郑012 1.7定积分导学案2013-14高二下数学2-2
高二数学定积分的概念 学案选修2-2
高二数学选修2-2 定积分的概念 学案【学习目标】1. 了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分;2. 了解定积分的几何意义及性质. 【复习回顾】1.用四步曲--------------------------求得曲边梯形得面积S=____________________________2.用四步曲求得变速运动得路程S=_____________________________. 【知识点实例探究】 例1. 函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上得定积分,记做⎰∑=∞→-=bani i n f nab dx x f 1(lim )(ξ),定积分的几何意义是:______________________________-__________________________________________________________________________-.例2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么?(4)1(2122333+=+++n n n )(1) ⎰13dx x (2)⎰-013dx x(3)⎰-113dx x (4)⎰-213dx x例3.利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-121的大小.例4.利用定积分的定义,证明a b dx ba-=⎰1,其中b a ,均为常数且b a <.【作业】1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰badx x f )(的符号________A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π230sin 相等的是_________A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdxC.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx3. 定积分的⎰badx x f )(的大小_________A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 4. 下列等式成立的是________ A.a b dx ba-=⨯⎰0 B.21=⎰baxdxC.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+bab a xdx dx x )1(5. 已知⎰ba dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f ba ⎰=badx x g 10)(,则⎰badx x f )(=______________7. 已知,3)(20=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 26)(___________8. 计算dx x 21031⎰9. 计算dx x 316⎰10.课本56页B 组.3。
高中数学 第七课时 定积分的简单应用(二)教案 北师大版选修2-2
第七课时 定积分的简单应用（二）3.1平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。
二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）练习 1．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ）A ．6B ．4C ．3D ．2 2．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x等于（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰． ∴22()22(1)1f a aa a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负。
（二）、新课探析 例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ） A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b ag x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2+ 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
[最新]人教版高中数学选修2-2导学案：1.7.1定积分在几何中的应用[WORD版可编辑]
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1.7.1定积分在几何中的应用【学习目标】1.进一步理解定积分的几何意义.2.了解应用定积分解决几何问题的思想方法.3.能应用定积分解决一些简单的几何问题. 【新知自学】知识回顾：1.定积分的几何意义是_____________________________________________.2.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间b a,上的连续函数，并且，)()(x f x F ，那么dx x f b a )(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．即()()|bb a a f x dx F x ________________________．3.定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为_______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于______ 的曲边梯形的面积．4.定积分的三个性质(1)a bkf(x)dx ＝；(2)a b[f 1(x)±f 2(x)]dx ＝(3)a bf(x)dx ＝a c f(x)dx ＋c b f(x)dx(其中a<c<b)．新知梳理：1.若函数错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上连续且在错误！未找到引用源。
上有错误！未找到引用源。
,。
郑011 1.6微积分基本定理导学案2013-14高二下数学2-2
f′(3x)dx＝(
a
A．f(b)－f(a)
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;
C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬
答案
题型一：用微积分基本定理求简单函数的定积分 1、
C．－cosx 4.答案 A 解析 F(x)＝
D．－sinx
x
costdt＝sint
0
6
x ＝sinx－sin0＝sinx. 0
(2x－4)dx＝16－4＝12.
0
所以 F′(x)＝cosx，故应选 A. ) B．f(3b)－f(3a) D．3[f(3b)－f(3a)]
b
f′(3x)dx＝(
a
2013-14 高二数学选修 2-2 导学案 011 编制人:郑淑芬 课题 学习 目标 重点 难点 §1.6 微积分基本定理 课时 1 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），了解牛 顿-莱布尼兹公式 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的 关系），直观了解微积分基本定理的含义 学习流程 [知识链接]： （1）定义表达式：
sin xdx的几何意义？
③当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取____值， 且等于_______________面积；
问题 3：① 求 ②
2
0
sin xdx ______________ .
2
0
sin xdx的几何意义？
3 1 2. （ - 2 sin 0
③当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲 边梯形面积时，定积分的值为_____ ，且等于_________________ _______________________面积．
高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第四章 定积分(第2讲)
（2） 为奇函数，
五、即学即练
1.(1)解：由 得 其图像是圆心为原点，半径为1的圆的 部分，
（2）由函数 的图像的对称性可知 ；
（3） 在 上是奇函数，且区间 关于原点对称，
练案
组
1. 2. 3. 4. 5.
