概率论与数理统计第11讲 二项概率公式

0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
n越大，p越小， 泊松分布近似二 项分布效果越好
n = 50, p = 0.08, =4
0.25 0.2 0.15
B(n,p)
P(λ )
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9Байду номын сангаас
10
11
12
13
二项分布与泊 松分布的近似 效果见实验2
谢 谢！
1
50 e-5 5 e-5 0! 1!
1000

5k e-5


5k
e-5
查表

0.95957.
k2 k !
k2 k !
二项分布与泊松分布概率分布图
n = 5, p = 0.8, = 4
B(n,p)
P(λ )
0.45 0.4 0.35
0.3 0.25 0.2 0.15
0.1
二项概率的泊松逼近定理
在实际计算中, 当n ≥10, p ≤0.1时,可用近似
公式
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
k e.
k!
其中 λ=np, k=0,1, …n.
当n ≥10, p ≥0.9(即q ≤0.1) 时,可用近似公式
Pn (k)

Cnk
pk (1
p)nk
同理可得其它项的概率也是 pk qnk ,
故 Pn (k) P(Bk ) Cnk pk qnk .
二项概率公式
推论
n
Pn (k) 1.
k 0
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 n
n
Pn (k) Cnk pk qnk ( p q)n 1.
k 0
k2 k !
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , λ=np=5
（1）设A=“废品不超过5件”，则
P(A)

5 k 0
P1000 (k )

5 k 0
5k e-5 k!
二项概率公式
求证 证明
Pn (k) Cnk pk qnk
设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”, Ai =“第i次试验成功”,Ai =“第i次试验失败”，
则 Bk A1A2 Ak Ak1 An
A1 A2 Ak1 Ak Ak1 Ak2 An
A1 A2 Ank Ank1 An.
k 0
例1 连续投n次均匀骰子，求6点恰好出现
k次的概率？（k≤n）
解 设A=每次出现6点， A =每次不出现6点，
P( A) 1 p, P( A) 5 q.
6
6
Pn (k)

Cnk
(1)k 6
( 5 )nk 6
,(k

0,1,, n).
例2 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.08,独立射击50次,求至少命中两次的概率. 解 设A=“至少命中两次”
每次试验中 P(A)=p保持不变
各次试验的 结果互不影响
人们常把A叫“成功”, A 叫“失败”.
二项概率公式
定理1 设每次试验中成功A的概率为p (0 < p < 1), 则在n重伯努利试验中A恰好 发生k次的概率为
Pn (k) Cnk pk qnk
其中 p + q = 1, k = 0, 1, …, n.
定理2 如果n→∞, p→0使得np=λ
保持为正常数，则
Cnk pk (1
p)nk

k e .
k!
对k=0,1,2, „一致地成立.
泊松(Poisson)
泊松(Siméon-Denis Poisson 1781～1840) 是法国数 学家、几何学家和物理学家. 泊松定理于1837年由 泊松引入的.
1 5k e-5 k6 k !
查表
= 1 0.38404 0.61596.
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , np=5
（2）设B=“至少有两件废品”，则
P(B) 1 P1000 (0) P1000 (1)
n = 50, p = 0.08, = 500.08 = 4.
所求概率为
P(A)
查poisson 分布表
50 k 2
50
C5k00.08k (0.92)50k


4k
e4

k 2
0.908.
k2 k !
4k
k!
e4
k e
km k!
4k e4 0.90842
二项概率公式
n重伯努利试验
若一个试验只有两个结果: A和 A , 称试验为伯努利试验.
伯努利 Jacob Bernoulli(1654-1705) 瑞士数学家. 伯努利家族代表人物 之一, 概率论中的伯努利试验与大 数定律都是他提出来的. 被公认为 概率论的先驱之一.
n重伯努利试验
设P(A) = p (0 < p <1）, 则P( A ) = 1－p = q. 将伯努利试验重复、独立地进行n次, 称 为n重伯努利试验.
二项概率公式
求证
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”,
Ai =“第i次试验成功”, Ai=“第i次试验失败”，
则 P( A1A2 Ak Ak1 An )
P( A1)P( A2 )P( Ak )P( Ak1)P( An ) pkqnk .

[n(1 p)]nk (n k)!
en(1 p) .
k=0,1,
…n.
当0.1＜p＜0.9时，用正态近似.在后面学习.
例2 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.08,独立射击50次,求至少命中两次的概率.
解(续) 设A=“至少命中两次”
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50.
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50. 所求概率为 P( A) 1 P50 (0) P50 (1)
1 (0.92)50 50 0.08 (0.92)49
0.917. 上式计算较繁琐, 下面给出近似公式.
二项概率的泊松(Poisson)逼近定理