微积分(第五章)

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微积分(第五章)

1 sin x dx 2、 sin x(1 cos x) dx 4、 (2 cos x) sin x
dx 1、 1 3 sin x dx 3、 2 sin x cos x 5
§3 分部积分法
第二节
一、降次法
例1 求下列积分
分部积分法
1、 x cos xdx
2 x x 3、 e dx
2、 xe x dx
第五章不定积分
§3 分部积分法
二、转换法
例2
1、
求下列积分
x ln xdx
2、 x arctan xdx
3、 arcsin xdx
第五章不定积分
§3 分部积分法
三、循环法
x e sin xdx
例3
求
第五章不定积分
§3 分部积分法
四、递推法
例4
n I (ln x ) dx 的递推公式（其中 n 为正整求 n 3 (ln x ) dx 。
数，且 n 2 ），并用公式计算例5 求下列积分
3 sec xdx 1、
dx
2 2
a x dx 3、 3x 2 5、 x 1 x 2 dx
dx 7、 2 a x2
2、 4、
2 cos 2 xdx
6、
xe dx tan xdx
x2
dx 8、 2 x a2 dx dx arctanx 9、 e 10、 2 x(1 2 ln x) 1 x dx dx 11、 cos x sec xdx 12、 x ln x ln ln x
第五章不定积分
§1
§2 §3 §4
不定积分的概念、性质

微积分的应用雨中行走药物浓度水流问题最速降线

I sin 表示顶部的降雨强度。
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题，以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
16
2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以，t 并令 t取极0 限得
25
可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v，代入上式得 dt

微积分5-1

则
推论: 若
ki f i ( x)dx f ( x)dx i 1
n
微
积
分
三、基本积分表 (P142)
(1) (2)
利用逆向思维
k dx
kx C
1 x dx
C
( 1)
dx (3) ln x C x
( x) F ( x) C0 (C0 为某个常数) 即 ( x) F ( x) C0 属于函数族 F ( x) C .
故
微
积
分
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
— 积分号;
其中
— 被积函数;
(P140)
— 积分变量;
若则
— 被积表达式.
( C 为任意常数 )
x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 d x dx 2 1 x x arctan x ln x C
微
积
分
x4 dx . 例8. 求(1) 2 1 x ( x 4 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x dx 2 ( x 1) dx 1 x2
微
积
分
不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为的积分曲线 .
f ( x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
x0
x
微
积
分
说明: 1：区分原函数与不定积分 (1):原函数是一个函数必须可导，其导函数等于已知函数 (2):不定积分是全体原函数的集合，是函数族

专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件

第七节二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。（3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节多元函数、极限和连续第二节偏导数与全微分第三节二元函数的极值第四节二重积分的概念和性质第五节直角坐标系下二重积分的计算第六节极坐标系下二重积分的计算
可以证明，一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数，即多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数，多元函数的复合函数也是连续函数 .由此还可得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一）偏导数
1. 偏导数的定义
定义设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限

第五章微分的逆运算问题

第五章微分的逆运算问题——不定积分志立则学思从之，故才日益而聪明日盛，成乎富有。

——王夫之没有任何一门学问的学习，能象学习算术那样强有力地涉及到国内的经济、政治和艺术。

数学的学习，能够激励那些沉睡和不求上进的年轻人，促使他们发展智慧和增强记忆力，甚至取得超越自身天赋的进步。

——柏拉图本章简介由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线，和已知几何图形求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成微积分学的积分学部分。

前面已学习过已知函数求导数问题，本章考虑其反问题：已知导数求其原函数，即求一个位未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。

这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分。

§1 逆向思维又一例——原函数与不定积分提出问题已知曲线)(x f y =，求过任意点的切线的斜率（设斜率存在）。

显然，只要对)(x f y =求导即可。

反之，若已知曲线求过任意点的切线的斜率，如何求曲线的方程？即已知函数的导数，如何求已知函数。

学习过程1.1 原函数与不定积分的概念定义设函数)(x F 与)(x f 在区间I 上有定义。

若在I 上()()x f x F ='则称函数在区间I 上的原函数。

研究原函数必须解决的两个重要问题：⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？定理1 若函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F .定理2 设)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则⑴C x F +)(也是)(x f 的一个原函数，其中C 为任意常数；⑵)(x f 的任意两个原函数之间，相差一个常数.定义2 )(x f 在区间I 上的全体原函数称为)(x f 在I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(其中称⎰为积分号，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量.不定积分的几何意义若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x f y =的图象为的一条积分曲线。