组
1.（1）解： ， 表示 与 轴围成的半圆面积，所以 = ，又 ，
（2） ， ，
（3）
1.定积分的几何意义
(1)如图，若在区间 上函数 连续且恒有 ，那么定积分 表示
由和曲线所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分 的几何意义。
(2)一般情况下，定积分 的几何意义是介于 轴、函数 的图形以及直线 之间，在 轴上方的面积取，在 轴下方的面积取．
2.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
高二年级数学学科导学案
课题：定积分（第2讲）
[学习目标]借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义.
【重点难点】定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．
【教学方法】多媒体教学
【教学课时】1课时
【教学流程】
■自主学习（课前完成，含独学和质疑）
性质1:
性质2:
性质3:
性质4: （定积分对积分区间的可加性）
说明：
1推广：
2
②推广:
■合作探究（对学、群学）
例1.利用几何图形表示下列定积分
（1） ；（2）
例2.用定积分表示出下列曲线围成的平面区域的面积
（1） ；（2）
例3.利用定积分的几何意义求下列各式的值
（1） ；（2） ；（3）
课堂训练
高中数学《定积分在几何中的应用》导学案
1.7.1定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f(x)>0时，b f(x)d x□01>0，所以S＝□02⎠⎛a b f(x)d x；⎠⎛a(2)如图②，当f(x)<0时，b f(x)d x□03<0，所以S＝⎠⎛ab f(x)d x| ＝□04－⎠⎛a b f(x)d x；|⎠⎛a(3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)<0，c f(x)d x□05<0；当c≤x≤b时，f(x)>0，⎠⎛ab f(x)d x□06>0，所以S＝| ⎠⎛ac f(x)d x| ＋⎠⎛c b f(x)d x＝□07－⎠⎛a c f(x)d x＋□08⎠⎛c b f(x)d x；⎠⎛c(4)如图④，在公共积分区间[a，b]上，当f1(x)>f2(x)时，曲边梯形的面积为S＝b[f1(x)－f2(x)]d x＝□09⎠⎛a b f1(x)d x－⎠⎛a b f2(x)d x.⎠⎛a求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置．第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)由曲线y＝e x，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于________．(2)曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积为________．(3)抛物线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积是________． 答案 (1)e 4－e 2 (2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[解] 由⎩⎨⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)． 设所求图形的面积为S ，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．【跟踪训练1】 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S.解 作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． [解] 解法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3 综合问题例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)在切点A 的切线方程．[解] 如右图，设切点A(x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为 y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】已知抛物线y＝－x2a＋2x(a>0)，过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的封闭图形的面积，求l的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时：(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2 答案 A解析 画出曲线y ＝1x (x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积．所以S ＝⎠⎛121x d x ＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712 答案 A解析 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.3．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 答案 18解析 图形面积为S ＝⎠⎛032x 2d x ＝2⎠⎛03x 2d x ＝23x 3|30＝18.4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值是________．答案1－3 4 25．如图，求由曲线y＝e x，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积S.A级：基础巩固练答案 B解析 如图，x 轴下方与上方的面积相等．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)，2cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C.12 D ．4 答案 D答案 D4．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14 B.15C.16 D.17答案 C5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝x ，x ＝4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A.3132 B.2316 C ．ln 4＋12 D ．ln 4＋1答案 C解析 作出曲线y ＝1x ，直线y ＝x ，x ＝4的草图，所求封闭图形的面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝1x ，得曲线y ＝1x 与直线y ＝x 的交点坐标分别为(1,1)和(－1，－1)(舍去)，解方程组⎩⎨⎧x ＝4，y ＝1x ，得直线x ＝4与曲线y ＝1x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14.故阴影部分的面积(记为S)由两部分组成：一部分是直线x ＝1左边图形的面积(记为S 1)，另一部分是直线x ＝1右边图形的面积(记为S 2)．则S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛141x d x ＝12x 2|10＋ln x|41＝ln 4＋12.6．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如右图所示阴影部分)的面积S 的最小值为( )A.14B.13C.12D.23答案 A解析 阴影部分的面积S ＝t 3－⎠⎛0t x 2d x ＋⎠⎛t 1x 2d x －(1－t)t 2＝43t 3－t 2＋13，可得S ′＝4t 2－2t .令S ′＝0，得t ＝12或t ＝0(舍去)，可判定当t ＝12时S 最小，S min ＝14，故选A .二、填空题7．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围成图形的面积是________． 答案 188．曲线C：y＝e x在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C，直线l，y轴围成的图形面积为________．答案e2－19．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．答案4 3解析解法一：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)．由对称性可知面积三、解答题10．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．B 级：能力提升练11．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．解 作出y ＝x 2－2x 的图象，如图所示． ①当a <0时，S ＝⎠⎛a0(x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1. ②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时， 若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a >0，∴a ＝2.