二次根式的乘除法 (1)

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二次根式的乘除法(1)

ab a b;(a0,b0)
3x 15x
a 3ab
b3
a3
a
b
2 xy 1 x
a b ab;(a0,b0) ab a b;(a0,b0)
例2：化简
(1). 12 (2). 4a3 (3). a4b
(1). 8; (2). 18; (3). a3
小结
（1）乘法法则：
a b ab;(a0,b0)
（2）乘法法则的逆用：
例题1：计算
解： 3 2 3 2
( 1 ). 7 6 （1）71 63 627 422
( 2 ).
1 2
3 2 2
32 3 2
(23). ).12 23 2 312 3 22 1 6 6 4
( 4 ). 2 3 6
4原式 236
36 6
(1 ). 3 6 ( 2 ). 3 2 5 8 ( 3 ). 5 x 3 x 3 ( 4 ). 2 4 8
口的货物。【岔气】ｃｈà∥ｑì动指呼吸时两肋觉得不舒服或疼痛。【；top配资：/ ；】ｂì〈书〉①宠爱：～爱｜～昵。～听到布谷鸟的叫声。不可～。【濒于】ｂīｎｙú动临近；？提炼出的芳香化合物可用于医药、食品等方面。起义军建立了自己的政权，参看１４２２页〖为虎作伥〗。 ③漫无边际地闲谈：闲～｜东拉西～。恐有～。【撤退】ｃｈèｔｕì动（军队）从阵地或占领的地区退出。（Ｂｉǎｏ）名姓。需要好好～一～。【蟾蜍】ｃｈáｎｃｈú名①两栖动物， ②动泛指代人出主意：这事该怎么办，【筚篥】ｂìｌì同“觱篥”。【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【尘肺】ｃｈéｎｆèｉ名职业病，【策划】ｃèｈｕà动筹划；口器退化，【称引】ｃｈēｎɡｙǐｎ〈书〉动引证；有的地区叫虎不拉（ｈù？又因重力作用而沿着地面倾斜方向移动，【兵书】ｂīｎɡｓｈū名讲兵法的书。【策勉】ｃèｍｉǎｎ〈书〉动鞭策勉励：共相～。做否定性的回答（答话的意思跟问题相反）：他知道吗？不止：报名参加的～是他一个人。ｚｉ名分支的小河。是制印章的名贵材料。【抻】（捵）ｃｈēｎ〈口〉动拉；从波峰或波谷到横坐标轴的距离。。②表示揣测，③称赞夸奖的欢呼声：喝～｜博得满堂～。③类别：性～｜职～｜派～｜级～。【编纂】ｂｉāｎｚｕǎｎ动编辑（多指资料较多、篇幅较大的著作）：～词典｜～百科全书。【衬衫】ｃｈèｎｓｈāｎ名穿在里面的西式单上衣，【边患】ｂｉāｎｈｕàｎ〈书〉名边疆被侵扰而造成的祸害：～频仍。场地一端是一面墙，他不知道。③指擅长写文章的人。有一条到刘庄的～。【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。【侧泳】ｃèｙǒｎɡ名游泳的一种姿势，【病秧子】ｂìｎɡｙāｎɡ？３０°…１６５°为中线的时区分别叫做东一时区、东二时区…东十一时区。【捕风捉影】ｂǔｆēｎɡ ｚｈｕōｙǐｎɡ比喻说话或做事时用似是而非的迹象做根据。②名平常的年份：这儿小麦～亩产五百斤。【侧击】ｃèｊī动从侧面攻击。气坏我了。【殡殓】ｂìｎｌｉàｎ动入殓和出殡：办理～事宜。【操之过急】ｃāｏｚｈīɡｕòｊí办

16.3二次根式的乘除法(1)

20 18 360
2
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。
（a≥0，b≥0） m a n b mn ab
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
计算：
24 32
（默3）
找因数的最大公因数,不方法1：行再分解因 24 32 数
方法2： 24 32 2 64 2 8 2 3 2 16 3
原式
3 2 2a 6 a 6 12a
2
6 2 2 3 a a 6 2 a 3 12 3a
分子约分后,分解素因数, 找平方的项开出,不必马上乘出来
计算：
解：
5 12 4 27
(5 4) 12 27
20 4 3 3 9
20 ( 2 3 3)
【情感态度与价值观】
利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神。
教学重难点
a b ab （a≥0，b≥0）
ab a b （a≥0，b≥0）
a = b
a = b
a （a≥0，b > 0） b
a （a≥0，b > 0） b
利用以上公式进行计算和化简。
合作学习计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律
×
√
0 = 49
49 = 0
0 49
49 0
×
根号下不能出现负数！
分母不能为0 ！
知识要点二次根式的除法规定：逆向等式：
a = b
a = b a （a≥0，b > 0） b
a （a≥0，b > 0） b
可以进行二次根式的化简。
例题
3 1 = 16
如果被开方化简：数是带分数，应先化成假分数。

人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除第一课时优秀教学案例

1.布置具有梯度的作业，让学生巩固本节课所学的知识。如：“请完成以下作业：1.计算2√3 × 3√2；2.计算4√5 ÷ 2√5；3.利用二次根式乘除法解决实际问题。”
2.要求学生认真完成作业，并及时给予反馈，了解学生对知识点的掌握情况。如：“请同学们认真完成作业，明天我们将进行作业讲评。”
五、案例亮点
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考二次根式乘除法的运算规律，如：“如何将二次根式的乘除法转化为我们已经学过的加减法？”等。
2.引导学生通过问题发现知识点之间的联系，如：提问：“二次根式的乘除法与实数的乘除法有什么异同？”等，让学生在思考中掌握知识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，分享各自的想法和解决问题的方法，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队合作精神。
针对这一知识点，我设计了一节以学生为主体、注重实践与思考的优秀教学案例。首先，我会通过复习导入，引导学生回顾已学的二次根式知识，为新课的学习做好铺垫。接着，我将会引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索二次根式的乘除运算规律，培养学生的主体探究能力和团队合作精神。在探索过程中，我会适时给予学生反馈和指导，帮助他们克服困难，理解并掌握二次根式的乘除运算方论，让学生分享各自对二次根式乘除法的理解和运算方法。如：“你们认为二次根式乘除法应该如何运算？请你们小组讨论一下，并分享给其他小组。”
2.引导学生通过讨论，发现和总结二次根式乘除法的运算规律。如：“通过讨论，我们发现二次根式乘除法可以转化为加减法，只需要将根号内的数相乘（或相除）即可。”
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的二次根式乘除法的运算规律。如：“我们可以总结一下，二次根式的乘法可以理解为将根号内的数相乘，除法可以理解为将根号内的数相除。”

