控制工程数学模型

自动控制理论
小结 • 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线
性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述 系统运动的又一形式的数学模型。
•
由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直
d dt
接写出对应的传递函数，即把微分算子
用复变量s表示，把c(t) 和r(t)
2
d 2 ct dct 2 T ct Kr t dt 2 dt
2 - 37
式中T 时间常数 , K 放大系数 , 阻尼比
若令K 1, Rs C t 1 1 1
2
1 , 则0 ＜＜ 1, 则 s 1 1 t 1 T e sin 1 2 t arg t an T
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 10
d n ct d n 1ct dct d m r t a0 a1 an 1 an ct b0 n n 1 dt dt dt dtm
自动控制理论
在零初始条件下，对上式进行拉式变换得
a s
建立系统数学模型的方法
实验法 解析法
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第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
用解析法建立系统微分方程的一般步骤
根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的 微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入 的微分方程式 对所求的微分方程进行标准化处理

q2 (t )

h(t )
（2-6）
把式（2-6）代入式（2-4）得
或
dh (t ) RC h(t ) Rq1 (t ) dt
dh (t ) h(t ) Rq1 (t ) dt 其中，T=RC T
（2-7）
图2-5 q2(t)与h(t)的关系曲线
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第二章 控制系统的数学模型
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 4
自动控制理论
机械位移系统
求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器系统的数据模型 由牛顿第二定律列出方程
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) ky(t ) f m dt dt 2
即
d 2 y (t ) dy(t ) m f ky(t ) F (t ) 2 dt dt



即 (2 - 30)
于是得
C (s) G(s) R(s)
Gs 就 是 系 统 的 传 递 函 数 。
(2-31)
其 中 ， C s L[ct ]; Rs L[r t ]它 们 之 间 的 传 递 关 系 用 方 框 图 表 示 。
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 11
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自动控制理论
第二节 非线性数学模型的线性化
非线性数学模型线性化的假设
变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在
微偏法
在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以 上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。 设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-11所示，相应的数学表达式为
电气网络系统
1、无负载效应的电路 由基尔霍夫定律得：
di uc ur dt du 1 u c idt, 即i C c C dt iR l
消去中间变量 i ，则有:
图2-1 Ｒ-L-C电路
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d 2uc du LC 2 RC c u c u r dt dt
d dt 转角,U fn 测速机的输出电压 U fn K K U fn s
s
Ks
第二章 控制系统的数学模型
图2-17直流测速发电机
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自动控制理论
振荡环节
特点：如输入为阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式 微分方程
T 传递函数 G s C s K 2 2 R s T s 2Ts 1
Y2 s G21 s U 1 s G22 s U 2 s Y1 s G11 s G12 s U 1 s Y s G s G s U s 22 2 21 2
Gs 就是该系统的传递函数 矩阵
q2 (t ) h(t )
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（2-5）
第二章 控制系统的数学模型 6
自动控制理论 式中α为比例常数（与V2阀开度的大小有关）。经在平衡点作线性化处理后 q2(t)与h(t)的关系为
2 H 或写作： q 2(t ) 1 h(t ) 2 H R
液位高度的变化量 式中， R 液阻 输出流量的变化时
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第二章 控制系统的数学模型
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自动控制理论
第三节 传递函数
传递函数的定义 传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏 变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。
设线性定常系统的微分方程式为
d m1r t drt b1 b bm ct n m (2 29) m 1 m 1 dt dt 式中 ，r t 为系统的输入量 ; ct 为系统的输出 量
2

