成考专升本高等数学(二)重点及解析

高等数学（二）重点知识及解析Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数)：（1）常值函数：y c = （2）幂函数：ay x = （3）指数函数：xy a =(a 〉0,1)a ≠且 （4）对数函数：log a y x =(a 〉0,1)a ≠且（5）三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，cot y x =（6）反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。

ln cos y x =是由ln y u =，cos u x =这两个个简单函数复合而成.3arctan xy e =是由arctan y u =，vu e =和3v x =这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将0x 代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即00lim ()()x x f x f x →=。

注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即lim C C =。

（2）该方法的使用前提是当0x x →的时候，而x →∞时则不能用此方法。

lim 44→-∞=，1lim 33x →--=-，limlg 2lg 2x →∞=，6lim x πππ→=，2203103011101x x x x →+-+•-==-++2tan(1)tan(21)tan1121x x x →--==-- （非特殊角的三角函数值不用计算出来）2、未定式极限的运算法（1）对于0未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0x 代入后函数值即是极限值。

239lim 3x x x →--. 0未定式，提取公因式解：原式= 33(3)(3)limlim(3)63x x x x x x →→-+=+=-22121lim 1x x x x →-+-. 0未定式，提取公因式解：原式=()()()211lim 11x x x x →--+=()()11lim1x x x →-+=002=（2）对于∞∞未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。

23lim31n n n →∞-+ ………∞∞未定式，分子分母同时除以n解：原式32202lim13033n n n→∞--===++ ………无穷大倒数是无穷小232321lim 25x x x x x →∞---+. ………∞∞未定式，分子分母同除以3x解：原式=233321lim 152x x xx x x→∞---+=002= ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 3、利用等价无穷小的代换求极限（1）定义：设α和β是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim βα=1，称β与α是等价无穷小，记作β～α.（2）定理：设α、'α、β、'β均为无穷小，又α～'α，β～'β，且'lim'βα存在 则limβα='lim 'βα 或 ''lim lim αβαβ•=• （3）常用的等价无穷小代换：当0x →时， sinx ～x , tan x ～x 0x →时，sin 2x ～2x ，tan(3)x -～3x -0sin 2lim 5x x x →=02lim 5x x x →=02lim 5x →=25 ………sin 2x 用2x 等价代换0tan 3lim x x x →=03lim x xx →=0lim33x →= ………tan3x 用3x 等价代换Ⅱ、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数()f x 在点0x 处的导数记作：'0()f x ，0'x x y = 或x x dy dx=（2）函数()f x 在区间（a,b ）内的导数记作：'()f x ，'y 或dy dx二、求导公式（必须熟记）（1）'()0c = （C 为常数） （2）'1()x xααα-=（3）'()x xe e = （4）'1(ln )x x=（5）'(sin )cos x x = （6）'(cos )sin x x =- （7）'(arcsin )x =（8）'21(arctan )1x x=+、()3x’=23x2、1'212x -= 3、'sin 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭=04、'0π= 5、()''23212x x x --⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 6、'1x =三、导数的四则运算运算公式（设U ，V 是关于X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U 和V 即可，代入后用导数公式求解.）（1）'''()u v u v ±=±（2）'''()u v u v uv •=+ 特别地''()Cu Cu =（C 为常数）（3）'''2()u u v uv v v -=43cos 2y x x =+-，求'y .解：'y =()()''4'3cos 2xx +-=343sin 0xx --=343sin x x -2()ln f x x x =，求'()f x 和'()f e .解：'()f x =()()''22ln ln xx x x +=212ln x x xx⋅+⋅=2ln x x x ⋅+ 所以'()f e =2ln 23e e e e e e ⋅+=+= （注意：lne=1,ln1=0）2()1xf x x=+，求'()f x . 解：'()f x =()()()()''2222111x xx x x +-++=()()222121x x x x +-⋅+=()22211xx -+四、复合函数的求导 1、方 法 一：2sin y x =的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的. 如2sin y x =由sin y u =和2u x =这两个简单函数复合而成 （2）用导数公式求出每个简单函数的导数. 即dy du =cos u ，dudx=2x （3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x 替代回去. ∴dy dy du dx du dx=•=2x cos u =2x 2cos x 2、方 法 二（直接求导法）：复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。