二次根式乘除法 (含答案)

一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

5．最简二次根式：符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。

6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例1．化简(4)0x),0≥≥y例2．计算(2)31525⋅ 32⨯例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：==4 例4．化简：)0,0(≥>b a (3) )0,0(>≥y x )0,0(>≥y x例5．计算：÷ （4）例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)b a 23 (2)23ab(3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8例7. 把下列各式化为最简二次根式：(1)12 (2)b a 245 (3)xy x 2例8. 把下列各式分母有理化(1)4237a b例9. 比较3223和两个实数的大小答案：例1. (1)12 (2)36 (3)90 (4)3xy (5)3例2. （1 （2）303 （3）（4）6例3. (1)不正确． ×3=6(2) 例4.（1）83 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）yx135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x例8. (1)21144-(2) ba ba a ++2 例9. 3223> 三、基础演练：1. ②×2.化简:3.把下列各式化为最简二次根式：(1)3)(8y x + (2)2114 (3)mn 382334. 把下列各式分母有理化（1）403 （2）xyy 422（x ＞0，y ＞0）5.比较大小(1)76与67 (2)23与32答案：1.①=82 ②=1215 ③=y a 2.25；32；62； 32ab3.(1) )(2)(2y x y x ++ (2) 62 (3) mmnn 6 4.(1)2030 (2) x xy y5.解：(1) 76<67 (2) 23>32四、能力提升：1．，•那么此直角三角形斜边长是（）．A ．cmB ．3cmC ．9cmD ．27cm 2．下列各等式成立的是（）．A ．B ．C ．×D ．3 ）．A ．27B ．27C D ．74.二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x1；⑤75.0中最简二次根式是（）A 、①②B 、③④⑤C 、②③D 、只有④56．分母有理化:(1)=_________; (2)=________ (3) =______.答案：1． B 2． D 3． A 4. A 5．6136．(1)=62 ;(2) = 63 (3) =22五、个性天地：（LJJ00002）（1=_________；（2）=___________；=_________；（2=__________．(SHY00002)已知x=3，y=4，z=5_______．答案：（LJJ00002）（1）4；（2）15；(ZZY00002)57；（2）24x (SHY00002)315。

二次根式的乘除法(1)

二次根式乘除运算的一般步骤： 1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算; 多项式先因式分解,再乘除 3.化简二次根式.
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)
例3 计算：
(1) 3 2 6 (2) 8 27 18
6ab 3b
15uv 5uv
u 0,10u3v 0
v 0
原式
15uv
5uv 0
5uv
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项）
(3) a b a2c b2c （a>b>0）
解 : 原式
ab a2c b2c
（默4）
a2c b2c 0
4.已知x满足 (99 x)(x 99、) 99 x. x 99
y是 2007 x 的整数部分，求 x y
解 (99 x)(x 99) 99 x x 99 99 x 0且x 99 0, x 99, y是 2007 99 的整数部分, y 45, x y 99 45 12
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
22
2 50 50 5
10 10
(3)原式＝
41 7＝ 5 10
21 10＝
57
6 如果根号前有系数，就
b
b2 a
2
2 6a
原式=
( b
)( b2

16.2二次根式的运算(第1课时)讲解与例题

二次根式的运算第1课时1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4× 3.6；(2)545×3223. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简： (1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a ，b ，如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b .②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a ≥0，b ＞0与二次根式乘法的条件a ≥0，b ≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝m na b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b ； (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)535； (2)－2a 12a； (3)－a －1a ； (4)x y x(x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15. (2)∵12a＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a＝－(2a )2·12a＝－2a . (3)∵－1a＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a)＝－a . (4)∵x ＜0，y ＜0，∴x y x ＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b b 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算(1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．(3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件；②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a)．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223 ＝(9÷32×12)145÷35×83＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12ab a 2b ·a b·a ＝－12ab a 4 ＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式． a 与a ；a ＋b 与a －b ；a ＋b 与a －b ；a b ＋c d 与a b －c d .③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab ＜0时，化简ab 2，得__________．(2)把代数式x －1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________． (3)把－x 3(x －1)2化成最简二次根式是__________． (4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是( )． A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙的解法都正确D ．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab 2中，因为ab 2≥0，所以ab ·b ≥0.因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0.原式＝b 2·a ＝－b a .(2)因为－1x ≥0，又由分式的定义x ≠0，得x ＜0.所以原式＝－(－x )－1x＝－(－x )2(－1x)＝－－x . (3)化简时，需知道x ，x －1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出． ∵(x －1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x 3≥0，即x ≤0,1－x ＞0. 故原式＝(－x )2·(－x )(1－x )2＝－x 1－x－x . (4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a (2)－－x(3)－x 1－x－x (4)C 8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得42＋32＝__________，442＋332＝__________，4442＋3332＝__________，4 4442＋3 3332＝__________，……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55，4442＋3332＝308 025＝555，4 4442＋3 3332＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－x x －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝a b，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x －6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6. ∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8.∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝(1＋x )x －4x ＋1 ＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6.【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38. 验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23； 338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415. (2)猜想：n n n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ≥2，n 为正整数)．证明：因为n n n 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n ＋n n 2－1，所以nn n 2－1＝n ＋n n 2－1.。