具有式（2-37）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如
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第二章 控制系统的数学模型
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自动控制理论 1）R-L-C电路的传递函数
U c s 1 U r s LCs 2 RCs 1
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数 Y s 1 F s m s2 fs 1 3）直流他励电动机在变化时的传递函数 1 e N s C EG s m a s 2 m s 1 上述三个传递函数在化成式（2-37）所示的形式时，虽然它们的阻尼 比ζ和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足0＜ζ＜1，则它们都 是振荡环节。
y=f(x)
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（2-17）
图 2-11 非线性特性的线性化
第二章 控制系统的数学模型 8
自动控制理论
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
df y f x f x0 dx 1 d2 f x x0 x x0 2! dx2
2 x x x x 0
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 14
自动控制理论
典型环节的传递函数 比例环节
特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化
方程式 ct Kr t 传递函数 Cs Gs K R s
Ct 环节的输出量 , r t 环节的输入量
Ct K 对应的传递函数 G s C s Ks R s drt dt
1）实际的微分环节，如图2-16所示，它的 传递函数为：
U c s TS Gs U r s 1 TS
图2-16 R-C网络
2）直流测速发电机。如图2-17所示，
第二章 控制系统的数学模型 3
自动控制理论 2、有负载效应的电路 对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的 影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：
1 (i1 i2 )dt i1 R1 ur C1 1 1 i dt i R (i1 i2 )dt 2 2 2 C2 C1 1 i2 dt uc C2
对于多输入—多输出的系统，要用传递函数矩阵去表征系统的输入 与输出的关系，例如对于图2-14所示的系统。
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型 13
Hale Waihona Puke Baidu
自动控制理论
图2-14 多输入多输出系统
由图2-14得
Y1 s G11 s U 1 s G12 s U 2 s 或写作
0
n
a1s n 1 an 1s an C s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm Rs C s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm G s Rs n n 1 Rs a0 s a1s an 1s an
惯性环节
特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律 微分方程
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T
dc t ct Kr t dt
第二章 控制系统的数学模型 15
自动控制理论 对应的传递函数：
G s
C s K Rs Ts 1
T---环节的时间常数
积分环节
特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有
换为相应的象函数C(s)和R(s)，则就把微分方程转换为相应的传递函数。
反之亦然。
单位脉冲响应及应用
根据式 2 31
令r t t ，R s 1， 则C s G s g t L1 C s L1 G s
C s G s R s
式中：ｆ——为阻尼系数 ｋ——为弹簧的弹性系数 ky(t)——弹簧拉力
f
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dy ——阻尼器阻力 dt
第二章 控制系统的数学模型
图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统
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自动控制理论
液位控制系统
图2-4中，Q1、Q2和H分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和 液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h为相应变量的增量。 设液槽的面积为C，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差 应等于液槽中液体存贮量的变化率，即有
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第二章 控制系统的数学模型
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自动控制理论
传递函数的性质
传递函数只取决于系统(或元件)的结构和参数，与外施信号的
大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式s的最高阶次 n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即n≥m 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反 映系统内部的特性
C
d ( H h) Q1 q1 (t ) Q2 q2 (t ) dt
考虑在平衡状态 H=定值，Q1=Q2，则上式可改写为
dh (t ) C q1 (t ) q2 (t ) dt
图2-4 液位系统
（2-4）
基于液位h(t)与流量q2(t)之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：
ct K r t dt
t c
传递函数 G s C s K Rs s
例如图2-15所示的积分器，其传递函数为
G s
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1 RCs
第二章 控制系统的数学模型
图2-15 积分调节器
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自动控制理论
微分环节
理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即
0
2 由于增量Δx x x0 较小，故可略去式中的 （x x0） 项及
其后面的所有的高阶项 ，于是得线性化方程 y y 0 K x x0 或写为 式中 y f x 0 , y Kx K df dx
x x0
,
y y y 0， x x x 0
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
自动控制理论
第二章
控制系统的数学模型
作者： 浙江大学
2018/10/16 第二章 控制系统的数学模型
邹伯敏 教授
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自动控制理论
描述系统运动的数学模型
输入－输出描述
微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它
模型均由它而导出。 状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式。
消去中间变量i1
、 i2
i1
图2-2 R-C滤波网络
得
d 2uc duc R1 R2 C1C 2 R C R C R C uc ur 1 1 2 2 1 2 2 dt dt
或写作
d 2 uc duc T1T2 T T T uc u r 1 2 3 dt 2 dt