牛莱公式

原式 = − lime
解: 原式 =
∴b = 0.
c ≠0 , 故 a =1. 又由
～
, 得 c = 1. 2
说明目录上页下页返回结束
例7.
证明只要证
在证:
内为单调递增函数 .
F′(x) > 0
x 0
x f (x)∫ f (t) dt− f (x)∫ t f (t) dt
0
x
( ∫0 f (t) dt )
d x, 因此
所以其中
In = In−1
机动
目录
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下页
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结束
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 定理若则变上限函数 y = f (x) y x Φ(x) = ∫ f (t) dt
a
Φ(x)
x ξ b x 证: ∀x, x + h∈[a, b] , 则有 x+ h x Φ(x + h) − Φ(x) 1 x+h = [∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt ] a h h a 1 x+h = ∫ f (t) dt = f (ξ) (x <ξ < x + h) h x
∫
x2
−x
e dt = ∫ 3
t
1
−x
e dt + ∫ e dt = ∫ et dt − ∫ 3
t t 1
x2
x2
− x3
1
1
et dt
d x2 t d x2 t d − x3 t ⇒ ∫−x3 e dt = dx ∫1 e dt − dx ∫1 e dt dx

微积分教学课件第5章不定积分第2节基本积分表

x dx 2
1
cos 2
x
dx
1 ( x sin x) C 2
(6)
1
dx sin
x
1 sin x dx
(1 sin x)(1 sin x)
1 sin x
cos2 x dx
(sec2 x secx tan x)dx tan x secx C
10
训练：求下列不定积分
(1) ( x2 1)2 dx ( x4 2x 2 1)dx 1 x5 2 x3 x C 53
11
1
( x2 1 x2 )dx x arctan x C
7
例3 求下列不定积分
(5)
x4 1 x2 dx
x4 11 1 x2 dx
( x2 1)( x2 1) 1
1 x2
dx
(x2
1
1 1 x2 )dx
x3 3
x arctan
xC
8
例4 求下列不定积分
三角恒等变形
ln
|
x
|
C
6
例3 求下列不定积分
(3)
( x2 1)
1 x2 2x dx
x2 1
(
2
) dx
x 1 x2
x
1 x2
( x 1 2 )dx 1 x2 ln | x | 2arcsinx C
x 1 x2
2
(4)
1 x2 (1
x2 ) dx
x2 1 x2 x 2 (1 x 2 ) dx
1 sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x dx
(sec2 x csc2 x)dx tan x cot x C

@@@微积分基础(国家开放大学)---第5章---第1节---积分的几何应用

y
y f ( x)
y
x
y f ( x)
o
a
b
oa
(2)
c
(3)
b
x
(1)
(1) S f ( x)dx
a c a c
b
(2) S f ( x)dx
a b c b a c
b
(3) S | f ( x)dx | f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A
x
2
2 32 1 x 3 1 2 1 1 x |0 |0 . 3 3 3 3 3
【总结提升】
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
1
x
x x ( x ) ( x) 3 3 1
3
2
3
8 . 3 1
1
5.如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
y＝2x，由方程组 2 y ＝ x ，
解
可得 x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为
x dx＝x S＝ 2xdx －
2 2 2 22 0
曲边形面积的求解思路
y
A 0 a bX a
1
A2 b a b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b
(a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

