解直角三角形讲义
第十七讲 解直角三角形讲义
第十七讲 解直角三角形一、课标下复习指南 1．锐角三角函数的定义如图17－1，在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ；把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．图17－1的斜边的对边A A A ∠∠=sin ；的斜边的邻边A A A ∠∠=cos ；的邻边的对边A A A ∠∠=tan2．三角函数值(1)特殊角的三角函数值角度三角函数0° 30°45°60°90° sin α 0 2122 23 1 cos α 1 23 2221 0tan α3313 不存在(2)会用计算器求0°～90°的任意角的三角函数值 (3)锐角三角函数值的性质当0°＜α＜90°时，0＜sin α＜1，且正弦值随着角度的增大而增大；0＜cos α＜1，且余弦值随着角度的增大而减小；tan α＞0，且正切值随着角度的增大而增大． 3．互余角的三角函数间的关系sin(90°－α)＝cos α；cos(90°－α)＝sin α；⋅=-ααtan 1)90tan( 4．同角三角函数间的关系⋅==+αααααcos sin tan ;1cos sin 22 5．解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边)，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 6．解直角三角形相关的知识如图17－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，图17－2(1)三边之间的关系： a 2＋b 2＝c 2；(2)两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：c a B A ==cos sin ，⋅====Bb a Ac b B tan 1tan ,sin cos (4)如图17－3，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则图17－3由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ； 由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 的面积，得ab ＝ch ．(5)如图17－4，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则图17－4①CD ＝AD ＝BD ＝;21AB ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径.21AB R =(6)如图17－5，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2c b a r -+=⋅++=c b a ab图17－5(7)直角三角形的面积：①如图17－3，S △ABC 21=.sin 2121B ac ch ab ⋅== ②如图17－5，S △ABC ).(21c b a r ++=图17－57．直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型已知条件 解法一条边和斜边c 和锐角A B ＝90°－A ，a ＝c ²sin A ， b ＝c ²cos A 一个锐角直角边a 和锐角AB ＝90°－A ，,tan Aab =Aac sin =两条边两条直角边a 和b 22b a c +=，由b a A =tan求角A ，B ＝90°－A直角边a 和斜边c22a c b -=，由caA =sin求角A ，B ＝90°－A8．测量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、倾斜角、株距、坡距等二、例题分析例1 解答下列各题：(1)化简求值：45cos 45sin 30cos 60sin 45tan 60tan -+-＋sin30°；(2)若,sin cos ,232sin αβα==(2α，β为锐角)，求)32tan(β的值； (3)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简A A cos sin 21-．分析 第(3)题可以先利用关系式sin 2A ＋cos 2A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式．解 (1)30sin 45cos 45sin 30cos 60sin 45tan 60tan +-+- 211333212222232313+--=+-+-=⋅-=6323(2)232sin =α ，且2a 为锐角，∴2α＝60°，α＝30°．,2221sin cos ===∴αβ ⋅==∴=∴3330tan )32tan(.45 ββ(3)∵A A cos sin 21-A A A A cos sin 2cos sin 22-+=|,cos sin |)cos (sin 2A A A A -=-=A A cos sin 21-∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=)9045(cos sin )450(sin cosA A A A A A ． 说明：由第(3)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin a cos a ＝(sin a ±cos a )2．例如，若设sin a ＋cos a ＝t ，则).1(21cos sin 2-=t αα 例2 (1)如图17－6，在△ABC 中，若∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC 的长为( )．图17－6A ．10²tan50°B ．10²cos50°C ．10²sin50°D ．50tan 10(2)如图17－7，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝53，求cos A ＋tan B 的值．图17－7(3)如图17－8所示的半圆中，AD 是直径，且AD ＝3，AC ＝2，则sin B 的值等于______．图17－8分析 (1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k 表示各边．(3)要求sin B 的值，可以将∠B 转化到一个直角三角形中． 解 (1)选B ．(2)在△ABC 中，⋅===∠53sin ,90A AB BC C设BC ＝3k ，则AB ＝5k (k ＞0)．由勾股定理可得AC ＝4k ，⋅=+=+∴15323454tan cos k k k k B A (3)由已知，AD 是半圆的直径，连接CD ，可得∠C ＝90°． 而∠B ＝∠D ，所以⋅===32sin sin AD AC D B 说明 已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cos A 时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin 2A ＋cos 2A ＝1，读者可自己尝试完成．例3 如图17－9，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sin B ²sin C 的值．图17－9分析 为求sin B ，sin C ，需将∠B ，∠C 分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B ，C ，向CA ，BA 的延长线作垂线段，即可顺利求解．解 过点B 作BD ⊥CA 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BA 的延长线于点E ． ∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°．