模糊关系及其合成

定义：笛卡儿积 X Y 的一个子集R叫做X到Y的二元 关系，简称关系。 R X Y 。
2.2 模糊集合论基础
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五、模糊关系及其合成 对笛卡儿积上的元素对来讲， 若任意一个元素对 ( x, y) R,则称x和y有关系R， 若元素对 ( x, y) R ,则称x和y没有关系R。 用特征函数来表示的话，有
2.2 模糊集合论基础 10
其中：1表示有关系R，0表示没有关系R。
五、模糊关系及其合成 定义：所谓笛卡儿积 X Y {( x, y) x X , y Y} 上的模糊 关系R，是指以 X Y 为论域的一个模糊子集。 笛卡儿积上的模糊关系，表示两个集合的元素间 所具有的某种关系的程度，是普通关系的推广。 当论域为有限集时，模糊关系可以用矩阵来表示， 称为模糊矩阵。 模糊关系的运算服从模糊子集的法则，如并、交、 补等。
第2章 2.1 2.2 2.3 2.4
模糊控制的理论基础
引言 模糊集合论 模糊逻辑、模糊推理与合成 本章小结
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五、模糊关系及其合成 1、模糊矩阵 定义：对任意的 i n, j m，有rij [0,1] ，称 R (rij ) nm为 模糊矩阵。 2、模糊矩阵的运算：并，交，补 定义：对任意的模糊矩阵，R (rij ) nm ， S (sij ) nm，则：
z1 z 2 x1 0.6 0.5 x2 0 . 5 0 . 7 x3 0.8 0.4 x4 0.5 1
Q RS
z1 z2 x1 0.2 0.6 0.3 0.5 0.4 0.3 x2 0 . 2 0 . 4 0 . 5 0 . 7 0 . 4 0 . 3 x3 0 0.8 0 0 0.4 0 x4 0.2 0.2 0.5 1 0.2 0.3
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五、模糊关系及其合成 例3：假如设身高 X {140,150,160,170,180} ，体重 Y {40,50,60,70,80} ，定义体重和身高的模糊关系为 R，则R是定义在笛卡儿积上的子集。有 ：
40 50 60 70 80
140
150 160
1
0.8 0.2
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五、模糊关系及其合成 3、模糊矩阵的合成
注： 合成运算只有当前一个模糊矩阵的列与后一个 模糊矩阵的行在同一个论域才适用。结果为以 前一个的行数和后一个的列数的矩阵。 与矩阵的乘法运算大致相同，只是把╳改成了 ∧，把＋改成∨。
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五、模糊关系及其合成 4、模糊关系 关系：描述两个元素是否有关联。常用 R 表示。 关系是建立在元素序偶对的基础上的。 模糊关系：描述元素间关联程度是多少。
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五、模糊关系及其合成
例：设有模糊集X，Y，Z分别为：
X {x1, x2 , x3 , x4}, Y { y1, y2 , y3}, Z {z1, z2 , z3}
R X Y , S Y Z
y1 R x1 0.5 x2 0 .7 x3 0 x4 1 y 2 y3 , 0 .6 0 .3 0 .4 1 0 .8 0 0 .2 0 .9
矩阵R即为集合X到集合Y上关于“喜爱”的映射关 系。
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五、模糊关系及其合成 例2：X，Y是定义在论域 U {1,5,7,9,20} 上的模糊集， R表示“X比Y大得多”的模糊关系。那么其关系 可以表示为：
0 (1,1) 0.5 (5,1) 0.7 R (7,1) 0.8 (9,1) 1 (20,1) 0 (1,5) 0 (5,5) 0 .1 (7,5) 0.3 (9,5) 0.95 (20,5) 0 (1,7) 0 (5,7) 0 ( 7,7 ) 0 .1 (9,7) 0 .9 (20,7) 0 (1,9) 0 (5,9) 0 (7,9) 0 (9,9) 0.85 (20,9) 0 (1,20) 0 (5,20) 0 (7,20) 0 (9,20) 0 (20,20)
不喜欢 特别喜欢 喜欢
喜欢 喜欢
讨厌
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五、模糊关系及其合成
若我们将“特别喜欢”、“比较喜欢”、“喜欢”、 “不喜欢”、“讨厌”对于集合“喜爱”的隶属 度分别为1、0.8、0.6、0.2、0，则上表可写成矩 阵形式：
0 0 .2 0 .6 1 R 0 . 8 0 . 6 1 0 . 6 0 .2 1 0 .6 0
