关于边分法近似计算对数函数实数值的归纳证明

边分法近似计算对数

肖云霄

四川省邻水中学

1.背景：我们知道在高中数学教材必修一函数一章曾介绍过：

）的等价代换”。＞且（＝，则＝“若0a 1

a log x

b a b a x ≠即通过引入一个新的符号将指数位臵上的变量X 表示出来

2.问题：随后在进行对对数函数性质深入的研究中，我们了解了它的一系列如定义域、值域、单调性等可以反馈对数函数图像具体性质的数学特点。由单调性，我们知道了lg3大于lg2，但我们并不知道lg3≈？，lg2≈？因此，引入对数符号虽然可以很好地解决指数上变量的表示问题，但对于对数函数的实数值却犹如一座遥远的冰山，可望而不可即。那么是否可以找到一种简便的计算方法来近似估算对数函数的实数值呢？

f （x ）＝lnx ，那么有f ΄（x ）＝，f ΄΄（x ）＝。因为f ΄΄（x ）＜0，所以f （x ）严格上凸，为凸函数。由琴生不等式

≥可得。该不等式则很好地反映了函数图像上任意两点函数值的平均和中点函数值的大小关系。那么我们在解决对数函数实数值的问题是否可以受琴声不等式的启发，从而利用两点函数值的平均来近似逼近中点函数值大小呢？

6.证明：我们先研究x ∈N*时出现的情况。首先我们对该想法进行误差分析：设在函数lnx 上任意两点的坐标分别为A （x1，lnx1），B

x 1

2x 1-

2

lnx lnx 2x x ln 2121+≥+）（

＝＞0，ϕ（x ）严格下凸，为凹函数。所以ϕ（x ）在x

＞1的图像为：

由上图，我们可以很直观的看到当x ＝1.36时ϕ（x ）就表现出急剧下滑的趋势，而当x ＝2左右时ϕ（x ）几乎下降到极限值1附近，而我们知道所研究的ϕ（x ）（x ＞1）仅仅是真数的一部分，但当x 已如此接近于定义域端点1时，ϕ（x ）就已趋近于1了，何况ϕ（x ）还要根式后才是完整的真数。换言之，）（x ϕ将在x 极小时（相对于定义域起始端点）就已趋于1。这个结果很好，表明此时真数将在x 很小时就已趋于1，因而g （x ）＝

将在x 极小时就已趋近于0！而g （x ）表示的就是用直线上两点函数值的平均代替lnx 上的中点函数值的误差，即此时用所表现出的误差g （x ）将在x 极小时就已趋近于0了，所以在精度一定时，对于lnx 用两点的平均值是完全等价于中点函数值的，并且随着x 的取值增大误差将会无限接近于0！因而在误差较小范围内，这完全和我们

[]321x 1-x 2

x 6））（（++）））（（（1x 1-x 11ln ++1x x 1x x 21+-＝，＝

最开始所设想的lnx 上的线性回归模型刚好吻合。下面我用图像便于大家更加直观理解：

由图像大家可以大致清晰地看到在（即x2＝x1+2）的前提下，两点的中点值随着x 的增大会无限贴近lnx 上的中点值。即此时我们所建立的直线模型很好地契合进了lnx ，于是我们称它为lnx 的线性回归。

论证到这里我们先小结一下已推理出的结论，便于推广至一般形式。 小结：因为lnx 的增长极其缓慢，所以可建立lnx 的线性回归模型，即在精度一定范围内，

可以利用直线上两点的中点函数值的平均来代

1x x 1x x 21+-＝，＝

替lnx上中点的函数值，称为“边分法”。

7.关于边分法思想的两点说明：①转化：利用边分法，可以将lnx（x ∈N*）上的函数值转化为直线上两点的中点函数值，从而将无法触及的“冰山”变为可攀登的高山。具体说：（1）如若所求点是合数，则可以将其表示为多个质因子相乘，从而将合数拆分为了质数。（其理论依据为：正整数的因式分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数）。（2）如若该数为质数则利用对数函数的线性回归模型，即用边分法将该数向左右两边各拓展一个单位长度后，相邻两数则回到了偶数上，则再次重复（1）步骤。（其理论依据为，若有一个数为质数，则其必为奇数；如果一个数为奇数，则其相邻两数必为偶数。）

②化归：将质数转化，将合数化归。由于合数是有多个质因子组合而成，那么可以通过将合数无限下分，直至其完全化归为多个基数相加（基数指真数为10以内较小质数的对数，如ln2，ln3等），也可以进一步再将基数转化为只剩ln2，而ln2＝0.69314718056，根据精度要求取舍位数（如保留一位小数就取ln2＝0.7，保留两位小数就取ln2＝0.693）。

简言之，运用边分法可以将真数上的质数转化为相邻偶数，将偶数化归为多个基数，通过计算基数的和从而代近似逼近原函数的值。其数学表达形式为（lnx＝aln2＋bln3＋cln5＋……＝Yln2）

8.关于使用边分法近似计算对数函数实数值的两点注意：（1）由于

本身我们采用的是用直线上两点的中点函数值的平均来近似代替lnx 上中点的函数值，所以用边分法算出的实数值若刚好整除，则就原封不动地保留该值，而不必再次四舍五入估算。因为边分法本身定义为估算，若得出的实数值又再次估算，那么就有可能扩大误差（类似物理学上游标卡尺的使用原则）。如计算ln7的实数值：

95.12

9.321.147.023ln2ln3ln228ln ln6ln7＝＝＝+⨯≈+++≈，而由计算器算出ln7＝1.94591≈1.95.所以用边分法计算出的实数值结果若整除则直接保留。若结果并不整除，那么就根据四舍五入波动最小原理进行合理选取位数。

（2）为什么我要定义真数为10以内较小质数的对数作为对数函数的基数？因为由上图可知误差g （x ）在x ＝2时，g （2）等于1.33，但并不完全等于1，只是说很接近，如若对于精度要求很高，具体说是要求在两位小数即以上时，必须至少要记忆多组基数相应保留位数的值。如果对于精度要求不高，如高考中遇到了涉及对数函数和实数比较大小的问题，则只需一位即可，那么根据四舍五入的保留原则，在x ＞1的前提下，边分法是完全适用于计算对数函数实数值的，且这时只需记忆ln2＝0.7即可。如计算ln3，由边分法可得，ln3≈2

2ln 322ln 2ln22ln42ln ＝＝++，带入ln2＝0.7，根据四舍五入保留一位小数的原则可得ln3≈1.1，而由计算器算出ln3＝1.09861228866≈1.1.所以凭借边分法在只记忆ln2＝0.7为前提下就可以自己推出所有基数的值（ln3＝1.1，ln5＝1.6等等）再比如计算ln177，由边分法可