;5211060cos =⨯=⋅=∴ AB AD .35231060sin =⨯=⋅= AB BD又∵CD ＝CA ＋AD ＝10，,7522=+=∴CD BD BC⋅==∠∴721sin BCBD BCD 同理，可求得⋅=∠1421sin ABC 1421721sin sin ⨯=∠⋅∠∴BCD ABC ⋅=143 说明 由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4 (1)如图17－10，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；图17－10(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长? (3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 满足1312sin =A ，如何求BC 的长及△ABC 的面积?若AC ＝3，其他条件不变呢?分析 第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．解 (1)过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵∠A ＝30°，∠ACD ＝105°，∴∠B ＝45°． ∵AC ²sin A ＝CD ＝BC ²sin B ，.2445sin 30sin 8sin sin ==⋅=∴BA AC BC ∴AB ＝AD ＋BD ＝AC ²cos A ＋BC ²cos B .43445cos 2430sin 8+=+=(2)作CD ⊥AB 的延长线于D ，则AB ＝.24,434=-BC(3)作BD ⊥AC 于D ，则BC ＝25，S △ABC ＝204．当AC ＝3时，∠ACB 为钝角，BC ＝25，S △ABC ＝36．说明 对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30°、45°、60°的角)，然后通过解直角三角形得到原来斜三角形的边、角的大小．例5 在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝3，AB ＝33，求∠BCA 的度数和AC 的长．分析 由于∠A 是一个特殊角，且已知AB ，故可以作AC 边上的高BD (如图17－11)，可求得233=BD ．由于此题的条件是“两边一对角”，且已知的对角边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC 与AC 边上的高BD 的大小，而33233<<BC ，所以此题有两解．图17－11解 作BD ⊥AC 于D ．(1)C 1点在AD 的延长线上． 在△ABC 1中，233,31==BD BC ， ⋅=∴23sin 1C ∴∠C 1＝60°．由勾股定理，可分别求得⋅==29,231AD DC .6232911=+=+=∴DC AD AC (2)C 2点在AD 上．由对称性可得，∠BC 2D ＝∠C 1＝60°，⋅==2312D C D C .32329,12022=-==∠∴AC A BC 综上所述，当∠BCA ＝60°时，AC ＝6；当∠BCA ＝120°时，AC ＝3．说明 由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．例6 如图17－12，某船向正东航行．在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°方向，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A ，D 两点间的距离(结果保留根号)．图17－12解 作CE ⊥AD 于E ，设CE ＝x (海里)， ∵∠CAD ＝∠CDA ＝45°， ∴CE ＝AE ＝DE ＝x ．在Rt △CEB 中，∠CEB ＝60°，BE ＝DE －BD ＝x －10．.360tan 10===-∴BECFx x 解得.35153330+=-=x)31030(2+==∴x AD (海里)．答：A ，D 两点间的距离为)31030(+海里．说明 已知斜三角形中的SSS ，SAS ，ASA ，AAS 以及SSA 条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图17－13)：图17－13例7 如图17－14，河流两岸a ，b 互相平行，C ，D 是河岸a 上间隔50m 的两个电线杆，某人在河岸b 上的A 处测得∠DAB ＝30°，然后沿河岸走了100m 到达B 处，测得 ∠CBF ＝60°，求河流的宽度CF 的值(结果精确到个位)．图17－14解 过点C 作CE ∥AD 交AB 于E ． ∵CD ∥AE ，CE ∥AD ，∴四边形AECD 是平行四边形．∴AE ＝CD ＝50，EB ＝AB －AE ＝50， ∠CEB ＝∠DAB ＝30°．又∵∠CBF ＝60°，故∠ECB ＝30°． ∴CB ＝EB ＝50．在Rt △CFB 中，CF ＝CB ²sin ∠CBF ＝).m (4332560sin 50≈=答：河流的宽度约为43m ．例8 如图17－15所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．图17－15分析 这是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解． 解 如图17－16，延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ．图17－16∴DF ＝DB ²sin15°≈50³0.26＝13.0， CE ＝BF ＝DB ²cos15°≈50³0.97＝48.5． ∴AE ＝CE ²tan10≈48.5³0.18＝8.73．∴AB ＝AE ＋CD ＋DF ＝8.73＋1.5＋13.0≈23.2(m)． 答：树高约为23.2m ．说明 一些特殊的四边形，可以通过切割补形的方法将其转化为若干个三角形来解．例9 如图17－17，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，S △ACD ∶S △CDB ＝2∶3，,54cos =∠DCB AC ＋CD ＝18，求tan A 的值和AB 的长．图17－17解 作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°． ∵,54cos =∠=DCE CE CD 设CD ＝4k (k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ． ∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同， ∴AD ∶DB ＝S △ACD ∶S △CDB ＝2∶3．⋅=+==∴35DB DB AD DB AB DE AC 即.533535k k DE AC =⨯==⋅===∴5454tan k k AC CD A∵AC ＋CD ＝18，∴5k ＋4k ＝18．解得k ＝2．.4124122==+=∴k CD AC AD.41523=+=+=∴AD AD DB AD AB说明 本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例10 如图17－18，正三角形ABC 的边长为2，点D 在BC 的延长线上，CD ＝3．图17－18(1)动点P 在AB 上由A 向B 移动，设AP ＝t ，△PCD 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC ＝z ，求z 与t 之间的函数关系式． 