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四维空间是什么概念

四维空间是什么概念
四维空间是时间、物质和能量的统一,它们在运动中相互转化.从时间上看,过去、现在、将来构成一个完整的时间连续体;从物质上看,宇宙间存在着物质和反物质两种对立面,这两者在运动中既相互排斥又相互吸引;从能量上看,任何物体都具有能量,并且总是处于不断地变化之中.因此,可以说时间、物质、能量是宇宙的基本要素.
四维空间是指我们所生活的三维空间加上时间构成的四维空间。

根据爱因斯坦的相对论,我们知道时间和空间其实就是物质的存在形式,而我们所处的宇宙是由大爆炸产生的,所以宇宙中同样充满了物质,只是由于空间的存在使得物质的运动轨迹发生了偏移,进而导致了时间的出现,当然也包括了光速在内,如果没有空间的话,那么即便是物质的运动轨迹发生了偏移也不会被人类所察觉到,因为这种情况下时间依旧按照原来的方向流逝,但是时间却与空间密切联系起来,共同组成了四维空间。

简单点说就是时间、空间、物质和能量的统称。

你好!很高兴回答您的问题!四维空间是指时间、物质和能量的统一,它们在运动中相互转化.从时间上看,过去、现在、将来构成一个完整的时间连续体;从物质上看,宇宙间存在着物质和反物质两种对立面,这两者在运动中既相互排斥又相互吸引;从能量上看,任何物体都具有能量,并且总是处于不断地变化之中.因此,可以说时间、物质、能量是宇宙的基本要素.希望能帮助到您,谢谢!。

四维几何基础知识(五)

导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者四维几何基础知识(201802第一次更新)第五章: 曲体定义: 曲体是曲面在四维空间的类比, 在三维几何里,曲面是母线在空间中运动的轨迹.同样的推理,曲体可以看成平面或曲面在四维空间中运动的轨迹.特性: 正如曲面不能存在于二维空间一样,曲体只能存在于四维及以上的空间中,它可以与三维空间相交于点,线,面,体.用途: 因为人类尚未开发四维空间,目前曲体没有明显的用途,但曲体极有可能与宇宙中的未知现象有关,例如黑洞,虫洞.如果未来真的证实了四维空间的存在,那么曲体是进入高维空间和其它三维空间的最佳通道.曲体产生方法: 一是平面或曲面绕面轴旋转一周所得.二是曲面在第四维方向上的直线运动,也可以看作是无数相同的曲面在第四维方向上叠加.***/此段内容是特别说明,因为目前学界对四维几何的研究是包含在”三维以上几何研究”之中的,很少有针对性的研究,在本文之前,甚至没有”曲体”的概念.本人也无从查找曲体的正式名称,所以下列曲体之命名,是根据中国几何数学传统的命名方法,从三维物体的名称中传承而来./******下面是几例比较简单的曲体.一>圆柱面柱体(图一)图一的四维坐标系中是一个长方体,它的三条棱长分别是a,b,r.现在以它的面ABCD作旋转面,以面ABCD的平行面S作面轴,以面OABE作定位面,将面ABCD 向W轴方向旋转一周,得到一个圆柱面柱体,红色和蓝色的柱面是此圆柱面柱体底部和顶部的两个面,夹在其中的是面ABCD的旋转轨迹,也就是柱体.它的体积计算公式: V=2πr*a*b.圆柱面柱体亦可用另一方法求得:在三维坐标系中有一圆柱面,圆半径为r, 柱面高为h,此圆柱面的面积S=2πr*h.将圆柱面向第四维方向垂直移动距离为d,所形成的轨迹即圆柱面柱体, 体积计算公式: V=2πr*h*d.二>圆锥面柱体(图二)将图一稍作变化,在长方体中,对角面OECD作为旋转面,面轴为S ,定位面为面OABE, 将面OECD向W轴方向旋转一周,得到一个圆锥面柱体,红色和蓝色的锥面是此柱体的底面和顶面,它的体积计算公式:V=πr*(√(r∧2+a∧2))*b.在图二中,可以先把线段OD绕Z轴旋转得到圆锥面,它的底部圆周长为L=2πr,母线长为√(r∧2+a∧2), 将圆锥面向第四维方向垂直移动距离为b,所形成的轨迹即圆锥面柱体, 体积计算公式: V=πr*(√(r∧2+a∧2))*b.三>圆面环体(图三)在四维坐标系中有一个长方体,在长方体的侧面ABCD中包含有一个半径为R的圆面,将此圆面作为旋转面,以面ABCD的平行面S作面轴,以面OABE作定位面,此圆面向W轴方向旋转一周,得到一个圆面环体. 它的体积计算公式:V=2(π∧2)*r*(R∧2)圆面环体较难想象,我们可以让它”穿过”一个三维空间,通过观察它形成的一个连续变化的图形,推测它的形状.将圆面环体调整位置,使其与底空间相交于一个圆圈线.我们可以想象一个救生圈浮在水面的样子,当然这只是一个类比,实际状况不是如此.把此圆面环体以垂直于底空间的方向穿过底空间,在底空间的观测者看到的是一个圆圈变成一个圆柱面, 圆柱面的高慢慢增长,到达最大值后慢慢减短,直至变成一个圆圈,此时圆面环体穿过了底空间.我们把圆圈变成圆柱面时变化的高,连续不断的画成无数条线段,按时间顺序排列起来,就是一个圆面,其实就是上例中的旋转圆面.四>用面轴旋转的原理证明圆夬表体的体积公式.在之前的章节中曾经提到,用半个圆球作旋转体,以半圆球的大圆面作面轴,旋转一周可以得到圆夬,其中圆夬的表体部分,是由半圆球的球面旋转得来的.这样我们可以把半球面分解成无数个平行于面轴的圆圈A系列,每个圆圈上的点绕面轴旋转形成另一种圆圈B系列,把圆圈A系列乘以圆圈B系列,再把所得之积累加起来,就能得到圆夬表体的体积.设半圆球的半径为R,在图四中,O是半圆球的球心,C是圆圈A系列上的一个点,CO与面轴的夹角为θ,这样可以得到A系列圆周长为2πR*cosθ, B系列圆周长为2πR*sinθ.现在列出求体积的积分式,积分自变量选取的是弧长CD,这一点非常重要.设: 弧长CD=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至πR/2. 所求的积分式为:五>用”牵引法”原理求底体为大圆球的圆夬台的侧表体体积公式.图五是一个所在圆夬半径为R的圆夬台,它的底体是以点O为球心的大圆球,顶体是球心与点O距离为H的小圆球,它的侧体是由无数个介于底体圆球和顶体圆球之间的,半径由底至顶逐渐变小的圆球表面累加而成,也就是说,把这些圆球表面累加起来,就是此圆夬台的侧表体体积公式.过点C作圆面S1垂直于CO,过点O作圆面垂直于OC,过线段CO作大圆面,与圆面S1的圆周相交于点A, 与圆面S2的圆周相交于点B,以弧线AB为自变量, 设: 弧长AB=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至Rθ. 所求的积分式为:把θ=arcsin(H/R)代入上式,得到:V=2π(R∧3)(arcsin(H/R)+H(√(R∧2- H∧2))/ (R ∧2))六>球面环体如图六所示,在底空间内有一个圆球表面,将此球面以平面S为面轴,向第四维W 轴方向旋转一周,所形成的轨迹就是球面环体.本例中圆球面是中心对称图形,所求的是360度轨迹,因此不需要定位面.现在我们计算球面环体的体积公式.将圆球表面分解成无数个平行于面轴的圆圈A系列,在每个圆圈上取点,绕面轴旋转形成另一种圆圈B系列, 把圆圈A系列乘以圆圈B系列,再把所得之积累加起来,就能得到球面环体的体积公式.图七是一个以点P为球心,R为半径的圆球表面,点O是点P在面轴S上的投影,PO 垂直于面轴S,PO=r. 过点P作平行于面轴S的平面,与圆球表面相交于圆圈1,在平行圆圈A系列中任意选择一圆圈作为圆圈2,过线段PO作一垂直于面轴的平面,与圆圈1, 圆圈2分别相交于点D,点C,不难证得点C,点D在圆球表面的大圆圈上.现在以圆圈1为分界线,把圆球表面分成两部分求球面环体的体积公式,先求圆圈1与面轴之间那半个球表面旋转所得的球面环体的体积..设: 弧长CD=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至πR/2. 所求的积分式为:同样的原理,我们可以得到另半个球表面旋转所得的球面环体的体积.球面环体的体积公式:V=V1+V2=8r(π∧2) (R∧2)七>球面柱体在前面的例子中,用半球面绕面轴旋转的方法求得圆夬的外表体.同样的原理,半个圆柱面以它过中心的竖截面为面轴,底部半圆为定位面旋转,可以得到一个球面柱体.图八左边的蓝色部分是半个圆柱面,绿色的是面轴,红色的是顶部半圆弧的旋转轨迹,能看出是一个圆球外表的模样. 半个圆柱面旋转一周后,得到图右所示的球面柱体.从图右可以观察到, 球面柱体相当于三维空间中的圆球面,向第四维方向垂直移动一段距离的轨迹.体积公式:V=4π(r∧2)*h八>球面锥体球面锥体的原理与球面柱体相类似,旋转面为半个锥面,面轴是过顶点垂直于底圆面的竖截面,定位面是锥面的底圆面. 体积公式:V=(4/3)π(r∧2)*h。

