三角函数求最值的几种解题策略
三角函数最值的求解策略(解析版)
三角函数最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。
求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一 化一法使用情景：函数表达式形如 f (x )a sin 2 xb cos 2 xc sin x cos xd 类型解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 ya sin xb cos xc 形式；第二步 利用辅助角公式a sin x b cos xa sin(x) 化为只含有一个函数名的形式；第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.x4x cos4例1 已知函数 fx 在 x 0 ，2上的最x，则 f大值与最小值之差为 ．【答案】3i n 2 2 s i n x2x66 , 76，即为换元思想，把2x6 看作一个整体，利用 ysin x 的单调性即可得出最值，这是解决 y a sin xb sin x 的常用做法．【变式演练1】设当x时，函数 f (x )2sin xcos x 取得最大值，则cos__________．【变式演练2】已知函数 f (x ) 4cos x sin(x )1(0) 的最小正周期是．6(1)求 f (x ) 的单调递增区间；3(2)求 f (x ) 在[ ， ]上的最大值和最小值．【答案】58 8【答案】(1) 6 k , 3k k Z ； (2) 最大值2 、最小值 622所以 f x 在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 yA sinx 的性质；【变式演练3】已知函数 f (x ) sin xa cos x 图象的一条对称轴是 x，且当 x(2) 当 3,88x时， 72,612 12x2sin 262fx x,4时，函数g(x) sin x f (x) 取得最大值，则cos．【答案】5【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．2 x sin2 x) 2cos2(x ) 1的定义域为[0,]. 【变式演练4】已知 f (x) 3(cos4 2 (1)求 f (x) 的最小值.(2)ABC中, A 45 ,b 32 ,边a的长为函数3 3 f (x) 的最大值,求角 B 大小及ABC的面积.【答案】(1)函数 f (x) 的最小值 3 ；(2) ABC的面积S 9(3 1) .【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.x x) 3cos 2 x 3 .【变式演练5】已知函数 f (x) cos(2（I）求 f (x) 的最小正周期和最大值；2（II）求 f (x) 在[ , ]上的单调递增区间．6 3【答案】（I） f (x) 的最小正周期为，最大值为1；（II）[, 5]．6 12【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简 f x sin(2x ) ，即可求解 f (x )35的最小正周期和最大值；（II ）由 f (x ) 递增时，求得kx k(kZ )，12125即可得到 f (x ) 在[ , ]上递增．6 12 试题解析： f (x ) （-cos x )()31cos2x 3221sin2x3 cos2x sin(2x)223（I ） f (x ) 的最小正周期为，最大值为1；（II ） 当 f (x ) 递增时，2k2x 2k (k Z )，2 325即kxk(kZ ),12125 所以， f(x ) 在[ ,]上递增 6 12 25即 f (x ) 在[ , ]上的单调递增区间是[ , ]6 3 6 12考点：三角函数的图象与性质．方法二 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论.例2 函数 f (x ) cos 2x2sin x 的最小值为．函数 ycos 2 xa sin xa 22 a5有最大值2，【变式演练6】已知求实数a 的值．【答案】 a【解析】 试题分析： ysin 2 x a sin x a 2 2 a 6 ，令sin x t ,t 1,1，则 yt 2ata 22 a6 ，对称轴为ta ，【答案】考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数 f x sin x cos x 2sin x cos x x4, 4 的最小值是__________．【答案】1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈ 4 , 4 ，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=２sin（x）x+ ，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈ 4 , 4t 1．∵函数g（t）=t2+t﹣1．∴x+ ∈[0，]，所以：04 ２１开口向上，对称轴t=－，∴0 t 1是单调递增．２当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数y 74sin x cos x4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.【点评】若函数表达式可化为形如 yat t 21（其中t 1，t 2 为含有三角函数的式子）， b则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】） f (x )1.【2017全国III 文，6】函数的最大值为（例 3 求函数2 sin2 cosx yx的最值 .【答案】2 sin 2 cosx y x的最大值为4 3，最小值为 4 3.【变式演练 8 】求函数 21sin 1 sinx yx在区间 [0,) 2上的最小值 . 【答案】 1sin(x )cos(x )A． B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数 f (x )sin(x+)(0，),x 为24418，536单调,则的最大 f (x ) 的零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在值为( )（A ）11 （B ）9（C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin x A 0,0的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinx A0,0的图像关于直线 xx 0 对称,则 fx 0A 或fx 0A .3. 【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点P ( ,t ) 向左平移s3 4（s 0 ） 个单位长度得到点P '，若P '位于函数 ysin2x 的图象上，则（）A.t1 ，s 的最小值为B.t 3，s 的最小值为2626C.t1，s 的最小值为D.t3，s 的最小值为2 323【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，t sin(2) 1，故此时P '所对应的点为(,1) ，此4 3212 2时向左平移 - 个单位，故选A.4 126考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x )k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值6为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C5.【2015高考安徽，理10】已知函数 f xsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2时，函数 fx取得最小值，则下列结论正3 确的是（ ）（A ） f2f2f（B ） f 0 f 2 f2（C ） f2ff2（D ） f 2 f 0 f2【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.6.【2015高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 )个单2位后得到函数g(x) 的图像，若对满足 f(x1) g(x2) 2 的x1，x2，有x1x2 min ，3 则（）5 A. B. C. D.12 3 4 6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x) A sin(x ) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017全国II文，13】函数f (x) 2cos x sin x 的最大值为 .【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：f x 1cosx 3cosxcos x 3cos x14 cos x2321，x 0,2可得：cos x0,1，当cos x3时，函数 f x 取得最大值1。
高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。
其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。
两倍角的正弦、余弦、正切。
、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。
要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。
了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。
由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。
2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。
每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。
总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。
（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。
根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。
如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。
（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。
如 2002 年（ 15 ）题。
（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。
一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。
如 2001 年（ 7 ）题。
（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。
（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。
概述初中数学三角函数值的计算方法
概述初中数学三角函数值的计算方法1三角函数求值的计算方法1.1利用三角函数的定义1.2 三角函数具有六种基本函数：正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y1.3 一些特殊的三角函数值：Sin=1/2; sin=;sin=Cos=;cos=;cos=1/2tan=;tan=1;tan=1.4 三角函数的基本展开公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos (A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos (A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 三角函数求最值最近几年，高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值，常见题型有三种：给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值；考察三角变换问题；三角形中的求值问题。