解 (1)作PE ⊥BC 于E ，则BP ＝AB －AP ＝2－t (0≤t ＜2)． ∵∠B ＝60°，∴S △PCD =⋅⋅=⋅=B BP CD PE CD sin 2121,23)2(23⋅-t即).20(233433<≤+-=t t y (2)由(1)不难得出，BE t PE ),2(23-=).2(21t -= ).2(21)2(212t t BE BC EC +=--=-=∴∵22222)2(41)2(43t t EC PE PC ++-=+=422+-=t t ).20(422<≤+-=∴t t t z说明 锐角三角函数及解直角三角形的内容经常与函数、圆等知识进行综合．三、课标下新题展示例11 (2009济宁市)坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图17－19为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶(M )的仰角α＝35°，在点A 和塔之间选择一点B ，测出看塔顶(M )的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A ，B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．图17－19(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m(如图17－20)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：图17－20①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：_________； ②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据? ____________．解 (1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m ，则ME ＝(x －1.6)m ． ∵β＝45°，∴DE ＝ME ＝x －1.6．∴CE ＝x －1.6＋18.6＝x ＋17． ∵,35tan tan ==αCE ME7.0176.1=+-∴x x ，解得x ＝45． ∴太子灵踪塔MN 的高度为45m ． (2)①测角仪、皮尺；②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．例12 (2009泰安市)如图17－21，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线y ＝m x +-33与x 轴交于点E ．求点E 的坐标．图17－21解 作AF ⊥x 轴于F ．∴OF ＝OA ²cos60°＝1°， AF ＝OF ².360tan =∴点A 坐标为)3,1(．代入直线解析式，得,3133=+⨯-m ⋅=∴334m ⋅+-=∴33433x y 当y ＝0即033433=+-x 时，x ＝4． ∴点E 坐标为(4，0)．四、课标考试达标题 (一)选择题1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3．下列各式中，正确的是( )．A ．32sin =B B ．32cos =B C ．23tan =BD ．32tan =B2．如图17－22，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是( )．图17－22A ．32 B ．23 C ．43D ．343．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，=B cos 32，则tan A 的值为( )． A ．352B ．35C ．55 D ．552 4．如果α是锐角，且54sin =α，那么cos(90°－α)＝( )． A ．54 B ．43 C ．53D ．51 5．已知α是锐角，且cos α的值小于21，那么∠α( )．A ．大于60°B ．大于30°C ．小于30°D ．小于60°6．如图17－23，P 为⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，OP ＝5，P A ＝4，则sin ∠APO 的值等于( )．图17－23A ．54 B ．53 C ．34D ．437．如图17－24，已知⊙O 的半径为1，AB 与⊙O 相切于点A ，OB 与⊙O 相交于点C ，CD ⊥OA ，垂足为D ，则tan ∠AOB 的值等于( )．图17－24A ．ODB ．OAC ．CD D ．AB8．如图17－25，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m ，l 2＝6.2m ，l 3＝7.8m ，l 4＝10m ．4种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )．图17－25A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4(二)填空题9．若03sin 32=-⋅α，α为锐角，则α＝______．10．在△ABC 中，∠C ＝90°，,53,15==AC BC 则∠A ＝________，AB ＝_______，S △ABC ＝______．11．如图17－26，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于______．图17－2612．把两块含有30°的相同的直角尺按如图17－27所示摆放，使点C ，B ，E 在同一条直线上，连接CD ，若AC ＝6cm ，则△BCD 的面积是______cm 2．图17－2713．如图17－28，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形纸片，A 点坐标为(0，2)，E 是线段BC 上一点，且∠AEB ＝60°，将纸片沿AE 折叠后B 点落在点F 处，那么点F 的坐标是______．图17－28(三)解答题14．计算30cos 90sin 0tan 60cos 145tan 22++-＋sin 245°．15．如图17－29，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ，AD ＝7，tan A ＝2，求CD 的长．图17－2916．如图17－30，已知正方形纸片ABCD 中，E 为BC 上一点，将正方形折叠起来，使A点和E 点重合，折痕为MN ，若tan ∠AEN ＝31，DC ＋CE ＝10．求：(1)△ANE的面积；(2)sin∠ENB的值．图17－3017．为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其横截面为一梯形(如图17－31)．堤的上底宽AD和堤高DF都是6 m，其中∠B＝∠CDF．图17－31(1)求证：△ABE∽△CDF；(2)如果tan B＝2，求堤的下底BC的长．参考答案第十七讲 解直角三角形1．D ． 2．C ． 3．D ． 4．A ． 5．A ． 6．B ．7．D ． 8．B ． 9．60°．10．30°，⋅2315,152 11．2.4． 12．27． 13．)32,1(--． 14．⋅4115．37=CD ．提示：分别延长AD ，BC 相交于点O ．16．(1)△ANE 的面积为310；(2)⋅=∠53sin ENB17(1)略；(2)BC 长21米．。
解直角三角形讲义
一． 知识梳理考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒ BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒ CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ∙=2⇒ AB AD AC ∙=2CD ⊥AB AB BD BC ∙=26、常用关系式由三角形面积公式可得： AB ∙CD=AC ∙BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c as in =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα21 2223 1cos α 1232221 0tan α 03313不存在cot α 不存在31334、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系1cos sin 22=+A A（3）倒数关系 tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解直角三角形 知识讲解