第五章范数及其应用

且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：
(1) (正定性 )
(2) (正齐性 )
|| x || 0;
x || x || 0
|| x || | | || x || ; ( F )
（3）(三角不等式) ||x y|| ||x|| ||y|| ，x、y V
i
例 10 计算向量
α = (3i, - 4i, 0, - 12)T
的p范数，这里 p = 1, 2,
.
解：
|| α ||1 =
å
4
| xk | = | 3i | + | - 4i | + | - 12 | = 19.
k
k= 1
|| α ||¥ = max | xk | = max(3, 4, 0,12) = 12.
D( x , y) ? || x
y ||2 =
( x - y)T ( x - y)
其他距离测度还包括
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
d ( x , y) ? ( x
2
这里
y) Σ ( x - y) ,
T - 1 T
x, y
是从正态总体
N ( μ, Σ) 中抽取的两个样本。
例 14 对任意
定义的 || ||1 是 F n 上的向量范数，称为1-范数或 l1 范数或和范数，也被风趣地称为Manhattan范数。
B
A
C
遗憾的是，当
0 p1
时，由
2 1/ p
骣 p || x || p º 琪 | x | 琪 å i 琪琪桫
i= 1
定义的 || || p 不是 F n 上的向量范数。因为

高等数学微积分第五章一元函数积分学(版本2)

例6 求 tan x 2 xdx.

解

tan x 2 xdx (sec 2 x 1)dx sec 2 xdx dx tan x x c

例7 求

dx . 2 2 sin x cos x
解

dx sin 2 x cos 2 x dx 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
定义1 设函数F (x)与f ( x)定义在同一区间内,并且对该区间内任一点,都有F '(x) f (x)或dF (x) f ( x)dx.那么函数F ( x)就称为函数f ( x)在该区间内的原函数. 定理1 (原函数族定理) 如果函数f ( x)在某区间内有一个原函数F ( x),那么它在该区间内就有无限多个原函数,并且原函数, 并且原函数的全体由形如F (x) c的函数组成(其中c是任意常数).
2 2
一般地，若不定积分被积表达式能写成
恒等变形 g ( x)dx
f ( x) '( x)dx f ( x) d ( x) f (u )du F (u ) c g ( x)dx F ( x) c

1 dx. 2 2 a x 1 1 1 1 1 x dx 2 dx d 解 2 a a2 x2 a x2 x a 1 2 1 a a 1 x arctan c. a a 例4 求

类似地, 可以得到

x dx arcsin c. a a2 x2
(9) sin xdx cos x c;
2

微积分(经管类)第五章答案

微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质一、1、∑=→∆ni iixf 1)(limξλ；2、被积函数,积分区间,积分变量；3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和；4、⎰ba dx ；5、⎰⎰+bc cadx x f dx x f )()(；6、b a a b M dx x f a b m ba<-≤≤-⎰,)()()(；7、⎰badx x f )( ⎰-=a bdx x f )(；8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、⎰-231cos xdx .四、略。

五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。

5.2. 微积分基本定理一、1、0；2、)()(a f x f -；3、)1ln(23+x x ；4、65； 5、(1)ππ,；(2)0,0；6、(1)0； (2)0。

7、;6145 8、6π； 9、1. 二、1、1sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2x x x π⋅-； 3、2-.三、 1、852； 2、3π； 3、14+π； 4、4.四、1、0； 2、101.五、略。

六、335π, 0. 七、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=ππφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(.5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、323π； 5、0.6、e 21-； 7、)1(412+e ； 8、23ln 21)9341(+-π. 二、1、41； 2、3322-； 3、1-2ln 2； 4、34；5、22；6、8π；7、417；8、2ln 21； 9、1-e .10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e-； 12、212ln -；13、2ln 33-π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。

微积分(I)复习(不定积分与定积分)

7） b f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
8）估值定理
若m f ( x) M ,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
9）中值定理
若f ( x) C[a, b], 则存在 [a, b],
使得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
10）广义中值定理
若f ( x) C[a, b], g( x) R[a, b]且在[a, b]
上不变号, 则存在 [a, b], 使得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx .
(四)变上限定积分
x2 a2 dx.
x
解令 x asec t, 则
原式

a tant asec t

asin t cos2 t
dt

a
sin 2 t cos2 t
dt

a
tan 2
tdt
a (sec 2 t 1)dt a sec2 tdt dt
a d tant dt a tant at C
限值为f ( x)在[a, b]上的定积分，记作
b
n
a
f ( x)dx

lim
0 k1
f (k )xk
此时称f ( x)在[a, b]上可积.
2.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.

