一次函数的对称性专题-教师版

一次函数的对称性专题

1．关于一次函数21y x =-，21y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）

A ．关于直线y x =-对称

B ．关于x 轴对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线y x =对称

【答案】B

2．若一次函数(0)(0)y kx b x k =+≠≠与一次函数112y x =

+的图象关于x 轴对称，则一次函数y kx b =+的解析式为 ． 【答案】112y x =-- 3． ①函数24y x =--关于1y =对称的直线函数解析式为________________；

②函数24y x =--关于y x =对称的直线函数解析式为________________； ③一次函数y ax b =+的图象1L 关于直线y x =-轴对称的图象2L 的函数解析式是________________．

【答案】①26y x =+；②122y x =--；③1b y x a a

=+ 4．和直线53y x =-关于y 轴对称的直线解析式为__________________． 和直线2y x =--关于x 轴对称的直线解析式为__________________．

【答案】53y x =--；2y x =+

5．求一次函数21y x =+的图象关于原点对称图象的解析式．

【答案】解：直线21y x =+关于原点对称的解析式为21y x =-．

6．直线3y x =-与一次函数y kx b =+关于1x =对称，求k ，b ． 【答案】解：直线3y x =-与x ，y 轴交点分别为(3,0)，(0,3)-， ∴点(3,0)，(0,3)-关于直线1x =的对称点分别为(1,0)-，(2,3)-， ∴023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩

．

7．已知某一次函数的图象如图所示．

（1）求这个一次函数的解析式．

（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．【答案】解：（1）设一次函数的解析式为：y kx b

=+，据图可知：直线经过(0,3)和(2,0)两点

∴

30

02

b

k b

=+

⎧

⎨

=+

⎩

，

解之得：

3

3

2

b

k

=

⎧

⎪

⎨

=-

⎪⎩

，

∴一次函数的解析式为：

3

3

2

y x

=-+；

（2）该直线关于y轴对称的直线解析式为：

3

3

2

y x

=+．

8．因为一次函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠互为“镜子”函数．

（1）请直接写出函数32y x =-的“镜子”函数： ；

（2）如果一对“镜子”函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠的图象交于点A ，且与x 轴交于B 、C 两点，如图所示，若ABC △是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．

【答案】解：（1）根据题意可得：函数32y x =-的“镜子”函数：32y x =--； 故答案为：32y x =--；

（2）ABC ∆是等腰直角三角形，AO BC ⊥，

AO BO CO ∴==，

∴设AO BO CO x ===，根据题意可得：12162

x x ⨯=， 解得：4x =，

则(4,0)B -，(4,0)C ，(0,4)A ，

将B ，A 分别代入y kx b =+得：

404k b b -+=⎧⎨=⎩

， 解得：14k b =⎧⎨=⎩

， 故其函数解析式为：4y x =+，

故其“镜子”函数为：4y x =-+．

9．如图，一次函数33y x =-+的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB

为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒；

（1）如果点3P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，在第二象限内，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值；

（2）如果QAB △是等腰三角形并且点Q 在坐标轴上，请求出点Q 所有可能的坐标；

（3）是否存在实数a ，b 使一次函数33y x =-+和y ax b =+的图象关于直线y x =对称？

若存在，求出ab a b

+的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）如图，过点P 作PD x ⊥轴于D ， 点3(,

)P m 在第二象限内， 3PD ∴=，OD m =-， 令0y =，则330x -+=，

解得1x =，

令0x =，则3y =，

∴点(1,0)A ，(0,3)B ，

1OA ∴=，3OB =，

由勾股定理得，22221(3)2AB OA OB =+=+=， 30ABO ∴∠=︒，

AOB PDO AOPB PDOB S S S S ∆∆=+-四边形梯形，

111

)1()222m m =⨯-+⨯⨯-

=+，

∴四边形AOPB 的面积=； APB AOP AOPB S S S ∆∆=-四边形，

112=-⨯，

=+， 30ABC ∠=︒，

tan302AC AB ∴=︒=

122ABC S ∆∴=⨯=， APB ∆与ABC ∆面积相等，

=， 解得56m =-， 故，当APB ∆与ABC ∆面积相等时，56

m =-；

（2）①点A 是顶角顶点，AB 是腰时，2AQ AB ==， 若点Q 在x 正半轴，则123OQ AO AQ =+=+=， 若点Q 在x 轴负半轴，则211OQ AQ AO =-=-=，

若点Q 在y 轴负半轴，则OQ BO ==

∴点Q 的坐标为(3,0)或(1,0)-或(0,， ②点B 是顶角顶点，AB 是腰时，2BQ AB ==，

若点Q 在y 轴正半轴，则2OQ BO BQ =+=，

若点Q 在y 轴负半轴，则2OQ BQ BO =-= 若点Q 在x 轴负半轴，则1OQ AO ==，

∴点Q 的坐标为2)或2)或(1,0)-；