解直角三角形 知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： ①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== ④，h 为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法由由，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算；2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图；2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解；3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b = 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知， 由cos =a B c 知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c =．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【变式】（1）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=23, c=6 ，求a 和b.【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案与解析】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c =°，∴ 1202c=． ∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，a =．【总结升华】解这个直角三角形就是根据已知∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，求∠A 、a 、c 的过程． 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CDsin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD＝ ∴ BD= ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵2CD AD ==，∴ CD 2＝(BO －BE)·BD ，∴BE =在Rt △ABE 中，AB ＝BE ．sin ∠AEB32=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造盲角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AC=12cm ，AB=16cm ，sinA=13． （1）求AB 边上的高CD ；（2）求△ABC 的面积S ；（3）求tanB ．【答案】（1）CD=4cm ；（2）S=32 cm 2；（3）类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ． 【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°，∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
解直角三角形 (专题讲解)精品课件
长是 4 或 4 3或43 3
．
14．(8 分)已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3.点 D 为 BC 边上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC 的周长．(结果保留根号)
解：在 Rt△ADC 中，AD＝sin∠ACADC＝sin603°＝2，∴BD＝2AD＝4， DC＝tan∠ACADC＝tan630°＝1，∴BC＝BD＋DC＝5. 在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2＝2 7，∴△ABC 的周长＝2 7＋5＋ 3
3．(4分)如图，一几何体的三视图如下，那么这个几何体是四__棱__柱__．
知识点2 平面展开图折叠成几何体 4．(4分)下列四个图形中，是三棱锥的表面展开图的是( B )
5．(4分)下列各图形中，经过折叠能围成一个立方体的是( A )
6．(4分)如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧 面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是图中的( D )
观察三视图，并综合考虑各视图所表示的意思以及视图间的联系， 可以想象出三视图所表示的__立__体__图__形__的形状．
知识点1 根据三视图制作立体图形 1．(4分)右图是某个几何体的三视图，该几何体是( B )
A．长方体 B．三棱柱 C．正方体 D．圆柱
2．(4分)用马铃薯制成的立体模型，有四个面是全等的长方形， 两个面是全等的正方形，长方形的宽等于正方形的边长，则这个 立体模型的三视图是( A )
4．(4 分)如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量 者在与 A 同侧的河岸边选定一点 C，测出 AC＝a 米，∠A＝90°，∠C＝40 °，则 AB 等于( C )
解直角三角形(仰角和俯角)讲义
解直角三角形（仰角和俯角）一、知识点讲解1、仰角和俯角的定义：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
二、典例分析利用解直角三角形解决仰角、俯角问题例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为A、50B、51C、50+1D、101第1题第2题第3题2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。
3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）反馈练习 基础夯实1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1200m D 、 2400m第1题 第2题 第3题 第4题2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。
解直角三角形讲义
教学重难点
重点：
直角三角形的解法．
难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
解直角三角形讲义
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、 b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量 关系呢？
B
c
a
┓
A
C
b
解直角三角形讲义
B
c
a
┓
A
C
b
6 个
元
三边
5
两个锐角 个
素 一个直角（已知）
解直角三角形讲义
△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且b＝3，∠A＝30°， 求∠B，a，c．
B
c?
