2020-2021学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科) (解析版)

2020-2021学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.

1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）

C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）

2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i

3．化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是（）

A．B．C．﹣D．﹣

4．已知a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2，则（）

A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c

5．函数f（x）＝（x2+1）sin2x，（﹣π≤x≤π）的图象可能是（）

A．B．

C．D．

6．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P（x0，2），若点P到该抛物线焦点的距离为4，则|OP|等于（）

A．B．C．4D．

7．已知球面上A，B，C三点，O是球心．如果AB＝BC＝AC＝，且球的体积为π，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）

A．1B．C．D．2

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B+2sin A cos C＝0，则cos B的最小值为（）

A．B．C．D．

9．记函数g（x）＝e x﹣e﹣x+sin x，若不等式g（2x+a）+g（x2﹣1）＞0，对∀x∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围为（）

A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）10．先将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g（x）的图象，若方程f（x）＝g（x）有实根，则ω的值可以为（）A．B．1C．2D．4

11．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形x2+y2＝4．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；

②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；

③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为；

④若点P（0，1），MN为圆x2+y2＝4过点P的直径，线段AB是圆x2+y2＝4所有过点P

的弦中最短的弦，则的值为12．

其中所有正确结论的序号是（）

A．①③B．③④C．①③④D．①②④

12．已知A，B，C是双曲线上的三个点，直线AB经过原点O，

AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

二、填空题（共4小题）.

13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为．

14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．

15．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为．16．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC将三角形ABC折起，使得点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cos∠BAD的值是．

三.解答题（共70分.）（一）必考题：共60分.

17．已知数列{a n}是一个等差数列，且a3＝3，a2+a5＝7，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且满足：b1＝．

（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；

（2）设数{c n}列满足c n＝a n b n，其前n项和为T n．求证：T n＜2．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

19．在平面直角坐标系中，已知F1（﹣1，0），直线l：x＝﹣4，点P为平面内的动点，过点P做直线l的垂线，垂足为点M，且（2﹣•（2+）＝0，点P的轨迹为

曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设F2（1，0），过F2且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B．则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n的方程；

若不存在，请说明理由．

20．已知函数f（x）＝3x2+（6﹣a）x﹣alnx（a∈R）．

（1）求函数y＝f（x）的单调区间；

（2）当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞3x2+5x+2．

21．某单位为患病员工集体筛查病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k（k∈N*，k≥2）份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．下面有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a（a＞0）元，若k份血液样本采用混合检验方案，则需要额外收取元的材料费和服务费．

（1）若k（k∈N*，k≥2）份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X 的分布列及数学期望；（2）①若，以检验总费用的数学期望为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一的，求k的最大值．

（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1，1，ln7≈1.9，ln10≈2.3，ln11≈2.4）

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4─4：坐标系与参数方程]

22．若以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；