解上述三种类型题应注重四点：要严格讨论角的范围；选择的公式与解题方向必须吻合；要熟悉变换方向；要掌握变换技巧。
三角函数的最值有以下几种求法：利用二次函数求最值，利用三角函数的有界性求最值，换元法求最值。
3 如何学好三角函数数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等五类。
相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中。
这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈几点认识。
3.1根据学习目标和任务精选例题例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识、应用知识、巩固知识，莫过于训练数学技能、培养数学能力、发展数学观念。
三角函数求值问题的解题思维策略
１
一
ｔｎ ｔｎ ０一 ） ‘‘ ａ０ａ（ 一
１ ． ∈ （ ， ，ａ 声＜ ．． ． ０ ） ｔｎ
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０ ． ∈（ ， ）又 ｏ ０ 丌）ｔｎ ＜１０ ’． ． － 丌 ． ， ， ０ ， ｙ Ｅ（ ａ Ｅ
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差 、倍 角关 系 ，或 者 题 目中 的 角存 在 着 和 、 差关 系 ，或 者题 目中的各角 的和 或差是 特殊 角 ，或者 已知条 件 中角轮换 后地 位平 等不影 响结果 等 等 ．解 题时要 善 于观察 、把握 和捕
２０ ０ ９年 第 ４期
河 北理科教 学研 究
问题 讨论
ｌ
三 角 函数 求值 问题 的解题 思维 策 略
广 东省佛 山市顺德 区容桂 职业技 术 学校 陈华安 ５ ８ ０ ２ ３３
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三 角 函数 求值 问题是 三角 函数 中的基 本
问题 ，也是各 种考 试 中的常见 问题 ．一般 来 说 ，解 决这些 问题 可 以从 角 的关 系 、函数 特 征 、差 异分析 、退 到特殊 化等 方面 思考解 题 策 略 ，找 出解 题 的切 入 点 ．
（ ｊ） ０ 声 一 ，） ２ 一 ＝ ０ ， 一 ∈（ 丌０， ０ 声 ， ２ 故
３丌
４ ’
用适 当的推理运 算 ，优化 解题思 路 ，使 问题
迎 刃而解 ． １ １ 找 结论 式 与 条件 式 中角 的 和 、 、 角 ． 差 倍
浅谈解三角形中的最值与取值范围的解题方法
浅谈解三角形中的最值与取值范围的解题方法摘要：解三角形是高考重点考查内容，其中涉及到最值与取值范围问题，对基础一般的学生来说难度相对大点，学生比较害怕，所以本文整理了解三角形中最值与取值范围的基本解题思路，即一般情况下除了求面积最大值是用基本不等式之外，其他求最值与取值范围，化简成角的的范围去控制，转化为某一变量的函数求解基本能把问题解决.关键词:基本不等式;最值;取值范围一、化成角,转化为某一变量的函数求解(一)用正弦定理化边为角，用正弦和差角公式求解.例1.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积 ,a＝2，且A [ ]，则边c的取值范围为：______________.解：由正弦定理整理得：c＝A+B+C= , B＝ , 又a＝2，∴C＝﹣A，故c＝＝＝ +1，又，∴1≤tan A≤，∴ 1≤≤∴c∈[2， +1]．，由题得，求边的范围，化成角的范围去控制，用正弦定理，正弦的和差角公式化简，结合三角函数的图像与性质即有界性可求得结果.例2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，求的取值范围．解：由正弦定理，A＝2B， A+B+C= ,得：＝＝＝＝＝，A∈（0，π），∴2B∈（0，π），且A+B＝3B∈（0，π），所以B∈（0，），令t＝cos B，则，则f（t）＝，求导得：在恒成立，故f（t）在上单调递减，所以f（1）＜f（t）＜f（），即，故的取值范围为．求边的范围，还是先考虑用角去控制，用正弦定理把边化为角之后，用正弦的和差角公式化简，用换元法整理后，求导化简，判断函数单调性从而求得取值范围.（二）用三角关系及正弦和差角公式求解.例3.角A，B，C所对的边分别为a，b，c且△ABC为锐角三角形,B＝,则cos A+cos B+cos C的取值范围为________．解：B＝，A+B+C= ,∴C＝﹣A，∴cos A+cos B+cos C＝cos A+cos（﹣A）+cos＝cos A﹣ cos A+sin A+＝ cos A+ sin A+＝sin（A+）+，△ABC为锐角三角形，∴＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴ +＜sin（A+）+≤，故所求的取值范围为（， ]．例4.（2019•新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：（1）略；（2）∴△ABC面积S＝a•1sinB＝a，由正弦定理：，因为△ABC为锐角三角形，所以，∴，,所以＜a＜2.故△ABC面积S＝a的取值范围为（，）．本道题求面积的取值范围，通过整理转化求边的取值范围，然后转化为角的范围来控制.（三）用三角形的三角关系及二倍角，辅助角公式化简.例5.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足,，求△ABC周长l的取值范围.解：由正弦定理得，因为所以，，， .又，所以，.所以所求△ABC周长l=a+b+c的取值范围为．求三角形周长取值范围，已知一组对边对角，用正弦定理求出2R，结合正弦的和差角公式，辅助角公式，利用三角函数的有界性控制范围，这道题可以变为求周长的最值，思路一样，此处略.二、用基本不等式求解例6.在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A． B． C． D．＝＝bc＝2，∴bc＝8，解：由题得S△ABC∴＝，令t＝则t＞0，上式＝＝≥2﹣＝，当且仅当2t+1＝2，即t＝，可得b＝2c，又bc＝8，解得c＝4，b＝2时，等号成立；∴的最小值为：．故选：C．求与角有关的范围，直接用角来控制，换元后用基本不等式求解，难在需要配凑能约去的分母部分.本题也可以把角化为边，用边求解，同样用换元方法也可以，此处略.例7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且B为锐角，b＝1，则△ABC面积的最大值为_______．，解： A+B+C= , ，，， 0 故B＝ .又b＝1，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac•cos B得，当且仅当a=c时，等号成立.最值与取值范围的解题方法有多种，但是对于基础比较比较差的学生来说，方法多不一定就是好的，特别对于普通历史班中，学生基础较弱，方法多了学生还难以选择，我们可以总结最适合学生解题的一种（或者两种）方法，让学生多练习一类方法，提高解题速度，所以解三角形中很多都是化成角，变为某一变量的函数去求解，需要注意定义域范围，求面积最大值就用基本不等式即可.参考文献：1.高磊.运用一题多变探究三角形中的最值与范围问题[J].数学通讯，2020年（12）；49-52.2.罗礼明.解三角形中的最值与范围问题求解策略[J].数学通讯，2020年（7）；50-56.第4页（共4页）。
专题1-1 三角函数 重难点、易错点突破(含答案)
专题1-1 三角函数重难点、易错点突破（建议用时：180分钟）1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.一、知一求二例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、“1”的妙用例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.2 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例1 函数y ＝cos x －12的定义域为________.二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求： (1)函数f (x )的单调减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.1 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________.四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小tan(－13π4)与tan(－17π5).2 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 二、化平方式例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))．三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________． 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是单调减函数 五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.2 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x的最值．例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x的最值．例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q的最小值．易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值．二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x的奇偶性．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．专题1-1 三角函数重难点、易错点突破参考答案1 同角三角函数关系巧应用例1 解析 由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55， 因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2. 答案 －2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.例2 证明 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3，1＝(sin 2x ＋cos 2x )2，所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x＝3sin 4x cos 2x ＋3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32. 即原命题得证.点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.例3 解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α， 因为cos 2 α≠0，分子分母同除以cos 2α，得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1点评 这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N ＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.2 三角函数的性质总盘点例1解析 由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z . 答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z 点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.