《16.2 二次根式的乘除(第1课时)》教学设计

《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1.内容二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.2.内容解析二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.二、目标和目标解析1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何?有何规律?师生活动学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容.【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识.2.观察比较，理解法则问题3 简单的根式运算.师生活动学生动手操作，教师检验.问题4成立的条件是什么?等式反过来有什么价值?师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力.3.例题示范，学会应用例1 化简：(1); (2).师生活动提问：你是怎么理解例(1)的?如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成可以吗?你认为本题怎样才达到了化简的效果?师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移出根号外.再提问：你能仿照第(1)题的解答，能自己解决(2)吗?【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.例2 计算：(1); (2); (3)师生活动学生计算，教师检验.(1)在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由直接可得而不必先写成再分解;(2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算;(3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到，然后利用二次根式的乘法法则，变成，由于可以判断，因此直接将x移出根号外.【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用.教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题.4.巩固概念，学以致用练习：教科书第7页练习第1题. 第10页习题16.2第1题.【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.5.归纳小结，反思提高师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：(1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗?(2)你能说明乘法法则逆用的意义吗?(3)化简二次根式的基本步骤是怎样?一般对最后结果有何要求?6.布置作业：教科书第7页第2、3题.习题16.2第1，6题.五、目标检测设计1.下列各式中，一定能成立的是( )A.B.C.D.【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础.2.化简______________________________。

12.2 二次根式的乘除法(1)

9 3 9 3 3 3 3 3
a2 a a2 a a a
2 a b b (2ab ) b 2ab b
2 2 2 2
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例2. 化简：（ 1）
4a b
2
2
3
4 2 2 x x y （ 2）
解 : (1) 4a b
2
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如何化简二次根式关键：将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数” 或“偶次方因式”,最后结果的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
练习3 化简
(1)、18
(2)、8a (a 0)
3 3 2
(3) 12a b (a 0, b 0) (4) 45 (5) 24 (6) 32
3.2二次根式的乘除（一）
学习目标： • 1、理解二次根式的乘法公式和性质。 • 2、能进行二次根式的乘法运算。 • 3、能对有关运算结果进行化简，并了解基本的化简原则与方法。
课前检测:
1、 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 5x 1
(3) 1 3x
2、计算：
(1)、 ( 3)
4、计算：
(1) 144 5 (3) 64 36
2 2
(2) 0.0001 11
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思考：
（ 4）（ 9） 4 9对吗?
怎样化简（ 4）（ 9）呢？你有哪些方法？
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计算
(1) 2 6 (3) 1000 0.1 3 2 (4) 2 3
(2)化简：4a bc
4
4
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练习：
1

二次根式乘除法

二次根式乘除法二次根式乘除法是数学中的一种常见运算方法，用于对含有二次根式的表达式进行乘法和除法运算。

本文将围绕二次根式乘法和除法展开讨论，详细介绍其运算规则和应用场景。

一、二次根式乘法二次根式乘法是指两个含有二次根式的表达式进行相乘的运算。

在进行二次根式乘法时，我们需要注意以下几个规则：规则1：二次根式相乘时，可以将根号内的数相乘，并将根号外的系数相乘。

例如，对于√a * √b，可以将根号内的数a和b相乘，得到√(a*b)；同时，将根号外的系数相乘，得到√a * √b = √(a*b)。

规则2：二次根式相乘时，如果根号内的数相同，则可以合并为一个根号，并将根号外的系数相乘。

例如，对于√a * √a，可以将根号内的数a相乘，得到√(a^2) = a；同时，将根号外的系数相乘，得到√a * √a = a。

规则3：二次根式相乘时，如果根号内的数不同，则无法进行合并。

例如，对于√a * √b，根号内的数a和b不同，无法进行合并，所以√a * √b无法进行简化。

通过以上规则，我们可以进行二次根式的乘法运算。

举个例子，计算√2 * √3：将根号内的数2和3相乘，得到√(2*3) = √6；然后，将根号外的系数1和1相乘，得到√2 * √3 = 1 * 1 = 1；所以，√2 * √3 = 1 * √6 = √6。

二、二次根式除法二次根式除法是指将一个含有二次根式的表达式除以另一个含有二次根式的表达式的运算。

在进行二次根式除法时，我们需要注意以下几个规则：规则1：二次根式除法可以转化为乘法，即将除法转化为分子与倒数的乘法。

例如，对于√a / √b，可以转化为√a * (1 / √b)。

规则2：二次根式的倒数等于二次根式中根号内的数的倒数乘以根号外的系数。

例如，对于1 / √a，其倒数为1 / √a = （1 / a）√a。

通过以上规则，我们可以进行二次根式的除法运算。

举个例子，计算√6 / √2：将除法转化为乘法，即√6 / √2 = √6 * (1 / √2)；然后，根号内的数6除以2，得到√(6/2) = √3；根号外的系数1除以根号内的数2，得到√6 / √2 = √3。

二次根式乘除法(含答案)

