概率论与数理统计第11讲 二项概率公式
二项分布的概率计算公式
二项分布的概率计算公式好的，以下是为您生成的关于“二项分布的概率计算公式”的文章：在咱们学习数学的这个奇妙旅程中，有一个特别有趣的概念叫做二项分布。
这玩意儿听起来好像挺高深莫测的，其实啊，它就藏在咱们的日常生活里。
先来说说啥是二项分布。
比如说，咱们抛硬币，抛一次，正面朝上或者反面朝上，这就是两种可能的结果，而且每次抛硬币正面朝上的概率都是固定的。
如果咱们连着抛好多次，然后算算正面朝上出现特定次数的概率，这就是二项分布啦。
那二项分布的概率计算公式是啥呢？它是这样的：P(X=k) = C(n,k)* p^k * (1-p)^(n-k) 。
这里面的字母都有它的意思哦，n 表示试验的次数，k 表示成功的次数，p 是每次试验成功的概率。
我给您举个例子哈。
比如说，一个班级进行数学小测验，一共 20道选择题，每道题有四个选项，只有一个是正确的，学生纯靠蒙。
那蒙对一道题的概率就是 1/4 。
现在咱们想知道这个学生蒙对 5 道题的概率是多少。
这时候就用上二项分布的概率计算公式啦。
n 就是 20，k 是 5，p 是1/4 。
先算 C(20,5)，这就是从 20 个里面选 5 个的组合数，算出来是15504 。
然后 (1/4)^5 算出来是 1/1024 ，(1 - 1/4)^(20 - 5) 算出来是243/1024 。
最后把这些数乘起来，P(X=5) = 15504 * 1/1024 * 243/1024 ，算出来大概是 0.0369 。
这就是这个学生蒙对 5 道题的概率。
再比如说，投篮比赛，一个选手投 30 次，每次投中的概率是 0.6 ，那他投中 18 次的概率是多少？同样的道理，用公式算一下，就能得出答案啦。
二项分布的概率计算公式在实际生活中的应用可多了去了。
像质量检测的时候，一批产品，知道不合格的概率，然后算抽检中出现几个不合格产品的概率；或者调查某种疾病的发病率，预测在一定数量的人群中会有多少人患病等等。
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。
其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。
而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。
本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。
一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。
2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。
3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。
2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。
3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中的一门重要分支，用于研究随机事件的发生概率和规律性。
下面是概率论中的一些常用公式和定理，供参考：1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的情况数，n(S)表示样本空间中所有事件发生的情况数。
2.加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B发生的概率。
3.乘法定理：P(A∩B)=P(B，A)×P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.互斥事件的概率：若事件A和事件B互斥（即不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B) 5.条件概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6.贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=∑[P(A∩B_i)]其中，事件B_1,B_2,...,B_n互斥且构成样本空间，P(B_i)不为0，P(A∩B_i)表示事件A和事件B_i同时发生的概率。
8.期望值：E(X)=∑[x_i×P(X=x_i)]其中，X为随机变量，x_i为随机变量X的取值，P(X=x_i)为随机变量X取值为x_i的概率。
9.方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，X为随机变量。
10.协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) × (Y - E(Y))]其中，X和Y为两个随机变量。
11.独立事件的概率：若事件A和事件B独立，即P(A∩B)=P(A)×P(B)12.独立随机变量的期望值：E(XY)=E(X)×E(Y)其中，X和Y为独立随机变量。
概率论与数理统计第11讲 二项概率公式
解(续) 设A=“至少命中两次”
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50.
n = 50, p = 0.08, = 500.08 = 4.
所求概率为
P(A)
查poisson 分布表
50 k 2
50
C5k00.08k (0.92)50k
4k
e4
k 2
故 Pn (k) P(Bk ) Cnk pk qnk .
二项概率公式
推论
n
Pn (k) 1.
k 0
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 n
n
Pn (k) Cnk pk qnk ( p q)n 1.
k 0
k 0
例1 连续投n次均匀骰子，求6点恰好出现
k次的概率？（k≤n）
解 设A=每次出现6点， A =每次不出现6点，
0.908.
k2 k !
4k
k!
e4
k e
km k!
4k e4 0.90842
k2 k !