例2 解析 因为0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图象如图所示： 可知cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12). 答案 [－12，12) 点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.例3 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3). 所以原函数的单调减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的单调增区间. (1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . (2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中， 令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]. 点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做一个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.例4 解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1， 所以f (x )＝sin(2x －π3)， 由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z . 答案 x ＝5π12＋k π2，k ∈Z 点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.例5 解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称.由x ＋φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，可得函数的对称轴方程是x ＝x 3π2＋3k π－φ，k ∈Z .令3π2＋3k π－φ＝0，k ∈Z ， 解得φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0，2π)，故φ＝3π2. 答案 3π2点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图象关于y 轴对称；奇函数⇔函数图象关于原点对称.1 善用数学思想——巧解题例1 解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图： 由图知，x ∈(π4，5π4).答案 (π4，5π4)点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单. 例2 解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34； 或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.例3 解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1＝(cos x ＋32)2－74， 设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上是单调增函数，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值. 例4 解 tan(－13π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 2π5.因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)上是单调增函数，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5).点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.2 三角恒等变形的几个技巧例1 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．例2 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)， 所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.例3 解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．例4 解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．例5 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题例1 解析 根据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析 在同一直角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.例3 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示， ∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值.∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z ).∴ω＝8k －103(k ∈Z ). ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值.故ω＝143. 答案143点评 本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.例4 解析 作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如图所示.由图象可知②正确. 答案 ②点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解. 例5 解析 作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图象，如图所示.当k ≤0时，显然成立；当0<k ≤1时，由图象可知： sinπx2≥kx 在[0，1]上成立.综上所述，k ≤1. 答案 (－∞，1]点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y ＝kx 与y ＝sinπx2的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况. 例6 解 在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图象，如图所示.当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.2 聚焦三角函数最值的求解策略例1 解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14.例2 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值．例3 解 原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． 例4解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2615，－12＋2615.点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．例5 解y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－a22－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2，2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(1－t 2)． 例7 解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0,1]上是减少的， 所以当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．易错问题盘点例1 [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)． 所以α＋β＝π4或3π4. [剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π.又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.例3 [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.例4 [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )为非奇非偶函数．例5 [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立． 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0， ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。
三角函数的最值问题(高三复习)课例评析
三角函数的最值问题（高三复习）课例评析江苏省南菁高级中学祁平南京师范大学谭顶良一、教学目的1．使学生能熟练运用三角函数的单调性及有界性，研究三角函数的最值问题。
2．能运用化归思想、数形结合等思想将一些较复杂的三角函数的最值问题转化为熟悉的易于解决的问题。
3．培养学生在“变化中创新”，在“比较中创新”，在“批判中创新”的能力，努力拓展学生的思维空间。
二、教学过程1．导言从近几年来的高考试卷中可以－看到，三角函数的最值问题是高考中一个重要内容（如2000年的高考第17题），在以后的复习中，我们还将看到：一些较为复杂的综合问题化归为三角函数的最值问题较为简便，下面我们一起来研究“三角函数的最值问题”（揭示课题）。
[点评] “研究”一词，摆脱了传统教育中教师是知识的“传授者”这一角色，而将教师自己置于与学生平等的地位，为学生主体性、创造性的发挥创设了良好的师生关系；同时，“研究”一词的运用，还暗含着教学不是简单的“传”与“授”过程，而是不断探索、不断创新的过程这一“创造性基本思想”。
2．例题选讲例1 ，求函数的最值。
教师审题，请学生谈思路。
学生甲：运用和差化积公式，（以下略）。
教师：有其他解法吗？学生乙：运用公式，将函数变形为(以下略)。
学生丙：观察发现函数中角与角的差恰好为，故将看成基本量，将函数化归为同一角的函数式，即为：（以下略）。
教师肯定了学生能从不同角度出发，积极探索。
[点评] 首先引导学生从多角度思考问题，寻找不同的解题思路，在此基础上启发学生比较不同的解题思路，找出最佳答案。
这种做法，既训练了学生的思维创新，又训练了学生高效的解题策略。
教师：把例1稍加改变一下，情况如何？问题1 ：，求函数的最值。
学生：把看成一角，变形为（以下略）。
（说明：例1中最好的方法“解法一”在这里失效了，指出要辩证对待“巧法”。
）[点评] 通过“解法一”在例1变式问题1中的失效，使学生深刻理解并掌握“一把钥匙开一把锁，具体问题具体分析”的思维方法。
高中数学三角函数知识点解题技巧总结
高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
专题07 三角函数图像与性质-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国乙卷)(解析版)