四维几何基础知识(四)

所以在本文中暂时取名为“面轴”,以使读者更容易的理解和想象。

一〉面轴的原理面轴旋转就是以面为轴进行旋转，这样的旋转方式在三维空间是不可行的，因为一个平面就占了二维，而旋转运动也是二维，在三维空间内的几何形如果以面为轴旋转，其结果就是撞到这个面上，所以面轴只能出现在四维及以上空间.而以面为轴的旋转，三维内无法全面的观察，为了描述这个状态，我们先以线轴作为类比。

图一中，OP是线轴，线段AB绕OP旋转.这个过程，我们可以把线段AB分解成无数个点，每个点作垂直于OP的直线与之相交，这样可以看成每个点都以相交点为圆心，垂线长度为半径做圆周运动。

把所有的点连合起来，就是线段AB绕线轴OP旋转不仅是线段，所有的几何形绕线轴旋转都可以分解成无数个点，每个点垂直于线轴旋转，再把所有的旋转的点整合起来就是此几何形绕线轴旋转的过程。

四维空间最简单解释

四维空间最简单解释1. 嘿，你知道啥是四维空间不？简单说呀，就好比咱平时生活的三维空间再加上一个时间维度！就像你今天在这个地方做了一件事，明天又在另一个地方做了另一件事，这时间的变化就是四维空间的一部分呀！比如说，你今天在家看电影，明天去外面旅游，这不同时间你在不同地方，不就是在四维空间里的活动嘛！2. 哎呀呀，四维空间其实没那么复杂啦！可以想象成一个动态的世界。

咱平时看到的东西都是静止的三维，而四维空间就像是这些东西会随着时间动起来！就好像你看着一个人从小到大的成长过程，这就是在时间维度上的变化呀！比如你小时候玩的玩具，现在再看，是不是感觉很不一样，这就是时间在四维空间里起作用啦！3. 喂喂喂，听我说哈，四维空间呀，就好像是给我们的世界加上了一个特别的通道！三维空间里你只能看到当下，在四维空间里你就能看到过去和未来啦！就好比你能看到自己昨天干了啥，明天又会干啥。

比如你回忆一下昨天吃的啥饭，这就是在感受四维空间的一点点呀！4. 嘿哟，四维空间啊，其实就是让一切都变得更奇妙啦！它就像一个魔法口袋，把时间装进去了。

你想想，要是能在四维空间里穿梭，那该多有意思！就像你突然能回到小时候，再体验一次那些快乐时光。

比如你特别怀念小时候的某个游戏，在四维空间里说不定就能回去玩呢！5. 听好啦，四维空间呀，就像是给我们的生活加上了一段特别的旋律！它让一切都有了连续性和变化。

你看，我们的人生不就是在时间里不断变化的嘛！就好像你从学生变成上班族，这就是在四维空间里的轨迹呀！比如你看看自己以前的照片，再看看现在，这就是时间维度的体现嘛！6. 哇塞，四维空间简单来说就是让我们能看到更多的可能性呀！就好比你在一个迷宫里，不仅能看到现在走的路，还能看到之前走过的和之后可能走的路。