高等数学第五章微积分基本公式

F(x) = ∫a f (t)dt + ∫b f (t)
练习题答案
一、1、0； 2、
； 3、
；
4、； 5、(1) ； (2)0,0；
7、
8、；
9、1.
二、1、
；
2、
3、
三、 1、； 2、； 3、
；； 4、 . ； 4、4.
四、1、0；
2、 .
六、 , 0.
七、
.
⎧0 , x < 0
⎪⎪1
e d π
∫dx ⎜ ∫ I1
=， cos −π
mxa⋅ cos
nxdx
,
⎝ π
sin m x ⋅ sin nxdx
（1）、当（2）、当 6、设（1）、当（2）、当 7、
8、
时， =__ , =_____ ，时， =___ , =_____ .
时， =____ , 时， =_____ .
前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果是连续函数的一个原函数，则
在区间上 .
证
已知是的一个原函数，
∵ 又
也是
的一个原函x数,
Φ ( x ) = ∫ f ∴ F( x) − Φ( x) = C x ∈[a,b]
_____ . _____ .
9、
________ .
二、求导数： 1、设函数
由方程
定，求；
2、设
,求；
3、 4、设
；
，求

课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第5章多元微积分

+
3
lim
= (1,2) = .
→1
2
→2
二元函数连续性概念, 类似地可以推广到二元以上的函数.
第一节多元函数的基本概念
三、偏导数
1.偏导数的定义与计算
定义 4 设二元函数 = (, ) 在点 0 , 0 及其附近有定义, 当固定在 0 , 而在 0 处有改变量 Δ 时,
directories
目
录
第五章多元函数微分学
• 第一节二元函数与偏导数
• 第二节二元函数的极值
第六章多元函数微分学
学习重点
学习多元函数及多元函数的微分与积分的问题；遵循与一元函数相同的
分析思路，重点学习二元函数的极限、连续及其微分学.
第一节多元函数的基本概念
一、二元函数的概念
在实际生活中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系.例如，矩形面积S与它的长x、宽y之间具
解先求偏导数
2
(, ) = e ⋅ 2
2
(, ) = e ⋅ 2
把点 (0,1) 代人上式得
2
(0,1) = 2 e ቚ
(0,1)
′

′

= 2 e
2
= 2e
2
2
= 1, (0,1) = 2e ቚ
(0,1)
= 0.
元函数类似, 二元函数具有如下性质:
(1) 二元连续函数的和、差、积、商 (分母不为零) 仍为连续函数;
(2) 一切二元初等函数在其定义域内是连续的;
(3) 在有界闭区域上的二元函数有最大值和最小值.
例 2 求 lim→1
→2
+
.

第二节微积分基本公式

上可导, 设 α ( x ) 在 [a, b] 上可导, 则
d α( x) ∫a f (t ) dt = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
证设 Φ( x) =
∫
x
a
则 f (t )dt ， ∫a
α ( x)
f (t) dt = Φ[α(x)]，
d α ( x) 所以 ∫a f (t ) dt = Φ′[α( x)]⋅α′( x) = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
例2 设 f ( x ) 为连续函数, F ( x ) = 为连续函数,
∫
ln x 1 x
f ( t ) dt , 则
1 1 1 F ′( x ) = f (ln x ) ⋅ ( ) − f ( ) ⋅ ( − 2 ) x x x
1 1 1 = f (ln x ) + 2 f ( ) . x x x
1 0
F (1) = 1 − ∫ f ( t ) dt = ∫ [1 − f ( t )] dt > 0, 0
由零点定理可知，由零点定理可知，F (x) 在 (0,1) 内至少有一个零点；内至少有一个零点；另一方面，Q f ( x ) < 1, ∴ F ′( x ) = 2 − f ( x ) > 0 , 另一方面，
上连续，且例6 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， f ( x ) < 1 .证明方程
2 x − ∫ f ( t ) dt = 1 在 [0,1] 上只有一个实根 .
0
x
证
令 F ( x) = 2 x −
1
∫
x 0
f ( t ) dt − 1 , F ( 0 ) = − 1 < 0 ,

