第十一章 动量矩定理

动量对固定轴z的矩：
[Mo(mv)]z= M z(mv) =±2S△OA'B'
指向：按右手螺旋规则定。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点 对z轴的动量矩，即
有心力：力作用线始终通过某固定点， 该点称力心。
由于 M O ( F ) 0 ，有
M O (mv ) r mv 常矢量
（1）r 与
v 必在一固定平面内，即点M的运动
轨迹是平面曲线。
dr （2）r mv r m 常量 dt
即
dr r dt
常量
r 由图， dr 2dA
i 1 i 1 i 1 n n
z
n
i 1 n
2
mivi
ri mi ω
令
m r
i 1
n
2
i i
Jz
∴
Lz=Jzω
刚体对z轴的转动惯量
结论
• 绕定轴转动刚体对其转轴的转动惯量为
J z mi ri
i 1
n
2
(单位：Kg· 2) m
• 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚 体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
?
d (mv ) r F 左边项，先来看 为求等式 r dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt d( v v∵O为定点！)mv ) ( vm r dt MO(mv) =0
d (r mv ) r F dt d M (mv ) M ( F ) 即 o o dt
Lz=Jzω
§11-2 动量矩定理
1、质点的动量矩定理
设质点质量为m， 受力F， MO(mv) 动量mv，定坐标系Oxyz ， 根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r 作矢量积， 即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
质点A的动量对固定点O的矩：
z
F
φ
B
Mo(mv)= r×mv
i x mv x j y mv y k z mv z
x A'
mv
A B' y
MO(mv)
o
r
(mv)xy
大小= mv· rsinφ=2S△OAB 方位：过O且⊥△OAB；
d L M z (Fi ( e ) ) 根据 dt z i 1 且轴承反力对z轴的矩为零，所以有
n
Fi Fn
J z d M z (Fi ) dt i1
n
F2
ω
FN2 y
或
J z Mz (Fi )
x
结论：
刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于 作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
第十一章 动量矩定理
§11-1质点和质点系的动量矩
1、质点的动量矩
z
F
B A m
y
回顾： 力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则
i M o (F ) x Fx j y Fy k z Fz
MO(F)
x
r
o
大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
方向：按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· 2/S） m
2、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和，即
质点对定点的动量矩定理
质点的动量矩定理：
质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数 ，等于 作用力对同一点的矩。
d M (mv ) M ( F ) o o dt
将上式向直角坐标轴投影，并利用对点的动量矩 与对轴的动量矩的关系，可得
质点对某轴的动量矩 对时间的一阶导数，等于 作用力对于同一轴的矩。
d M ( mv ) M ( F ) x dt x d M ( mv ) M ( F ) y y dt d M ( mv ) M ( F ) z z dt
对定轴
Lz M z (mi vi )
i 1
n
代数量
例11-1 已知均质杆质量为m，长为l，绕z轴以匀 角速度ω作圆锥摆动，圆锥顶角为2。求该杆对z轴 的动量矩。 解：沿杆轴线取坐标轴x。 m z 则微元体 mi dx vi x sin l O
x
dx
Lz mi vi x sin
质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导 数，等于作用于质点系的外力对同一轴的 矩的代数和。
例11-4已知： , J , M , ,小车 R
求小车的加速度 a . 解： J m v R L
O
( M Oe ) M mg sin R
m ，不计摩擦。
d [ J mvR] M mg sin R dt
因此
dA dt
常量
dA 称面积速度。 dt
例11-5：两小球质量皆为 求：剪断绳后， 角时的
m
。
，初始角速度 0 。
系统所受重力和轴承 的约束力对于转轴的 矩都等于零，因此系 统对于转轴的动量矩 守恒。
解： 0 时，
Lz1 2ma0 a 2ma20 0 时， 2 Lz2 2m(a l sin ) 由 L L ，得
即：当外力对某定轴的力矩的代数和等于零时， 质点系对该轴的动量矩保持不变。
质点系对定轴的动量矩守恒
二猴爬绳比赛。已知猴A、B质量相同，mA= mB=m。猴A比猴 B爬得快。二猴分别抓住缠绕在定滑轮上的软绳两端，在同一 高度从静止开始同时往上爬。不计绳子与滑轮的质量及轴承的 摩擦，试分析比赛结果。 解：研究整个系统。进行受力分析。
即
(e) d L M o (Fi ) o dt i 1
n
质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶 导数，等于作用于质点系的外力对同一点 的主矩。
质点系对定轴的动量矩定理
(e) d L M x ( Fi ) x dt i 1 n (e) d L M x ( Fi ) y dt i 1 n (e) d L M z ( Fi ) z dt i 1 n
ω
p = mvc = mωl/2
杆对O轴的动量矩为
vC
C
Lo = M o(Mvc)
？
= (mωl/2)· (l/2)
A
= mωl2/4
如何计算OA杆对O轴的动量矩？
按照定轴转动刚体的动量矩计算方法。
特例：定轴转动刚体的动量矩
Lz M z (mi vi ) mi vi ri mi ri ri mi ri
mO (F ) mAgr mB gr 0
O
RO
LO const 0,
即：质点系对轴O的动量矩守恒， 且等于零。 vA
mAvAar mBvBar 0
vB
mAg mBg
vAa vBa
即： 二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
二猴爬绳比赛分析
因为二猴的体力有差异，所以
Mzz M
α
α ∝ Mz
当Mz= 0 时，α = 0，刚体作匀速转动或静止。 刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的 难易程度。 转动惯量是刚体转动时的惯性度量。 请比较 Jz α = ∑Mz 与 m a = ∑F 。
例11-6已知复摆(物理摆)的质量为m，质心为C， OC = rc，摆
B v2 F T A mg r1
初瞬时(A处)， LZA = mv1r1， B处， LZB = mv2r2，
∴ mv1r1 = mv2r2 v2 = 2v1 而 r1 =2r2
v1
得
2、质点系的动量矩定理
设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi， 速度为vi， 受力：外力Fi(e) 、内力Fi(i) ， 根 据 质 点 则 的动量矩定理，有
关于质点动量矩守恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。
质点对定点的动量矩守恒
• 当Mz( F ) = 0 时，有Mz( mv ) = 常量。
质点对定轴的动量矩守恒
思考题： 小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力F将 线缓慢向下拉。开始时，小球以匀速v1 沿半径为r1 的圆 周运动，求当小球被拉至B处(2r2=r1)时的速度v2 。 z 解：分析小球受力。 ∵ ∑MZ(F(e)) = 0， r2 ∴ LZ = const !
A l l B vB = · l
2
系统对O轴的动量矩为： o L
ml l ml l 2ml
从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O 轴的动量矩并不等于零。 计算质点系的动量矩不能简单地 用质心的动量对某固定点或固定轴取矩。
例11-3
O
已知均质杆m，l，ω， 则杆的动量为
即 质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的 轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。