(合工大版)超越经典考研数学模拟试卷(15套)

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列{},{}n n a b 对任意的正整数n 满足1+≤≤n n n a b a ，则（ ）.（A ）数列{},{}n n a b 均收敛，且lim lim →∞→∞=n n n n a b（B ）数列{},{}n n a b 均发散，且lim lim →∞→∞==+∞n n n n a b（C ）数列{},{}n n a b 具有相同的敛散性 （D ）数列{},{}n n a b 具有不同的敛散性（2）设()f x 满足'(0)0f =，32'()[()]f x f x x +=，则有（ ）.（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 是()=y f x 的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是()=y f x 的拐点（3）设函数(,)f x y 在点000()P x ,y 处的两个偏导数00'()x f x ,y 、00'()y f x ,y 都存在，则（A ）(,)f x y 在点0P 处必连续 （B ）(,)f x y 在点0P 处必可微 （C ）000lim (,)lim (,)x x y y f x y =f x y →→ （D ）00lim (,)x x y y f x y →→存在（4）下列命题中正确的是（ ）.（A ）设正项级数n =1n a ∞∑发散，则1n a n≥（B ）设212n =1(+)n-n aa ∞∑收敛，则n =1n a ∞∑收敛（C ）设n =1n n a b ∞∑收敛，则22=1=1,nn n n a b ∞∞∑∑均收敛（D ）设22=1=1,n nn n a b∞∞∑∑中至少有一个发散，则n =1(+)nn ab ∞∑发散（5）设,A B 为n 阶方阵，且()()r <r AB B ，则必有（ ）.（A ）=0B （B ）=0A （C ）≠0B （D ）≠0A （6）若=0Ax 的解都是=0B x 的解，则下列结论中正确的是（ ）.（A ）,A B 的行向量组等价 （B ）,A B 的列向量组等价（C ）A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示 （D ）B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示（7）设随机变量011344X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭～，且1Cov(,)=8X Y ，则{}11===P Y X （A ）23 （B ）13 （C ）14 （D ）18（8）设总体2(,)X N μσ～，其中,μσ已知，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，样本方差2=11()1ni i S X X n =--∑2，则2()D S =（ ）. （A ）21n σ- （B ）221n σ- （C ）41n σ- （D ）421n σ-二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）111lim()122→∞++⋅⋅⋅+=++n n n n ______________.（10）2321(cos 22x x -+=⎰_____________.（11）函数222()2()()=---+-u x y y z z x 在点(1,2,2)处方向导数的最大值是_______. （12）微分方程1'''0x y y xe =x--的通解为___________________. （13）设,A B 均为三阶方阵，且3=A ，4=B ，则1*(2)(3)-=O A B O_____________.（14）设随机变量X 的概率密度函数和分布函数分别为()f x 和()F x ，当0≤x 时，()0=F x ；当0>x 时，()()1+=f x F x ，则当0>x ，()=f x ________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设23310⎧=-⎪⎨++=⎪⎩x t ty ty ，确定函数()=y f x ，求=022t d y dx .（16）（本题满分10分）设函数()f x 、()g x 在[,]a b 上有连续二阶导数，若()()f a g a =，()()f b g b =，00()()f x g x >，其中0(,)x a b ∈. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得''()''()f ξ<g ξ.（17）（本题满分10分）设(,)f u v 有二阶连续偏导数，()u ϕ有二阶导数，令22[,()]z f x y xy ϕ=-，求2zx y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设函数()f u 具有一阶连续偏导数，L 是以(1,1)A 和(3,3)B 为直径的左上半圆周，方向从A 到B ，计算曲线积分：11[()][()2]Lx xI f y dx f x dy x y y y=--+⎰.（19）（本题满分10分）将函数222()(1)ln(1)(1)f x x x x =++-+展开为x 的幂级数，并求级数1=1(1)(+1)n n n n ∞∑--的和.（20）（本题满分11分）（I ）设n 维向量组12,,,,s ⋅⋅⋅αααβ线性相关，证明：β可唯一地由12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性表示的充要条件是12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性无关；（II ）设4维向量组11(1,,0,0)T b =α，22(1,,1,0)Tb =α，33(1,,1,1)T b =α，4(1,,0,1)T b =β，且β可唯一地由123、、ααα线性表示，求常数1234b b b b 、、、满足的条件.（21）（本题满分11分）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，且=AB C ，其中110011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，110011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，求A 的所有特征值与特征向量，并求矩阵A 及9999A .（22）（本题满分11分）设随机变量[0,2]XU π，sin Y X =，sin()Z X a =+，其中[0,2]a π∈为常数，问a 取何值时，Y 与Z 不相关，此时Y 与Z 是否独立?