若a >2，显然有S>43，故不符合题意． 综上，a ＝－1或2.12．如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，记直线OP 与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 1，直线OP 、直线x ＝2与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2取最小值时，求点P 的坐标及其最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t(0<t<2)，则点P 的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝t x .S 1＝⎠⎛0t (t x －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－t x )d x ＝83－2t ＋16t 3，因为S 1＝S 2，所以16t 3＝83－2t ＋16t 3，解得t ＝43， 故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.(2)令S ＝S 1＋S 2，由(1)知，S ＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， 则S ′＝t 2－2，令S′＝0，得t2－2＝0，因为0<t<2，所以t＝2，又当0<t<2时，S′<0；当2<t<2时，S′>0；故当t＝2时，S1＋S2有最小值，最小值为83－423，此时点P的坐标为(2，2)．。
郑013 1.7.2定积分导学案(含答案)2013-14高二下数学2-2
20
2 20 |0
2440=6720(m),则从 C 到 D 的时间为 280(s), 则所求时间为 20+280+20=320（s） 。
5．设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且
f′(x)＝2x＋2.
(1)求 y＝f(x)的表达式； (2)若直线 x＝－t(0＜t＜1)把 y＝f(x)的图象与两坐标轴所 围成图形的面积二等分，求 t 的值． [解析] (1)设 f(x)＝ax ＋bx＋c(a≠0)， f′(x)＝2ax＋b， 则 又已知 f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2， ∴f(x)＝x ＋2x＋c. 又方程 f(x)＝0 有两个相等实根． ∴判别式 Δ ＝4－4c＝0，即 c＝1. 故 f(x)＝x ＋2x＋1. (2)依题意有－t(x ＋2x＋1)dx＝0－t(x ＋2x＋1)dx，
例 5．如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡 位置 lm 处，求克服弹力所作的功． 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ） 与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数． 由变力作功公式，得到
姓名: [答案] D [解析]
3
度为 24m/s， C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶， D 点开始刹车， 从 从 经 ts 后，速度为（24-1.2t）m/s，在 B 点恰好停车，试求 （1）A、C 间的距离； （2）B、D 间的距离； （3）电车从 A 站到 B 站所需的时间。
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;
3 3 2
1 3 2
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(整理)定积分的简单应用导学案.
定积分的简单应用导学案学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013－3－15编写人：邓朝华审核人：陈平班级：姓名：【导案】【学习目标】1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。
2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。
3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。
【学习重难点】重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。
难点：将实际问题化归为定积分的问题。
【学案】1．计算平面图形面积的一般步骤在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助________________直观确定出____________________以及积分的____________。
2．变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________.3．变力作功（1）恒力F的作功公式一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。
（2）变力F(x)的作功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。
4．例题分析【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。
【例2】计算由直线y=x-4，曲线x轴所围图形的面积S.【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。
求汽车在这1min行驶的路程。
【例4】如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所做的功。
5．达标检测教材P58 练习P95 练习P60 习题A组B组定积分的简单应用练案（一）学科：数学编写人：邓朝华审核人：陈平编写时间：2013.3.15班级：姓名：评分：1. 求由抛物线y2=8x(y＞0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 定积分在几何中的应用
1．7.1 定积分在几何中的应用（结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f (x )d x .2．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f (x )d x .3．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .(如图)【合作探究】 类型一 求不分割型图形的面积例1 试求曲线y ＝x 2－2x ＋3与y ＝x ＋3所围成的图形的面积．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．类型二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0所围成，则其面积为________．(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．类型三定积分的综合应用例3在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．跟踪训练3如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.2.……………【小结作业】小结：作业：对应限时练。
高中数学 第七课时 定积分的简单应用(二)教案 北师大版选修2-2
第七课时 定积分的简单应用（二）3.1平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。
二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）练习1．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负。
（二）、新课探析 例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ） A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cbacg x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bbacf xg x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]bag x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2+ 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32 （三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
人教版数学高二郑州 《定积分的概念》 精品导学案
例1.函数 在区间 上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.
