全称命题与特称命题

全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)
I 备战3019年高考高三IS 学F 热点、难点一闻丁尽】
考纲要求： 1、考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容; 2、能正确地对含有一个量词的命题进行否定，并判断真假 基础知识回顾：
命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词. 简单复合命题的真值表(用于判定复合命题的真假)
命题
P 的否命题，指的是对命题 P 的条件和结论的同时否定 应用举例： 类型一、含有逻辑联结词的命题的真假判断
【注】口诀：真“非”假, 2、全称量词与存在量词 假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真 (1)常见的全称量词有: “任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
(2)常见的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些” “有一个”“某个” “有的”等.
(3)全称量词用符号“ ？ ”表示；存在量词用符号“ ？ ”表示. 3、全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题.
4、命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题； (2)特称命题的否定是全称命题.
⑵P 或q 的否定为： 「卩且「q ； P 且q 的否定为： 「卩或「q . 全称命题 P : V X 亡M ,p(x)全称命题P 的否定(「p )： 3 X 亡M 厂p(x)
特称命题
P ： 3^ M , p(x)特称命题的否定 -'p : V x 亡M 厂
P(X)
【注】命题 P 的否定，即「P ，指对命题P 的结论的否定; 第06讲
真假猴王”-全称命题与特称令题
1、 简单的逻辑联结词
【例1】【福建省漳州市2018届高三5月质量检测】已知命题P
使得f （Q=〔亦.-1） F 朋F + 1是 幕
函 数，且在 ©+㈤上单调递增•命题 们“3 E R,工-1<X ”的否定是“ V X E R ,2-1 AX ”，则下 列命题为真命题的是 A. (「P )vq B . (「rtA(F)
【答案】C
1解析】分析：^2m-l = b 解得矶=匚可得卩是真命题，根据特称命题的定义可判断q 是假命範逐一
判断各选项中的命题的頁假』即可得结果一 详解；命题P 燼亦-1 =1,解得TH = 1,贝Ij/Cx ）=妒为gffi 数，且在a+00）上单调連増，因旳是真命题， 命题E R 川—1 V 妒的否定是e 用用—1
因此g 是假命题四个选项中的命题为真命题的是
其余的为假命题，故ac
点睛：本题主s 考查了g 函数的定义与单调性，非、且、或命题的《假，考查了推理能力，属于简单题.
【例2】【山东省威海市 2018届高三下学期第二次模拟】
已知命题P : “廿灯A 切叫> |州”，命题勺：
C 0,2 >0”，则下列为真命题的是（
A. pAg B . -.pA-iQ C . pyq D . pgq 【答案】C
【解析】 分析：先判断命题P 和q 的真假，再判断选项的真假
详解：对于命题 P,当 a=0,b=-1 时，0>-1，但是 |a|=0,|b|=1,|a|<|b|. 3 孑 A Jo r i\ Xrn =■ 1/2 = - > 0 ,
对于命题q 严oZE AU ,如 2 所以命题q 是真命题. 所以P V 彳为真命题.
故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基 础知识的能力.（2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真 类型二、全（特）称命题的真假判断
衍尼"vi ,真命题的是（ 所以命题P 是假命题.
【例 3】【福建省南平市
2018 届高三第二次综合质量检查】
命题pgEZiz + g A ,命题
A. pAg B .
C
. pA(-iq) D . (-ip)A(-iq)
【答案】C
【解析】分析：由smx+cosx =V2sin （x-h^）,可知命题卩为真，由指数函数单调性可知命题g 为假 从而 得解.
详解：由sin% +COSX =V2sin （x + 可知命题卩为真命题;
当JK <00寸，-X > 0,贝|上7 > 1, 所次不存在兗<
1.命题g 为假命题.
故选C.
点睛：要判断真合命题的真假，首先必须判断简单命题的削亂再由真值表确定复合命题*假•属于基础题.
f 才 + y < 2
【例4】【江西省赣州市2018年高三（5月）适应性考试】 不等式组\2x-^y >3的解集记为D .有下面四个命 题:
P2：V(%y)eD 2x-y<2,
2x-y>：i ，
【答案】
所以令 "N-y 作为目标函数来研究，求得其范围，对应各个命题，得到结果
p + y < 2
详解：首先作出不等式组 吃疋十y > 3所表示的平面区域, 为直线龙+ y = 2的左下方和直线2x + y=3的右上方的公共部分, 可以求得目标函数^ = 2^-7的值域为1 + '^）, 与各命题的内容作比较，从而得出
丹•巴是正确的，故选 D.