比如你在做一个决定的时候，要是能在四维空间里看看不同选择的结果，那该多好！就像选工作，能知道每个工作未来会怎样。

7. 来，跟你讲讲四维空间哈，它就像是一个超级大的故事书！每一页都是不同时间的世界。

四维几何基础知识

四维几何基础知识概述几何学是一门研究空间和形状的学科。

在传统的三维几何学中，我们研究的是三维空间中的物体。

然而，在某些应用领域，比如相对论和指纹识别等，我们需要更高维度上的几何概念和工具。

本文将介绍四维几何的基本概念和一些常见的应用。

什么是四维空间？在数学中，我们可以通过引入额外的维度来扩展我们对空间的认识。

在三维空间中，我们用三个坐标轴（x，y，z）来描述位置。

类似地，在四维空间中，我们需要四个坐标轴（x，y，z，w）来描述位置。

这就是四维空间的基本概念。

在四维空间中，物体可以在更多的方向上移动和变形。

这给了我们在建模和分析问题时更多的自由度。

例如，我们可以在四维空间中描述更复杂的形状和运动。

四维几何中的对象在四维几何中，我们可以研究各种不同类型的对象。

以下是一些常见的对象：点：一个点在四维空间中由四个坐标值（x，y，z，w）表示。

它表示了四维空间中的一个位置。

线：一条线可以由两个点在四维空间中的连线表示。

类似于三维空间中的情况，我们可以计算四维空间中的线的长度和方向。

平面：一个平面由三个点或者一个点和一条线确定。

我们可以使用法向量来描述一个平面在四维空间中的位置和方向。

体：一个体可以由四个点或者更多的点确定。

我们可以计算四维空间中体的体积、表面积和其他几何特征。

四维空间中的运算在四维几何中，我们可以进行各种运算来研究对象之间的关系。

以下是一些常见的运算：平移：平移表示在空间中沿着一个向量移动一个对象。

在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行平移运算。

旋转：旋转是围绕一个轴将一个对象转动一定角度。

在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行旋转运算。

缩放：缩放是将一个对象的大小按比例变化。

在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行缩放运算。

四维空间中的应用四维几何在许多领域中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：相对论：相对论是研究时间和空间之间关系的物理学理论。

由于相对论需要考虑时间的第四个维度，四维几何在相对论中有重要的应用。

四维空间讲解

四维空间讲解四维空间是一种比我们平常接触到的三维空间多了一个维度的空间。

这个维度可以被理解为时间，让我们可以看到物质的演化和变化。

它的概念源于物理学、数学和哲学，被广泛应用于物理学、相对论等领域，具有重要的理论和实际价值。

1.四维空间的概念：四维空间是指点集的所有元素都可以用四个实数来表示，比如(x,y,z,t)。

其中，x、y、z 为空间坐标，t为时间坐标。

四维空间的意义在于能够描述事物的运动和变化。

在三维空间中，物体的位置可以用坐标来描述，在四维空间中，这些坐标被扩展为包括了时间，也就是我们可以描述物体在时间上的运动和变化。

2.四维空间的发展历程： 19世纪末，随着相对论的提出，四维空间开始被广泛研究和运用。

在狭义相对论中，时间是一个相对的概念，不同的观察者会有不同的时间经验。

而在广义相对论中，时间和空间是不可分割的，它们共同构成了四维空间。

四维空间也是量子力学、粒子物理学、宇宙学等领域的基础概念。

3.四维空间在现代物理学中的应用：在物理学中，四维空间被广泛用于描述时间和空间的变化，以及物体的相对性质。

在狭义相对论中，时间是相对的，不同的参考系中时间的流逝是不同的。

同时，狭义相对论也提出了著名的质能方程E=mc2，描述了物体运动的能量和质量之间的关系。

在广义相对论中，四维空间则是我们描述广义相对性理论的基础。

广义相对性理论认为，物质和能量改变了时空的几何结构，而物体的运动是由它周围时空的几何影响的。

因此，广义相对性理论成为研究宇宙大尺度结构、黑洞物理、引力波信号等的基础理论。

4.四维空间的哲学意义：四维空间同时具有哲学意义，因为它涉及到的是超越普通人日常认知的抽象概念。

四维空间的基本概念与人的思维模式有所不同，它挑战了传统的三维思维方式。

同时，四维空间在哲学中也被用来解决时间和空间的联系问题。

四维空间融合了空间和时间的概念，将它们看作是一个整体，避免了时间和空间之间的二元对立。

总之，四维空间是一个具有重要理论和实际应用价值的概念。

四维几何基础知识(三)

第五讲四维空间Word 文档

第五讲四维空间n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。

在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。

在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。

麦比乌斯（karl august mobius1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。

但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。

这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。

以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲弄四维几何学。

但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。

虚数曾今是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性。

把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元素，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。

1844年格拉斯曼在四元数的启发下，作了更大的推广，发表《线性扩张》，1862年又将其修订为《扩张论》。

他第一次涉及一般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文章中说：我的扩张的演算建立了空间理论的抽象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理）空间作特殊应用时才构成几何学。

然而扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常一般的重要性，因为普通几何受（物理）空间的限制。