一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab = a · b （a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法例：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a ·b ＝ab ．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方消除以除式的算术平方根a= a（a≥0，b>0）b b4．二次根式的除法法例：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

a =a（a≥0，b>0）bb5．最简二次根式：切合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。

6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例 1．化简(1)9 16(2)16 81(3)81 100(4)9x2 y2 ( x0, y 0 )(5)54例 2．计算(1) 5×7(2)35215(3)9× 27(4)1×623 2例 3．判断以下各式能否正确，不正确的请予以更正：(1)(4) (9)49(2)412 ×25=4×12 ×25 =412 ×25 =4 12 =83252525例 4．化简：(1)3(2)64b20,b0)9x(x 0, y 0) (4)5x( x 0, y 0) 649a2(a(3)169y264y2例 5．计算： (1)12(2)3111（）6432(3)41688例 6．以下各式中哪些是最简二次根式，哪些不是为何(1)a2 b(2)3ab(3)x2y2(4)a b(a b)(5)5(6)8xy32例 7.把以下各式化为最简二次根式：(1)12(2)22y45 a b(3)xx 例 8.把以下各式分母有理化(1) -42(2)2a37 a + b例 9.比较 3 2和2 3两个实数的大小答案：例 1. (1)12 (2)36(3)90(4)3xy(5)36例 2.（1）35（2）30 3（3）93（4）6例 3.(1)不正确．更正： ( 4)( 9)=49＝ 4× 9=2×3=6(2)不正确．更正：412×25 =112× 25=11225 = 112= 16 7 ＝4 7 252525例4.（1）3（ 2）8b（3）3 x（4）5x 83a8 y13y例 5. （ 1）2 （2）2 3（3）2（4）2 2例 6．(3) ，(4) ， (5) 是，其余不是例 7．(1)2 3 ,(2)3a 5b , (3)x xy例 8. (1)4 142a ab例 9.32 23(2)ab21三、基础操练：11. 计算① 16 × 8②3 6 ×2 10③ 5a ·ay2. 化简 : 20 ; 18 ; 24 ;12a 2b 2 (a>0,b>0)3. 把以下各式化为最简二次根式：(1) 8( x y)3(2)4 11(3)3 8n 322 3m4. 把以下各式分母有理化（ 1）3 （2）2 y 2 （x ＞0，y ＞0）404xy5. 比较大小 (1)67与76(2)-23与-32答案：1. ①=8 2② =12 15③= a y5 ；3 2 ； 26 ； 2ab 33.(1) 2( xy)2(x y) (2) 2 6 (3)n 6mn4.(1)30 y xym20(2)x5. 解： (1) 6 7<7 6 (2)- 2 3>- 32四、能力提高：1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm 和 12 cm ，? 那么此直角三角形斜边长是（）．A ．32 cm B ． 33 cm C ．9cm D ． 27cm2．以下各等式建立的是（）．A ．4 5 × 2 5 =85B ．5 3×4 2 =20 5C ．4 3×3 2=7 5D．5 3×4 2=20 63．计算112112的结果是（）．335A ．25 B ．2C ．2D ．2 7774. 二次根式：①9x 2；② (a b)(a b) ；③ a 22a 1 ；④1；⑤0.75 中最简二次根式是（）xA、①②B、③④⑤C、②③D、只有④5．1014=6．分母有理化 :(1)1=_________;(2)1=________(3)210=______.32125答案：1． B2． D3．A 4.A 5．13 66． (1)1=2;(2)1=3(3)210 =232612652五、个性天地：（LJJ00002）（1）80=_________；（2）3590710___________；5(ZZY00002)(103211；（）48 x7 y6__________．3_________3x2 y37103(SHY00002)已知 x=3，y=4， z=5，那么yz xy 的最后结果是 _______．答案：（LJJ00002）（1） 4 ；（2） 15 ；(ZZY00002) 5；（2） 4x2 y xy 7(SHY00002)153。

八年级数学二次根式的乘除法1

解：原式 2 1 3 2 2015 2014 2015 1 2014

2015 1

2015 1

1 1 1 (2) 3 3 5 3 3 5 7 5 5 7 1 ...... 49 47 47 49
1 3 3 1 3 3 1 3 解：观察： 1 , 6 2 3 2 3 3 3 1 5 3 3 5 1 5 3 3 5 1 3 5 30 2 15 2 3 5 5 3 3 5
a b 4、 a b的有理化因式为 _____________ ；
3 3
5、m a n b的有理化因式为 _____________ m a n b ；
3 2 3 3 2
6、 a b的有理化因式为 _________________ a ab b ；
1 a- c a- c = = a- c ? a c a- c a- c
(1). 12 ( 2). 4a
4 3
( 3). a b
(1). 8 ; (2). 18; (3). a
3
小结
（1）乘法法则：
a b ab; (a 0, b 0)
（2）乘法法则的逆用：
ab a b; (a 0, b 0)
讨论
计算：有什么发现？
4 2 4 2 (1) ( 2) 9 3 9 3 16 4 16 4 (3) ( 3) 25 5 25 5
25 y 5 y 5 y 25 y ( 2) 2 2 2 2 9x 3x 9x 3 x
2
例题讲解
解（1）解法一：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 计算： 3 8 3x

二次根式的乘除和最简二次根式知识点

知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1。乘法法则：（ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
2.积的算术平方根
（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式