点睛：该题考查的知识点表面上是有关命题的真假问题，实际上是有关线性规划的问题，在解题的过程中, 需要先将约束条件对应的可行域画出来，之后去设定一个目标函数，最后求得结果即可 类型三、全（特）称命题的否定 【例5】【2018年天津市河北区高三数学二模】 命题的否定-■戸为（ A. 3勺 > 0,2 ° 兀：B . Vx > 00 < F C. 3厲>0八< 疋舟 D . 【答案】C
t 解析】分析：根据含有量词的命题的否走求解即可-
Pg
C .Pl 』
D . Pl , P3
【解析】 分析：首先根据题中所给的约束条件画出其相应的可行域，之后由于四个命题都是针对
的取
值情况,
详解：由题意得，命题尹的否定-^^为：3和 ＞厲2呵＜xi. 故选C.
点睛：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一走的区别』否定全称命题和特称命题时，一是要改写 量i 司，全称量i 司改写为存在量词，存在量i 司改写为全称量词,二是S 否定结论.而一般命题的否定只需直 接否定结论即可.
【例6】【重庆市2018届高三第三次诊断性考试】 设命题 却-曲V2,则-1卩为（ ） A. 3兀 £ 疋 > 2 B . Vx E
- inx < 2
C
*龙
—
D . V X
E Q.Z"" -inx = 7.
【答案】C
【解析】分析：首先根据特称命题的否定是全称命题，结合其形式，求得结果 详解：因为F 为：-也K ＞2,故选C. 点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是 全称命题，即可得结果.
类型四、根据命题的真假求解参数的取值范围
1,5 ［，使f （X ）=lg （ax 2
+4x —4 ）有意义.若-'p 为假命题，则实数 a 的取值范围
I 2丿
【答案】（—1,母
飞 为假命题，则P 为真命题，即W x ^M ,5
］，使ax 2
+4X —4A0成立,
I 2丿
【例7】设P :
3x ^
【解析】根据题意，由
-——<1 则｛ 2a 或｛
f(n>0
4 5
—一> —
2a 2
2\ 2，解得a〉0 ；f①>0
12丿
若a =0, 则当x^—,5［总有4x-4>0成立;
I 2丿
若a c O，
i =42 +16a > 0
则｛ 2 5 = a》一1，即一1 c a c
0.
1 < - <
a 2
综上得，所求实数a的取值范围为（-1,+^
【例8】【2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）
五】
Iog2（x2+x+a ）:>0恒成立，命题Q ^x^ ［-2,2 ］，使得2a< 2xo，若命题P A Q为真命题，则实数a的取值范围为
【答
案】
【解析】当P为真命题时」^+3c + fl>l恒成立，所以1-4（° 一1）<0, 当Q为假命题时，-G 为真命题，所臥4>2,又命题P A G为*命謹所以命题只G者妙］真命题，则
5 ”
£i>— 5 < 5
4 ，即-s<2&故实数fl的取值范围ffi -.2 . 必2 4
14」
方法、规律归纳：
1、一个关系：逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、
交、
补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.
2、两类否定
含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题：全称命题p： ? x € M p(x)，它的否定？p: ? x o€ M ? p(x o).
（2）特称命题的否定是全称命题：特称命题p： ? x o€ M p(x o)，它的否定？p： ? x€ M ? P(X).
复合命题的否定：（1）「（p A q）? （? p） V （? q）; (2)「(P V q)? (?p) A (? q).
3、三条规律
（1）对于“ pA q”命题：一假则假；（2）对“p V q”命题：一真则真；（3）对“？p”命题：与“ p”命题真假相反.
4、全称命题与特称命题真假的判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假
（1）先判断简单命题P, q的真假.（2）再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.
6、根据命题真假求参数的3步骤
（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）;
（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
实战演练： 1.【福建省三明市2018届高三下学期质量检查】若命题却工（E &辭：> 1 -护，则「卩（）
A Vjf e < 1 -
B Vx e < 1 -
C 3第 e E P < 1 - D< 1 -
【答案】B
【解析】分折：根特称命题的否定是全称命题判断即可.
详解：该命题是特称命题』则命题的否定是VX E < 1 —故选B.
点.睛：该题考查的是有关特称命题的否定问题』在求解的时候，只要明确特称命题的否是形式即可得结果.
2 .【河南省南阳市第一中学 2018届高三第十二次考试】设有下面四个命题:
①“若^^>0,则石与舌的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题
②若>0,则F加。