格拉斯曼强调，几何学可以物理应用发展纯智力的研究。

几何学从此开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。

经过众多的学者的研究，遂于1850年以后，n维几何学逐渐被数学界接受。

四维几何基础知识（二）

四维几何基础知识（二）导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者四维几何基础知识(201802第一次更新)第二章位置关系一>低维理论的升级下面是一些关于四维几何的公设,这些公设若要证明是非常复杂,但基于我们通常的数学认知,可以认为这些公设是正确的.1>在四维空间中,一条不与立体空间平行的直线,与此空间有且只有一个交点.2>在四维空间中,不与立体空间平行的平面,与此空间相交于一条直线.3>在四维空间中,两个互不平行的立体空间,相交于一个平面.4>在四维空间中,若立体A平行于立体B, 立体B平行于立体C,则立体A平行于立体C.5>在四维空间中,若直线a垂直于立体V, 直线b也垂直于立体V,则直线a平行于直线b.…………………其实我们之前学习的二维和三维的几何理论,大部分在四维空间中都是适用的.在这里先例举一些,希望能够达到举一反三的效果.二>平行三维几何中平行的概念只包含直线和平面,在四维几何中平行概念得以进一步扩充,本节讨论直线与立体平行,平面与立体平行,立体与立体平行.1>在四维空间中,一条与参照立体空间平行的直线,与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成直线b,则直线a平行于直线b.在参照立体空间内,任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.在参照立体空间内,任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直线a.图一(1)2>在四维空间中,与参照立体空间平行的平面,与此空间没有相交线.平面上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设平面S1平行于立体空间O-XYZ,则平面S1内任意直线皆平行于立体空间O-XYZ.在平面S1上任取三点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.在参照立体空间内,任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.在参照立体空间内,任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面S1. .图一(2)3>在四维空间中,与参照立体空间平行的立体,与此空间没有相交面. 立体上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设立体V1平行于立体空间O-XYZ,则立体V1内任意直线或平面皆平行于立体空间O-XYZ, 空间O-XYZ内任意直线或平面也平行于立体V1.在之后的章节,以上概念和推论将直接应用,不会再作相应的叙述.三>相交本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交,平面与立体相交,立体与立体相交1>直线与立体相交,有且只有一个交点.在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A 作垂线垂直于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是直线AP与空间O-XYZ 的夹角.特殊情况,当∠APB等于90度时, 直线AP垂直于立体空间O-XYZ,同时也垂直于此空间内所有的直线和平面.在立体空间O-XYZ内,过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二(1)2>平面与立体相交于一条直线.在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是平面S1与空间O-XYZ的夹角.当∠APB等于90度时, 平面S1垂直于立体空间O-XYZ.在立体空间O-XYZ内,过直线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2)3>立体与立体相交于一个平面.在四维空间中有一立体V1与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体V1内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平面S,∠APB是立体V1与空间O-XYZ的夹角.当∠APB等于90度时, 立体V1垂直于立体空间O-XYZ.例一:求正五体夬表体之间的夹角.答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1.它的表体是五个正四面体,选取其中两个四面体:O-ABC和D-ABC.可见这两个表体有公共面即三角形ABC. 三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ∠OPD就是两表体之间的夹角.不难求得DP=OP=(√6)/3,OD=1,代入余弦定理得: ∠OPD=arccos(1/4)例二: 图四是一个四维坐标系,在底空间中有直线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a, 棱AD平行于直线b, 棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间.(图四1)证明:首先采用反证法,假设”四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间”.延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内,过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义, 直线MN必平行于直线a 的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交,所以”棱AC不平行于底空间”不成立,即棱AC平行于底空间.(图四2)同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间Z,则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD 平行于底空间,所以棱AD到底空间的距离也为d.将三角形ABC作为参照底面,把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交.取其中任意一个三角形面A’B’C’,点A’在棱AD上,所以点A’到底空间的距离为d,因为三角形面A’B’C’平行于三角形ABC也平行于底空间,所以三角形面A’B’C’到底空间的距离也为d,这样就可以证得四面体D-ABC内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.例三: 求正方夬中,对角体,对角面,对角线与底体的夹角. (图五)答:1>从图五(左)中看到,对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体,所以DO⊥面OABC,在底体中, EO⊥面OABC,所以∠DOE等于对角体与底体的夹角,它的值是π/4.2>图五(中)中对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形, 所以FO⊥OA,因为FP垂直于底体交点为P,所以FP⊥OP, PO⊥OA, ∠FOP等于对角面与底体的夹角,它的值是arccos((√6)/3).3>图五(右)中对角线GO与底体相交于点O, GH垂直于底体交点为H,所以∠GOH等于对角线与底体的夹角,它的值是arccos((√3)/2)= π/6.四>与圆夬的位置关系1>相切这个概念与圆的切线类似,在四维空间中有立体和圆夬相交于一点,定义为此立体与圆夬相切.图六(1)连接圆夬心和相交点的线段,垂直于此立体(也可称之为切体).2>相交立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的,则相交部分视实际条件来判定. 图六(2)3>外接圆夬外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球.因为不在同一平面的四点可以确定一个圆球表面,在圆球外任取一点,和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点,可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬. 图七(1)长方夬和正方夬也有外接圆夬,判断四维夬是否有外接圆夬的必要条件是,必须存在一个点,到此四维夬所有顶点的距离都相等.4>内切圆夬内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球.已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬.判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件,是在此四维夬的内部必须存在一点,到此四维夬所有的表体的距离都相等. 图七(2)。

四维（物理和数学中四维空间）

四维（物理和数学中四维空间）1 分类编辑四维分时间和空间上的四维：基本概况在物理学和数学中，一个n个数的序列可以被理解为一个n维空间中的位置。

当n=4时，所有这样的位置的集合就叫做四维空间。

这种空间与我们熟悉并在其中居住的三维空间不同，因为它多一个维数。

这个额外的维数既可以理解成时间，也可以直接理解为空间的第四维，即第四空间维数。

空间上的第四维第四维数可以用空间的方式理解，即一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。

这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间，与爱因斯坦提出的时间作为第四维数的理论不同。

关于这一点，考克斯特曾写道：把时间作为第四维数带来的好处即使有的话也是微不足道的。

实际上，H. G. 威尔在《时间机器》中发展的这种十分吸引人的观点导致了J. W. 杜恩（《时间实验》）等作者对相对论的非常错误的理解。

闵可夫斯基的时空几何是不符合欧几里得体系的，所以也就与当前的研究没有关系。

- H. S. M. 考克斯特, Regular Polytopes从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四维欧几里得赋范向量空间。

一个向量的“长度”以标准基底表示就是也就是勾股定理向四维空间进行的很自然的类比。

这就让两个向量之间的夹角很容易定义了（参见欧几里得空间）。

正交性在我们熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度），南北（纬度），东西（经度）。

这三对方向两两正交，也就是说，它们两两成直角。

从数学方面讲，它们在三条不同的坐标轴x、y、z上。

计算机图形学中讲的深度缓冲指的就是这条z轴，在计算机的二维屏幕上代表深度。

纯空间性的四维空间另有一对垂直于其他三个主要方向的主要方向。

这一对方向处在另一条同时垂直于x、y、z轴的坐标轴上，通常称作t轴。

对这两个方向的命名，人们的看法不一。

一些现行的命名有安娜/ 卡塔，斯皮希图/ 斯帕提图，维因/ 维奥，和宇普西龙/ 德尔塔。

四维空间的法向量-概述说明以及解释

四维空间的法向量-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述四维空间是一种数学概念，它拥有四个坐标轴来描述物体的位置和方向。

与我们熟悉的三维空间相比，四维空间在理论上更加复杂，但却有着许多有趣的性质和应用。

在四维空间中，我们可以使用一个四元组(x, y, z, w)来表示一个点的位置。

其中的前三个坐标(x, y, z)与三维空间类似，而第四个坐标w则代表了第四个维度的值。

通过引入第四个维度，我们可以更加全面地描述物体的性质和运动。

在四维空间中，我们也可以定义向量。

与三维空间类似，向量在四维空间中仍然具有方向和大小。

然而，由于多了一个维度，四维空间中的向量需要用四个分量(x, y, z, w)来表示。

这些分量可以分别表示向量在各个维度上的投影。

在研究四维空间中的法向量时，我们需要考虑法向量在所有四个维度上的投影。

与三维空间中的法向量类似，四维空间中的法向量垂直于给定曲面或物体，并指向曲面或物体的外部。

通过计算法向量，我们可以获得曲面或物体在四维空间中的几何性质和特征。

四维空间的法向量在许多领域中都有着广泛的应用。

在物理学中，法向量可以用于描述电磁场或引力场的特性，从而帮助解释和预测相关现象。

在计算机图形学中，法向量可以用于光照和渲染算法，以增强图像的真实感和细节。

在机器学习和数据分析领域，法向量可以用于聚类和分类算法，用于发现数据集中的模式和结构。

总而言之，四维空间的法向量是一个重要且有趣的数学概念。

通过研究和理解法向量在四维空间中的性质和应用，我们可以更深入地认识这个复杂而神奇的世界。

在接下来的文章中，我们将探索四维空间的法向量的更多细节和应用。

文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

1. 引言：1.1 概述：介绍四维空间的概念和基本特征。

解释四维空间相对于三维空间的扩展，以及其在现实世界中的应用。

1.2 文章结构：本部分（即文章结构部分）详细介绍了全文的整体构架，包括正文的各个要点和结论的总结。

四维空间理论

四维空间理论
四维空间理论是一种物理学理论，也是宇宙学的四维空间中固定实体模型，用来描述复杂的宇宙结构。

它旨在通过考虑宇宙的外在影响因素，研究宇宙的运动性质和发展史，来得出客观实验的结论。

根据这一理论，宇宙并不像以往的理论所认为的三维空间，而是四维空间，由时间因素也组成。

也就是说，我们“看到”的宇宙可能实际上是多维空间，而这个多维空间中实际包括了时间。

它还认为宇宙是一个“封闭系统”，由物质、能量、空间和时间四大要素组成，而每一个要素都是紧密相连，相互作用，在这四大要素的作用下，宇宙未来的发展也有可能由这四个因素决定。