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , λ=np=5
（1）设A=“废品不超过5件”，则
求证
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”,
Ai =“第i次试验成功”, Ai=“第i次试验失败”，
则 P( A1A2 Ak Ak1 An )
P( A1)P( A2 )P( Ak )P( Ak1)P( An ) pkqnk .
同理可得其它项的概率也是 pk qnk ,
概率论与数理统计计算公式
概率论与数理统计计算公式概率论和数理统计是数学中的两个重要分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
在实际中，我们经常需要计算各种概率和统计量，因此理解和掌握概率论和数理统计中的计算公式是十分重要的。
接下来，我将给出概率论和数理统计中一些常用的计算公式。
一、概率计算公式：1.加法原理：如果A和B是两个事件，那么它们的和事件(A∪B)的概率可以由如下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.条件概率：如果A和B是两个事件，且P(A)>0，那么事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率可以由如下公式计算：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)3.全概率公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A，我们有：P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i取1到n。
4.贝叶斯公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A和i取1到n，我们有：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中j取1到n。
5.乘法定理：如果A和B是两个事件，那么它们的交事件的概率可以由如下公式计算：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)二、统计量计算公式：1.样本均值：对于由n个观测值组成的样本，样本的均值可以由如下公式计算：\(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i\)2.样本方差：对于由n个观测值组成的样本，样本的方差可以由如下公式计算：\(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{X})^2\) 3.标准差：样本的标准差是样本方差的平方根\(S = \sqrt{S^2}\)4.相关系数：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以由如下公式计算：\(\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)5.协方差：样本的协方差可以由如下公式计算：\(Cov(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\)以上只是概率论和数理统计中的一些常用计算公式，实际应用中还有很多其他的公式和方法。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式以下是概率论与数理统计中常见的公式整理：1.基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中A 为事件，n(A) 为事件A 发生的基数，n(S) 为样本空间的基数。
2.条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中A 和B 为两个事件，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，P(B) 表示事件B 发生的概率。
3.全概率公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率。
4.贝叶斯公式：P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ΣP(A|Bj) * P(Bj)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率，P(A|Bj) 表示在事件Bj 发生的条件下，事件A 发生的概率。
5.随机变量的期望值：E(X) = Σxi * P(xi)，其中X 为随机变量，xi 为随机变量X 取的第i 个值，P(xi) 表示X 取xi 的概率。
6.随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2)，其中X 为随机变量，E(X) 表示X 的期望值。
7.正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / (σ* √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))，其中μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
8.标准正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)，其中x 为标准正态分布的随机变量。
9.两个随机变量的协方差：Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))，其中X 和Y 为两个随机变量，E(X) 和E(Y) 分别表示X 和Y 的期望值。
第11讲概率统计__王松桂
一种方法是：由于g(X) 也是随机变量， 故应有概率分布，其分布可以由X的分布求 出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期 望的定义把 E[g(X)] 计算出来。 但使用该方法 必须先求出g(X)的分布。 一般说来，这是比较复杂的事。
那么, 可否不求g(X)的分布，而只根据X 的分布来计算 E[g(X)] 呢？ 答案是肯定的。且有如下公式：
Y X 1 2
1
1/8 1/2
2
1/4 1/8
解： E(Z)= g(1,1)0.125+g(1,2)0.25 +g(2,1)0.5+g(2,2)0.125 = 4.25.
例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为 4e4 x , x 0, 2e2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0, 求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
2
E ( X ) 1.68.