? a?
30° 3
┓
A
C
b
解直角三角形讲义
解直角三角形的依据
（1）三边之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
B
a
c
┓ Cb
Ⅰ． b＝ 3 2 1 c＝15
tan A 2 21 21
Ⅱ．a 2 6 ,c 1 0 ,
A
3
3
sin B 12 26 13
解直角三角形讲义
（3） 在△ABC中，∠C为直角，∠A、 ∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个三角形．
∠A＝47°54′． a≈213．3． b≈192．7．
解直角三角形讲义
仰角和俯角
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
在进行测量时： 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
解直角三角形讲义
解直角三角形24．1 锐角三角函数锐角三角函数概念：B规定：在Rt△BC 中，∠C=90 ，斜边c∠A的对边 a ∠A 的对边记作a，∠B 的对边记作b，∠C 的对边记作c．A C∠A的邻边b 在Rt△BC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA，即sinA= =ac ．sinA ＝A的对边 aA的斜边 c把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，A的邻边 a记作cosA ，即cosA= = ；斜边c把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA ，即tanA= A的对边A的邻边=ab ．例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，求值．B sinA= cosA=3 tanA= sinB=A4 C cosB= tanB=(1)sinA= cosA=_BtanA= sinB=__C_A_特殊角的三角函数值：130°45°60°siaAcosAtanA例2：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）260°+sin260°．（2）c os 45sin 45-tan45°．练习：1、2、计算：解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
直角三角形ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有以下等量关系(1)边角之间关系sina b aA ; cos A ; tan A ; cotc c bAbasinb a bB ; cos B ; tan B ; cotc c aBab如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.sin 的对边斜边；cos的邻边斜边；tan的对边的邻边；cot的邻边的对边(2)三边之间关系(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．2 2 2a +b =c (勾股定理)以上三点正是解直角三角形的依据．例3：在Rt△ABC 中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，c 35 2 ，求∠A、∠B，b；(2)已知：a 2 3 ，b 2 ，求∠A、∠B，c；2sin A(3)已知： 3，c 6，求a、b；3(4)已知：tan B , b 9, 求a、c；2(5)已知：∠A＝60°，△ABC 的面积S12 3,求a、b、c 及∠B．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．例4、如图，大海中某岛C 的周围25km 范围内有暗礁．一艘海轮沿正东方向航行，在 A 处望见C 在北偏东60°处，前进20 km 后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续沿正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈ 1.41，≈ 1.73）练一练：1、某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象．已知A、B 两点相距 6 米，探测线与地面的夹30°和45°，试确定生命所在点 C 的深度．（精确到0.1 米，参考数据：≈ 1.41，角分别是≈ 1.73）2、如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东60°的方向，轮船从 B 处继续向正东方向航行200 海里到达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈ 1.732）例5、如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥P D ，在小道上测得如下数据：AB =60 米，∠PAB =45°，∠PBA =30°．请求出小桥PD 的长．练一练：1、如图，A，B，C 分别表示三所不同的学校，B，C 在东西向的一条马路边， A 学校在 B 学校北偏西15°方向上，在 C 学校北偏西60°方向上，A，B 两学校之间的距离是1000 米，请求出∠BAC 的度数以及A，C 两学校之间的距离．2、如图，小明在楼顶处测得对面大楼楼顶点处的仰角为52°，楼底点处的俯角为13°．若两座楼与相距60 米，则楼的高度约为米．（结果保留三个有效数字）（，，，，，）坡度与坡角坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），即坡角的正切值「即tan ∠α」。
解直角三角形 (专题讲解)精品课件
两 个元素且至少有一个是 2．解直角三角形的条件是必须知道除直角外的____ 边 ． ____
1．(4 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度数 为( D ) A．90° B．60° C．45° D．30° 2．(4 分)在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A 的值，最 适宜的做法是( C ) A．计算 tanA 的值求出 B．计算 sinA 的值求出 C．计算 cosA 的值求出 D．计算 cosB 的值求出
3．(8 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，已知 BC＝12，AC＝4 3， 解这个直角三角形．
BC 12 解：∵tanA＝AC＝ ＝ 3，∴∠A＝60°， 4 3 ∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，AB＝2AC＝8 3
4．(4 分)如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量 者在与 A 同侧的河岸边选定一点 C，测出 AC＝a 米，∠A＝90°，∠C＝40 °，则 AB 等于( C ) A．asin40°米 C．atan40°米 B．acos40°米 a D. 米 tan40°