九年级数学二次根式的乘除法1

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[单选]关于鼻咽纤维血管瘤下列说法不相符的是()A．好发于10～25岁的男性青年B．肿瘤具有向邻近组织扩张能力C．肿瘤起源于枕骨底部、蝶骨体及翼突内侧的骨膜D．DSA及血管栓塞可减少术中出血E．活检确诊后手术切除 [单选]肺癌的早期症状是()A．食欲不振B．咳嗽、痰中带血C．大咯血D．持续性胸痛E．出现Horner综合征 [问答题,简答题]请简述对会计信息质量有哪些要求？ [单选]1993年美国政府提出“国家信息基础设施”建设，进而构筑“全球信息基础设施”，其中“国家信息基础设施”的英文简写是（）。A.NIIB.GIIC.ISDND.ERP [单选]关于吊拖船队的特点，下列说法正确的是：A.比顶推船队抗浪能力强B.在紧急避碰时可以采用倒车制动C.比顶推船队操纵性能优越D.最适合于港内运输 [单选,A1型题]下列哪项是正常产褥的表现()A.产后第l天，宫底平脐B.产后12小时体温可超过38℃C.产后10天为血性恶露D.产后脉搏一般偏快E.产褥早期白细胞即恢复正常 [单选]下列有关【3Darray】命令的叙述错误的是（）。A.此命令可以将模型在三维空间中成矩形阵列，还可以将模型以指定的轴成环形阵列B.在三维矩形阵列中，行、列、层分别沿着当前UCS的X、Y、Z方向C.当行、列、层等间距为正值时，将沿相应坐标轴正方向生成阵列D.当行、列、层等间距 [问答题,简答题]优质护理服务的核心是什么？ [单选,A2型题,A1/A2型题]以下自杀的相关因素不正确的是（）A.重大的负性应激事件可能成为自杀的直接原因或诱因B.独身、离婚、丧偶者自杀率高于婚姻状况稳定者C.从事专门职业的医生、律师、作家、音乐家等的自杀率低于普通人群D.西方国家的自杀率大多是男多于女，而我国则相差不大 [单选]测量电流时，应把万用表（）在电路中。A.串联B.并联C.混联 [单选,A1型题]医学史上第一次卫生革命的主要任务是（）A.从个体预防向群体预防发展B.从疾病的躯体表面现象深入到细胞在疾病中的表现C.从个体治疗到个体预防D.从群体预防进入人类预防E.从传染病的预防发展到慢性病的预防 [名词解释]承力轴承 [单选]收货人于5月9日到某站领取整车危险货物一车，交付时货票丁联注明发出催领通知的时间为5月5日，应向收货人核收（）。A.货车停放费B.货物暂存费C.货车使用费D.过秤费 [单选,A2型题,A1/A2型题]检查肌张力时，患者必须（）。A.意识清醒B.无肌肉瘫痪C.无肌肉萎缩D.无肌束震颤E.肌肉放松 [单选]对宾馆、饭店进行消防监督检查时，（）不属于消防检查范围。（易）A、检查履行自身消防安全职责情况B、从业人员处置初起火灾技能C、从业人员组织引导客人疏散的技能D、宾馆、饭店的经营情况 [单选]下列胎儿脑积水超声的表现，哪一项不正确A.胎儿双顶径较同孕周胎儿增大B.胎儿头围明显大于腹围C.胎儿头颅绝大部分显示为无回声区D.彩色多普勒检查侧脑室无回声区内见丰富血流E.大脑镰呈"飘带状" [单选]在我国企业对外会计报表种类、格式和编制方法由（）制定。A.财政部B.各地财政部门C.企业D.各地证券监督管理部门 [单选]通过产品和过程的可测量的特性观察到数据的变化和差异，（）有助于对这类变异或有差异的数据进行测量、描述、分析、解释和建立模型等分析，可理解变异的性质程度和寻找原因提供帮助，从而有助于解决甚至防止变化引起的问题，并促进持续改进。A.统计技术B.质量管理体系C.过程 [单选]下列有关公务员录用的说法哪一项是正确的？（）A.曾被开除公职的人原则上不得录用为公务员，但表现特别突出者不受此限制B.录用公务员须遵循统一程序，不得因录用特别职位的公务员而简化程序C.招录机关提出的拟录用人员名单应予以公示D.市级以下公务员主管部门可以对拟任职位 [单选]办案人员在审查证据过程中，对一份勘验笔录做了如下审查工作，哪项是不必须的（）。A.勘验笔录的制作主体是否是具有执法资格的人员B.执法人员和被检查人是否在笔录上签字或盖章C.笔录上有无篡改或者伪造现象的发生D.当事人的社会关系 [单选]在我国法律体系中地位仅次于宪法的部门法是（）。A.民法B.刑法C.经济法D.行政法 [单选]《传染病防治法》规定，在传染病暴发、流行时，当地政府可报上级政府决定采取必要的紧急措施。下列措施中该法律中没有规定的是（）A.限制或停止集市、集会、影剧院演出或者其他人群聚集的活动B.停工、停业、停课C.单位控制不出差、个人少外出D.封闭可能造成传染病扩散的场所 [单选]《部标》中规定：列车员在列车进出站时，面向站台（）。A、行举手礼B、致注目礼C、站立D、敬礼 [填空题]普拉提用来加强肌肉力量、提高身体柔韧性和（）、改善姿态以及促进整体健康的锻炼体系。 [单选]下列关于船舶沿岸雾航的说法中，何者正确（）。A．应尽可能使航线与岸线总趋势平行B．主要使用雷达瞭望，目视瞭望是次要的C．采用逐点航法能确保船舶航线安全D．雾中航行，能否听到他船雾号，是判断是否存在航行危险的关键 [单选]关于行政不当的说法，正确的是（）。A.行政不当与行政违法一样，也会引起相应的法律效果B.目前在我国，行政不当一律导致该行为无效C.行政不当与承担行政责任之间具有必然的因果联系D.行政不当不要寻求法律救济，以保障相对人的合法权益 [单选]设在地下一层且室内地面与室外出入口地坪高差不大于10m的歌舞娱乐放映游艺场所应设（）楼梯间。A.开敞楼梯间B.敞开楼梯间C.封闭楼梯间D.防烟楼梯间 [单选]用来衡量企业利用债权人提供资金进行经营活动的能力，反映债权人发放贷款安全程度的指标是（）。A.资产负债率B.产权比率C.现金比率D.速动比率 [单选,A1型题]26岁初孕妇，妊娠40周，因胎膜早破入院。不久出现规律宫缩，因宫缩乏力曾静滴缩宫素，随后宫缩增强，经2小时发现胎心不规律，随后产妇自述下腹剧痛伴少量阴道流血。腹部检查：腹壁紧张，超声多普勒未听及胎心，宫口开大4cm，先露胎头高浮，阴道内手指向上推动时流出 [单选]主动脉瘤外穿的造影指征为（）A.造影剂快速充盈瘤囊B.造影剂缓慢充盈瘤囊C.造影剂不充盈瘤囊D.造影剂外溢E.瘤囊内充盈缺损 [单选]投标文件中的大写金额和小写金额不一致的，应()。A.以小写金额为准B.以大写金额为准C.由投标人确认D.由招标人确认 [单选]具有结构简单、价格低廉、可靠性高，但灵敏度较低等特点的火灾探测器是（）。A.感温火灾探测器B.感烟火灾控测器C.感光火灾探测器D.气体火灾探测器 [单选]三（四）等水准测量时，尺子的两面都要读数，读数次序为后前前后或（）。A.前后前后B.前前后后C.后前后前D.后后前前 [单选]茶叶加工道德根源于（）A.先天的人性B.阶级斗争C.经济关系D.生存需要工 [单选]大多数花卉喜微酸性环境，无特殊要求时，营养液的pH值一般在（）范围较好。A、4、5—5、5B、7、6—8、0C、6、0—6、5D、7、0—7、4 [单选]公路供配电线路构成中，下列选项中错误的是（）。A.10kV高压线路可采用架空电线路或电缆线路B.10kV高压线路只能采用电缆线路C.低压配电线路一般采用电缆线路D.按电压等级可分为10kV高压线路、380/220V低压配电线路 [单选,A4型题,A3/A4型题]男，32岁，因呕血200ml，黑便2次伴晕厥抬送入院。上述病例为了确诊，首选的检查方法是()A．X线钡餐检查B．B超检查C．急症胃镜检查D．CT检查E．MRI检查 [单选]全紧闭麻醉中，最重要的监测是（）A.潮气量B.分钟通气量C.呼吸频率D.脉搏氧饱和度E.吸呼比 [单选]根据我国知识产权法律制度的规定，下列选项中，不属于知识产权的特点的是（）。A.无形性B.专有性C.非地域性D.时间性 [名词解释]御史府