£乩2 <0
③“血< 1 ”是“ 口 < 1或b < 1”的充分不必要条件④命题“也£加中，若心円，则sin沖Asin/?”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是（）
A. 3 B . 2 C . 1 D . 0
【答案】B
【解析】①“若禺孑> tb 则第3的夹角为锐角/向量同向时不是钳角,故）¥命题为假 逆翕题均为真, 故①错误;命题②若PRSC E 乩> D,则沖汨扯E &小< 0,故②错常③原命题等价于他“且b > 1- 罡畑 > 1”的充分不必S 条件，故③正确多®命题A /KR 沖，若^>5 血卫 >血^,故@ 正确，
故选氏
3 .【山东省烟台市2018年春季高考第一次模拟考试
】已知命题P ：弧eR , C0软A1,则（ ）
A. 「P ：升 eR ,c0SK<l B . -ip ：Vxe 尺，匸0软<1 c . 「pTxe R , co 软 cl D . -ip ：Vx e R , cosx <
1
【答案】B
【解析】 分析：根据含有一个量词的否定，即可得到命题的否性形式.
详解：根据含有一个量词的否定, 可知命题“心€他8克>1 ”的否定是“「p ：geR ・a^<i ”，故选B.
点睛：本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记含有一个量词的否定形式是解答的关键，着 重考查了分析问题和解答问题的能力.
4 .【峨眉山市第七教育发展联盟 2018届高考适应性考试】己知命题P ： “关于x 的方程x 2
-4x + a=0有
【答案】A
a < 4，然后确定非P 条件下a A 4 ；根据充分不必要条件 确
定3m +1》4，进而求出m 的取值范围。

详解：由命题P 有实数根，则A =16-4a>0 所以非p 时a >4
a >3m +1是非p 为真命题的充分不必要条件，所以 3m +1 >4
m A1，则m 的取值范围为（1,+^
所以选A 点睛：本题主要考查了一元二次方程存在根的条件，复合命题和充分必要条件。

尤其注意条件给出的方式, 确定充分不必要条件，题目不难，属于易错题。

实根”，若非P 为真命题的充分不必要条件为 a :>3m+1,则实数m 的取值范围是（
）
A.
（1严）B 兄）C . （= ,1 ）
3l]
【解析】分析：通过方程有实数根的条件，确定
= cos （2x + 冷
5.【福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试 】已知函数
I 引.命题对3 的图象关于点
[-=0）
\ 12 /对称；命题 A. P A 甲为真命题 C. P V 卑为真命题 【答案】C
【解析】分析：由题意百先确定命題&和歹的真假，然后逐一考查所给选项即可求得最终结果•
详解：箔合函数的解析式可得：f = COS [2 X （-■^） + 0 J 贝疗仞的團象不关于点（-豈川）对称，命题0是假命题, 兀E [-負o]j 则氐+于E [o 罟],故函数fOO 在区间卜2」。