如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导. cos(3)y x =-，求'y .解：'y =()'(3)cox x -=sin(3)x --·'(3)x -=sin(3)x --·(3)-=3sin(3)x -ln xy e =，求'y .解：'y =()'ln x e=ln xe·'(ln )x =1xln xe 注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。

五、高阶导数1、二阶导数记作：''y ，''()f x 或 22d y dx我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导5sin y x =，求''y . 解：∵'y =5cos x ，∴''y =5sin x -2xy e =，求0''x y =.解：∵'y =2xe ()'2x ⋅=22x e ，∴''y =2⋅2x e ()'2x ⋅=42x e即0''x y ==4六、微分的求法：（1）求出函数()y f x =的导数'()f x . （2）再乘以dx 即可.即'()dy f x dx =.2ln y x =，求dy . 解：∵'y =()'2ln x =()'221x x ⋅=212x x ⋅=2x∴dy =2xdx4cos y x x =⋅，求dy . 解：∵'y =()()''44cos cos xx x x +=344cos sin xx x x -∴dy =()344cos sin x x x x dx -Ⅲ、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数．．．．。

其自变量的变化范围称为定义域．．．，通常记作D 。

例如：二元函数通常记作：(,)z f x y =，(,)x y D ∈二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数(,)z f x y =，则函数z 在区域D 内对x 和对y 的偏导数记为：z x∂∂，'(,)x f x y ，'x z ； z y ∂∂，'(,)y f x y ，'y z（2）设二元函数(,)z f x y =，则函数z 在点()00,x y 处对x 和对y 的偏导数记为：()00,x y zx∂∂，()'00,x f x y ，()00',x x y z ； ()00,x y zy∂∂，()'00,y f x y ，()00',y x y z ； 2、偏导数的求法（1）对x 求偏导时，只要将y 看成是常量，将x 看成是变量，直接对x 求导即可. （2）对y 求偏导时，只要将x 看成是常量，将y 看成是变量，直接对y 求导即可. 如果要求函数在点()00,x y 处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将0x 和0y 代入即可.322z x y y x =-，求z x∂∂和z y ∂∂. 解：z x∂∂=2232x y y -，z y ∂∂=34x xy -2sin 2z x y =， 求z x ∂∂和zy∂∂. 解：z x∂∂=2sin 2x y ，z y ∂∂=22cos 2x y三、全微分1、全微分公式：函数(,)z f x y =在点(,)x y 处全微分公式为：z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数z x ∂∂和zy∂∂. （2）、然后代入上述公式即可.2sin()31z x y x y =⋅++-，求dz . 解：∵zx∂∂=cos()6y x y x ⋅+，z y ∂∂=cos()1x x y ⋅+∴[][]cos()6cos()1z zdz dx dy y x y x dx x x y dy x y∂∂=+=⋅++⋅+∂∂2x yz e +=，求dz .解：∵z x∂∂=22x ye +， z y ∂∂=2x y e + ∴222x y x y z z dz dx dy e dx e dy x y ++∂∂=+=+∂∂ 四、二阶偏导的表示方法和求法：（1）()z x x ∂∂∂∂=22zx∂∂=''(,)xx f x y =''xx z ……两次都对x 求偏导（2）()z y x ∂∂∂∂=2z x y ∂∂∂=''(,)xy f x y =''xy z ……先对x 求偏导，再对y 求偏导 （3）()z x y ∂∂∂∂=2z y x∂∂∂==''(,)yx f x y =''yx z ……先对y 求偏导，再对x 求偏导 （4）()z y y ∂∂∂∂=22zy∂∂=''(,)yy f x y =''yy z ……两次都对y 求偏导 可见二元函数的二阶偏导共四种．．．，它们都是,x y 的函数。