四维空间理论的一个有趣的特点是它支持宇宙的“反物质”假设，即它认为宇宙中可能存在负能量（即反物质）。

四维空间理论提出，即使宇宙中存在反物质，也可能使宇宙进行更快速的发展，因为在某些情况下，反物质可能非常强大。

四维空间理论非常有用，它有助于我们理解宇宙的物质性质，更好地拥有宇宙的解释，以及更好地利用我们所有的知识，它还可以帮助我们认识到宇宙的物质、能量、空间和时间的四面八方，并且可以更好地把握宇宙的结构。

可以预见，四维空间理论将给未来的科学研究带来极大的帮助和影响。

四维空间广义相对论

四维空间广义相对论1. 前言在日常生活当中，经常会涉及到三维空间的概念，它包括了我们所处的世界的长度、宽度和高度。

但事实上，我们所生活的世界应该是更加复杂的，它包括了另外一个维度——时间。

这就是四维空间。

四维空间是广义相对论的基础，由爱因斯坦在半个世纪前提出，它改变了传统物理学的发展方向。

本文将详细探讨四维空间的概念以及在广义相对论当中的应用。

2. 四维空间的概念四维空间是最基本的空间，它包括了三维空间和时间。

在四维空间中，任何一个事件都可以用四个坐标来描述：三个空间坐标（x、y、z）和一个时间坐标（t）。

这四个坐标点可以组成四维向量，它是四维空间中的基本概念之一。

同样地，三维向量也可以被认为是四维向量的子集，只是在其中一个时间坐标上恒定不变。

四维向量的加法和乘法也和三维向量类似，只是在其中加入了时间坐标。

在矩阵运算时，四维向量也可以看作是四行一列的矩阵。

作为物理学的基础，四维空间的概念在许多物理场景中得到了应用。

3. 四维空间在广义相对论中的应用广义相对论是爱因斯坦在1915年提出的一种物理学理论，它建立在四维空间的概念之上，主要用于对重力场的研究。

在广义相对论中，质量和能量可以引起时空的弯曲，这种弯曲可以用四维曲率张量来描述。

四维曲率张量可以由四维空间中的度量张量和克氏符构成。

度量张量可以用来衡量空间中的距离，克氏符用来表示四维空间中度量张量的变化率，它描述了四维空间的弯曲。

广义相对论的另一个重要应用是黑洞的研究。

在广义相对论中，黑洞是空间时的点状物体，在黑洞的引力场中，时间被弯曲，而光线被弯曲到一定角度以上就会被黑洞所吸收。

广义相对论不仅仅是一个庞大的理论框架，更是一个已经被实验证实的理论。

例如重力场穴坊肯定效应的实验就是对广义相对论的验证。

4. 结论四维空间是广义相对论的基础，是我们认知世界的基础之一。

广义相对论的研究，不仅为我们理解宇宙的奥秘提供了更加深入的思考，也为工程技术，如卫星导航、无损检测等提供了重要理论基础。

与四维空间有关的词汇

与四维空间有关的词汇
在物理学和数学中，一个n个数的序列可以被理解为一个n维空
间中的位置。

当n=4时，所有这样的位置的集合就叫做四维空间。

这
种空间与我们熟悉并在其中居住的三维空间不同，因为它多一个维
度。

这个额外的维度既可以理解成时间，也可以直接理解为空间的第
四维，即第四空间维度。

四维空间与四维时空是不同的概念，四维时空又叫闵可夫斯基空间，是三维空间加上一个时间维度。

时间维度和空间维度是不同类型的维度。

如果三维空间多了一个维度成为四维空间，外加一个时间维度，就成了五维时空。

维度又称为维数，在数学中是独立参数的数目，在物理学中则是独立的时空坐标的数目。

维度不一定是正整数。

在19世纪，数学家们发现了分形，并借此创立了一种分数维度。

四维空间究竟是什么样子？

四维空间究竟是什么样子？“三维世界”的概念，我们早已耳熟能详，但第四维的概念常常蒙着一层惹人疑惑的神秘色彩。

作为被长度、高度和宽度所限的生物，我们哪儿来的胆量高谈阔论四维空间？用尽我们三维头脑的所有智慧，是否有可能想象出四维超空间的模样？四维的立方体或者球体看起来会是什么样子？如果要你想象一头尾巴长满鳞片、鼻孔喷出火焰的巨龙，或者一架内设游泳池、机翼上有网球场的奢华飞机，你会在脑海中绘出一幅画面，试图描摹这件物体突然出现在你眼前的时候会是什么模样。

而这幅画的背景自然是正常的三维空间，你熟悉的所有物体，包括你自己在内，都存在于这样的空间里。

如果这就是“想象”的确切含义，那么我们似乎不太可能想象出以正常三维空间为背景的四维物体，正如三维物体不可能被挤进平面一样。

但是，等等，从某种意义上说，我们的确能将三维物体压进平面，只要画一幅画就行。

不过在这种情况下，我们借助的当然不是液压机床或者其他什么物理力量，而是一种名为几何“投影”的绘画技巧。

要将某件物体（比如说一匹马）压进平面，看看下图，你立即就会明白这两种方式有何区别。

将三维物体“压在”二维面上的两种方法，左边的方法是错的，右边的法子才对以此类推，现在我们可以说，如果非要将四维物体“挤入”三维空间，那它难免会有些零件左右支棱，但我们的确可以讨论各种四维图形在我们这个三维空间中的投影。

不过你必须记住，既然三维物体在二维面上的投影只有两个维度，那么四维超物体在普通三维空间内的投影也必然是三维的。

为了更清楚地理解这一点，首先我们不妨试想一下，生活在二维面上的影子生物该如何理解三维立方体的概念；我们能够轻而易举地想象这一幕，是因为我们生活在“更高级”的三维空间里，所以我们才能从上方，也就是从第三个方向，观察这个二维世界。