0.5 1 , 0.7 0.1 0.8
0 .6 0 .5 R 0 . 4 1 0 .1 0 .9
0.2 0.4 0.1 0.2 0.5 0.9 0.4 0.9 0 . 6 0 . 1 0 . 1 0 . 5 0 . 1 0 . 8 0 . 6 0 . 8
S 0 . 6 0 . 8
0.7 0.4 0.5 0.3 0.7 0.5 RS 0 . 9 0 . 6 0 . 2 0 . 8 0 . 9 0 . 8
0.7 0.4 0.5 0.3 0.4 0.3 RS 0.9 0.6 0.2 0.8 0.6 0.2
z1 z2 S y1 0.2 1 y2 0 . 8 0 . 4 y3 0.5 0.3
求模糊关系 Q R S
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五、模糊关系及其合成
z1 z2 x1 (0.2 0.5) (0.6 0.8) (0.3 0.5) (1 0.5) (0.6 0.4) (0.3 0.3) x2 ( 0 . 2 0 . 7 ) ( 0 . 4 0 . 8 ) ( 1 0 . 5 ) ( 0 . 7 1 ) ( 0 . 4 0 . 4 ) ( 1 0 . 3 ) x3 (0 0.2) (0.8 0.8) (0 0.5) (0 1) (0.8 0.4) (0 0.3) x4 (1 0.2) (0.2 0.8) (0.9 0.5) (1 1) (0.2 0.4) (0.9 0.3)
0.8
1 0.8
0.2
0.8 1
0.1
0.2 0.8
0
0.1 0.2
170
180
0.1
0
0.2
0.1
0.8
0.2
1
0.8
0.8
1
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ห้องสมุดไป่ตู้16
五、模糊关系及其合成 该关系也可以写成下面的矩阵形式：
1 0.8 0.8 1 R 0 .2 0.8 0.1 0.2 1 0 0 0.8 0.2 0.1 1 0 .8 0 . 2 0.8 1 0 . 8 0 . 2 0 .8 1 0.2 0 .1
1 0.7 1 0.5 0.3 0.5 R 1 0 . 9 1 0 . 2 0 . 1 0 . 8
3
2.2 模糊集合论基础
五、模糊关系及其合成 2、模糊矩阵的运算：并，交，补
注： 维数相同的矩阵才能进行并、交运算。 并交运算可以推广到多个矩阵。 模糊矩阵是向量表示法的推广。
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五、模糊关系及其合成 3、模糊矩阵的合成 0.2 例：设有模糊矩阵： Q 求其合成运算。
(0.2 0.5) (0.5 1) (1 0.9) (0.2 0.6) (0.5 0.4) (1 0.1) S Q R (0.7 0.6) (0.1 0.4) (0.8 0.1) (0.7 0.5) (0.1 1) (0.8 0.9)
(1,1) (1,2) (1,6) (2,1) (2,2) (2,6) X Y ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 6 )
该关系R可以用下面的矩阵表示：
0 1 R 1 0 0 0 0 1 0
注：要注意模糊关系矩阵中各元素的顺序。
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五、模糊关系及其合成 5、模糊关系的合成
模糊关系的合成是指由第一集合和第二集合的模 糊关系、第二集合和第三集合的模糊关系得到第 一集合和第三集合之间的模糊关系的一种运算。
模糊关系的合成运算可由模糊矩阵的合成运算得 到。
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五、模糊关系及其合成 例2：或者将元素省略，写成：
0 0 0 0 0.5 0 0 0 R 0.7 0.1 0 0 0 0 . 8 0 .3 0 . 1 1 0.95 0.9 0.85 0 0 0 0 0
也可以写成书上的向量的形式。 注：要注意模糊关系矩阵中各元素的顺序。
1 R ( x, y) 0 ( x, y) R ( x, y) R
当X，Y是有限集，则可以用矩阵表示，该矩阵称 为R的关系矩阵。
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五、模糊关系及其合成
X Y 笛卡儿积上的关系 R 表 X Y {1,2,3,4,5,6} ， 例： 示 X Y ，那么论域笛卡儿积为:
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五、模糊关系及其合成 3、模糊矩阵的合成
R (rij ) ml ，其合成 定义：设有模糊矩阵 Q (qij ) nm ， S Q R ，其中S是 n l 的，且 运算为：
m
S (qij r jk )
j 1
1 i n,1 k l