专题07 三角函数图像与性质【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ） A ．7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭ C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【试题解析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+, 所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换， 第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：B.【命题意图】函数图象的平移变换（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.【命题方向】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用．【得分要点】（一）函数图象的平移变换（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.（二）结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；（2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；（3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.一、单选题1．（2021·河南商丘市·高一月考）要得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上各点（ ）A ．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移6π个单位长度 B ．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移12π个单位长度C ．纵坐标不变，横坐标变成原来的12，然后再向左平移6π个单位长度D ．纵坐标不变，横坐标变成原来的12，然后再向左平移12π个单位长度【答案】D 【分析】有函数的平移伸缩变换的性质选出即可. 【详解】由sin y x =将各点横坐标变成原来的12得到sin 2y x =. 再向左平移12π个单位长度变换得到sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D.2．（2021·河南焦作市·高一月考）若要得到一个关于原点对称的函数图像，可以将函数)24x y π=+的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】B 【分析】由给定函数按各选项指定的变换进行处理，再分析所得函数的性质即可得解. 【详解】对于A ，得到的函数为13()])24428x y x πππ=++=+，不是奇函数，图象关于原点不对称，A 错误；对于B ，得到的函数为1()]cos()224222x xy x πππ=++=+=，是奇函数，图象关于原点对称，B 正确；对于C ，得到的函数为1()])24428x y x πππ=-+=+，不是奇函数，图象关于原点不对称，C 错误；对于D ，得到的函数为1()]2242xy x ππ=-+=，不是奇函数，图象关于原点不对称，D 错误； 故选：B3．（2021·河南商丘市·高二月考（理））将函数()cos f x x π=图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移13个单位长度，得到()g x 的图象，则()2021g =（ ）A ．12-B ．C ．12D ．2【答案】C 【分析】由图像伸缩平移变换知，()1cos[()]cos()2326g x x x πππ=-=-，将2021x =代入即可求得结果.【详解】由图像伸缩平移变换知，()1cos[()]cos()2326g x x x πππ=-=-， 则()202112021cos()262g ππ=-= 故选：C4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（ ） A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】C 【分析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以22Tπ=，可得2T ππω==， 所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+， 因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心， 所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=， 所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 对于A ：将2cos2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误； 对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确. 故选：C5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，22ππϕ-<<）的最小正周期是π，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数()y g x =图象过点()0,2P ，则关于函数()g x 的说法不正确的是（ ） A ．2x π=-是函数()g x 一条对称轴B ．5,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 一个对称中心 C ．()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 【答案】D 【分析】根据条件求出ω、ϕ，然后可得()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，然后逐一判断每个选项即可. 【详解】2ω=，()f x 向左平移3π个单位长度后所得到的函数是()22sin 23x x g πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 其中图象过()0,2P ，所以2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为22ππϕ-<<，6πϕ=-，所以()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 因为()2cos 22g ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以2x π=-是函数()g x 一条对称轴，故A 正确 因为552cos 042g ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以5,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()g x 一个对称中心，故B 正确当3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()23,2x ππ∈--，所以()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确 当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调递减，故D错误 故选：D二、多选题6．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将cos 2y x =的图象（ ）A ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移6π个单位长度 B ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移3π个单位长度C ．先向右平移6π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D ．先向右平移3π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)【答案】BC 【分析】利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项. 【详解】如果是先伸缩再平移，那么需先将cos 2y x =横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到cos y x =，再向右平移3π个单位长度，即得cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭如果是先平移再伸缩，需先将cos 2y x =向右6π的单位长度，得到cos 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：BC7．（2021·福建高三三模）已知函数()sin (sin )(0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π，则下列结论中正确的是（ ） A ．()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立 B ．()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调C ．()f x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恰有1个零点 D ．将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度，所得图像关于原点对称 【答案】AB 【分析】由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论. 【详解】 解：∵函数1cos 21()sin (sin )2sin 2262x f x x x x x x ωπωωωωω-⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππω=，∵1ω=，1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令3x π=，求得3()2f x =为最大值，故有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，故A 正确； 在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，2,63x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，函数()f x 没有单调性，故B 正确；在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，5172,666x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 有2个零点，故C 错误； 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度，所得1sin 262y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像关于不原点对称，故D 错误， 故选：AB .8．（2021·广东高三其他模拟）关于函数2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．f (x )在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．f (x )在[0,]π有2个零点D ．f (x )在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为－1 【答案】AC 【分析】将函数()f x 化成正弦型函数，根据函数的平移关系，可判断A ；利用整体思想结合正弦函数的单调性判断B ；求出函数()f x 的零点，即可判断C ；根据正弦函数的最值，判断D. 【详解】2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭πcos2sin 2)4x x x =++，所以()f x 是由2y x =的图象向左平移8π个单位得到， 选项A 正确；30,,2(,),()2444x x f x ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭不具有单调性，选项B 不正确； 由()0f x =，得2(),()428k x k k Z x k Z ππππ+=∈=-∈， 所以()f x 在[0,]π的零点为37,88ππ，选项C 正确； 3,0,2[,]2444x x ππππ⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎣⎦，当32,428x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为 选项D 不正确. 