这意味着：若从该地区抽查很多成年男 子，分别测量他们的身高。则这些身高的平 均值近似地为1.68。
例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布, 平均寿命为1000小时, 计算 P{1000<X≤1200}。 解：由 E(X) = 1/λ = 1000，知 λ = 0.001，X 的概率密度为 0.001x , x 0, 0.001e f ( x) x 0. 0,
所以，
E[ g ( X , Y )]
xyf X ( x) fY ( y )dxdy 0 0 0
一般来说, 若统计了n天,
(假定每天至多出三件废品) n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
概率论讲座讲义
2018级数学辅导讲义（十一）：概率论与数理统计2019.5一、随机事件的概率：1.概率的五大公式（1）加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+- ；（2）减法公式：()()()()P A B P A B P A P AB -==-；（3）乘法公式：()(|)()P AB P B A P A =；（4）全概率公式：1122()(|)()(|)()(|)()n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =+++ ；（5）贝叶斯公式：1122(|)()(|)(|)()(|)()(|)()i i i n n P A B P B P B A P A B P B P A B P B P A B P B =+++ .2.随机事件的独立性若()()()P AB P A P B =，则称事件,A B 相互独立.【例1】()0.8P B A = ，()0.4P B =，则(|)P A B =.【解】【例2】（1）甲、已两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则两人中至少一人射中的概率为；（2）甲、已两人任选一人对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被甲射中的概率为；（3）甲、已两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为；（4）甲、已两人任选一人对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为.【解】二、一维随机变量及其分布：1.一维离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布、概率和分布：分布离散型随机变量连续型随机变量概率分布概率和分布2.一维连续型随机变量的概率与分布函数、概率密度的关系：3.分布函数的性质：4.分布律的性质：5.概率密度的性质：【例3】（1）设随机变量X 的概率密度为1,02,()0,kx x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他，则{11}P X -≤<=.（2）设随机变量X 的分布函数为2,0,(1)(),0,b a x x F x c x ⎧+>⎪+=⎨⎪≤⎩则X 的概率密度()f x =.【解】【例4】已知,04~()80,X xx X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求21Y X =+的概率密度.【解】三、二维随机变量及其分布：1.二维随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布：分布分布律概率密度分布函数联合分布边缘分布条件分布2.二维随机变量的概率与联合概率密度的关系：3.两个随机变量的独立性：定义充要条件1（连续型随机变量）充要条件2（离散型随机变量）【例5】设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为,0,01,(,)0x ce y x y f x y -⎧><<=⎨⎩，其他.（1）求常数c 的值；（2）求,X Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ；（3）判断X 和Y 是否相互独立，并说明理由；（4）求{max(,)1}P X Y .【解】四、随机变量的数字特征：1.离散型随机变量与连续型随机变量的数学期望：随机变量离散型随机变量连续型随机变量一个随机变量一个随机变量的函数两个随机变量的函数2.方差的计算公式：3.协方差的计算公式：4.相关系数的计算公式：【例6】设随机变量,X Y 的概率分布分别为且22{}1P X Y ==.Y-101kp 131313X01kp 1323（1）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求Z XY =的概率分布；（3）求X 与Y 的相关系数XY ρ.【解】【例7】（1）设随机变量123,,X X X 相互独立，且1X 服从均匀分布[1,3]U ，2X 服从二项分布12,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3X 服从参数为2的指数分布，则12332Y X X X =-+的数学期望和方差分别为.（2）设随机变量,X Y 相互独立,且X 服从正态分布(2,1)N ,Y 服从正态分布2(1,2)N ,则{23}P X Y ->=.【解】五、中心极限定理：用于计算的“中心极限定理”：【例8】设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。
概率论与数理统计第11讲二项概率公式
概率论与数理统计第11讲二项概率公式概率论与数理统计是一门研究随机现象的规律性和不确定性的数学学科。
在概率论与数理统计的学习中，二项概率公式是一个非常重要的内容。
本文将详细介绍二项概率公式的定义、应用以及相关的例题。
一、二项概率公式的定义二项概率公式是描述在n次独立重复试验中，成功的次数X服从二项分布的概率公式。
假设每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，则在n次试验中，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。
二项概率公式的表达式为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，p^k表示成功概率p连续发生k次，q^(n-k)表示失败概率q连续发生n-k次。
二、二项概率公式的应用二项概率公式可以应用于很多实际问题的概率计算。
以下是几个常见的应用场景：1. 投硬币问题：假设有一枚公正的硬币，投掷10次，成功定义为正面朝上，失败定义为反面朝上。
求在10次投掷中正面朝上的次数为5的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=5)=C(10,5)*0.5^5*0.5^5=0.24612. 生产线问题：某工厂生产的产品中有10%的次品率。
从该工厂生产的产品中随机抽取20个，求其中有3个次品的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=3)=C(20,3)*0.1^3*0.9^17=0.30833. 游戏问题：某游戏中有一个抽奖系统，每次抽奖的中奖概率为0.02。
玩家连续抽奖100次，求中奖次数为2的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=2)=C(100,2)*0.02^2*0.98^98=0.2707三、二项概率公式的例题1. 掷一枚骰子10次，求得到6点的次数为3的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=3)=C(10,3)*(1/6)^3*(5/6)^72. 一批产品中有10%次品率，从中随机抽取40个，求其中有4个次品的概率。
根据二项概率公式，可以得到：P(X=4)=C(40,4)*(0.1)^4*(0.9)^363. 有一个有10个球的盒子，其中有4个红球和6个蓝球。
概率论与数理统计超全公式总结
E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率论与数理统计 公式(全)
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
n
A Bi
2°
i1 ，
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。
f (x)dx 1
2°
。
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X x
;..
