏∏==∑=++=ni i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ. 似然方程为 0ln 1)(ln 1=++=∑=ni i x nd L d θθθ解得θ的极大似然估计量为 ∑=--=ni i X n1ln 1ˆθ （11分）八、要检验的假设为 50.32:0=μH 50.32:1≠μH ，检验统计量为)1,0(~50.32N nX U σ-=（4分）拒绝域为 2αu u ≥，计算统计值得 13.31=x ，05.361.150.3213.3150.32-=-=-=nx u σ （8分）查表知 96.1025.0==u u α，执行统计判决 96.105.3αuu =>=，故拒绝0H ，即认为这批零件的平均长度不足32.50mm . （10分）九、因为⎩⎨⎧<<=其他,0600,601)(x x f . 令游客等候时间为Y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----=56055255X XXX Y 6055552525550<<≤<≤<≤<X X X X （3分） 故67.11606560556025605)(6055552525550=-+-+-+-=⎰⎰⎰⎰dx xdx x dx x dx x Y E （6分）湖南城市学院考试试卷（考试时间：１２０分钟）科目：概率论与数理统计 适用专业：一．单项选择题(每小题3分，满分15分)1.设A 和B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是 【 】 (A ) )()(A P B A P = (B ))()(A P AB P = (C ))()(B P A B P = (D ))()()(A P B P A B P -=-2.以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示 【 】 (A )甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B )甲乙两种产品均畅销 (C )甲种产品滞销 (D )甲种产品滞销或者乙种产品畅销3.设随机变量X 的数学期望a X E =)(，b X E =)(2，c 为一常数，则=)(cX D 【 】 (A )c (a －b 2) (B )c (b －a 2) (C )c 2(b －a 2) (D )c 2(a －b 2)4.设X 和Y 为两个随机变量，已知0),cov(=Y X ，则必有 【 】 (A )X 和Y 相互独立 (B ))()()(Y D X D XY D = (C ))()()(Y E X E XY E = (D )以上都不对5.设样本n X X X ,,,21 来自正态总体),0(2σN ，以下的统计量可以作为2σ的无偏估计量的是 【 】(A )∑=n i i X n 121 (B )∑=-n i i X n 1211(C )∑=n i i X n 11 (D )∑=-ni i X n 111二．填空题(每空3分，满分15分)1.设A 、B 、C 为三个事件，则事件“A 发生，B 与C 不发生”可以表示成 .2.设A 、B 为两相互独立的事件，6.0)(=B A P ，4.0)(=A P ，则=)(B P .3.设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0001)(x x e x F x , 则}1{≤X P = . 4.已知随机变量Y X ,的方差分别为49)(=X D ，64)(=Y D ，它们的相关系数8.0=XY ρ，则=+)(Y X D ，=-)(Y X D .三．(12分) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为0.01和0.02，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是多少？四．(12分) 设连续型随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.0,10)(2其它x Ax x f 求（1）A ； （2）X 的分布函数)(x F ； （3）)3.01.0(≤<X P .五．（10分）设随机变量X 在)2,1(上服从均匀分布，试求随机变量2X Y =的数学期望)(Y E 和方差)(Y D .),(Y X(1)求的边缘分布律； (2)判断X 与Y 是否独立？七．（12分）在每次试验中，事件A 发生的概率是0.4，利用切比雪夫不等式估计在1000次试验中，事件A 发生的次数在300至500之间的概率. 八．（12分）设总体X 具有概率密度⎩⎨⎧<<=-其它010)(1x x x f θθ）0(>θ.(1)求θ的矩估计； (2)求θ的极大似然估计.一．单项选择题(每小题3分，满分15分) 1. A ； 2. D ； 3. C ； 4. C ； 5. B . 二．填空题(每空3分，满分15分)1. A B C ；2. 31； 3. 11--e ；4. 202.6；23.4. 三．A ={取到的产品是由A 厂提供的}； B ={取到的产品是由B 厂提供的}； C ={取到的是次品}. (1分) 则B A ,是样本空间的一个划分.