3 5． (4 分)如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°， AC＝9， sinB＝5， 则 BC( B ) A．15 B．12 C．9 D．6
6．(8 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，c＝8 3，∠A＝60°， 解这个直角三角形．
解：∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°. a 3 ∵sinA＝c，∴a＝c· sinA＝8 3×sin60°＝8 3× 2 ＝12， ∴b＝ c2－a2＝ （8 3）2－122＝4 3
10．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝6，D 是 AC 上一点， 1 若 tan∠DBA＝5，则 AD 的长为( A ) A．2 C. 2 B. 3 D．1
解直角三角形讲义
1 辅导讲义 课 题 九（下）第一章、解直角三角形教学目标 1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。
会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。
2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。
3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习品质。
重点、难点 重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。
难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题考点及考试要求教学内容1.1~1.2锐角三角函数及其计算边角之间的关系（锐角三角函数）: sin ,cos ,tan a b a A A A c c b=== ★ 22sin sin cos(90)cos ,tan ,sin cos 1cos A A A B A A B A =-==+= ★ 三角函数的单调性：090sin sin 1A B A B ≤<≤≤<≤当时，0090cos cos 1A B B A ≤<≤≤<≤当时，004590tan 1tan A B A B ≤<<≤≤<<≤+∞当时，00180tan A A A <<<当时，sin如下图，⊙O 是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α∠，b ∠=,sin CD EF CD b EF OC OEα===sin CD EF <,sin sin a b < =,tan CD AB CD AB OC OB αα===sin ,CD AB <tan αα∴<sin 其它均可用上图来证明。
30°，45°，60°的三角函数值（见右表）例（1）计算： sin60°·tan30°+cos ² 45°=（2）把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ’B ’C ’，那么锐角A 、A ’的余弦值的关系为2 （3）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝ ，cosB=（4）如果1cos 3tan 302A B -+-=那么△ABC 是（5）在ABC A B C ∠∠∠中，a,b,c 分别是，，的对边，已知a=10,32,b =+32c =-， 则sin sin b B c C +的值等于（6）已知cos α<0.5,那么锐角α的取值范围是(7)已知α为锐角，则m =sin α+cos α的值（ ）A ．m ＞1B ．m =1C ．m ＜1D ．m ≥11.3解直角三角形在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念仰角和俯角 （2）坡度tan i a = （3）方位角例 兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD ＝14米，该河岸的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)F E DC B A45°37° C B AD E FG3。
解直角三角形(共30张)PPT课件
比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。
《解直角三角形》 讲义
《解直角三角形》讲义一、直角三角形的基本概念直角三角形是指有一个角为 90 度（直角）的三角形。
在直角三角形中，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
我们通常用符号“∠C ＝90°”来表示三角形 ABC 是直角三角形，其中∠C 是直角。
直角边通常用小写字母 a 和 b 表示，斜边用大写字母 c 表示。
二、勾股定理勾股定理是解直角三角形的重要基础。
它指出：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：a²＋ b²＝ c²例如，一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边 c 的长度可以通过勾股定理计算：3²＋ 4²＝ c²9 ＋ 16 ＝ c²25 ＝ c²所以 c ＝ 5三、三角函数在直角三角形中，我们引入了三角函数来描述边与角之间的关系。
主要的三角函数有正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
正弦函数：sin A ＝对边／斜边例如，在直角三角形 ABC 中，∠A 的对边为 a，斜边为 c，则 sin A ＝ a ／ c余弦函数：cos A ＝邻边／斜边比如，∠A 的邻边为 b，斜边为 c，那么 cos A ＝ b ／ c正切函数：tan A ＝对边／邻边对于∠A，tan A ＝ a ／ b四、特殊角的三角函数值在解直角三角形中，一些特殊角度（30°、45°、60°）的三角函数值需要牢记。
当角度为 30°时，sin 30°＝ 1/2，cos 30°＝√3/2，tan 30°＝√3/3当角度为 45°时，sin 45°＝ cos 45°＝√2/2，tan 45°＝ 1当角度为 60°时，sin 60°＝√3/2，cos 60°＝ 1/2，tan 60°＝√3五、解直角三角形的基本类型1、已知两条直角边 a 和 b，求斜边 c 和两个锐角的度数。
解直角三角形一对一讲义
变式训练： 3．已知锐角△ ABC 中，AD⊥ BC 于 D，∠ B=450，DC=1，且
S ABC =3，则 AB=
（ ）
。
4．已知△ ABC 中，AD 是高，AD=2，DB=2，CD=2 3 ，则∠ BAC= (A) 1050 题型 4 仰角和俯角 (B) 150 (C) 1050 或 150 (D) 600
B
1 2
B.