（23）（本题满分11分）已知一批产品的次品率为2%，现从中任意抽取n件产品进行检验. （I）若已知n件产品中有3件次品，求n的矩估计值ˆn；（II）试利用中心极限定理，确定n至少要取多少时，才能使得次品数占总数比例不大于4%Φ=）的概率不小于97.7%.（(2)0.9772010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知当0x →时，21)ln(1)x +是比ln(1)n x +高阶的无穷小，而ln(1)nx +是比lncos x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）.（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （2）设极限1x →=，则函数()f x 在x a =点处必（ ）.（A ）取极大值 （B ）取极小值 （C ）可导 （D ）不可导 （3）若(,)f x y 在点00(,)x y 处存在任意方向的方向导数，则（ ）. （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （C ）0000'(,),'(,)x y f x y f x y 均存在（D ）以上结论均不正确（4）数列{}{}{}n n n a b c 、、均满足n n n a b c ≤≤(1,2,n =⋅⋅⋅). 则下列命题正确的是（ ） （A ）数列{}{}n n a c 、均收敛，则数列{}n b 收敛 （B ）数列{}{}n n a c 、均发散，则数列{}n b 发散 （C ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均发散，则级数n=1nb∞∑发散（D ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均收敛，则级数n=1nb∞∑收敛（5）设A 为m n ⨯矩阵，m E 为m 阶单位阵，,()m n r m <=A ，则下列结论 ①A 经初等行变换为(,)m E O ； ②A 经初等列变换为(,)m E O ； ③T A A 正定； ④T AA 正定；⑤=Ax b 必有解； ⑥=0Ax 仅有零解 中正确的个数为（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设10001000010001⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭A，0001001001001000⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭B，则以下正确的是（）.（A）0+=A B（B）A与B相似（C）A与B合同但不相似（D）A与B等价但不合同（7）根据下列函数()F x的图形，指出可作为某随机变量X的分布函数()F x的是（）.（A）（B）（C）（D）（8）设12(,,,)(1)nX X X n⋅⋅⋅>为来自总体2(0,)X Nσ～的一个简单随机样本，则下列统计量中，是2σ的无偏估计且方差最小的为（）.（A）21X（B）2X（C）2S（D）n2=11iiXn∑二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）设函数3()f x x x=，则使得()(0)nf存在的最大正整数n=__________.（10）由半圆周21x y=-1,1,2y y x=-==所围成的平面图形D的形心坐标为____________.（11）二次积分551lnydxdyy x=⎰⎰____________.（12）微分方程''2'(1)xy y +y =e +x -的特解形式为___________________.（13）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量11t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，若向量,A αα线性相关，则t =__ （14）设随机变量()XP λ，()Y E λ，且X 与Y 独立，若已知EX EY =，则2(2)YE X =三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设0x >，证明：ln nx ne x ≥，其中n 为正整数.（16）（本题满分10分）设()f x 是区间[,]a b 上单调增加的连续函数，且()0f a <，()0b af x dx >⎰. 证明： （I ）存在点(,)a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰；（II ）存在点(,)a b η∈，使得()()af x dx f ηη=⎰.（17）（本题满分10分）若曲线()y y x =上任一点处的切线在y 轴上的截距等于该点处法线在x 轴上的截距的2倍，且该曲线过点(1,0)，求该曲线方程.（18）（本题满分10分）计算曲面积分222222(1)x dydz y dzdx z dxdyI x y z ∑+++=++⎰⎰，其中∑为上半球球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.（19）（本题满分10分）求幂级数2=1(1)2n nn n x ∞-∑的收敛域与和函数.（20）（本题满分11分）确定参数,a b 的值，使线性方程组12341234234123413222354(3)3x x x x x x x x a x x x x x a x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪++++=⎩有解，并求其解（将通解用该方程的一个的特解及其导出组的基础解系表示）.（21）（本题满分11分）设12(,,,),(1,2,,),1TT n i a a a a R i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅=ααα，10a ≠，T =A αα. （I ）求A 的所有特征值和特征向量； （II ）当k 为何值时，k +E A 为正交阵； （III ）当k 为何值时，k -E A 为正定阵.（22）（本题满分11分）设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X 为至少有一个球的盒子的最小号码. （I ）求X 的分布律；（II ）若当X i =时，随机变量Y 在[0,]i 上服从均匀分布，1,2,3,4i =，求{}2P Y ≤.