%60)(=A P , %40)(=B P , 01.0)(=A C P , 02.0)(=B C P . (5分) 由全概率公式%4.102.0%4001.0%60)()()()()(=⨯+⨯=+=B C P B P A C P A P C P . （9分）由贝叶斯公式73%4.101.0%60)()|()()|(=⨯==C P A C P A P C A P . （12分） 四． （1）3)(1102A dx Ax dx x f ===⎰⎰+∞∞- ∴3=A （3分）（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<==⎰∞-111000)()(3x x x x dt t f x F x（8分）（3）{}026.01.03.0)1.0()3.0(3.01.033=-=-=≤<F F X P （12分） 五．由条件知X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其他,02x ,11x f （2分） ()37)(21222====⎰⎰+∞∞-dx x dx x f x X E EY . (6分)()531)()(214442====⎰⎰+∞∞-dx x dx x f x X E Y E .453437531))(()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D . （10分）六．(2) 由表可知2.0}1,1{===Y X P , （1分）18.06.03.0}1{}1{=⨯===Y P X P , （3分）于是}1{}1{}1,1{==≠==Y P X P Y X P ，根据独立性的定义可知X 与Y 不独立.（7分）七．X 表示1000次试验中事件A 发生的次数, 则X ~ )4.0,1000(b . （2分） 4004.01000)(=⨯=X E , 2406.04.01000)(=⨯⨯=X D . （5分）由切比雪夫不等式{}2)(1)(εεX D X E X P -><-，可得 （9分）{}976.01002401100400}500300{2=-><-=<<X P X P . （12分）八．（1）矩估计：1)(101+==⎰-θθθθdx x x X E ， （2分）令x X E =)(，得x x-=∧1θ. （5分）(2)极大似然估计：∏=-=ni ix L 11)(θθθ, （7分）∑=-+=ni ix n L 1ln )1(ln )(ln θθθ, （8分）令 0ln )(ln 1=+=∑=ni i x n d L d θθθ, 得∑=-=ni ixn1ln θ. （12分）湖南城市学院考试试卷（考试时间：１２０分钟）科目：概率论与数理统计 适用专业：一、单项选择题（每小题2分，计20分）1.在下列四个条件中，能使)()()(B P A P B A P -=-一定成立是（ ） A 、B A ⊂ B 、A 、B 独立 C 、A 、B 互不相容 D 、A B ⊂2.设在每次试验中，事件A 发生的概率为)10(<<p p ，p q -=1，则在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率是（ ）A 、n pB 、n qC 、n p -1D 、nq -13.设C B A ,,三个事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是（ ） A 、A 与BC 独立 B 、AB 与C A 独立 C 、AB 与BC 独立 D 、B A 与C A 独立4.设随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则随σ的增大，概率{}σμξ<-PA 、单调增大B 、单调减小C 、保持不变D 、非单调变化5.将一枚硬币重复掷n 次，以ξ和η分别表示正面向上和反面向上的次数，则ξ和η的相关系数等于A 、-1B 、0C 、21D 、16.设ξ与η是任意两个相互独立的连续随机变量，它们的概率密度分别为)()(21x p x p 和，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则 （ ）A 、)()(21x p x p +必为某一随机变量的概率密度B 、)()(21x p x p ⋅必为某一随机变量的概率密度C 、)()(21x F x F +必有某一随机变量的分布函数D 、)()(21x F x F ⋅必有某一随机变量的分布函数 7.设母体`ξ～)1,(μN ，其中μ为未知参数，n ξξξ 21,为来自母体ξ的一组字样，记∑==ni i1ξξ，则（ ）不是统计量A 、ξB 、∑=-n i i n 12)(1ξξ C 、{}in i ξ≤≤1min D 、∑=-n i i n 12)(1μξ8.设n ξξξ 21,是来自正态母体ξ～),(2σμN 的一组字样，∑==ni i n 11ξξ，∑=-=ni i nn S 122)(1ξξ，则下列结论中，错误的是（ ）A 、μξ=EB 、n D 2σξ=C 、n σμξ-～)1,0(ND 、22)1(σS n -～)1(2-n x9.设母体ξ～)1,(μN ，n ξξξ.,21 为来自母体ξ的一组子样，记2113231ˆξξμ+=，2124341ˆξξμ+=，2132121ˆξξμ+=，2115352ˆξξμ+=，在这四个μ的无偏估计量中，最优效的是（ ）A 、1ˆμB 、2ˆμC 、3ˆμD 、4ˆμ 10.在假设检验问题中，显著性水平α的意义是（ ）A 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝0H 的概率B 、原假设0H 成立，经检验拒绝0H 的概率C 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝0H 的概率D 、原假设0H 不成立，经检验拒绝0H 的概率 二、填充题（每空1分，计12分）1.设C B A ,,为三个事件，则“C B A ,,中至少有一个发生”可表示为 。