3 3
C. 1
D.
3
3. 在△ ABC 中，若 cos A 2 ， tan B
2
3 ，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图 18，在△ EFG 中，∠ EFG=90° ，FH⊥ EG，下面等式中，错误的是（ ） A. sin G EF C. sin G GH
2. 如图 22，在△ ABC 中，∠ C=90° ，∠ BAC=30° ，AD=AB，求 tanD。
3. 已知直角三角形中两条直角边的差是 7cm，斜边的长是 13cm，求较小锐角 α 的各三角函数值。
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题型 3 解斜三角形 1.如图 6 所示，已知：在△ ABC 中，∠ A=60° ，∠ B=45° ，AB=8，• 求△ ABC 的面积（结果 可保留根号） ．
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2.如图，海上有一灯塔 P，在它周围 3 海里处有暗礁，• 一艘客轮以 9 海里/时的速度由西向东航行，行至 A 点处测 得 P 在它的北偏东 60° 的方向，继续行驶 20 分钟后，到达 B 处又测得灯塔 P 在它的北偏东 45° 方向，问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险？
解直角三角形(坡度和坡角)讲义
解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。
3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。
变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。
3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。
初中数学解直角三角形综合讲义
1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。
解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。
初三数学解直角三角形知识精讲
初三数学解直角三角形知识精讲解直角三角形直角三角形是在实际生产、生活中遇到的最多的几何图形之一，因此有关直角三角形的求解计算是经常需要的，有些斜三角形的计算也可以通过添加适当的辅助线将它转化为直角三角形进行求解。
1. 解直角三角形：由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2. 解直角三角形相关的知识 Rt ABC ∆∠=︒C 90AcbCaB（1）三边之间的关系：a b c 222+=（2）锐角之间的关系：∠+∠=︒A B 90（3）边与角之间的关系：sin cos cos sin tan cot cot tan A B a c A B b cA B a b A B ba========，，（4）Rt ACB ∆中，CD AB ⊥于D 设CD h AD q BD p ===，，，则 a b c a pc b qc h pq a bpq ab ch22222222+======，，，，3. 直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型在解直角三角形时，恰当地选用直角三角形中五个元素之间的关系是正确、迅速地解直角（1）利用勾股定理求c 。
（2）在求两个锐角∠∠A B 、时，利用边角关系，最好不要选择正弦或余弦函数，因为在求c 时，可能出现计算错误，从而导致连锁性错误的发生。
4. 应用解直角三角形的知识解决实际问题关键在于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，根据题意，准确画出示意图，利用已学过的几何图形用有关性质，作出必要的辅助线，将实际问题转化为解直角三角形的问题。
解直角三角形的实际问题有以下几个常见的类型（1）解斜三角形，利用题目中的特殊角3045︒︒、、60︒，通过作高线，构造直角三角形。
有些非特殊角与特殊角有着直接联系，如：15°30°153015︒−→−−︒+︒7530451054560︒−→−−︒+︒︒−→−−︒+︒分解分解120606018060120120︒−→−−︒+︒︒−→−−︒-︒︒⎧⎨⎪⎩⎪分解分解作角的平分线作角的邻补角()() 135904513518045135150906015018030150︒−→−−︒+︒︒−→−−︒-︒︒⎧⎨⎪⎩⎪︒−→−−︒+︒︒−→−−︒-︒︒⎧⎨⎪⎩⎪分解分解分解分解过角的顶点作其一边的垂线作角的邻补角过角的顶点作其一边的垂线作角的邻补角()()()()（2）解四边形<1>平行四边形：作高线构造直角三角形。
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龙文教育学科教师辅导讲义
课题九（下）第一章、解直角三角形
教学目标
1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角
三角形中加以解决。
会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。
2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。
3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习
品质。
重点、难点
重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。
难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题
考点及考试要求
教学内容
1.1~1.2锐角三角函数及其计算
边角之间的关系（锐角三角函数）:
sin,cos,tan
a b a
A A A
c c b