（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(0,)X N σ～的一个简单随机样本. （I ）求2σ的极大似然估计量2ˆσ，并判断其无偏性； （II ）求估计量2ˆσ的方差； （III ）问2ˆσ是否为2σ的一致估计量?2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知数列{},{}n n x y 满足1n y ≥，且lim 0n n n x y →∞=，则（ ）.（A ）lim n n x →∞=∞ （B ）lim n n x →∞不存在，但不是∞（C ）lim 0n n x →∞= （D ）lim n n x →∞存在，但不是0（2）设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，则“极限0lim '()x x f x →存在”是“()f x 在0x 处可导”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）设(,)f x y 在区域D 内具有二阶偏导数，则（ ）.（A ）必有22f fx y y x∂∂=∂∂∂∂ （B ）(,)f x y 在D 内必连续 （C ）(,)f x y 在D 必可微分 （D ）以上三个结论都不正确（4）设正项级数=1ln(1)nn +a ∞∑收敛，则级数=1(1)n n ∞∑-- ）.（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设、A B 为同阶可逆方阵，具有相同的特征值，则（ ）. （A ）=AB BA （B ）存在可逆矩阵C ，使得T=C AC B（C ）存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B （D ）存在可逆矩阵,P Q ，使得=PAQ B（6）设n 阶方阵A 的伴随矩阵*≠A O ，若123,,ξξξ是线性方程组=Ax b 的三个互不相等的解，则=0Ax 的基础解系为（ ）. （A ）13-ξξ （B ）12-ξξ，23-ξξ（C ）12-ξξ，23-ξξ，31-ξξ（D ）12+ξξ，23+ξξ，31+ξξ（7）设Ω为样本空间，,A B 为随机事件，且满足()0P A =，()1P B =，则（ ）. （A ）,A B =∅=Ω （B ）A B ⊂ （C ）AB =∅ （D ）()1P B A -=（8）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自2(,)X N μσ～的一个简单随机样本，2σ未知，n=11=i i X X n ∑，n2=11=()1i i S X X n ∑--2，()t n α为()t n 分布的上α分位点，则e μ的置信度为1α-的置信区间为（ ）.（A）αα22()()X X e n 1,e n 1⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （B）αα1122(1)(1)XX e n ,e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭---- （C）αα22exp{1)},exp{1)}X (n X (n ⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （D）αα1122exp{(1)},exp{(1)}X n X n ⎛⎫ ⎪⎝⎭----二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若[]x 表示不超过x 的最大整数，则211lim []nn x dx n →∞=⎰____________.（10）曲线sin y x =在点(,1)2π处的曲率圆方程为_________________.（11）设L 是上半圆周222(0,0)x y a y a +=≥>，则3222()()Lx y ds x y +=+⎰_____________. （12）设()f x 为可导函数，且,x y ∀均满足()()+()yxf x y e f x e f y +=，'(0)2f =，则()f x =_________________.（13）向量组1(1,1,2,3)T =-α，2(1,0,7,2)T=-α，3(2,2,4,6)T=-α，4(0,1,5,5)T =-α的极大线性无关组为__________________.（若有多组，只需填写一组）（14）设有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，现从中无放回地随机抽取3张，则得奖金额（单位：元）的数学期望是___________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设0x >，证明：arctan ln(1)1xx x+>+.（16）（本题满分10分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,0)与(1,2)，且0a <，确定,,a b c 的值，使得抛物线与x 轴所围成平面图形的面积最小，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.（17）（本题满分10分）设(,)()y f x y F x =满足22220f fx y∂∂+=∂∂，其中F 具有二阶连续导数，求(,)f x y .（18）（本题满分10分）求极限2201lim cos(2)t xttt dx x y dy t+→-⎰⎰.（19）（本题满分10分）设交错级数1=1(1)(0,1,2,3,)n n n n u u n ∞≥=⋅⋅⋅∑--满足条件：（i ）1(1,2,3,)n n u u n +≥=⋅⋅⋅； （ii ）lim 0n n u →∞=.证明：1=1(1)n n n u ∞∑--收敛，且其和1S u ≤.（20）（本题满分11分）设m n ⨯A 为实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，证明： （I ）=0Ax 与T =0A Ax 同解； （II ）T T =A Ax A b （其中b 为任意n 维列向量）恒有解.（21）（本题满分11分）设三阶实对称阵A 的特征值为2,2,1，对应特征值2λ=的两个特征向量为12(1,1,0),(1,1,1)T T ==αα.（I ）证明3(0,0,1)T=α是A 的属于特征值2λ=的特征向量； （II ）求1-+A A 的各行元素之和；（III ）求正交变换=x P y ，化二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{}(,)01,G x y y x y =<<<上服从均匀分布，令0,01,0X U X <⎧=⎨≥⎩，0,121,12Y V Y <⎧=⎨≥⎩.（I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）求协方差Cov(,)X Y ，并问,X Y 是否不相关? （III ）求协方差Cov(,)U V .