微积分课后习题答案第五章

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x ;(2) 2⎰x ; (3)3e x x⎰d x ； (4) 2cos 2x⎰d x ； (5) 23523x xx⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin xx x x ⎰.解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.注意此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33PQ P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);(9)= d(1-arcsin x ); (10)= d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx +=d(arctan );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d dd d d dd d d d d d d d d d de e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d dd x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分： (1)5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ; (3)d 12xx -⎰; (4)(5)t ; (6)d ln ln ln xx x x ⎰;(7)102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) ⎰; (11)de e x x x-+⎰; (12)x ;(13) 343d 1x x x-⎰; (14) 3sin d cos xx x ⎰;(15)x ; (16) 32d 9x x x +⎰; (17)2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰; (21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2x x x ⎰; (23)sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tansec d x x x ⎰;(25)x ; (26);(27)ln tan d cos sin xx x x ⎰; (28)21ln d (ln )xx x x +⎰;(29)2,0x a >; (30)(31)d xx⎰; (32)(33); (34),0x a >;(35)x ; (36) x ; (37)2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38) (1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令xt e =). 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin 111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Ct t C x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C C x x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln 1(11)()arctan 11()11(12)631333(13)14d d e d d e e e e e e d x x xx xx x Cx x C x x xCx x x -==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)1218)23812d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)d x x x -+--⎰12arcsin 23x C =3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx +-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224C Cx x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω=-+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x=+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅. (35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.(36)2d x x x ==12(1)ln12d xx Cxx=+=+++⎰由被积函数知x≤-2或x>0,令1xt=,当x>0时,(此时t>0)221222211222(12)(12)2.d dddx t tt ttt t CC C Cxx--==-=-=-++=-=-=-+=-+⎰当x≤-2时,此时12t-≤<221233311222(12)(12).d ddx t tt ttt t t CC C Cx--==-==++===+=+⎰综上所述:原式= ln1Cx+.(37)2222sec sec11()(1tan)1tan(1tan)(1tan)1tand d dx xx x x C x x x x==+=-+ ++++⎰⎰⎰.(38)令e x=t,则x=ln t,d x=1td t.11ln1111(ln)(ln)(1)ln(1ln)ln(1ln)ln1ln11(ln)(1ln)ln lnln1lnln1lnln ln ln ln ln ln111d d d ded dee e ee xxx x xx x tx t t t t t x x t t t t t t t t t t t tt t t t Ct t t tt t t txC C x Cxx x xx ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin dx x x⎰; (2) e d x x x-⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) ecos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xx x -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2e d t t t -⎰; (8)2(arcsin )d x x ⎰; (9)2e sin d x x x ⎰;(10) x ⎰;(11)cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰;(13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2x x x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰;(17)2cot csc d x x x x ⎰; (18)22(1)e d xx x x +⎰; (19)1(ln ln )d ln x x x+⎰; (20)e ln(1e )d x x x +⎰; (21) 23sin d cos x x x ⎰;(22)22ln(d (1)x x x x +⎰; (23)2e d (1)x x x x +⎰; (24)arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x x x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x Cx x x x x x xx x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+ 2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d de e e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d e e e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C +=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰ 2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x x x xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰. 22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x x x x x x =-++=+++=-++⎰⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t dt21131sec cos sin sec d d d t t t t t C C t =⋅==+=+⎰⎰ ∴原式=2ln(2(1)x C x +. 211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 322(24)(1)e e d e xx xx x x x x ==+⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 322(1)e 1e e e x x x x xx x =-=+⎰于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =++⎰.习题5-4求下列不定积分：(1) 21d 1x x +⎰; (２)5438d x x x x x +--⎰;(３)sin d 1sin xx x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x xx x xx x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注本题亦可用万能代换法(4)令tan2xt =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t--=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。

微积分(第五章)