要将一个立方体“压进”二维面，唯一的办法就是按照下图所示的方法将它“投射”到这个面上。

如果我们的二维朋友看到这个投影，以及旋转立方体得到的其他方向的投影，那么他们至少会对这个名为“三维立方体”的神秘物体形成一些粗浅的理解。

四维几何基础知识.doc

因为一个偶然的原因，我在互联网上搜索四维空间的相关资料，却发现大多数相关文章和资料都是介绍多维方程式，少数的四维几何图形介绍都集中在四维图形动画，和从外文翻译而来的多胞体系列，而我们从中学时代就熟知的直角坐标几何少之又少，这就让我产生了一个想法：自己编写一本关于四维几何基础知识的书.但写成一本书谈何容易，自开篇之后，越写下去越觉得深度之广，决非一年半载能够完成，所以我决定先将其写成系列文章，放之于网上，希望能对有需要之人有所帮助.在〈四维几何基础知识〉系列文章中，有个非常重要的问题要说明，那就是” 多胞体”这个名称用”夬(jue)"字暂代了，成为四维几何形在本文中的称呼.原因之一是，”多胞体” “超球体”，这样的称呼不严谨.我们在中学时代就学过，一维为线，二维为面，三维为体，到了第四维，应该用另一个称呼，不适合再称呼为”某某体”，这是概念上的问题原因之二是使用不便，在互联网上，我只查到”正五胞体”,”正八胞体” 之类几个简单的四维图形名称，再复杂一点的图形就查不到了，而我采用''五体夬”，”正方夬”这一系列的，中国数学几何的传统命名方式，就算不知道新图形的名称，也能按照传统命名规则推算出来.至于这个”夬(ju6)“字，是我在字典里找的，之所以选择这个字，因为它比较生僻，含义少，不会产生歧义，笔划简单适合使用频率比较高的书写•在本人的系列文章中，”夬(jue)"字只是作为四维几何形的代称，不是重新命名.目前四维几何形的正式名称仍是”多胞体”.本人放之于互联网上的〈四维几何基础知识〉系列文章，可供读者免费下载，阅读, 应用；转载或与他人共享请注明出处.本人声明保留由本人所著作的〈四维几何基础知识〉系列文章包含但不限于著作权和知识产权在内的一切权益.＜四维几何基础知识〉系列文章仍在持续的更新中，本人会继续完善现有章节，增加新的章节，编写更多的习题，每次更新之后，会上传互联网上并发布公告，谢谢大家关注.XXx2018. 1更新日志此版本v四维儿何基础知识〉系列文章为第一次更新,时间为201802, 原第二章拆分为＜位置关系＞与＜投影〉两章.增加了新概念:叠（四维高）更正了原第二章例三的错误.修改了一些名称,使其更规范.请关注本人的微博T四维儿何基础知识二以便及时的了解更新信息. 亦欢迎各位网友在微博上帘下意见和建议第一章名词术语和简单的夬 (4)第二章位置关系 (14)第三章投影 (19)第四章面轴 (28)第五章曲体 (33)四维儿何基础知识（201802第一次更新）第一章名词术语和简单的夬名词术语在本章的开始，我们先熟悉一下本系列文章中将要用到的几何名称和相关的术语•首先介绍一下四维坐标系.图中有四个坐标轴，两两垂直，其中xyz轴是我们熟知的,在本文中以这三根轴所代表的三维空间作为参照空间，简称”底空间：以W轴作为第四维的方向，代表第四维的空间，坐标轴已画出部分为轴的正方向,从原点O之后，未画出部分为轴的负方向.木系列文章中设定的"底空间啪代平肓的参照立体空间O・XY乙请大家注意，这个简称会经常用到.本系列文章中设定的”底体”是指四维夬上与底空间最接近的体，其概念与正方体中的底面，正方形中的底边为类似.在本系列文章中，我们约定L表示线段长度,S表示面积,V表示体积,J表示夬积.在三维几何中，方形体通常有三个参数:长，宽，高，分别用字母a,b,h,表示•在四维几何中增加一个新的概念:咽维高”，用唾”字代称,字母为d,寓意为无数个三维物体在第四维方向上叠加，形成四维夬.这个新概念若要精确描述则比较复杂，在这里我们简单的理解成''正方夬的长，宽，高，叠”四个参数之一就可以了.下面初步介绍儿类简单的四维夬.—*＞五体夬正式名称为"五胞体",是四面体的类比•如何得到一个五体夬,有很多种方法，本例用的是"中心牵引法”，为了解释这个方法，我们先看看从三角形得到四面体的过程,下图一是一个四维坐标中的等边三角形.这个正三角形看上去很''歪",比三维坐标中的正三角形还要''歪''，我们要在二维平面中表现四维图形，只能将图形尽量压缩.把正三角形的屮心点连接三个顶点,得到三条线段，这就是要形成的四面体的另三条棱.用一根线”系住”中心点，向上牵引,同时中间三条棱的一端也向上抬升（图二）.当牵引的距离为棱长的w6）/3吋，就得到了一个正四面体（图三）用同样的思路，我们将一个正四面体的中心，连接四个顶点,形成正五体夬的另四条棱,然后把中心点向第四维正方向牵引.（图四）将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的（J 10）/4后，得到一个正五体夬.（图这个图是五个正四面体围合成一个五体夬，但这样挤在一起是很难看清楚的，可以把它”炸开"看看・（图六）这五个体全是正四面体，只是看上去有一些变形.蓝色的''底体”在O-XYZ立体空间中，如果把这个空间看成我们牛活的宇宙空间，另四个带绿棱的正四面体就在我们"摸不着'‘的四维空间中.-＞正方夬有了以上的经验，介绍正方夬的形成就容易多了.先看一个四维坐标中的正方体.将正方体原地复制，整体向第四维轴，即W轴止方向牵引，距离为一个棱长.（图八）幷4VM把两个正方体的八个顶点,一一对应的连接起来，形成了六个正方体，这八个体围合成一个正方夬・（图九）“炸开”看看.（图十）（图十）中的八个正方体,黑色的是底体（在xyz轴的体空间中）,和它在W轴正方向上的平行体,另六个彩色的侧体分别处在x,y,z轴方向上，正负方向各一个,它们都处于W轴正方向的四维空间中,紧靠着底空间，并口各有一个面，与底空间中的底体连接.侧体可以看作是:正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中，六个面所形成的路径.三〉圆夬我们先看看四维坐标中的球体，它看上去是个扁的，（图十一），这是因为坐标的关系, 它在平面显示时被压缩了.现在我们把这个球体想象成无数个"球壳",从大到小，一层层的套在一起，组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心，连带着这无数个球壳向W轴正方向牵引，在此过程中，球壳从大至小，逐层剥落.注意，剥落的过程不是匀速的,这个值和sin的值有关系，而且这些球壳的面积有一定量的拉伸（图十二）.当牵引的距离达到球的半径R时，所有的球壳剥落完毕,最小的”球壳二就是原来的中心点，现在它移动了R的距离.这些在W轴方向上，按大小顺序排列的无数个球壳,围合成了半个圆夬. 用同样的方法，向W 轴负方向牵引，得到另半个圆夬.（图十三）图十三这个圆夬,看上去还是一个圆球，其实，不论圆周，圆而，圆球，还是圆夬，它们都是圆的，画在纸上不会是其它形状，我们只能将它想象成无数个球体叠加，球半径由底空间的最大圆球开始，向w轴方向以cos值减小.（图十四）图十四四〉参数以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形，下面是它们相关的一些参数・正五体夬5体10面10棱5顶点设棱长为1：侧体高（丁6）/3叠（四维高）（丿10）/4内切圆夬半径（"10）/20外接圆夬半径（"10）/5夬积j=（i/4）*d*V=（ 75）/96其中d为叠（四维高）,V是底体的体积.正方夬8体24面32棱16顶点设棱长为1：内切圆夬半径1/2外接圆夬半径为1夬积1对角体:1*1*（ V2）对角面:P（ V3）对角线2圆夬设半径为r.表体积2（JT A2）（rA3）夬积1/2（兀A2）（rA4）夬积公式夬积有两种计算方法 j 二d*v ； J=S1*S2具体用哪个公式，以所知道的条件来决定. 五〉例题例一:已知一等腰五体夬，它的底体为棱长为1的正四面体,它的外接圆夬半径为2, 求此五体夬的夬积.(图十五)答：设底体的屮心点为P,底体的一个顶点为O,在三维坐标屮，我们可以计算得到棱长为1的正四面体的体积为("2)/12,计算得到OP 的长度为(J 6)/4.在等腰五体夬中,它的叠(四维高)d 是经过外接圆夬夬心的，所以圆夬心C 在叠d 上,CO 为圆夬半径,CP 丄OP,可求得CP=( 758)/4，所以此等腰五体夬的夬积：J=(l/4)d*V=(l/4) *(2+( V 58)/4)*( J 2)/12=( V 2)/24+( J 29)/96例二：用牵引法的原理，验证圆夬的夬积公式.答:我们先用牵引法计算半个圆夬的夬积.半圆夬的底部最大球的体积是(4/3) n R /\3,在牵引的过程中，球半径逐渐变小,球半径r 与牵引距离H 的关系是:rA2+HA 2=RA2,其中R 是最大球的半径，也是圆夬的半径.(图十六)将从大到小的圆球体积累加起来，就能得到半个圆夬的夬积，下面是积分公式:图十六32n4一3R O2H■2R2H■234R2n44R2n12再将J1*2=(1/2)(H A2) (RA4),得到圆夬的夬积公式.第二章位置关系一〉低维理论的升级下面是一些关于四维几何的公设，这些公设若耍证明是非常复杂，但基于我们通常的数学认知，可以认为这些公设是正确的.1＞在四维空间中，一条不与立体空间平行的直线，与此空间有且只有一个交点.2＞在四维空间中，不与立体空间平行的平面，与此空间相交于一条直线.3＞在四维空间中，两个互不平行的立休空间，相交于一个平面.4＞在四维空间中，若立体A平行于立体B,立体B平行于立体C,则立体A平行于立体C.5＞在四维空间中，若直线a垂直于立体V,直线b也垂直于立体V,则直线a 平行于直线b.其实我们之前学习的二维和三维的几何理论，大部分在四维空间中都是适用的•在这里先例举一些，希望能够达到举一・反三的效果.二〉平行三维儿何中平行的概念只包含直线和平面，在四维儿何中平行概念得以进一步扩充，木节讨论育•线与立体平行，平面与立体平行，立体与立体平行.1＞在四维空间中，一条与参照立体空间平行的直线，与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点，作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成盲线b,则盲线a平行于肓线b.