（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为,01(),120,bx x f x ax x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩其他，样本观察值为0.5,0.8,1.5,1.5.（I ）求a 与b 的极大似然估计值； （II ）设XY e =，求{2}P Y <的极大似然估计值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（IV ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）在下列直线中，不是．．曲线1(1)x xy e =+渐近线的为（ ）. （A ）0y = （B ）1y = （C ）y e = （D ）0x =（2）已知20lim(123)4x x x →++=21ax+bx ，则（ ）.（A ）ln 2,a b R =∈ （B ）10,ln 2a b ≠=（C ）1,ln 2a b R =∈ （D ）0,ln 2a b ≠= （3）空间曲线222241x y z L x y z ⎧++=⎨++=⎩: 在点(1,1,1)-处的切线与平面4x y z π-+=:的夹角为（ ）.（A ）0 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π2（4）设级数=1(1)nn n a x ∞∑-在点1x =-处收敛，在点3x =处发散，则级数=13(1)()2nnn n a ∞∑-（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定 （5）若n 阶实矩阵A 满足326116-+-=A A A E O ，则下列命题正确的是（ ）. （A ）-E A 可逆，+E A 也可逆 （B ）2-E A 可逆，2+E A 也可逆 （C ）3-E A 可逆，3+E A 也可逆 （D ）4-E A 可逆，4+E A 也可逆（6）设二次型T f =x Ax 的规范形为222123y y y -+，其中A 为三阶实对称矩阵，则以下结论中正确的个数为（ ）.①A 的特征值必为1,1,1- ②A 的秩为2③A 的行列式小于0 ④A 必相似于对角阵111⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⑤A 合同于对角阵111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⑥A 合同于对角阵123-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）设随机变量X 与Y 独立，且都服从[0,3]上的均匀分布，则{}1min(,)2P X Y <≤=（ ）. （A ）13 （B ）49 （C ）23 （D ）89（8）设总体2(,)X N μσ～，2σ未知，统计假设00H μμ=:，10H μμ<:. 12,,,nx x x ⋅⋅⋅为样本，x 为样本均值，2s 为样本方差，则在显著水平为α下0H 的拒绝域为（ ）. （A2(1)t n α≥- （B x u α- （C (1)x t n α≤-- （D (1)x t n α≥- 其中(0,1)U N ～，()T t n ～，数u α满足{}P U u αα>=，()t n α满足{}()P T t n αα>=二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）曲线(1)y x x =-与x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为___________.（10）设2ln 30x yz z ++=，则(1,3,1)dz-=_____________.（11）曲面22:10x y z ∑--+=在点(1,1,1)处的切平面π被柱面2214y x +=所截下部分的面积为__________.（12）设()f x 具有一阶连续导数，且满足方程0()'()x f x x tf x t dt =+-⎰，则()f x =_______（13）已知2253102x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的特征值为1,1,1---，则(,)x y =___________.（14）设总体(1,)X B p ～，1,1,1,0为来自总体X 的一个样本观察值，则2()D x 的矩估计值为_____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设常数0a >，0b >，证明不等式：22()a ba b a b e ae be ++≤+.（16）（本题满分10分）就k 的取值讨论方程2xe kx =的实根个数.（17）（本题满分10分）利用变换t =化简微分方程2242(16(0)d y dyx y e x dx dx+-=>，并求出此微分方程的通解.（18）（本题满分10分）计算曲线积3(2)()()CI x y z dx x dy x y z dz =+++++⎰，其中C 为2221x y +=与222x y z +=-的交线，从原点看去是逆时针方向.（17）（本题满分10分）就常数p 的不同取值，讨论级数1111246p P P -+-+⋅⋅⋅的敛散性.（20）（本题满分11分）已知向量组A ：1(0,1,2,3)T =a ，2(3,0,1,2)T=a ，3(2,3,0,1)T=a ； B ：1(2,1,1,2)T =b ，2(0,2,1,1)T =-b ，3(4,4,1,3)T=b ；证明向量组B 能由向量组A 线性表示，但向量组A 不能由向量组B 线性表示.（21）（本题满分11分）已知三阶实对称矩阵A 的特征值为121λλ==，32λ=，且A 的对应于特征值1的特征向量123(,,)T x x x 满足方程12320x x x --=，求正交矩阵Q ，使得T =Q AQ Λ为对角阵.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域G ：12x ≤≤，10y x≤≤ 上服从均匀分布，记U X =，V XY =，随机事件{}u A U u =≤，{}v B V v =≤. （I ）求()u P A 、()v P B 与()u v P A B ，其中12u ≤≤，01v ≤≤；（II ）分别求U 和V 的密度函数，及U 与V 的联合密度函数，并问U 与V 是否独立?（23）（本题满分11分）设随机变量()T t n ～，12(,)F F n n ～，常数()t n α、12(,)F n n α分别满足{()}=P T t n αα>，12{(,)}=P F F n n αα>. （I ）证明22()(1,)t n F n αα=； （II ）112211(,)(,)F n n F n n αα-=；（III ）已知0.05(6) 1.943t =，求0.90(6,1)F .