（4）分布函数 （5）八大分布
;..
..
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i 1，2，…， n，
n
A Bi
2°
i1 ， P( A) 0 ，
则
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
..
第 1 章 随机事件及其概率
（1）排 列组合 公式
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
Cmn
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
（2）加 法和乘 法原理
（3）一 些常见 排列 （4）随 机试验 和随机 事件
（5）基 本事 件、样 本空间 和事件
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
概率二项分布公式
概率二项分布公式好嘞，以下是为您生成的关于“概率二项分布公式”的文章：咱今儿就来好好唠唠这个概率二项分布公式。
要说这二项分布公式，那在概率的世界里可是相当重要的存在。
打个比方，咱就说扔硬币这事儿。
假如你扔 10 次硬币，想知道恰好出现6 次正面的概率是多少，这时候二项分布公式就派上用场啦。
二项分布公式长这样：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里面的 n 就是试验的总次数，k 呢就是咱们关心的那个成功的次数，p 就是每次试验成功的概率。
比如说，在上面扔硬币的例子里，n 就是 10，k 是 6，因为扔硬币出现正面的概率是 0.5，所以 p 就是 0.5 。
我记得有一次，在给学生们讲这个二项分布公式的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式咋来的呀，感觉好复杂。
”我当时就笑了，跟他说：“别着急，咱们一步步来。
” 我先给他讲了什么是独立重复试验，就是那种每次结果互不影响，概率都一样的试验。
就像扔硬币，每一次扔，正面或者反面的概率都不变。
然后再引入二项分布的概念，告诉他为啥会有这样一个公式来计算特定次数成功的概率。
那孩子听着听着，眼睛逐渐亮了起来，最后一拍大腿说：“哎呀，老师，我懂啦！” 看着他那恍然大悟的样子，我心里别提多有成就感了。
在实际生活中，二项分布的应用那可多了去了。
比如说产品质量检测，一批产品里，次品出现的概率是一定的，抽检一定数量的产品，想知道有几个次品的概率，就能用二项分布公式算出来。
再比如，投篮命中率固定，投一定次数，想知道投中特定次数的概率，也能靠它。
其实啊，数学里的这些公式看起来复杂，都是为了帮咱们解决生活中的实际问题。
只要咱们理解了它背后的道理，用起来就得心应手啦。
所以，别被二项分布公式的外表吓到，多琢磨琢磨，多联系实际，你就会发现它其实挺好玩的，就像一个解谜的工具，能帮咱们解开很多概率的小秘密。
总之，好好掌握这个二项分布公式，能让咱们在概率的世界里畅游无阻，解决更多有趣的问题！。
二项分布的概率公式
二项分布概率公式：P（X=k）=C（n，k）（p^k）*（1-p）^（n-k）。
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n，且对每一个k（0≤k≤n），事件{X=k}即为“n 次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性（likelihood）大小。
随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。
经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。
该常数即为事件A出现的概率，常用P（A）表示。
概率统计公式大全汇总
概率统计公式大全汇总1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本点数，n(S)表示样本空间的样本点数。
2.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
5.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A的概率。
6.期望值公式：E(X)=∑(x*P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示X的取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
7.方差公式：Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E[X^2]表示X的平方的期望值，E[X]表示X的期望值。
8.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
9.二项分布概率公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，p表示每个元素成功的概率，n表示试验次数。
10.正态分布概率公式：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
概率论与数理统计公式全完整版
概率论与数理统计公式
全
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第1章随机事件及其概率
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用
)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
第二章 随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
二项概率公式
二项概率公式好的，以下是为您生成的关于“二项概率公式”的文章：在咱们的数学世界里，有一个超级重要的概念，那就是二项概率公式。
这玩意儿听起来好像挺复杂，其实啊，它就像我们生活中的小助手，能帮咱们解决好多有趣的问题。
就说前段时间吧，我去参加了一个抽奖活动。
抽奖的规则很简单，每次抽奖都有 50%的概率中奖。
我一共抽了 5 次。
这时候，二项概率公式就派上用场啦。
咱们先来瞅瞅二项概率公式到底是啥。
它呀，简单说就是在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率 P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里面，n 就是试验的总次数，k 是事件 A 发生的次数，p 是每次试验中事件 A 发生的概率。