]上为减函数，命题？是真命题; 逐一考查所给的选项:
本题选择C 迭项.
6.【山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试 】设集合= ^ = ｛兀1疋> a]，现有下
面 四个命题:
P ］：3fi E 尺J n £? = 0 .戸2：若口二 0 则 / U /? = ( - 7, + 00〕. 卩3：若=
，则OE 』；卩斗：若A <_ 1，则山匚R .
其中所有的真命题为（ A.丹芒4 B . ^3-^4 C 【答案】B
【解析】由题设可得，山=（-1，刀，则当B>7时，有◎，所以命题卩]正确；若^ = 0时，月=0 +©, 则/" = （-1”十所以命题卩2错误；若匸詔=（-f 2）,则口 = 2",所以命题內正确；若心- 1时，匚£? 成立.故正确答案为B.
1T ■=』
g ：f （划在区间L B J 上为减函数，则（
file:本题主要考查
等知识J 意在考查学生的丰专化能力和计算求解能力.
点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判
断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根心勺（叼 <甩），当aAO时，则有“大于号取两边，即（-*咒i）u（吩+ 8）,小于号取中间，即（心代）”.
7 .【河北省衡水中学 2018届第十六次模拟】下面几个命题中，假命题是（
A. “若a<b,则卯<2 -1”的否命题
B. + ©,函数y = a"在定义域内单调递增”的否定
C. 5是函数y = 的一个周期”或“加是函数y=siii2x的一个周期”
D. “兀'+ / = ”是“ XF = 0”的必要条件
【答案】D
【解析】分析：对4,利用否命题的走义可判断9对利用指数函数的单调性即可得出』对G利用正弦
国数的单调性与电g命题啲定义可判断！对6利用实数的性质和充分必S条件可判断一
详解:对4严若口 < b,则旷< 2血一富的否命题是“若^1 > 4则严> 2血一:r , A是真命题*
对5 E（A 4巧a数y = fl"在定义域内单调递増”的否走为汨口E（A a数y = 口吨定义域内不单调递増■"正确，例如□=爭办函数y = 上单调递减，S为真命题］
对G S是函数y二如的一个周期"，不正确，“2晟函数yain2工的一个周期"正确d根据或命题的
定义可知，（:为ft命题J
对G W +护二ET-F =旷反之不成立，因此'X +r =旷罡“矽=tr的充分不必要条件，D是假
命题，故选D.
点睛：本题通过判断命题的頁假综合考查四种命题及其关系以■及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的直假应注意以下几个方面：⑴首先要分清命题的条件与结论，再比较毎个命题的条件与结
论之间的关系J⑵要注意四种命题关系的相对性，一B—个命题定为惊命题，也就相应地确走了它的“逆
命题'「否命题"“逆否命题‘‘ > 注意利用「'原命計与“逆否命题”同真假J⑶判断命题算假时，可直
接依据定义，定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除一
8.【安徽省滁州市2018届高三9月联合质量检测】已知P：玉忘X2-2elnx兰m ； q :函数
2 _
y =x —2mx+1有两个零点.
（1）若P v q为假命题，求实数 m的取值范围;
(2)若P v q 为真命题，
P
为假命题，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) [―1,0 ) (2)(亠,—1^0,1]
【解析】试题分析：(1>若PW 为假命謹 则两个命题均为假命题，先求出为真时参数的范围再求补集艮卩 可」
⑵ 若为H 命题，为假命题，则卩卫一B —假 试题解析:
若戸対真，=
问题转化为求函数最小值,
f (力=2丸一一=仝迴，令f 〔力=0,解得
X
X
函数/㈤"-2dnx 在(OM)上单调递甌在(忌和)上单调递増, 故丿'(兀=/(问故m>0. 若 g 为真，贝Hi 二斗W?_4A 0 , WiAl 或 m<-l.
⑴ 若P v q 为假命题，则p,q 均为假命题，实数 m 的取值范围为[-1,0 ). ⑵ 若p v q 为真命题， p /\q 为假命题，则p,q —真一假.
由题意可得：若P 为至则斗5 弓 若？为真，则加弓 原冋题等价于P 与？一真一假」结合计算 £ £ ■
1 3 结果分类讨论可得实数胡的取值范围是血 <-或跻=-.
2 2
试题解析: 若对ge ［—U ］, 4肿—力—2恒成立, 设>■(£)= /一2兀-2 ,配方得/(x) = (x-l/-S^
若P 真q 假，则实数m 满足｛ m >0
一1 < m
，即 0 < m <1 ；
若P 假q 真，则实数m 满足｛
m <0 m >1 或 m e -
，即 m < —1 .
综上所述，实数 m 的取值范围为(-处，-1pb,1 ].
9.【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考 】已知m € R,设P ：于X 亡[―1,1],x 2
-2x-4m 2
+8m-2>0
成立; X
q ：指数函数f (x ) = (4—2m )为增函数，如果“ p v q ”为真，“ P ^q ”为假，求实数 m 的取
值范围.
【答案】
【解析】 1
3
m <-或 m =- 2 2
试题分析：
所以/G）在［-1,1］上的最小值为-3、所tv宀沁〜解得*必|「所心为叭*挪弓
3若q 为真：4-2m〉1= mv-,
2
因为pvq”为真，“ PAq”为假，所以P与q —真一假,
1 3
<m < 3
当P真q假时｛ 2 2，所以m =-
I 3 2
m > —
2
m/1或m)-
当P假q真时｛\2/2，所以m e丄，
3 2 m < -
2
1 3 综上所述，实数m的取值范围是m < —或m = — .
2 2
10.［山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试】已知"€R，函数f（x） = a^-X-1 , g（x） = x-ln{xA-l}
（e = 271326- •是自然对数的底数）
（I）讨论函数氏龙）极值点的个数;
（n）若2 1，且命题“叫 U十g），fg畑㈤”是假命题，求实数k的取值范围.
【答案】（1）当灯兰0时，『（对没有极值点，当灯>0时，八町有一个极小值点.（2）（匕+ ®）【解析】试题分析:（1）口町=口/-1，分口<0，心0讨论，当口<0时，对书XWR，心二肿-1<0,
当0>0时f（刘=D，解得龙=-阳，3在（-™，-皿）上是减函数，在（-伽丸十4）上是增函数。