上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 在区间 上得定积分,记做 ),定积分的几何意义是:______________________________-
__________________________________________________________________________-.
2.与定积分 相等的是_________
A. B.
C. - D.
3.定积分的 的大小_________
A.与 和积分区间 有关,与 的取法无关.
B.与 有关,与区间 以及 的取法无关
C.与 以及 的取法有关,与区间 无关
D.与 以及 的取法和区间 都有关
4.下列等式成立的是________
A. B.
例2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么?( )
(1) (2)
(3) (4)
例3.利用定积分的几何意义说明 的大小.
例4.利用定积分的定义,证明 ,其中 均为常数且 .
【作业】
1.设连续函数 ,则当 时,定积分 的符号________
A.一定是正的B.一定是负的
C.当 时是正的D.以上都不对
C. D.
5.已知 =6,则
6.已知 ,则 =______________
7.已知 则 ___________
8.计算
9.计算
10.课本56页B组.3
1.5.3定积分的概念
【学习目标】
1.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分;
------------------------求得曲边梯形得面积S=____________________________
步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教A版选修2-2定积分在几何中的应用
(1)根据题意画出图形；
本 (2)找出范围，确定积分上、下限；
课
时 (3)确定被积函数；
栏 目
(4)将面积用定积分表示；
开 (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
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6
研一研·问题探究、课堂更高效
1.7.1
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图
形的面积．
解 由yy＝ ＝x－2－x＋4 2
栏 目
由y′＝2x，过点A的切线方程为
开 y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x20， 令y＝0，得x＝x20，即C(x20，0)，
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14
研一研·问题探究、课堂更高效
1.7.1
设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC，
∵S ＝ x0 曲边△AOB 0
解 由yy2＝＝xΒιβλιοθήκη 2， 得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
本 因此，所求图形的面积为
课 时
S＝S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD
栏 目
＝ʃ
1 0
xdx－ʃ 10x2dx
开
＝2 3
3
x2
|10－13x3|10
＝23－13＝13.
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1.7.1
5
研一研·问题探究、课堂更高效
1.7.1
小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
曲边梯形面积的问题.
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2
填一填·知识要点、记下疑难点
1.7.1
1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y
本
＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝__ʃ ba_f_(x_)_d_x_.
高中数学 1.7 2定积分的概念教案 新人教A版选修22
2013年高中数学 1.7 2定积分的概念教案 新人教A 版选修2-2一、定积分的实际背景 1. 曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：曲边梯形面积的确定步骤：(1)分割 任取分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间[1x , 2x ](1,2,,)i n =L .OMP QNB xC A A 0 x 1x 2xxnOxyy = f (x )推广为小区间长度记为 1(1,2,,);i i i x x x i n -∆=-=L(2) 取近似 在每个小区间[1,i i x x -]上任取一点 i ξ竖起高线()i f ξ,则得小长条面积i A ∆的近似值为()i i i A f x ξ∆≈∆ (1,2,,i n =L );(3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值11221()()()()nn n i i i f x f x f x f x ξξξξ=∆+∆++∆=∆∑L ;(4)取极限 令小区间长度的最大值{}1max i i n x λ≤≤=∆ 趋于零,则和式1()niii f x ξ=∆∑的极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即01lim().niii A f x λξ→==∆∑2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度()v v t =是时间间隔[12,T T ]上的连续函数，且()v t ≥0，要计算这段时间内所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似：(1)分割 任取分点101212n n T t t t t t T -=<<<<<=L ，把 [12,T T ]分成 n 个小段，每小段长为 1i i i t t t -∆=- （1,2,,i n =L ）;(2)取近似 把每小段[ 1,i i t t -]上的运动视为匀速，任取时刻[]1,i i i t t ξ-∈，作乘积()i i v t ξ∆，显然这小段时间所走路程 i s ∆可近似表示为 ()i i v t ξ∆（1,2,,i n =L ）;(3)求和 把n 个小段时间上的路程相加，就得到总 路程s 的近似值，即 1()niii s v t ξ=≈∆∑;(4)取极限 当 {}1max 0i i nt λ≤≤=∆→ 时，上述总和的极限就是s 的精确值，即1lim ()ni i i s v t λξ→==∆∑.