===
★22
sin
sin cos(90)cos,tan,sin cos1
cos
A
A A
B A A B
A
=-==+=
o
★三角函数的单调性：090sin sin1
A B A B
≤<≤≤<≤
o o
当时，0
090cos cos1
A B B A
≤<≤≤<≤
o o
当时，0
04590tan1tan
A B A B
≤<<≤≤<<≤+∞
o o o
当时，0
0180tan
A A A
<<<
o o
当时，sin
如下图，⊙O是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α
∠，b
∠
=,sin
CD EF
CD b EF
OC OE
α===
Q sin CD EF
<
Q,sin sin
a b
<
Q
=,tan
CD AB
CD AB
OC OB
αα
===
Q sin,CD AB
<
Q tan
αα
∴<
sin
其它均可用上图来证明。
30°，45°，60°的三角函数值（见右表）
例（1）计算： sin60°·tan30°+cos ² 45°=
（2）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为
A D
B
E
i =1:3
C
（3）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝
3
1
，则sin B ＝ ，cosB= （4）如果1cos 3tan 302
A B -
+-=那么△ABC 是
（5）在ABC A B C ∠∠∠V 中，a,b,c 分别是，，的对边，已知a=10,32,b =+32c =-，
则sin sin b B c C +的值等于
（6）已知cos α<0.5,那么锐角α的取值范围是
(7)已知α为锐角，则m =sin α+cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m =1 C ．m ＜1 D ．m ≥1
1.3解直角三角形
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 仰角和俯角 （2）坡度tan i a = （3）方位角
例 兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD ＝14米，该河岸的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)
例、梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结
果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）
C
B
A D E
F
G
2．如图，一渔船以32千米／时的速度向正北航行，在A 处看到灯塔S 在渔船的北偏东300，半小时后航行到B 处看到灯塔S 在船的北偏东750，若渔船继续向正北航行到C 处时，灯塔S 和船的距离最短，求灯塔S 与C 的距离。
（计算过程和结果一律不取近似值）)4
2675cos ,42675(sin 00-=+=
3．如图，已知两座高度相等的建筑物AB 、CD 的水平距离BC ＝60米，在建筑物CD 上有一铁塔PD ，在塔顶P 处观察建筑物的底部B 和顶部A ，分别测行俯角0030,45==βα
，求建筑物AB 的高。
（计算过程和结果一律不取近似值）
4．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°， 向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求铁塔AB 的高。
5．下图为住宅区内的两幢楼，它们的高m CD AB 30==，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。
当太阳光与水平线的夹角为30°时。
试求：
1）若两楼间的距离m AC 24=时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？
2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？
A C D B
甲 乙
A
C
300 B
D
6．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
（1） 问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2） 若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？
初三数学 解直角三角形的应用 一、选择题：
1．已知等腰三角形底边上的高等于腰的
2
1，则项角为
（ ）
（A ） 300 （B ） 450 （C ） 600 （D ） 900
2．菱形ABCD 的对角线
AC=10，BD=6，则 tan 2A
=
（ ） （A ）
53 （B ） 54
（C ） 34
3 （D ）以上都不对 3．在高出海平面100米的山岩上一点A ，看到一艘船B 的俯角为300
，则船与山脚的水平距离为
（ ）
（A ） 50米 （B ）200米 （C ）1003米 （D ）
33
100
米 4．正方形的对角线长为3，则正方形的面积为 （ ）
（A ） 9 （B ）23 （C ）26 （D ）23
5．如果三角形的斜边长为4，一条直角边长为23，那么斜边的高为 （ ）
（A ） 23 （B ）23
（C ）3 （D ）2
6．Rt △ABC 中，∠C=900
，斜边AB 的坡度为1：2，若BCAC ，则BC ：AC ：BA 等于 （ ） （A ） 1：2：5（B ）1：3：2 （C ） 1：5:3 （D ）1：2：5
7．若从山项A 望地面C 、D 两点的俯角分别为450
、300
，C 、D 与山脚B 共线，若CD=100米，那么山高AB 为 （ ）
（A ） 100米 （B ） 50米 （C ） 502米 （D ） 50（13 ）米
B
D C。