所以，当口<0 时,没有极值点，当口>0时，m 有一个极小值点.（2 ）原命题为假命题，则逆否命题为真命题。

即不等式在区间口十8）内有解。

设F3 = f（x）-g（x）=E* +皿0十1）—伙十i）x— 1 ,所以
If L . …k
F （咒）=护 +--- h{x） = <?^ +--------------- 力（兀）=e -- —.
K+1 -a + 1），设 2 X+1 -（Z1），贝U 0 + 1）\且虹<1是增函数，所以hw>hm =l-k。

所以分k<l和k>1讨论。

试题解析：（I）因为氏尤）=肿-乂-1,所以当口 < 0 时，对甘X G R , f (工)=/X -ICO, 所以对在（-旳+ a〕是减函数，此时函数不存在极值, 所以函数/I对没有极值点;
当a>0时，才（町=^/-1,令f僅）=0，解得北=-伽叭若xe[_oo,-扫町，则f'（x） < 0，所以『（刃在（-旳-也町上是减函数, 若碍+ ◎,则『（町>0，所以『（町在（-血码+呦上是增函数, 当X =-恤时，r（兀〕取得极小值为『（-巾町=巾口, 函数f（鬥有且仅有一个极小值点尤=-曲，所以当灯<0时，代对没有极值点，当^>0时，/（对有一个极小值点.
C 11 ）命题"VXE 風■Hn” f（葢）>kg（X）"是假命题〉则3x E[0. 4-00）, f（x）< ]cg（x）'"是頁命题，即不等
式fCx）<ke（xyttg间[几+«0內有解-
若a = 1 f贝I股FOO = f(x) - kgCx) = + kln(x+ 1) —(k + l}x —1，
所£AF (x)=e-+i-(k+l),设h(x> = e- + 去-(k+l), 则h「凶=P —爲,且b Oci是増函数,所決b（X）> hXO）= 1 - k
当X IB寸，h@ >山所以hQc渣[6+-]上是増函数, h（x）> h（0）=山即F ◎）> 0,所以咋托卩+00）上是増®数、所以F（!O > FCO）= tb即fOO > 唤沁E [0. +00）上恒成立.
当kA IB寸，因为h©）= e"-爲在[0卅《0是増函数,
全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)因为h・(0) = l-k<tb W(k-1}=
所以比展叹一1)上存在［唯一零点召,
当寸，h^(x)<h^Cxo)=0, h(x}S[0.Xo)±单调通凉』
从而hCx) < h(0) = 0,即F©)<tb所以?(野£［0乐)上单调递减,所以当xe(；0.Xc)a寸，F(x)<F(0) = 0,即f(x) <kg(x\
所以不等式f(X)UkgOJ在区间［8+8)内有解
综上所述，实数k的取值范围为(1> +8)・。