二、定积分的概念 定义 设函数()y f x =在[,]a b 上有定义，任取分点123a x x x =<<<L 1n n x x -<<b =,分[,]a b 为n 个小区间1[,]i i x x -(1,2,,)i n =L .记{}11(1,2,,),max ii i i i nx x x i n x λ-≤≤∆=-==∆L ,再在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点 i ξ，作乘积()i i f x ξ∆ 的和式：1(),niii f x ξ=∆∑如果0λ→时,上述极限存在（即，这个极限值与 [,]a b 的分割及点i ξ的取法均无关），则称此极限值为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为1()d lim (),nb i i ai f x x f x λξ→==∆∑⎰其中称()f x 为被积函数,()d f x x 为被积式，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，,a b 分别称为积分下限和上限.定积分定义的说明：(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：11220d d x x t t =⎰⎰ .一般地，()d ()d b baaf x x f t t =⎰⎰.(2)定义中要求积分限 a b < ，我们补充如下规定： 当 a b = 时，()d 0b a f x x =⎰,当 a b > 时，()d ()d b aab f x x f x x =-⎰⎰ .(3)定积分的存在性：当()f x 在 [,]a b 上连续或只有有限个第一类间断点时, ()f x 在[,]a b 上的定积分存在（也称可积）.三、定积分的几何意义 如果 ()0f x > ，则()d 0b af x x ≥⎰, 此时()d b af x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形的面积A ，即()d b af x x A =⎰.如果()f x ≤0，则()d 0b af x x ≤⎰， 此时()d b af x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b==xOyab Ay =f (x )xOya b-Ay =f (x )及 x 轴所围成的曲边梯形的面积A 的负值，即()d b a f x x A =-⎰. 如果()f x 在[,]a b 上有正有负时，则()d baf x x ⎰表示由曲线()y f x =，直线,x a x b ==及 x 轴所围成的平面图形的面积位于x轴上方的面积减去位于x 轴下方的面积，如右图所示，即123()d .b af x x A A A =-+⎰四、定积分的性质性质1 函数的代数和可逐项积分，即[()()]d ()d ()d b b baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.性质2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面，即()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰（k 为常数）.性质3 （积分区间的分割性质） 若 a c b <<，则()d ()d ()d b c baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.注：对于 ,,a b c 三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，譬如：a b c << ，则()()()()()c b c b baabacf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =+=-⎰⎰⎰⎰⎰,仍有()d ()d ()d .b c baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰性质4 （积分的比较性质） 在[,]a b 上若()f x ≥g (x )，则()d b af x x ⎰≥()d bag x x ⎰.性质5 （积分估值性质） 设M 与m 分别是()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，则 ()m b a -≤()d b af x x ⎰≤()M b a -.证 因为 m ≤()f x ≤M （题设），由性质4得d b am x ⎰≤()d b af x x ⎰≤d baM x ⎰，再将常数因子提出，并利用d b ax b a =-⎰， 即可得证.性质6 （积分中值定理） 如果()f x 在[,]a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰.证 将性质5中不等式除以 b a -，得 m ≤1()d b af x x b a -⎰≤M .) ( x f y = 1 A 2 A3 AO abxy+ + -设1()d b af x x b a μ=-⎰,即m M μ≤≤.由于()f x 为[,]a b 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值（这就是连续函数的介值定理）.因此在[,]a b 上至少有一点 ξ，使得()f ξμ=，即1()d (),b a f x x f b aξ=-⎰ ()d ()().b af x x f b a ξ=-⎰例 估计定积分211ed x x --⎰的值.解 先求 2()e x f x -=在[-1,1]上的最大值和最小值. 