故选：AC.9．（2021·山东济南市·高三其他模拟）分别对函数sin y x =的图象进行如下变换： ∵先向左平移3π个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来2倍，得到()y f x =的图象；∵先将其上各点的横坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，以下结论正确的是（ ） A ．()()f x g x = B ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心 C ．直线43x π=-为函数()g x 图象的一条对称轴 D ．()f x 的图象向右平移3π个单位长度可得()g x 的图象【答案】BCD 【分析】由三角函数平移和伸缩变换原则可求得()(),f x g x ；由解析式不同知A 错误；利用代入检验法，对应正弦函数的性质可确定BC 正确；由左右平移变换后的解析式可知D 正确. 【详解】∵sin y x =向左平移3π个单位长度可得sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；再将横坐标变为原来2倍，得到()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；∵sin y x =横坐标变为原来2倍可得1sin2y x =；再向左平移3π个单位长度，得到()11sin sin 2326g x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于A ，两函数解析式不同，A 错误； 对于B ，当43x π=时，123x ππ+=且403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，4,03π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，B 正确； 对于C ，当43x π=-时，1262x ππ+=-，43x π∴=-是()g x 的一条对称轴，C 正确；对于D ，()f x 的图象向右平移3π个单位长度得：1sin 3233f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1sin 26x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，D 正确；故选：BCD.10．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω，ϕπ<)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()12sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得图像对应的函数是奇函数 C ．若把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图像对应的函数在[],ππ-上是增函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，则a 【答案】AB 【分析】由五点法求解析式可判断A ；利用三角函数的平移变换原则即可判断B ；利用三角函数的平移伸缩变换可判断C ；利用三角函数的单调性以及最值即可判断D. 【详解】解析：由题图，知1732422T πππ=-=， ∵6T π=，∵2163πωπ==.∵()222sin 23f ππϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵2232k ππϕπ+=+(k ∈Z )，即26k πϕπ=-+(k ∈Z )， ∵ϕπ<，∵6πϕ=-，∵()12sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故A 正确；把()f x 的图像向左平移2π个单位，所得图像对应的函数解析式为12sin 2sin 3263xy x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，故B 正确：把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变， 得到图像对应的函数解析式为12sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵[],x ππ∈-，∵12sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[],ππ-上不是增函数，故C 错误；,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，令()()332x f f x g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 2sin 2sin 2666x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()12g x ≤≤，所以a 2，故D 错误. 故选：AB.11．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．在ABC 中，sin sin A B <是BC AC <的充要条件 B ．将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象 C ．存在实数x ，使得等式3sin cos 2x x -=成立 D ．在ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理，余弦定理，可判断A 、D 的正误；根据图象平移原则，可判断B 的正误；根据辅助角公式及正弦型函数的性质，可判断C 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：由正弦定理可得sin sin BC ACA B=， 因为sin sin A B <，所以BC AC <， 同理，若BC AC <，则有sin sin A B <，所以sin sin A B <是BC AC <的充要条件，故A 正确； 对于B ：将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度， 可得sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ：3sin cos 42x x x π⎛⎫-=-≤< ⎪⎝⎭，所以不存在x ，满足3sin cos 2x x -=，故C 错误； 对于D ：在ABC 中,因为222sin sin sin A B C +<，由正弦定理可得222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以,2C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，为钝角，故D 正确.故选：ABD.12．（2021·全国高三其他模拟）将函数f （x ）＝sin （ωx +3π）（ω＞0）的图象向左平移2π个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值可能为（ ）A ．2B ．12-C ．12D ．2-【答案】BC 【分析】先算出ω的可能取值，即可进一步计算 【详解】将函数f （x ）＝sin （ωx +3π）（ω＞0）的图象向左平移2π个单位长度后得()sin[()]23g x x ππω=++因为所得图象与原图象关于x 轴对称()()f x g x ∴=-，即ωx +3π= ()(21)23x k ππωπ++++(21)422k k πωπω∴=+⇒=+∴51sin sin()sin 44323642f k f ππωππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=±∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或12- 故选：BC13．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()f x 的一个单调递增区间是,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的图象向左平移3π个单位，所得函数()g x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若322x f m f π⎛⎫⎛⎫-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则m 的最大值为12【答案】ACD 【分析】A ．根据函数图象先确定出周期T ，由此求解出ω的值，再根据最高点坐标求解出ϕ的值，由此求解出()f x 的解析式；B ．采用整体代入的方法判断,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否是一个单调递增区间； C ．根据图象平移先求解出()g x 的解析式，然后根据2g π⎛⎫⎪⎝⎭的值是否为零进行判断；D ．将问题转化为“,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，sin 33m x π⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭很成立”，先求解出sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值，即可求解出m 的取值范围.【详解】 A ．由图象可知35346124T πππ=-=，所以2T ππω==，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以πsin φ16，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,3k k Z πϕπ=+∈且2πϕ≤，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故正确；B ．当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，22,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为sin y x =在2,32ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,23ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， 所以,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个单调递增区间，故错误； C ．由题意可知()()sin 2sin 2sin 2333g x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为sin 02g ππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故正确； D ．因为322x f m f π⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 332m x π⎛⎫≤++⎪⎝⎭， 即“,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，sin 33m x π⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭很成立”， 因为,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以53,366x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以min1sin 3sin 362x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以122m ≤-+，即12m ≤，所以m 的最大值为12，故正确.三、填空题14．