回到我抽奖的事儿。
我想算算我恰好中奖 3 次的概率。
那 n 就是 5，k 就是 3，p 是 0.5 。
代入公式算算，C(5, 3) * 0.5^3 * (1 - 0.5)^(5 - 3) ，这一通计算下来，就能知道我恰好中奖 3 次的可能性有多大。
在学校里，老师给我们讲二项概率公式的时候，好多同学一开始都觉得头疼。
我记得有个同学，瞪着眼睛瞅着黑板上的公式，嘴里嘟囔着：“这都是啥呀，怎么这么乱！”其实啊，只要多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现它也没那么可怕。
比如说，抛硬币。
抛10 次硬币，正面朝上恰好6 次的概率是多少？这时候用二项概率公式，轻松就能算出来。
还有啊，假设一个篮球运动员投篮的命中率是 60%，他投篮 8 次，恰好命中 5 次的概率也能用这个公式算。
生活中这样的例子多了去了。
比如说生产线上产品的合格率，调查中某种情况出现的概率等等。
二项概率公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多看似复杂的概率问题的大门。
只要我们掌握了它，就能在数学的世界里更加游刃有余。
当我们深入理解了二项概率公式，再去看那些看似随机的现象，就会发现背后其实都有一定的规律可循。
就像抽奖，虽然每次结果都不确定，但通过这个公式，我们能大致估算出各种可能结果出现的概率。
概率论与数理统计 公式(全)
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
n
A Bi
2°
i1 ，
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)
分布函数为
?
0，
x<a，
x
F(x) f (x)dx
xa,
当
a≤x1<x2≤b
时，X
落1b，在 a区间（
x1
,
xax2≤）>bx内。≤的b 概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
欢迎阅读
（6）分位数 （7）函数分布 欢迎阅读
（10）加法 公式
（11）减法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B)
（12）条件 概率
（13）乘法 公式
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下， P( A)
事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
概率论与数理统计第11讲 二项概率公式
泊松(Siméon-Denis Poisson 1781～1840) 是法国数 学家、几何学家和物理学家. 泊松定理于1837年由 泊松引入的.
二项概率的泊松逼近定理
在实际计算中, 当n ≥10, p ≤0.1时,可用近似
公式
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
k e.
k!
其中 λ=np, k=0,1, …n.
每次试验中 P(A)=p保持不变
各次试验的 结果互不影响
人们常把A叫“成功”, A 叫“失败”.
二项概率公式
定理1 设每次试验中成功A的概率为p (0 < p < 1), 则在n重伯努利试验中A恰好 发生k次的概率为
Pn (k) Cnk pk qnk
其中 p + q = 1, k = 0, 1, …, n.
二项概率公式
求证 证明
Pn (k) Cnk pk qnk
设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”, Ai =“第i次试验成功”,Ai =“第i次试验失败”，
则 Bk A1A2 Ak Ak1 An
A1 A2 Ak1 Ak Ak1 Ak2 An
A1 A2 Ank Ank1 An.
二项概率公式
当n ≥10, p ≥0.9(即q ≤0.1) 时,可用近似公式
Pn (k)
Cnk
pk (1
p)nk
[n(1 p)]nk (n k)!
en(1 p) .
k=0,1,
…n.
当0.1＜p＜0.9时，用正态近似.在后面学习.
例2 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.08,独立射击50次,求至少命中两次的概率.
求证
Pn (k) Cnk pk qnk
二项概率计算公式
二项概率计算公式
二项分布概率公式P（X=k)=C(n,k)（p^k）*(1-p)^(n-k)
n是试验次数，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率。
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
扩展资料：
由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A 发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。
因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。
设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则
X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n)
在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关。
在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。
二项分布可以用于可靠性试验。
可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到
通过试验的概率。
若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。
C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。
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每次试验中 P(A)=p保持不变
各次试验的 结果互不影响
人们常把A叫“成功”, A 叫“失败”.
二项概率公式
定理1 设每次试验中成功A的概率为p (0 < p < 1), 则在n重伯努利试验中A恰好 发生k次的概率为
Pn (k) Cnk pk qnk
其中 p + q = 1, k = 0, 1, …, n.