在参照立体空间内，任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.在参照立体空间内，任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直一(1) 囲一2＞在四维空间中，与参照立体空间平行的平面，与此空间没有相交线.平面上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设平面S1平行于立体空间O・XY乙则平面S1内任意育线皆平行于立体空间O-XY 乙在平面S1上任取三点，作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.在参照立体空间内，任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.在参照立体空间内，任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面Sl・.图一(2)3>在四维空间中，与参照立体空间平行的立体，与此空间没有相交面.立体上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设立体VI平行于立体空间O・XY乙则立体VI内任意直线或平面皆平行于立体空间O・XY 乙空间O・XYZ内任意直线或平面也平行于立体VI.在之后的章节，以上概念和推论将直接应用，不会再作相应的叙述.三〉相交本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交，平面与立体相交，立体与立体相交1>肓线与立体相交，有且只有一个交点.在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O・XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则ZAPB是直线AP与空间O・XYZ 的夹角.特殊情况，当ZAPB等于90度时，直线AP乖直于立体空间O・XYZ,同时也垂直于此空间内所有的肓线和平面.在立体空间O-XYZ内，过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二⑴因二7^7 —(2)2>平面与立体相交于一条肓线.在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O・XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则ZAPB是平面S1与空间O・XYZ的夹角.当ZAPB等于90度时，平面S1垂直于立体空间O・XY乙在立体空间O-XYZ内，过肓线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2) 3>立体与立体相交于一个平面.在四维空间中有一立体VI与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体VI内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P,过点A作垂线垂肓于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平而S,ZAPB是立体VI与空间O-XYZ的夹角. 当ZAPB等于90度时，立体VI垂直于立体空间O・XYZ.例一:求正五体夬表体之间的夹角.答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1 .它的表体是五个正四面体，选取其中两个四面体:O・ABC和D-ABC.M T见这两个表体有公共面即三角形ABC.三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ZOPD就是两表体Z间的夹角.不难求得DP=OP=(J6)/3,OD=1,代入余弦定理得：ZOPD=arccos(l/4)例二：图四是一个四维坐标系，在底空间中有肓线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a,棱AD平行于直线b,棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间•(图四1)证明:首先采用反证法，假设"四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间"・延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内，过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义，直线MN必平行于直线a的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交，所以”棱AC 不平行于底空间”不成立，即棱AC平行于底空间・(图四2)同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间乙则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD平行于底空间，所以棱AD到底空间的距离也为d.将三角形ABC作为参照底面，把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交•取其中任意一个三角形面A,B,C\点H在棱AD 上,所以点A ，到底空间的距离为d,因为三角形而平行于三角形 ABC 也平行于底空间,所以三角形面ABC 到底空间的距离也为d,这样就可以证得四面体D-ABC 内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.例三：求正方夬中,对角体，对角面,对角线与底体的夹角.(图五)答：1＞从图五(左)中看到，对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体，所以 DO 丄面OABC,在底体中,EO 丄面OABC,所以ZDOE 等于对角体与底体的夹角，它的值是兀/4・2＞图五(屮)屮对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形，所以FO 丄OA,因为 FP 垂直于底体交点为P,所以FP 丄OP, PO 丄OA, ZFOP 等于对角面与底体的夹角，它的值是arccos(( V 6)/3).3＞图五(右)中对角线GO 与底体相交于点O, GH 垂直于底体交点为H,所以Z GOH 等于对角线与底体的夹角，它的值是arccos(( V 3)/2)= n /6・四〉与圆夬的位置关系1＞和切这个概念与圆的切线类似，在四维空间中有立体和圆夬相交于一点，定义为此立体与圆夬相切•图六(1)连接圆夬心和相交点的线段，垂直于此立体(也可称Z 为切体).2＞相交立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的，则相交部分视实际条件来判定.图六(2)图八⑵3＞外接圆夬外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球•因为不在同一平面的四点可以确定一个圆球表面，在圆球外任取一点，和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点, 可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬.图七⑴图六⑴在一个点，到此四维夬所有顶点的距离都相等.4＞内切圆夬内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球•已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬•判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件，是在此四维夬的内部必须存在一点，到此四维夬所有的表体的距离都相等.图七(2)第三章投影我们所存在的宇宙是三维的，至冃前为止，人类从未进入过高维度的空间，所以不可能对四维空间有感官上的认知•要在有限的条件下了解四维的空间,方法之一就是借助三维儿何体的形状，在逻辑上对四维的儿何形状进行推测.本章主要介绍四维夬在三维空间的投影原理,将投影形成的过程逆向推理，就可以想象其在四维空间的形态.一〉常用的投影计算公式以下是有关三维儿何投影的部分公式：1＞假设有一长度为L的直线与投影面的夹角为0，则投影的长度为L*Cos 0 2＞假设有一面枳为S的平面与投影面的夹角为0，则投影的面积为S*Cos 0把以上公式中的”投影面”改为"”投影立体空间”，便是适用于四维空间的投影公式.以下是类比得到的第三条公式：3＞假设有一体积为V的立体与投影立体空间的夹角为J则投影的体积为V^Cos 0当特殊的情况下e为90度时，以上公式屮的直线，平面，立体皆垂直于投影立体空间,它们的投影分别是点，直线，平面.例一：有一架探测器，它的体积是0.02立方米，把它送到四维空间去做实验,这架探测器进入四维空间后与我们的宇宙空间的夹角是60度，请问这架探测器在宇宙空间的投影体积是多少?(图一)答：V'=Cos 0 *V=Cos( JI /3)*0.02二0.01 立方米-＞平面角的投影平面角在四维空间中的位置状况是多样的，这里我们选取最简单的一种做例子：设某平面角Za 的角平分线垂直于Za所在的平面与投影空间的交线，Za与投影空间的夹角为0 ,Za在投影空间的投影角为ZA,则tan(A/2)=tan(a/2)/cos 0Z A=2arctan(tan(a/2)/cos。