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（V ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）函数13()lim(1)nnn f x x→∞=+在(,)-∞+∞内（ ）.（A ）处处可导 （B ）只有一个不可导点 （C ）恰有两个不可导点 （D ）至少有三个不可导点（2）设()f x 是(,)a b 区间内的连续函数，()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数，则（ ）. （A ）当()f x 在(,)a b 内无界时，()F x 在(,)a b 内也无界 （B ）当()f x 在(,)a b 内有界时，()F x 在(,)a b 内也有界 （C ）当()f x 在(,)a b 内单调上升时，()F x 在(,)a b 内也单调上升 （D ）当()f x 在(,)a b 内单调下降时，()F x 在(,)a b 内也单调下降 （3）设D 是由曲线sin ()22y x x ππ=-≤≤和直线2x π=-，1y =所围成的的区域，f 是连续函数，则322[1()]Dx y f x y dxdy ++=⎰⎰（ ）.（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2（4）设1,01()2,12x x f x x x +<≤⎧=⎨-+<≤⎩，又设()f x 展开的正弦级数为=1π()=sin 2nn n S x b x ∞∑，则(7)S =（ ）. （A ）32 （B ）32- （C ）12 （D ）12- （5）若,A B 为n 阶方阵，且(,)A B 经初等行变换可化为(,)n E C ，则矩阵C 为（ ）. （A ）1-B （B ）1-A （C ）1-A B （D ）1-B A （6）已知空间曲线11112222a xb yc zd l a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩:，平行于平面3333a x b y c z d π++=:，则矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的秩()r =A （ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7）设随机变量,X Y 相互独立，2(0,)X N σ～，111233Y -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，则1X P Y ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（ ）.（A ）11()3σΦ （B ）21()3σΦ （C ）1()σΦ （D ）111()33σ+Φ （8）设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为0,min(,)0(,)min(,),0min(,)11,min(,)1x y F x y x y x y x y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则有（ ）.（A ）X 和Y 独立，且同分布 （B ）X 和Y 不独立，但同分布 （C ）X 和Y 独立，但不同分布 （D ）X 和Y 不独立，且不同分布二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）1x e dx -=⎰___________________.（10）tan 0xx +→=_________________.（11）设,f g 均可微，[,ln ()]z f xy x g xy =+，则z zxy x y∂∂-=∂∂________________. （12）微分方程'''y y y =满足初始条件(0)0y =，'(0)2y =的特解为y =_______________.（13）1234567800=000a a a a a a a a ____________________. （14）已知随机变量X 的密度函数为偶函数，1DX =，且用切比雪夫不等式估计得{}0.96P X ε<≥，则常数ε=____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上可微，且'()f x 在(,)a b 内单调增加，又()()f a f b A ==（常数），证明：(,)x a b ∀∈，恒有()f x A <.（16）（本题满分10分）已知222'()01()xf f xx xx-=+-，且(1)ln2f=，求()f x及()()nf x.（17）（本题满分10分）求函数4(,)3f x y xy x y=--在由抛物线24(0)y x x=-≥与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分）计算曲线积分22()(4)4Lx y dx y x dyx y++-+⎰，其中L 为椭圆周2244x y +=的逆时针方向.（19）（本题满分10分）设有幂级数2=112(+)n nn x nn ∞∑. 求： （I ）该幂级数的收敛半径与收敛域； （II ）该幂级数的和函数在收敛区间内的导函数.（20）（本题满分11分）设向量(1,2,1)T=α，1(1,,0)2T=β，(0,0,8)T =γ，T =A αβ，T =B βα. 求：（I ）4A ，4B ； （II ）x 为3维列向量，且满足22442=++B A x A x B x γ，求x .（21）（本题满分11分）已知三元二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 经过正交变换=x P y 化为标准形2221232y y y -+. （I ）求行列式1*2--A A ； （II ）求3224--+A A A E .（22）（本题满分11分）若随机变量X的概率密度函数22(ln )2,>0()=0,0x X x f x x μσ--⎧≤⎩就称X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布.（I ） 证明X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布的充要条件是2ln (,)U X N μσ=～；（II ）设X 与Y 相互独立，且均服从参数为2(,)μσ的对数正态分布，证明：V XY =服从参数为2(2,2)μσ的对数正态分布.（23）（本题满分11分）设12,,,(1)n X X X n ⋅⋅⋅>为来自总体()X P λ～的样本，其中未知参数0λ>. （I ）求λ的极大似然估计ˆλ； （II ）证明ˆ()n P n λλ～.