结构力学静定结构位移计算习题解答

6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。

解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。

(b)(a)
N
(d )(c)题6-1
N N
（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。

1113(2)82i P i
AB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EA
ϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）
（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。

113(2)()
(72i P i AC i i
P a P a N N l
P
a a E A EA EA EA
ϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==
+⨯=∑（↺）
故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：
8(7(10.414AB AC P P P P
EA EA EA EA
ϕϕϕ+-=-=
-==-（夹角减小）
6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

只计弯曲变形。

EI 为常数。

方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。

以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：
sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr
（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：
[]1
cos )(0)2211cos()cos )()222
i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r
(a)
题6-2
（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

2
02
3322
0022
311
cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V P
k Pr Pr M M ds rd rd EI
EI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI π
ππππππππθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=-∑⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320
211cos 2)cos cos 2)442Pr EI π
ππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣
⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。

题6-2
(a)
203322003
320
1
sin )(Pr cos )
221sin )cos cos sin 2)2
1sin cos 2)42i V
P k M M ds rd EI EI
Pr Pr d d EI EI Pr Pr EI EI π
πππ
θθθ
θθθθθθθθ⋅-⋅∆===-⋅=-=-+=-↑∑⎰⎰⎰⎰（）
(r -r (-(-(1 6-3 求梁的自由端的挠度。

EI 为常数。

方法一 ：（积分法） 解：（1）荷载作用的实状态,以及坐标如图（a ）,其弯矩方程为：
()2
1
(0)2
M x qlx qx x l =--≤<
（2）建立虚设单位力状态,以及坐标如图（b ）所示,其弯矩方程为：()(0)i M x x
x l =-≤<
（3）积分法求梁自由端的竖向位移V
B ∆。

方法二：（图乘法）
6-4 求图示梁支座B 左右两侧截面的相对转角。

EI =常数。

题6-4
M i (c)(b)M P
解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。

（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。

（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移V
B ∆
223
121115()38224248i i
B y ql ql ql l l EI EI EI
ωϕ⋅==-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=∑
（↺↻） (b)
(a)
题6-3
2
023
04
340
1()()21)21111)3824l
i V P
B l l
x qlx qx M
M dx dx
EI
EI
q lx x dx EI q ql lx x EI EI -⋅--⋅∆===⋅==
+=↓∑⎰⎰⎰
（）(+()↓题6-3
M i 图
M P (a)
(b)(c)
6-5求图示悬臂梁的自由端的挠度。

5
2
3.8410kN m EI =⨯⋅。

(a)
(c)(m)M i 图
(kN ·M P 图(b)
解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。

（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。

（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移V
C ∆
35
11122112(404(84)480(84)(4044)(4102)22333365606560 5.6910(m) 5.69mm()33 3.8410
V i i
C y EI EI EI EI EI ω-⋅⎡⎤
∆==
⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦===⨯=↓⨯⨯∑
6-6 求简支梁中点K 的竖向位移。

EI =常数。

M i
(b)M P
题6-6
4
解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。

（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。

（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移V
K ∆
2224
1311122()()()3164222883232848V i i
k
y ql l l l ql l l ql l ql EI EI EI EI EI
ω⋅∆==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=↓∑
6-7 求图示刚架结点K 的转角。

E =常数。

题6-7
(b)
(c)
解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。

（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。

（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移K ϕ
222233333
111111121
()()()()
34422434423438425()
96896192192i i
K y ql ql ql ql l l l l EI E I EI E I E I ql ql ql ql ql EI EI EI EI EI
ωϕ⋅==-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅=-+++=↵∑
6-8求图示三铰刚架D 、E 两点的相对水平位移和铰C 两侧截面的相对转角。

EI =常数。

解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。

（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）、（d ）所示。

（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移H
DE ∆
24
1112()()()242864H i i
DE
y l ql ql l EI EI EI
ω⋅∆
==-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-←→∑
（4）图乘梁（b ）、（d ）求铰C 两侧截面的相对转角C ϕ 方法一：2223
1112(1)21(1)388388i i
C y ql ql ql ql l l l EI EI EI EI EI
ωϕ⋅=
=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-
∑
（↻↺） 方法二：实状态时C 处剪力为零
223
111(1)2(1)2383828i i
C y ql ql l ql l EI EI EI EI
ωϕ⋅==-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-
∑
（↻↺） 6-10 求图示刚架结点K 的竖向位移。

6
2
310kN m EI =⨯⋅。

题6-10
解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。

（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。

（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移V
K ∆
36
111112212
36012618063(6180)9(1806)(1212)(645)93322233231728017280 5.4910() 5.49()310
V i i C y EI EI EI E I EI EI m mm EI ω-⋅∆==-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⋅=-=-=-⨯=-↓⨯∑
6-15 求图示组合结构K 的竖向位移。

EA =常数、EI =常数。

(a)
1
2
a
2
1
(f )
1
2
P
2
I
P
P 、P
2
P
Pa
2题6-15
21
2P
P
22
1
解：（1）荷载作用的实状态如图(a) 所示；用I-I 截面切开三链杆取右边为研究对象如图(b) 所示，并求出此三链杆的轴力；其弯矩图如图（d ）所示。

（2）建立虚设单位力状态如图(e) 所示；切开三链杆取右边为研究对象如图(f) 所示，并求出此三链杆的轴力；其弯矩图如图（h ）所示。

（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移V
K ∆
111
()()1122()334i V i i P K
y N N EI EA EI EI EA EA EA EA ω⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⋅⋅∆=+=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+++=-↑∑∑梁式杆链杆
222222（）（）2222P P P a a a
Pa a Pa a Pa a a
6-17图示三铰刚架内部温度升高t o C ，材料的线膨胀率为α。

求中间铰C 的竖向位移。

各杆截面高度h 相同，EI =常数。

题6-17图(b)
h
解：（1）实状态如图（a）所示，刚架内外侧温度差't t C
=o，轴线温度升高
02
t
t=C
o
（2）建立虚设单位力状态,
11
24
N N N
=-==-
左右梁
, 其弯矩图如图（b）所示。

（3）图乘梁（a）、（b）求中间铰C的竖向位移
'
22
1111
2()()(22)
222424242
535335
()
8888/108
i i
V
C N M
t
t
h
t t t l l l
l l l
h
tl tl tl tl tl
h l
α
αωω
α
αα
ααααα
∆=±±
⨯
=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯
=--=--=-↑
∑∑
6-20 图示桁架中杆件AK在制造时比原设计长度做长了5mm，求由此引起的K点的水平位移。

题6-20图
解：（1）实状态如图（a）所示，桁架中AK杆在制造时比原设计长度做长了5mm。

（2）建立虚设单位力状态,先求出反力，再利用结点法求出该状态AK杆的轴力。

（3）图乘梁（a）、（b）求中间铰C的竖向位移
5 5.5355()()
V
C i
N
∆=±⋅∆==→
∑mm
6-22 图示刚架支座A发生水平位移
1
∆、竖向位移
2
∆及顺时针向转角φ，求由此引起的刚结点K的水平位移。

φ
(a)
△M
解：①实位移状态如图6-22（a ）所示。

②沿水平方向虚设单位力1=i P ，虚力状态如图6-22（b ）所示。

1()01A A A X Y M l l =←==⨯=（↺）
③由刚体的可能功方程，有：
110H k A A X M ϕ⋅∆-⋅∆-⋅=
1H C l ϕ∆=∆+→（）。