（2021·全国高三其他模拟）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间[]0,π 上的单调递减区间是 ___________.【答案】7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出函数()g x 的解析式，再求函数()y g x =在区间[]0,π上的单调递减区间． 【详解】由题得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=+=+,因为70,2333x x ππππ≤≤∴≤+≤， 因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故由32232x πππ≤+≤，得71212x ππ≤≤ 所以()g x 在区间[]0,π 上的单调递减区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故答案为：7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题15．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()2sin cos 2g x x x x =--．(1)若()f x 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移23π个单位，得到的图象在[],αα-上单调递增6πα⎛⎫>⎪⎝⎭，求α的最大值； (2)若函数()g x 在[]0,π内恰有3个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）．(1) 把函数()f x 通过图像变换变为1sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据已知单调区间求α的最大值；(2) 利用函数1y t t=+(t ⎡∈-⎣)和t X =(5,44X ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的图象进行分类讨论来解决函数零点问题. 【详解】(1) ()f x 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移23π个单位得到函数121sin sin 234212y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[],x αα∈-，所以111,212212212x πππαα⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦， 因为6πα>，所以110,0212212ππαα--<->， 又因为得到的图象在[],αα-上单调递增，所以1212212122ππαππα⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解566ππα<≤，所以α的最大值为56π.(2) ()2sin cos sin 22sin cos (sin cos )24g x x x x x x a x x π⎛⎫=-+-=-++- ⎪⎝⎭，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，t ⎡∈-⎣， 所以21y t at =-+-，t ⎡∈-⎣，令210y t at =-+-=，显然0t =不是其方程的解，所以得1a t t=+，t ⎡∈-⎣，画出函数1y t t=+和函数4t X X x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象，如下图，则当2a ≤-时，对应的()1,0t ∈-，而当()1,0t ∈-时，对应的X 只有一个解，不满足题意；当22a -<<时，此时没有t 的值对应，所以此时无解，不满足题意； 当2a =时，对应的1t =，而当1t =时，对应的X 有两个解，不满足题意；当2a =时，对应的12t =，1t =X 只有两个解，不满足题意；当22a <<12t t +=，得t =2t = ，此时对应的12t ⎫∈⎪⎪⎣⎭，(2t ∈，而当对应的1,12t ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，对应一个X 的值，而当(2t ∈时对应两个X 的值，所以此时有三个解，满足题意；当a ≥0,2t ⎛ ⎝⎭∈，而此时t 对应的X 只有一个解，不满足题意；故a 的取值范围为⎛ ⎝⎭.【点睛】函数零点个数的判断方法： (1)直接求函数的零点；(2)利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数； (3)数形结合法：利用函数图象的交点个数判断.。
三角函数常见典型考题赏析
高一使用3031年4月▼W bW V-b*e・▼■r~9•w**■一■—W-^■张文伟三角函数是高中数学的重要内容,也是高考的常考点。
同学们要掌握三角函数的有关概念和性质(单调性、对称性、奇偶性、周期性、最值)，要理解和掌握三角函数的图像与性质，掌握三角函数模型的简单应用。
题型1:角的概念象限角的两种判断方法:(1)图像法，在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角;(2)转化法，先将已知角化为k X360°+a (0°C a V360°k e Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角a,再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角。
利用终边相同的角的集合S=,,=2k n+a,e Z｝判断一个角,所在的象限时，只需把这个角写成[0,2n)范围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角a所在的象限。
例1在一720°〜0°范围内所有与45°终边相同的角为。
解：所有与45°终边相同的角可表示为,=45°+k X360°(k e Z)。
令一720°C45°+ k X360°V0°(k e Z)，可得一765°C k X360°V7(^5°A50—45°(-e z)，解得一76n oC-v—4°(-e360360Z),即一2.125C k V0.125(k e z),可知k=—2或k=—1,代入可得,=一675°或,=—315°。
答案为一675°或一315°。
跟踪训练1若a=k X360°+3,=m X 360°—3-m e Z),则角a与角,的终边的位置关系是))OA.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称提示：由题意知角a与角3的终边相同,角，与角一3的终边相同。
中考数学三角函数解题策略
三角函数题解题策略解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。
圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中例1、如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=BC=1，那么sin∠ABD的值是．评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形例2、如图2，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么CDAB等于A．sinα B．COSα C．tanα D．1tanα评注：直径所对的圆周角是直角。
由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。
三、用切线与半径的关系构造直角三角形例3、如图3，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH AC⊥于点H．若2OH=，12AB=，13BO=．求：（1）⊙O的半径；（2）sin OAC∠的值；（3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）．评注：根据切线的意义，可知，切线垂直于经过切点的半径。
借此，可得直角三角形，从而可以运用三角函数解决有关问题。
四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形例4、如图4，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。
以BC交A B于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求sin∠E的值。
评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.（2013武汉中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是⋂AB的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：APAC3=；（2）如图②，若2524sin=∠BPC，求PAB∠tan的值．B 第22题图①第22题图②图4例1.。
高三数学选择填空难题突破 与三角函数相关的最值问题
高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题一、方法综述三角函数相关的最值问题一直是高考数学的热点之一。
其中，三角函数的最值问题是三角函数的重要题型之一，主要包括考查三角函数图像和性质的最值问题，以及以三角函数的有界性为主的最值问题。
熟悉三角函数的图像和性质，掌握转化思想是解决这类问题的关键。
二、解题策略1.类型一：与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题例1】若将函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$的图像向左平移$\theta$（$\theta>0$）个单位，所得的图像关于$y$轴对称，则$\theta$的最小值是（）。
A。
$\frac{\pi}{3}$。
B。
$\frac{\pi}{5}$。
C。
$\frac{\pi}{4}$。
D。
$\frac{8\pi}{3}$解析】函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$为常数函数，其图像为一条直线。
将其向左平移$\theta$个单位，得到的图像仍然是一条直线，不可能关于$y$轴对称。
因此，该题没有解。
举一反三】1.【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数$y=2\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)+\cos x$的图像向左平移$3$个单位，所得图像对应的函数恰为奇函数，则平移量的最小值为（）。
A。
$\pi$。
B。
$\frac{\pi}{2}$。
C。
$\frac{\pi}{3}$。
D。
$\frac{\pi}{6}$解析】将函数$y=\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$的图像向左平移$3$个单位，得到的图像对应的函数为$y=-\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$，为奇函数。
根据奇函数的对称性可知，平移量$\theta$必须是$\frac{\pi}{2}$的倍数，且$\theta>0$。
三角函数中ω的范围与最值问题【七大题型】(举一反三)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习