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）设ln ()sin 1xf x x x =-，则()f x 有（ ）. （A ）两个可去间断点 （B ）两个无穷间断点（C ）一个可去间断点，一个跳跃间断点 （D ）一个可去间断点，一个无穷间断点 （2）设函数()f x 在2x =处连续，且2()1lim22x f x x →=-. 函数()g x 在2x =的某邻域内可导，且2'()1lim22x g x x →=-，则（ ）. （A ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处二阶导数存在 （B ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处也取极小值 （C ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处取极小值 （D ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处二阶导数存在（3）设曲面22222{(,,)1,0}123x y z x y z z ∑++=≥:，并取上侧，则不等于．．．零的积分为（ ）. （A ）2xd y d z ∑⎰⎰ （B ）x d y d z ∑⎰⎰ （C ）2z d z d x ∑⎰⎰ （D ）z d z d x ∑⎰⎰（4）若幂级数=0(+1)nnn a x ∞∑在1x =处收敛，则级数=0nn a∞∑（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设n 阶方阵12(,,,)n =⋅⋅⋅A ααα，12(,,,)n =⋅⋅⋅B βββ，(,,,)=⋅⋅⋅12n AB γγγ，记向量组（I ）：12,,,n ⋅⋅⋅ααα； （II ）：12,,,n ⋅⋅⋅βββ； （III ）：,,,⋅⋅⋅12n γγγ. 如果向量组（III ）线性相关，则（ ）.（A ）向量组（I ）与（II ）都线性相关 （B ）向量组（I ）线性相关（C ）向量组（II ）线性相关（D ）向量组（I ）和（II ）至少有一个线性相关（6）设四阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中12,αα线性无关，3α不能由12,αα线性表示，412323=-+αααα，*A 为A 的伴随矩阵，则*()r =A （ ）.（A ）0 （B ） （C ）2 （D ）3 （7）设,X Y 为随机变量，3{0}5P XY ≤=，4{m a x (,)0}5P XY >=， 则{m i n (,)0}P X Y ≤=（ ）. （A ）（B ） （C ） （D ） （8）设随机变量(,0.1)i X B i ～，1,2,,15i =⋅⋅⋅，且1215,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立，则15=1{816}i i P X <<∑为（ ）.（A ）0.325≥ （B ）0.325≤ （C ）0.675≥ （D ）0.675≤二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）设曲线()y f x =在点(1,0)处的切线在y 轴上截距为1-，则1l i m [1(1)]n n f n→∞++=______________. （10）设为连续函数，且1[()()]1f x xf xt dt +=⎰，则()f x =_____________.（11）设(,)f x y 可微，1'(1,3)2f -=-，2'(1,3)1f -=，(2,)yz f x y x=-，则13x y dz ===（12）121220122cos cos y y y dy x dx dy x dx +=⎰⎰⎰⎰________________.（13）三阶方阵,A B 满足关系式+=E B AB ，A 的三个特征值分别为3,3,0-，则B 的特征值为_____________.（14）设22(200)χχ～，则由中心极限定理得2{240}P χ≤近似等于___________.（用标准正态分布的分布函数()Φ⋅表示）三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数π2π2()ln sin n f x x x xdx -=π-⎰，其中n 为正整数，试讨论方程()0f x =根的个数.（16）（本题满分10分）设12a =，111()(1,2,)2n n na a n a +=+=⋅⋅⋅. 证明： （I ）lim n n a →∞存在； （2）级数=11(1)nn n a a ∞+-∑收敛.（17）（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上具有二阶导数，且()0f a <，()0f b <，()0baf x dx =⎰. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得''()0f ξ<.（18）（本题满分10分）设当0x >时，()f x 可导，且(1)2f =.（I ）试确定()f x ，使在右半平面内[2()]()y f x dx xf x dy -+为某函数(,)u x y 的全微分； （II ）求(,)u x y ； （III ）计算曲线积分[2()]()Cy f x dx xf x dy -+⎰，其中C 是右半平面内从点(1,0)到点(2,2)的任一条简单曲线.（19）（本题满分10分）设有微分方程'',1''2'0,1y y x x y y y x -=<⎧⎨-+=>⎩，试求在(,)-∞+∞内可导的函数()y y x =满足此方程，且有(0)0y =，'(0)1y =.（20）（本题满分11分）设A 为三阶方阵，并有可逆阵123(,,)P p p p ，(1,2,3)i i =p 为三维列向量，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP . （I ）证明：12,p p 为()-=0E A x 的解，3p 为2()-=-E A x p 的解，且A 不可相似对角化； （II ）当211212112--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，求可逆矩阵P ，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP .（21）（本题满分11分）已知二次型112312323112(,,)(,,)34325x f x x x x x x xa x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的秩为，求常数a 的值，并求一个正交变换化该二次型为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为4,01,01(,)0,x y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）设2U X =和2V Y =的密度函数分别为()U f u 和()V f v ，求(),()U V f u f v ，并指出(,)U V 所服从的分布； （III ）求22{1}PU V +≤.（23）（本题满分11分）设l n Y X =，Y 的密度函数为,0()0,0y Y e y f y y λλ-⎧≥=⎨<⎩（1λ>）. （I ）求EX ；（II ）设12,,n XX X ⋅⋅⋅为来自总体X 的简单随机样本，求E X 的极大似然估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设函数在(,)-∞+∞内有定义，下列结论正确的是（ ）. （A ）若lim ()2x f x π→∞≠，则2y π=不是曲线()y f x =的水平渐近线 （B ）若0lim ()x f x →≠∞，则0x =不是曲线()y f x =的铅直渐近线（C ）若()lim1x f x x→∞=，则曲线()y f x =必有斜渐近线 （D ）以上都不对（2）设2arctan()()=lim +1n x n n e f x x →∞，则()f x （ ）.（A ）处处可导 （B ）在点1x =-处可导（C ）在点0x =处可导 （D ）在点1x =处可导（3）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有00'(,)x f x y a =，00'(,)y f x y b =，则下列结论正确的是（ ）.（A ）00lim (,)x x y y f x y →→存在，但(,)f x y 在点00(,)x y 处不连续（B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （C ）()0,x y d z a d x b d y =+（D ）00lim (,)x x f x y →及00lim (,)y y f x y →都存在且相等（4）设(n+1)πn πsin n xu dx x =⎰，则=1n n u ∞∑为（ ）. （A ）发散的正项级数 （B ）收敛的正项级数（C ）发散的交错级数 （D ）收敛的交错级数（5）设22221111ab c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，,,,a b c d 为互异实数，则下列说法正确的是（ ）. （A ）齐次线性方程组=0Ax 只有零解 （B ） 齐次线性方程组T=0A Ax 有非零解 （C ）齐次线性方程组T=0A x 有非零解 （D ）齐次线性方程组T=0AA x 有非零解（6）设,A B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.（A ）若,A B 为等价矩阵，则,A B 的行向量组等价 （B ）若,A B 的行列式相等，则,A B 为等价矩阵（C ）若=0Ax 与=0B x 均只有零解，则,A B 为等价矩阵 （D ）若,A B 为相似矩阵，则=0Ax 与=0B x 同解（7）设有随机事件,,A B C ，(),(),()(0,1)P A P B P C ∈，若C 分别与,A B 独立，A B =∅.则有（ ）.（A ）A 与B C 独立 （B ）B 与A C 独立 （C ）C 与AB 独立 （D ）,,A BC 两两独立（8）设总体2(,)X N μσ～，其中2,μσ均未知. 假设检验问题为2010H σ≤:,2110H σ>:,已知25n =，0.05α=，20.05(24)36.415χ=，且根据样本观察值计算得212s =，则检验结果为（ ）.（A ）接受0H ，可能会犯第二类错误 （B ）拒绝0H ，可能会犯第二类错误 （C ）接受0H，可能会犯第一类错误 （D ）拒绝0H，可能会犯第一类错误二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）不定积分222arctan 2(1)1xx edx x +=+⎰__________________.（10）设曲线222C x xy y a ++=:的长度为L ，则s i n ()s i n ()s i n ()s i n ()x yx y C a e b e d s e e +=+⎰_________. （11）设()y y x =是由10sin 10ln(1)x t e t x y t dt +⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩⎰所确定的函数，则0t dy dx ==______________.（12）以21C y C x x=+为通解的微分方程______________________. （13）设A 为三阶方阵，A 的第一行元素为1,2,3，行列式A 中第二行元素的余子式为1,2,3a a a +++，则常数a =__________.（14）设(,)f x y 为二维随机变量(,)X Y 的密度函数，2U Y =，V X =-，则(,)U V 的密度函数(,)U V f u v =________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设曲线()y y x =由参数方程给出：ln x t t =，ln 1()t y t t e=>. （I ）求()y y x =的单调区间、极值、凹凸区间和拐点； （II ）求曲线()y y x =，直线1x e=-，x e =及x 轴所围平面区域的面积A .（16）（本题满分10分）求微分方程()x dyf xy y dx⋅=经变换xy u =后所转化的微分方程，并由此求微分方程22(1)y xy d x x d y +=的通解.（17）（本题满分10分）求幂级数2121(1)(1)nn n n x n∞+--∑=的收敛域及和函数()S x .（18）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：（I ）2()[()()]a b b aaf x dx f x f a b x dx +=++-⎰⎰；（II ）利用（I ）计算π23π6cos (2)xI dx x x π=-⎰.（19）（本题满分10分）在椭球面222221x y z ++=上求一点P ，使得三元函数222(,,)f x y z x y z=++在点P 处沿方向=-l i j 的方向导数最大.（20）（本题满分11分）设,,A B C 均为n 阶方阵，⎛⎫=⎪-⎝⎭AA M CBC .（I ）证明：M 可逆的充要条件为,A B 均可逆； （II ）如果M 可逆，求其逆矩阵1-M .