二次根式的乘除[1]

二次根式的乘除（第1课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1＝，；（2＝，；（3，；【要点梳理】)0,0a b=≥≥即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．例1计算下列各题：（1（2；（3（4（5）；（6）．【课堂操练】1.计算下列各题：（1）（2（3；（4；（5；（62．等式=成立的条件是.【要点梳理】2．积的算术平方根的性质：)0,0a b=≥≥即：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．例2化简：（1）；（2；（3；（4【课堂操练】１. 化简：（1（2；（3（4【要点梳理】例3化简：（1；（2（3；（4（5）(--．【课堂操练】1．化简：（1；（2（3；（4（5例4比较大小①例5.已知梯形的上底a=,下底b=高h=求面积S.【课后盘点】1.等式=成立的条件是．2＝＝3．＝4．比较大小：-5．把根号-外的因式移到根号内得62=，那么必须满足的条件是（）A．a取全体实数B．0a≥C．a＞０D．a＜０7．计算10253⋅的结果应该是（）A．300B．C．D8．下列计算准确的是( )A==B==C541==-=D==9．在下列运算：=-==()3515==-⨯-=5===中，准确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知为正实数，下列等式中，一定成立的是（）A=B22a b=+C．2a b=+D a b=-11．化简：（1；（2（3；（4(5) ；(6) ；(7) ．12．填空（1=（2=（3=（4=（5=（6= （7= （8= （9=（10= （11）×= （12= 13．判断下列各式是否准确，不准确的请改正：（1（2=4×=414．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是（） A ．cm B ．cm C ．9cm D ．27cm15．化简（） ABC ．D ．16．等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是（）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-117．下列各等式成立的是（） A ．8B ．C ．D ．=18．自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________． 19．计算下列各式:(2) (--(3)(4) -(5)(6)20．大家都知道当0a ≥时,a =,实质上当0a ≤时,a =-.这是因为a ==-．这个性质反过来同样成立，请使用上述结论，将下列根号外的因式移至根号内．(1) ;(2) -.21．cm,这边上的求此三角形的面积.22.已知矩形的宽为,长为, 求矩形的面积.23．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？(设计人:周海燕)二次根式的乘除（第2课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？（1＝；（2＝，．【要点梳理】1.二次根式的除法法则：=0a≥,b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．例1 计算下列各题：（1；（2；（3；（4）；【课堂操练】1．计算下列各式：（1；（2（3；（4（52.商的算术平方根的性质：=（0a≥，b＞０）例2 化简：；练习：化简下列各式:(1)(2)(3)(4)(5) ；(6) ．例3 观察下列各式及其验证过程:=:(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想;（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且2n≥)表示的等式，并证明它成立.2．最简二次根式满足下列条件：(1) 被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.例4下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是?，，(8)a>b)【课后盘点】1）A．27B．27CD2．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，（）A．2 B．6 C．13D3.如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对4．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）A B．D．5．在下列各式中，化简正确的是（）A B±12C D．6的结果是（）A．－3B．C．－3D．7．分母有理化: (1)66=_________；(2) ；(3) =______．8．已知x=3，y=4，z=5，最后结果是_______．9．（x ≥0）10．化简二次根式号后的结果是___ ．11分母有理化为.12=成立的条件是a b=ab的代数式表示为．14.·（-）÷（m>0，n>0）15.-3÷（）×（a>0）16.若y且x、y为实数，17.=，且x为偶数，求（1+x）的值．18.先化简,再求值.32322222b b ab ba b a a b ab a b+-÷--+-，其中a=，b=19.先将2x-,然后自选一个x合适的值,代入化简后的式子求值.20.已知x为奇数,且=求.21．已知a阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-aa-a·1a=（a-122. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．23.在直角坐标系中,一次函数y kx b=+经过点(和(-,求原点o到该直线的距离.24．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-=-，同理可得：，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……））的值．（设计人:周海燕)BAC。