二项概率公式
求证
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”,
Ai =“第i次试验成功”, Ai=“第i次试验失败”，
则 P( A1A2 Ak Ak1 An )
P( A1)P( A2 )P( Ak )P( Ak1)P( An ) pkqnk .
n = 50, p = 0.08, = 500.08 = 4.
所求概率为
P(A)
查poisson 分布表
50 k 2
50
C5k00.08k (0.92)50k
4k
e4
k 2
0.908.
k2 k !
4k
k!
e4
k e
km k!
4k e4 0.90842
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
n越大，p越小， 泊松分布近似二 项分布效果越好
n = 50, p = 0.08, =4
0.25 0.2 0.15
B(n,p)
P(λ )
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
二项分布与泊 松分布的近似 效果见实验2
谢 谢！
k2 k !
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , λ=np=5
（1）设A=“废品不超过5件”，则
P(A)
5 k 0
P1000 (k )
5 k 0
5k e-5 k!
1 5k e-5 k6 k !
查表
= 1 0.38404 0.61596.
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , np=5
（2）设B=“至少有两件废品”，则
P(B) 1 P1000 (0) P1000 (1)
定理2 如果n→∞, p→0使得np=λ
保持为正常数，则
Cnk pk (1
p)nk
k e .
k!
对k=0,1,2, „一致地成立.
泊松(Poisson)
泊松(Siméon-Denis Poisson 1781～1840) 是法国数 学家、几何学家和物理学家. 泊松定理于1837年由 泊松引入的.
二项概率公式
求证 证明
Pn (k) Cnk pk qnk
设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”, Ai =“第i次试验成功”,Ai =“第i次试验失败”，
则 Bk A1A2 Ak Ak1 An
A1 A2 Ak1 Ak Ak1 Ak2 An
A1 A2 Ank Ank1 An.
k 0
例1 连续投n次均匀骰子，求6点恰好出现
k次的概率？（k≤n）
解 设A=每次出现6点， A =每次不出现6点，
P( A) 1 p, P( A) 5 q.
6
6
Pn (k)
Cnk
(1)k 6
( 5 )nk 6
,(k
0,1,, n).
例2 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.08,独立射击50次,求至少命中两次的概率. 解 设A=“至少命中两次”
1
50 e-5 5 e-5 0! 1!
1000
5k e-5
5k
e-5
查表
0.95957.
k2 k !
k2 k !
二项分布与泊松分布概率分布图
n = 5, p = 0.8, = 4
B(n,p)
P(λ )
0.45 0.4 0.35
0.3 0.25 0.2 0.15
0.1Leabharlann [n(1 p)]nk (n k)!
en(1 p) .
k=0,1,
…n.
当0.1＜p＜0.9时，用正态近似.在后面学习.
例2 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.08,独立射击50次,求至少命中两次的概率.
解(续) 设A=“至少命中两次”
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50.
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50. 所求概率为 P( A) 1 P50 (0) P50 (1)
1 (0.92)50 50 0.08 (0.92)49
0.917. 上式计算较繁琐, 下面给出近似公式.
二项概率的泊松(Poisson)逼近定理
二项概率的泊松逼近定理
在实际计算中, 当n ≥10, p ≤0.1时,可用近似
公式
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
k e.
k!
其中 λ=np, k=0,1, …n.
当n ≥10, p ≥0.9(即q ≤0.1) 时,可用近似公式
Pn (k)
Cnk
pk (1
p)nk
同理可得其它项的概率也是 pk qnk ,
故 Pn (k) P(Bk ) Cnk pk qnk .
二项概率公式
推论
n
Pn (k) 1.
k 0
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 n
n
Pn (k) Cnk pk qnk ( p q)n 1.
k 0
二项概率公式
n重伯努利试验
若一个试验只有两个结果: A和 A , 称试验为伯努利试验.
伯努利 Jacob Bernoulli(1654-1705) 瑞士数学家. 伯努利家族代表人物 之一, 概率论中的伯努利试验与大 数定律都是他提出来的. 被公认为 概率论的先驱之一.
n重伯努利试验
设P(A) = p (0 < p <1）, 则P( A ) = 1－p = q. 将伯努利试验重复、独立地进行n次, 称 为n重伯努利试验.