三角函数中ω的范围与最值问题专练【七大题型】【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 (2)【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 (2)【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 (3)【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 (4)【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 (4)【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 (5)【题型7 ω的范围与最值问题：性质的综合问题】 (5)1、三角函数中ω的范围与最值问题三角函数的图象与性质是高考的重要内容，在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个重点、热点内容，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点，学生在复习中要加强训练，灵活求解.【知识点1 三角函数中有关ω的范围与最值问题的类型】1．三角函数中ω的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几个类型：(1)三角函数的单调性与ω的关系；(2)三角函数的对称性与ω的关系；(3)三角函数的最值与ω的关系；(4)三角函数的周期性与ω的关系；(5)三角函数的零点与ω的关系；(6)三角函数的极值与ω的关系.【知识点2 三角函数中ω的范围与最值问题的解题策略】1．利用三角函数的单调性求ω的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.2．利用三角函数的对称性求ω的解题策略三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.3．利用三角函数的最值求ω的解题策略若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.4．利用三角函数的周期性求ω的解题策略若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】【例1】（2024·重庆·二模）若函数f(x)=sin(2x―φ)(0≤φ<π)在φ的最小值为（）A．π12B．π6C．π4D．π3【变式1-1】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x=―π6，且f(x)在πω的最大值为（）A．53B．2C．83D．103【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若直线x=π4为函数f(x)图象的为函数f(x)图象的一个对称中心，且f(x)ω的最大值为（）A．917B．1817C．1217D．2417【变式1-3】（2024·广东湛江·一模）已知函数f(x)=sinωxω>0)ω的取值范围是（）A．[2,5]B．[1,14]C．[9,10]D．[10,11]【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】【例2】（2023·广西·模拟预测）若函数f (x )=2sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2）满足f (2x )=―2x ，且f (0)=―1，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数f (x )=sin ωx >0)在区间[0,π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是（ ）A B C D【变式2-2】（2023·云南大理·一模）函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，若不等式f (x )≤|对∀x ∈R 恒成立，且f (x )的图像关于x =π8对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0)其图象关于直线x =―π36对称，且f （x ）的一个零点是x =772π，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．12C ．4D ．8【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】【例3】（2023·四川泸州·一模）已知函数f (x )=2sin ωx >0)在π上单调，则ω的取值范围是（ ）A ．B ．1,C D【变式3-1】（2024·浙江温州·一模）若函数f (x )=2sin ωx ―(ω>0)，x ∈0,[―，则ω的取值范围是（ ）A BC D【变式3-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f (x )=4cos ωx >0),f (x )在区间0,值恰为―ω，则所有满足条件的ω的积属于区间（ ）A ．(1,4]B ．[4,7]C ．(7,13)D ．[13,+∞)【变式3-3】（2023·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)（ω>0，0<φ<π）的图象过点(0,1)，且在区间(π,2π)内不存在最值，则ω的取值范围是（ ）A ．BC ．∪D ．∪【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】【例4】（2023·四川绵阳·模拟预测）记函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f (T )=x =π9为f (x )的一个零点，则ω的最小值为（ ）A ．32B ．3C ．6D ．152【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x )=sin (2πωx )(ω>0)在区间(0,2)上单调，且在区间[0,18]上有5个零点，则ω的取值范围为（ ）A BC D 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）记函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f (T )=―12，且x =π2为f (x )的一条对称轴，则ω的最小值为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．103【变式4-3】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数f (x )=sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<=f (x )在区间[0,2]上恰有8个零点，则ω的取值范围是（ ）A πB ．4πC ．4π,D 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】【例5】（2023·全国·一模）已知函数f (x )=sin ωx +>0)π上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ∪4,B ∪C ．[113,143)∪(5,173)D ,5∪【变式5-1】（2023·吉林长春·一模）将函数f(x)=cos x 图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，所得图象在区间―π12ω的取值范围为（ ）【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+>0)π上至少有两个零点，则实数ω的取值范围是（）A+∞B+∞C∪+∞D∪+∞【变式5-3】（2024·四川雅安·一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且―π2<φ<π2），设T为函数f(x)的最小正周期，=―1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是（）A B236πC D【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】【例6】（2023·四川成都·二模）将函数f(x)=>0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若g(x)在3个极值点，则ω的取值范围为（）A B,4C．D,7【变式6-1】（2023·河南开封·模拟预测）已知将函数f(x)=ωx2―>0)的图象向右平移π2ω个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0,π)上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A+∞B,4C D【变式6-2】（2024·陕西渭南·一模）已知函数f(x)=sinωx>0)在区间[0,π]上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：①f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；②f(x)的最小正周期可能是π2；③ω④f(x).其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）将函数f(x)=sin x的图像向左平移5π6个单位长度后得到函数g(x)的图像，再将g(x)的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω（ω>0）倍，得到函数ℎ(x)的图像，且ℎ(x)在区间(0,π)上恰有两个极值点、两个零点，则ω的取值范围为（）【题型7 ω的范围与最值问题：性质的综合问题】【例7】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数f (x )=3cos (ωx +φ)ω<0，―π2<φ<π，在区间―π6φ的取值范围是（ ）A B ．―π2,―C D ．【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x )=sin (2ωx ―φ)(ω>0)满足对任意的x ∈R ，均有f (x )≥f+x =x ，且f (x )ω的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．45【变式7-2】（2024·天津·模拟预测）已知f (x )=sin ωx +π3+φω>0,|φ|<g (x )=sin(ωx +φ)，则下列结论错误的个数为（ ）①φ=π6；②若g (x )的最小正周期为3π，则ω=23；③若g (x )在区间(0,π)上有且仅有3个最值点，则ω④若=ω的最小值为．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式7-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f (x )=sin (ωx +φ)ω>0,0<φ<=f x且f ―π4―x +f ―π4+x =0,f (x )ω的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．367一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=sin (ωx)(ω>0)在0,ω的取值范围为（ ）A ．B ．(0,2)C ．D ．(0,2]2．（2024·重庆开州·模拟预测）已知函数f (x )=2sin ωx(ω>0)，则“32<ω<3”是“f (x )的图象在区间―π6上只有一个极值点”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（2024·湖北武汉·模拟预测）设ω>0，已知函数f(x)=sin3ωx2ωx(0,π)上恰有6个零点，则ω取值范围为（）A B C D4．（2024·河北·模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若f(0)=f=π，则ω的最小值为（）A．3B．1C．67D．235．（2024·四川·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+ω>0）在区间1个零点，且当x∈―2π3f(x)单调递增，则ω的取值范围是（）A B C,1D6．（2024·四川内江·三模）设函数f(x)=2sinωx>0)，若存在x1,x2∈―π6x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)=ω的取值范围是（）A．(0,12]B．[10,+∞)C．[10,12]D．(6,10]7．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|≤中心对称，且x=―π3是f(x)的极值点，f(x)在区间0,ω的最大值为（）A．8B．7C．274D．2548．