考研真题【数学三】考研数学_高数、线代、概率_公式大全(高清排列整齐打印版)

1- x 2

1- x 2

x 2 - a 2 a 2 - x 2

导数公式：

全国硕士研究生统一入学考试

数学公式大全

高等数学公式

(tgx )' = sec 2

x (ctgx )' = -csc 2 x (sec x )' = sec x ⋅ t gx (arcsin x )' =

1

(arccos x )' = - 1

(csc x )' = -csc x ⋅ c tgx (a x )' = a x ln a

(arctgx )' =

1

1+ x 2

(log a x )' =

1

x l n a

(arcctgx )' = -

1

1+ x 2

基本积分表：

⎰tgxdx = - ln cos x + C ⎰ ctgxdx = ln sin x + C

dx cos 2 x dx

= ⎰sec 2

xdx = tgx + C ⎰sec xdx = ln sec x + tgx + C

⎰ sin 2 x = ⎰csc 2 xdx = -ctgx + C

⎰ csc xdx = ln csc x - ctgx + C dx = 1 arctg x

+C

⎰sec x ⋅ tgxdx = sec x + C ⎰csc x ⋅ ctgxdx = -csc x + C

⎰ a

2 + x

2

a dx

=

1

a ln

x -

a + C ⎰

a x

dx =

a x

C ln a ⎰ x 2 - a 2 dx a 2 - x 2 2a x + a

= 1 ln a + x + C 2a a - x ⎰ shxdx = chx + C ⎰chxdx = shx + C ⎰ dx = arcsin x + C ⎰

dx = ln( x + x 2 ± a 2 ) + C

a 2 - x

2

a x 2 ± a 2

π

2 I n = ⎰sin 0 π

2

xdx =⎰cos n

xdx = n -1 n

I n -2

dx = x 2 ⎰ dx = x 2 + a 2 + a 2 2 - a 2 2 a 2 ln(x + ln x + x

) + C + C

⎰ dx = + arcsin + C 2 a

x 2 + a 2 x 2 + a 2 x 2 x 2 - a 2 x 2 - a 2

x 2 a 2 - x 2 ⎰ ⎰ + n ⎰

三角函数的有理式积分：

sin x =

2u 1+ u 2 ， cos x = 1- u 2 ， 1+ u 2 u = tg x ， 2

dx = 2du 1+ u 2

一些初等函数：

两个重要极限：

e x - e

- x

双曲正弦: shx = lim

sin x = 1

2 x →0

x

双曲余弦: chx = e x + e

- x

lim(1+ 1

)x = e = 2.718281828459045...

双曲正切: thx =

2 shx = chx

e x - e - x

e x + e - x

x →∞x

arshx = ln( x + archx = ±ln( x + x 2 +1） x 2 -1)

arthx = 1 ln 1+ x

2 1- x

三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式：

·和差化积公式：

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

sin α + sin β = 2 s in

α + β

cos

α - β

cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β

α

2

2

tg α ± tg β

sin α - sin β = 2 cos + β sin α - β

tg (α ± β ) =

1 tg α ⋅ tg β ctg α ⋅ ctg β 1

cos α + cos β = 2 c os 2 α + β 2 cos 2 α - β 2

ctg (α ± β ) =

ctg β ± ctg α

cos α - cos β = 2 sin

α + β

sin

α - β

2

2

y ' (1+ y '2 )3

(uv ) = ∑C u

v

·倍角公式：

sin 2α = 2 sin α c os α

cos 2α = 2 c os 2

α -1 = 1- 2sin 2

α = cos 2

α - sin 2

α

ctg 2α -1

sin 3α = 3sin α - 4sin 3 α

cos 3α = 4 c os 3 α - 3cos α ctg 2α =

tg 2α = 2ctg α

2tg α

tg 3α =

3tg α - tg 3α 1- 3tg 2α

1- t g 2α

·半角公式：

sin α

=

2

cos α

=

2

tg α

=

= 1- cos α = sin α ctg α

=

= 1+ cos α = sin α

2 sin α 1+ cos α

2 sin α 1- cos α

·正弦定理：

a = sin A

b sin B = c

sin C

π

= 2R ·余弦定理： c 2

= a 2

+ b 2

- 2ab cos C

π

·反三角函数性质： arcsin x =

- arccos x

2

arctgx = - arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

n

(n ) k (n -k ) (k )

n k =0

= u (n ) v + nu (n -1) v ' +

n (n -1) u (n -2) v ' + + n (n -1) (n - k +1) u (n -k ) v (k )

+ + uv (n )

2! k !

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a ) f (b ) - f (a ) f '(ξ )

柯西中值定理： F (b ) - = F (a )

F '(ξ )

当F(x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds = 1+ y '2 dx ,其中y ' = tg α

平均曲率：K

∆α : 从M 点到M '点，切线斜率的倾角变化量；∆s ：MM '弧长。 M 点的曲率：K === . ∆s →直线：K = 0; 半径为a 的圆：K = 1

.

a

定积分的近似计算：