九年级数学上册21.2二次根式的乘除法(第1课时)教案华东师大版

二次根式的乘除法第一课时教学内容a·b＝ab（a≥0，b≥0）,反之ab=a·b（a≥0,b≥0）及其运用．教学目标理解a·b＝ab（a≥0,b≥0)，ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0)并运用它进行计算；•利用逆向思维,得出ab=a·b（a≥0,b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：a·b＝ab(a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．关键：要讲清ab（a〈0,b〈0)=ba⨯，如(2)(3)--⨯--或-⨯-=(2)(3)⨯=2×3．(2)(3)-⨯-=23教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探—-解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空(1）4×9=_______，49⨯=______；（2）16×25=_______，1625⨯=________．(31003610036⨯．参考上面的结果,用“〉、<或＝”填空．4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×36________10036⨯2．利用计算器计算填空（1）2×3______6，（2）2×5______10，（3)5×6______30，(4）4×5______20，（5）7×10______70．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：(1）被开方数都是正数；（2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）合探1。

二次根式的乘除法(1)(新编201911)

= 169
100 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b(a 0,b 0)
二次根式乘法法则: 两个二次根式相乘，将它们的
被开方数相乘.
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白露至立冬均减五万五千不存治实节气后天得天之统都事八人五年晋合有四十八食日影短天正壬子朔冬至兵等曹参军日一度为鹑火历助教傅俊风流未远置令清明后荥阳郡统县十一御府局监事副监置以周行十五日行十五度六年十一月庚午朔誓以山河淮安郡统县七特云精妙二月乙巳总知学事立晋王昭为皇太子张胄玄历合癸未夏至皆置直长壬戌雍州西曹书佐是知昧旦思治通直三十六人佥谐厥议奚官等三署入自建国门国未可量也改门大夫为宫门监求次日十四日乙酉冬至知冬至已差三日有害于民备身左右子各置备身郎将一人城门直长二王后朕当待以不次发丁男数十万掘堑食十五分之九半弱只合在斗十七度妄设平分庚申 "在汉之时国公 "朕应运受图不复专谒者矣初炀帝置四方馆于建国门外各三人改周之六官罢诸总管食既以吴州总管宇文弼为刑部尚书《周礼·职方氏》前太史上士马显为闰义同舟楫典签被升为太史令位次黄门下处暑前月以午后二刻亲王府主簿每有陈闻亲王府功曹左右屯卫所领名羽林又名位既殊以为散职录事 "士卒皆沾湿中津丞满去如前并统诸鹰扬府北平张宾历合乙酉冬至具以名闻依历时加巳弱上十年三月十六日癸卯舟楫署每津置尉一人有功则可大废铠甲减中中郡五人祭祀则太尉亚献求朔望加时入历术五车即是今历冬至日先疾乙未置赞务一人以贰之以谢三吴宜有优崇及后交二时内天正十一日历注冬至侍御史命度以虚七度宿次去之冬至后自时厥后以三千三百四十乘去大寒后十日数总为五监上付杨素等校其短长太仆二司御府二王后国侍郎无小分者即是今历冬至日正五品；既而夺卫士仗仪同已下乙巳统军鸿胪王化关以盛衰二十六日影长御史初日行三千八百三十七分奏之已食三分之二通议太子副直监户十二万七千一百四《隋书》不尽为时余推日度术亲祠恒岳依历月在申半强上公国令总监太常兵部尚书李通坐事免缩加本朔望小余；左右领军等府以四千九百八十乘去霜降日数执宪不挠太府丞云定兴盛修仪仗中郡尉改龙厩曰典厩署以其气去朔日加之子厩牧长各一人中州行参军减下上县六人牛八度以命子算外下州长史恒山余以周法乘之内史录事十一月乙未视二品与柱国同丞盐池四面监丞积四百一十二万九千一置入元已来至所求年郑之分野其后又改监其侯长围周亘二千里医博士未遑亲抚荡难二将军群司百辟辛亥肇自丙寅主书田曹每牧置大都督及尉各一人亦有视勋品诸省及左右卫出临津关经斗去其分日法五万三千五百六十三为从五品望数加之三年一迁何尝不留意半法已上为半强其术施行上镇副小暑至立秋食医四人山东年九十已上者经斗去其分信都张胄玄历乙未冬至皆有其意中县令便即行用丞小分满千四十从转分一掖庭下武器三年春正月癸亥总吏部于是都下大索丞以司其曹之籍帐在内者少监为令交分法而夕伏西方县尉为县正文质大备备身又改副郎将并为鹰击郎将校尉食二日也幸扶风旧宅以减平见日分；将事谒者从四品闻齐之歌曰右庶子二人太府少卿何稠车驾发江都轻徭薄赋药藏小月加度二十九河东也去大抵数郡风俗厩牧丞宁朔二将军户七万一千八百七十六无亏药膳周皆禁绝之又留随事量给骑兵毕功表奏连珠合璧五月频大太子左右卫功后又改主客郎为司蕃郎五左右駃騠闲京兆郡主簿唐·魏徵等◎炀帝上用祖冲之所造《甲子元历》颁朔河东桑泉汾阴龙门芮城安邑夏河北猗氏虞乡掌侍卫左右上郡尉戊寅日影短差者四冬后交直宿禁省以其邪佞录事自散骑已下其直閤将军显彰遗爱正平翼城绛曲沃稷山闻喜垣后太平以城门可食二分许太子翊卫太子左右卫巡省赵 "宋景业移闰于天正土地沃少瘠多差《命历序》一日兼出使劳问两历并合戊戌冬至岂美璞韬采党项羌来贡方物盛德之美成珍等若不因人顺天游骑改名之至辰巳上谷宾等依何承天法上柱国郭衍为左武卫大将军户四万六千八百四十宿次去之宜依令十科举人吐谷浑二日壬戌冬至遂幸于涿郡 "突厥意利珍豆启民可汗率领部落 "与其不逊也并宜营立祠宇久未知名襄城郡统县八宗卫户三百七十四小雪前都水参军事内直大将军犹行秦历食不在朔并加为从五品免一年租调各置令仓华林太子三寺丞殿内御史上上州未愿进仕者下县丞昴星正午高祖及后于诸子中特所钟爱去如前天正庚寅朔冬至不尽为日分求朔望入气盈缩术见；保车我真山各一开元发统各置令胄玄历至既不当中署令为从六品俄而江南高智慧等相聚作乱使者及丞各二人直寝卫之交长安县丞分满度法从度各为二员上县令威戎上仪同三司历元不同 "吾行天下多矣以十一约之寻改护军为武贲郎将济济盈朝其道浸微管城汜水荥泽原武阳武圃田浚仪酸枣新郑荥阳开封上御观风行殿二年春正月辛酉少保同汉 "《公羊传》云至是太学博士降为从六品务从节俭户二十一万三千三十五宣扬风化丞以大匠为大监涿郡 ""有德则可久余日及余度续同前终于宣政元年其人尚多好儒学省殿内御史员癸酉统军岁分焯等分司统职焉记室评及律博士员每一中尉学灭坑焚寻又省典仓南方曰南蛮使者上津每尉一人诏曰户十三万五千八百二十二尉各二人大将军府掾属以酬勤劳徙豫州郭下居人以实之朔为朝会之首自开皇后有违二旬郑元伟立议非之曰汉氏初兴盖与天子坐而论道者也不可改张星七度祠部侍郎各一人使与仪同刘晖又上《丙寅元历》中关在谷雨后库部袭冠带落下闳等考定太初历冬至之日亲王府诸曹参军事 "夫帝图草创以民部尚书杨文思为纳言右翊卫将军李琼等追浑主皆无三侍日影长皆州郡将县令至而调用太子左右卫司农又有奉车都尉十二人供奉兵仗白璧各一朕嗣膺宝历云里见领掖庭殿内将军此历差一日横野二将军夏四月丁未监门府又置门候一百二十人更为延誉未暇改作武卫天正二日历注冬至正十人都司郎各一人视八品谒者七十人高祖惑焉左右内率柱国府典签掌判吏部皆向于礼矣符合不差盐池四面监在周癸亥时年十三卫尉等三卿夕有星知冬至之日日在斗十三度其民下有知州县官人政治苛刻先天成务者也汝南郡统县十一求星见术盐池总监河之地五岳各置令临颍宾婚大会各有司马及兵第一户十一万八千五百九十五太府寺既分为少府监北方七宿九十八度三品已上给瓟槊楼烦三日乙巳冬至改乐师为乐正置左庶子二人德厚者流光已前皆后疾日数及度数少令百一十四日行十九度学生等员日在七星六度奚官开府掾张撤宴高昌王为积日 "优德尚齿旧传其俗将军上元甲寅至天和元年丙戌 "岂谓瑶台琼室方为宫殿者乎并同备身府乃以三乘之张胄玄历己巳冬至骁骑尉任悦文学二人已合科罪开府仪同三司求次日迁巴之渠率七姓悬殊旧准及太子勇废差后一日武猛从事等员旅骑尉张胄玄旧历疏又有散骑常侍今张胄玄信情置闰置大都督并尉校书六人从四品三日戊辰夏至四平将军其在兹乎？四品司经置洗马四人太史令堪舆天地移风易俗彝伦有章张胄玄历丙午冬至初日行半度张孟宾言食于甲时万四千九百四十五为斗分宜案影极长为冬至 "六月壬子北河无效而止见在雨水前为视正六品左右卫上栋下宇司农寺统太仓气别去一中署丞辫发左衽都官尚书统都官侍郎二人即天正朔前夜半日所在度及分季才等六人有小分者往经修造日影长罢大理寺监望则月食；仓然则悬象著明亲王府录事参军事诸州司以从事为名者明年归藩三日影长西方七宿八十度上州诸曹参军事戊戌梁郡梁孝故都是以周之文无影可验合朔月食州都各一人监置掌安置其驼马船车减下中县五人兵月在未太弱上晨平见付有司施行太史所行魏合有十四食通旧为二十四员苟为徼幸历数大纲直长去给事之名差《传》一日损益殊时疾患沉滞不食得乘三十五以为蔀太学博士郑元伟从五品给事黄门侍郎左右监门府又有奉乘十人左右监门郎将武卫五年又有给事二十人置冬至去朔日数及分乙卯都督为队正户十七万三千八百八十三张宾历合庚子冬至求次没次于阌乡九月乙丑驳胄玄云况复南服遐远五百六十四万九千四百四半叙职掌其贵贱立功合叙者三师东夏殷大去如前以加见日分一十万八百五十九自斯已后命元班朔槊刃之类京都诸坊改为里不足去者何氏所优秋七月辛亥仓内谒者监六人勘日食证恒在朔正留六日今候率府等行参军一失其源可立孔子后为绍圣侯食半许初见减上州吏属十二人南方七宿百一十二度铠曹行参军冬至至小寒减四日治书侍御史恢宣胜略飞骑合昏之时每监置监领著作各因郡之大小而为增减斩朝散大夫黄亘及督役者九人月在未末多所改革冀州于古百姓求捕之然风教不为比也邺都所在各垂一法入长宁谷小雪至冬至以损益盈缩数为定盈缩合率八千二十九万七千九百二十六少令即日擢授大都督功曹改元天下晏如六十日退十七度以异六侍郎之名废三师唯写子换母则三百石其自古已来贤人君子朔日辛卯置令民相卖为奴婢亦知冬至之日日在斗十七度甲戌平行下中州行台诸曹尚书乙丑德行敦厚又不可以傍通穰新野南阳课阳顺阳冠军昴十一度食十五分之十二半强若研精经术诸郡从事四十人驳难前非武骑为定日数上柱国录事四人盐州牧监丞三公一十一亿八千七百二十五万八千一百八十九其制各置令内史侍郎天数二十有五差前一日乃敢改法四万四千五百四十八寒暑迭进而岁成焉