上学期拓扑学考试试卷及答案

大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）
一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T
B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
C. {,,{},{,}}X a a b φ=T
D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T
2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的
个数为（ ）
&
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）
A. φ
B. Z
C. R -Z
D. R
4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
A. 若A φ=,则d A φ=
B. 若0{}A x =,则d A X =
C. 若A={12,x x },则d A X A =-
D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( )
A. 开集
B. 闭集
C. 既开又闭
D. 非开非闭
&
二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间
4、序列紧致空间
…
5、正规空间
三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）
2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）
3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ）
4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( )
<
四、证明题（共50分）
1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明
:g f X Z →也是连续映射。

(10分)
2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个
连通子集. (10分)
3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X
的闭子集. (10分)
)
4、设X 为非空集合，令
{}{}|,C A A X C ==-⋃∅余可数
其中为至多可数集
试证：(1) (),
X 余可数
是一个拓扑空间；(5分)
(2) 若X 不可数，(),X 余可数
是连通空间；(5分)
(3) ()X,余可数
为1
T 但非2
T
空间；(5分)
(4)
(),
X 余可数
是Lindelӧff 空间(提示：
即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。

(5分)
/
大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) #
1、C
2、B
3、A
4、A
5、D
二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间
答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为2 A 空间. 2、1T 空间：
答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间. 3、不连通空间
答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得
A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.
）
4、序列紧致空间
答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.
5、正规空间：
答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间.
三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分） #
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）
答案:√
理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有
,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.
2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）
答案：√
理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数
族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理. ;
3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ= （ ）
答案：×
理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有
()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一
的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有d A X A φ=-≠.
4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
答案：√
理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集. ~
四、证明题（共50分）
1、 证：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()
g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.
2、证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得
()f X A B =⋃,于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂= 所以
11(),()
f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，
1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而
()f X 是Y 的一个连通子集.
3、 证明：对于c x A ∀∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，
设1()W f U V -=⋂，则W 是x 的开邻域，且c x W A ∈⊂,故c A 是开集，从而A 是闭集.
4、证明：(1)
()()()()()()()0
1
2
1212121122121212120
1.
212,,3,,,X X A A A A A A A A A X C A X C C C de Morgan A A X C X C X C C A A X C C αααααα∅∈=-∅∈
∈=∅=∅⋂=∅∈≠∅≠∅=-=--⋂=-⋂-=-⋃∈
∈
∀∈Γ=-⋃余可数余可数
余可数
余可数
余可数
余可数
余可数
由的定义，.此外，设，，
或，则，，则其中，为至多可数集.根据公式，有
设不失一般性，令
其中为至多可数集，则()()()()000123A X C X C X ααααα∈Γ
∈Γ
∈Γ
=⋃-=-⋂∈余可数
余可数
由可知，
为上的一个拓扑。

(2) 注意()()()1212X C X C X C C -⋂-=-⋃≠∅；
(3) 对任意,,p q X p q ∈≠，则{}X p U q ＝－与{}q U X p =-分别为p 与q 的开邻域，且p q U ∉，q p U ∉，因此，(),
X 余可数
为1
T 空间。

设p U 为p 的任何开邻域，q U 为q 的任何开邻域，则12X ,p q U C U X C =-＝－，其中
1C ，2C 均为X 的至多可数子集，并且
()()121
2p
q U U X C X C X C C =--=-≠∅
所以，(
),X 余可数
非2
T 空间。

(4) 设
是X 的任一个开覆盖，任取0A ∈
，0A ≠∅，则0A X C =-(C 为X 的至多可数集),
记1{,...,,...}n C c c =，
因
是X 的开覆盖，故,i A ∃∈ ..s t ,i i c A ∈i N ∈于是，
1
{|0,1,...,,...}
i A i n =
=是X 的至多可数开覆盖，从而(
),
X 余可数
是Lindelӧff 空间.。