（21）（本题满分11分）设13λ=，26λ=，39λ=是三阶对称矩阵A 的三个特征值，其对应的特征向量依次为11(2,2,1)3T =-α，21(1,2,2)3T =-α，31(2,1,2)3T =-α. （I ）证明112233369TTT=++A αααααα；（II ）设(1,2,3)T=β，分别将β和nA β用123,,ααα线性表示.（22）（本题满分11分）设1()X P λ～，2()Y P λ～，且X 与Y 相互独立.（I ）证明：12()X Y P λλ++～； （II ）求已知3X Y +=时，X 的条件分布.（23）（本题满分11分）设总体X 的密度函数为22,0()0,0x x e x f x x θθ-⎧⎪>=⎨⎪≤⎩，其中(0)θθ>为未知参数，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的简单随机样本.（I ）求θ的极大似然估计量θ； （II ）指出θ是否为θ的无偏估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）求抛物线2y x x =+与23y x x =-的公切线为（ ）.（A ）1y x =-- （B ）1y x =-+ （C ）1y x =- （D ）1y x =+ （2）设220()(1)x t f x x e dt -=+⎰，则有（ ）.（A ）(2010)(0)0f=，11()0f x dx -=⎰（B ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -=⎰（C ）(2010)(0)0f =，11()0f x dx -≠⎰（D ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -≠⎰（3）设当0r +→，222()r C y d x x d yI x y x y -=++⎰与nr 为同阶无穷小，其中C为圆周2221x y r +=，取逆时针方向，则n 等于（ ）. （A ） （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）设()y y x =是方程22(1)0x y d x x d y +-=及条件(0)1y =的解，则120()y x dx =⎰（ ）. （A ）ln 3- （B ）l n 3 （C ）1l n 32-（D ）1l n 32（5）设12,ηη为线性方程组12311232123322x x x a x x x a x x tx a-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的两个不同解，则必有（ ）.（A ）2t =，1230a a a ++= （B ）2t ≠，312a a a =+ （C ）2t =，312a a a =+ （D ）2t ≠，312a a a ≠+（6）设二次型123(,,)T f x x x =x Ax ，其中T=A A ，a =A ，()1r a b +=E ，则（ ）.（A ）对任意的0a >，0b >，正定 （B ）对任意的0a >，0b <，正定 （C ）对任意的0a <，0b >，正定 （D ）对任意的0a <，0b <，正定 （7）已知随机变量010.250.75X⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量12,αα线性无关，则向量组12X -αα,12X -+αα线性相关的概率为（ ）.（A ）0.25 （B ）0.5 （C ）0.75 （D ） （8）设总体X 的密度函数2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，1234,,,X X X X 为来自总体X 的简单随机样本，则(4)1234m a x (,,,)X X X X X =的密度函数为(4)()X f x =（ ）. （A ）20,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩ （B ）80,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩（C ）78,010,x x ⎧<<⎨⎩其他 （D ）34,010,x x ⎧<<⎨⎩其他二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若()x x f t dt xe -=⎰，则1(ln )f x dx x+∞=⎰____________. （10）设函数()y x 满足2''(1)'xy x y x y e +-+=，且'(0)1y =. 若20()lim x y x xa x →-=，则a = （11）设()f r 在[0,1]上连续，则22221lim()n n x y x y f dxdy →∞+≤+=⎰⎰_____________.（12）已知向量222(,,)xy yz zx =A ，则(1,1,2)()grad div -=A ________________.（13）设,A B 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅为B 的n 个特征值，若存在可逆阵P ，使得11--=-+B PAP P AP E ，则12n λλλ++⋅⋅⋅=______________. （14）设(,)(0,14,90)X Y N ;;～，则{1}P X Y <-=_______________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）旋转曲面224z x y =+上某点M 处的切平面为π，若平面π过曲线：2x t =，y t =，3(1)z t =-上对应于1t =的点处的切线，试求平面π的方程.（16）（本题满分10分）设()Df t x y tdx d y =-⎰⎰，其中D ：01x ≤≤，01y ≤≤，[0,1]t ∈.（I ）求()f t 的表达式； （II ）证明'()0f t =在(0,1)内有且仅有一个根.（17）（本题满分10分）求数项级数=1(1)(21)!n n nn ∞-+∑的和.（18）（本题满分10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()0f a =，()1f b =，()1()f c a c b =-<<. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得2(1)'()2()0f f ξξξξ+-=.（19）（本题满分10分）（I ）设连续函数()f x 对任意的x 均满足()()2xf x af =，其中常数(0,1)a ∈. 证明()()2n nxf x a f =，进而再证(,)x ∀∈-∞+∞，()0f x ≡； （II ）设()g x 具有二阶连续导数，且满足22()3x xg t dt x x =+⎰，求()g x 所满足的微分方程，并求()g x .。