四维空间的本质来自勾股定理？小学生也能理解的四维空间科普

四维空间的本质来⾃勾股定理？⼩学⽣也能理解的四维空间科普四维空间这个概念在各种场合都能看到，但基本上很少能看到解释的，今天就让我来给⼤家细细解释⼀下，⽤⼩学⽣也能理解的⽅式，如果你看完了还是没有理解，建议回⼩学重修呢亲！⾸先给⼤家来⼀个概念上的认识，四维空间是否存在是不确定的，没有⼈可以证明其存在或不存在。

⽽且从实际的⾓度出发，其实我们所明确知道的就只有⼈类活着的三维空间⽽已，⼆维和⼀维都是我们通过经验把三维“降级”获得了，同样，四维是我们给三维“升级”得到的。

从乘法与⼏何的关系开始我们都学过⽅程，x和y是我们最早接触的未知数，但是⼤家有没有想过，为什么会出现⽅程呢？⽅程本⾝有什么意义？⽅程是数学的⼀部分，⽽数学是⼈类⽣产⽣活中总结出的计数⼿段。

就说乘法吧，它是加法的进阶，4×5的意思同时等于4个5相加或5个4相加。

⽽古⼈在计算⾯积的时候意识到，⽤乘法可以对⾯积进⾏类似加法的计算。

⽐如我把每⼀个⼩黄⾖在平⾯上所占有⾯积算作1，那么当我⽤⼩黄⾖铺满某⼀个平⾯时，通过数黄⾖的数量就可以知道⾯积的⼤⼩。

如果是⼀个长⽅形区域，我数它的⼀边排列着40个⾖⼦，另⼀边排列着50个⾖⼦，就可以⽤乘法快速计数，得到这个⾯积中⼤约可以容纳2000个⾖⼦。

每⼀个⾖⼦都是对⾯积的⼀次分割，于是古⼈决定给它定⼀个标准，⽤相互垂直的线分割平⾯，并⽤规定好的长度给⼩⽅块定⼤⼩。

就以我们现在通⽤的标准长度单位为例⼦，如果说我们对⾯积的计算是精确到平⽅厘⽶的，那就等于将⾯积分割成为很多⼀厘⽶见⽅的⼩块，然后数它们。

长与宽就是计数⽤的单位，⼀个厘⽶的长与⼀个厘⽶的宽相“对应”就可以数出来⼀个平⽅厘⽶⼩⽅块的⾯积。

这样我们就会发现，数学中的乘法可以映照到现实世界中来。

要知道4×5=20的情况下左右两边的性质是相等的，⽽4cm×5cm=20cm2则完全不⼀样，左右两边已经不是同⼀个概念了。

那为什么⽤垂直的线来分割平⾯呢？因为这是可以⽤最少的线对平⾯进⾏完全等分的唯⼀⽅法，你也可以⽤三条线将平⾯分割成许多等⾯积的正三⾓形，但是必须要⽤到三种不同⽅向的线，将每个等边三⾓形分割成1平⽅厘⽶所需要的线⽐正⽅形要多得多。

四维空间中的直线

四维空间中的直线
一、直线公理：两点决定一条直线。

二、两直线的位置关系及性质：
（一）主要性质：两直线共体。

（三条直线不一定共体）
（二）两直线位置关系：
1、异面：(确定一个共体)①无公共点，②相离不平行，③有异面垂直。

2、共面：(有无穷个共体)
（1）平行：①无公共点，②方向数成比例，③直线上每一点到平行直线的距离相等。

（2）相交：①有一个公共点，②有垂交(共面垂直)。

三、直线平行公理：
（1）过直线外一点，决定一条平行直线；
（2）若两直线分别与第三条直线平行，则这两条直线平行。

四、直线垂直公理：
过一条直线上(外)一点的所有垂线，组成一个立体；在通过该直线和过点的一个立体内，组成一个平面；在通过该直线和过点的一个平面内，有且只有一条垂线。

五、在四维空间中，存在一个球面，与一直线无公共点，而球心在该直线上。

例如，直线：x=y=z=u；球面：u=0，x2+y2+z2=R2.。