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f(x)=cosωxω>0),π上单调递减，且f(x)在区间(0,π)上只有1个零点，则ω的取值范围是（）A．B C D二、多选题9．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f(x)=cosωx+ω>0)，则（）A．当ω=2时，f x x=π2对称B．当ω=2时，f(x)在C．当x=π6为f(x)的一个零点时，ω的最小值为1D．当f(x)在―π3ω的最大值为110．（2024·浙江温州·三模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),x∈,π的值域是[a,b]，则下列命题正确的是（）A．若b―a=2,φ=π6，则ω不存在最大值B．若b―a=2,φ=π6，则ω的最小值是73C．若b―a=ω的最小值是43D．若b―a=32，则ω的最小值是4311．（2023·浙江·三模）已知函数f(x)=cosωx>0)，则下列判断正确的是（）A．若f(x)=f(π―x)，则ω的最小值为32B．若将f(x)的图象向右平移π2个单位得到奇函数，则ω的最小值为32C．若f(x)π单调递减，则0<ω≤34D．若f(x)π上只有1个零点，则0<ω<54三、填空题12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f(x)=cos2ωx>0)π上是单调的，则ω的最大值为.13．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数f(x)=2cosωx―1(ω>0)在(0,π)上恰有两个零点，则ω的取值范围为.14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f(x)=2sinωxω>0），若∃x1，x2∈[0,π]，使得f(x1) f(x2)=―4，则ω的最小值为.四、解答题15．（2023·河北承德·模拟预测）已知ω>1，函数f(x)=cosωx―(1)当ω=2时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)ω的取值范围.16．（23-24高一下·湖北恩施·期末）已知函数f(x)=2sinωx+>0)．(1)若x+x=0，求ω的最小值；(2)若f(x)在区间0,[1,2]，求ω的取值范围．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤(1)若f(x)的图象经过点,0，,2，且点B恰好是f(x)的图象中距离点A最近的最高点，试求f(x)的解析式；(2)若f(0)=―1，且f(x)π上单调，在ω的取值范围.18．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<(1)当φ=π时，函数f(x)ω的取值范围.6(2)若f(x)的图象关于直线x=π对称且f=0，是否存在实数ω，使得f(x)4求出ω的值；若不存在，说明理由.19．（2023·山西·模拟预测）已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是由y=2sinωx 个单位长度得到的.象向右平移π6(1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)y轴距离最近的对称轴方程；(2)若f(x)ω的取值范围.。
三角函数综合题的解题技巧与策略
三角函数综合题的解题技巧与策略贵州省 洪其强1、重视“1”的灵活代换 例1、求证：θθθθcos sin 1)sin (cos 2++-=θθsin 1cos +－θθcos 1sin +分析： 右边=)cos 1)(sin 1()sin 1(sin )cos 1(cos θθθθθθ+++-+=θθθθθθθθcos sin cos sin 1)sin cos )sin (cos 22+++-+- =θθθθθθθθcos sin cos sin 1)sin cos 1)(sin (cos ++++++-=)cos sin cos sin 1(2)sin cos 1)(sin (cos 2θθθθθθθθ++++++-。
此时注意在分母中充分利用“1”的代换，即)cos sin cos sin 1(2θθθθ+++=θθθθθθcos sin 2cos 2sin 2cos sin 122+++++ =2)cos sin 1(θθ++ 。
从而推出左边，等式获证。
2、三角中使用换元法解题时，要注意三角函数的有界性对中间变量的取值范围的限制。
例2、求函数)(x f =x x x x cos sin cos sin ++的值域。
解：设=m x x cos sin +=)4sin(2π+x ]2,2[-∈，则2m =x x cos sin 21+，即x x cos sin =212-m ，从而)(x f =+=m m f )(212-m 1)1(212-+=m ，m ]2,2[-∈。
故当=m 1-时，)(m f 取得最小值1-；当=m 2时，)(m f 取得最大值221+。
所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1。
3、注意对题目中隐含条件的挖掘 例3、已知φθ22sin 2sin 3+=θsin 2，求函数φθ22sin sin +=y 的值域。
分析：注意本题中θsin []1,1-∈，而隐含着θsin 2－0sin 2sin 322≥=φθ即θsin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,0。
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法令狐采学一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=22ba+sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ=ab确定。
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan2θ的有理式。
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 4-4 三角恒等变换讲义 文
π4＋α＝π2－π4－α等；2.将三角变换与代数变换密切结合：三角变 换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分 解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x＋ cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
考点突破 提能力
5 5.
因为 A 为钝角，所以
cosA＝－ 1－sin2A＝－
1－
552＝－2
5
5 .
由 sinB＝ 1100，且 B 为钝角，可得
cosB＝－ 1－sin2B＝－
1－
11002＝－3
10 10 .
所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2 5 5×－3 1010－
(2)三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角 关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角
求值 函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数
类型
要点
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的 给值
三角函数值，解题关键在于“变角”，使其 求值
角相同或具有某种关系
给值 实质是转化为给值求值，关键是变角，把所
求角 求角用含已知角的式子表示，由所得的函数
解法二：原式＝
cos2α
2tanπ4－αcos2π4－α
＝
cos2α
＝ cos2α
2sinπ4－αcosπ4－α sinπ2－2α
＝ccooss22αα＝1.
考点二 三角函数式的求值——常考点 角度解读：三角函数的化简求值是三角函数的基本考点之 一，各种题型都有，有时也与解三角形联合起来综合考查．
(1)本例在寻找选项中的正确命题时，从两个角度进行了证 明，一是根据角之间的关系——α＋β，α－β 与 2α，2β 之间的关 系，利用所证角表示已知角，代入已知等式进行化简；二是利用 选项的共性——两个角的正切值之间的比例关系，直接作商，然 后根据已知等式进行化简．解决此类问题要抓住两个方面 ：一 是角，二是三角函数值．
高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀
第12讲 三角函数一、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
第3讲 三角函数解答题解题策略及答题规范 (大题攻略) 2-2-1-3
解 若选①，设函数 f(x)的最小正周期为 T.
则
42＋T22＝5，得 T＝6＝2ωπ，则 ω＝3Байду номын сангаас，
因为点 A(2,2)在该函数的图像上，
所以 2sin23π＋φ＝2，得23π＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z， 则 φ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
又|φ|＜2π，所以 φ＝－6π，
若选②，则 sin(－ω＋φ)＝±1，得－ω＋φ＝2π＋k1π，k1∈Z， 因为点 A(2,2)在该函数的图像上，所以 2sin(2ω＋φ)＝2， 得 2ω＋φ＝π2＋2k2π，k2∈Z， 则 φ＝2π＋2k1＋3 k2π，k1，k2∈Z. 因为|φ|＜2π，所以 φ＝－6π，ω＝3π＋k2π，k2∈Z. 又 0＜ω＜π2，所以 ω＝π3，
点π4，
2＋1，且相邻两个最高点与最低点的距离为
π2＋64 2.
(1)求函数 f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数 f(x)图像上所有的点向左平移38π个单位长度，再将所得图像上所有点的
横坐标变为原来的12，得到函数 g(x)的图像，求 g(x)在1π2，π3上的值域．
解 (1)由相邻两个最高点和最低点的距离为 π22＋64，可得ωπ 2＋42＝ π22＋642， 解得 ω＝2.
(1)解决三角函数图像问题的方法及注意事项 ①已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像求解析式时，常采用待定系数法， 由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ω；常根据“五点法”中 的五个点求解 φ，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图像的升降找准第一个 零点的位置． ②在图像变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于 其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的 长度和方向．
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三角函数求最值的几种解题策略
作者：林东东
来源：《文理导航》2017年第23期
【摘要】三角函数的最值问题是高考的热点之一。
通过研讨三角最值问题的解题思路，一方面可以对与其相关的知识链起到复习巩固作用，另一方面又可以在用数学思想方法解题过程中培养自己的数学解题能力、数学思维能力。
并且这类问题综合性强，灵活性大，它往往与二次函数、三角函数图像、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.这类问题的解决涉及到化归、转换等重要的数学思想，掌握这类问题的求解策略，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。
【关键词】三角函数；最值
一、化为的形式
例1.求函数的最大值。
∴函数f（x）的最大值为，最小值为
反思总结：利用辅助角公式，容易求得函数的最值。
二、转化为基本初等函数
1.转化为二次函数
例2.求函数的值域。
解：原式化为
令，则，由二次函数图象可知，当t=- 时，y = ，当t=1时，y =5
反思总结：将函数表达式化为二次函数时一定要注意不能忽略函数的定义域的变化。
2.转化为双勾函数
例3.求函数y= 在区间（0，π）上的最大值。
解。