因为2()2e x f x x -'=-,令()0f x '= ，得驻点 x =0 ，比较 ()f x 在驻点及区间端点处的函数值(0)e 1,f == 11(1)(1)e ef f --===, 故最大值 1M =, 最小值 m =1e. 由估值性质得，2e≤211e d x x --⎰ ≤2 .第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈ [,]a b ，于是积分()d x af x x ⎰是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成 t ，于是这个积分就写成了()d x af t t ⎰.当x 在[,]a b 上变动时，对应于每一个 x 值,积分()d xaf t t ⎰ 就有一个确定的值，因此()d x af t t ⎰是变上限 x 的一个函数，记作 ()Φx =()d xaf t t ⎰（ a ≤x ≤ b ）通常称函数()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分()Φx =()d xaf t t ⎰在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d xaΦx f t t f x x '==⎰（ a ≤x ≤ b ）.推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d xaf t t ⎰即为其原函数.例1 计算()Φx =20sin d x t t ⎰在x =0 ,π2处的导数. 解 因为20d sin d d xt t x ⎰=2sin x ,故 2(0)sin 00Φ'==；ππ2()sin 4Φ'==. 例 2 求下列函数的导数： (1)e ln ()d (0)x atΦx t a t=>⎰； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e xu =，所以按复合函数求导法则，有d d ln d(e )ln e (d )e d d d ex x u xx a Φt t x x u t x ===⎰. (2)21sin ()d (0)x Φx x θθθ=>⎰.解 21d d d d d x Φx x θθθ=-⎰22sin ()xx θθ='=2sin 2sin 2x xx x x=-⋅=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰.证 由定理1知，变上限积分 ()()d x aΦx f t t =⎰也是()f x 的一个原函数，于是知y)( x f y = xOxab )( x φ0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0()d ()xaf t t F x C =+⎰.我们来确定常数 0C 的值，为此，令 x a =，有0()d ()a af t t F a C =+⎰，得0()C F a =-. 因此有()d ()()x af t t F x F a =-⎰.再令x b =，得所求积分为()d ()()b af t t F b F a =-⎰.因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x 表示积分变量，即得()d ()()b af x x F b F a =-⎰,其中()()F x f x '=.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：()d ()()()b b a af x x F x F b F a ==-⎰.例1 求定积分： (1)2211d ()x x x +⎰； （2）2312(1)x x -⎰ ；（3）12d x x -⎰.解 （1）222221111d (2)d ()x x x x xx=+++⎰⎰23115(2)436x x x =+-=.（2）2231122(1)1x x x=--⎰⎰xd x 21222d()1()x x =-⎰2312x=21)0.3398.32=≈ （32x x =在[1,1]-上写成分段函数的形式 ,10,(),01,x x f x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩于是101210d ()d d x x x x x x --=-+⎰⎰⎰220111022x x =-+=-. 例2 计算2cos 12e d limx t x tx -→⎰.解 因为 0x →时,cos 1x →,故本题属型未定式,可以用洛必达法则来求.这里2cos 1e d x t t -⎰是 x 的复合函数,其中cos u x =,所以222cos cos cos 1d e d e (cos )'sin e d x t x x t x x x ---==-⎰, 于是有222cos cos1cos 200e d sin e sin limlim lim e 22x t xx x x x tx x x xx ---→→→-⋅-==⎰111e 22e-=-=-. 思考题 1.若22()sin d x xf x t t =⎰，()?f x '=2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续. 问当()f x 在[,]a b 区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算22()d ,f x x -⎰ 其中 22,21,10,1,(),10,21,0 2.x x x f x x x x x ⎧-<<-⎪=-⎪=⎨-<<⎪⎪+≤≤⎩ 第三节 定积分的积分方法一、定积分的换元积分法 例1 求401x +⎰ .解一1x+⎰x t=令2d 1t t t +⎰ 12(1)d 1t t =-+⎰2(ln 1)t t C =-++=2[ln 1]x x C -++于是4402[ln(1)]1x x x=-++⎰= 42ln3- .上述方法，要求求得的不定积分、变量必须还原，但是，在计算定积分时，这一步实际上可以省去，这只要将原来变量x 的上、下限按照所用的代换式()x t ϕ=换成新变量t 的相应上、下限即可.本题可用下面方法来解.解二 设 x t =，即2(0)x t t =>.当0x =时,0t =;当 4x = 时，2t =.于是42220002d 12(1)d 2(ln 1)2(2ln 3)111t t t t t t t x==-=-+=-+++⎰⎰⎰.解二要比解一来得简单一些，因为它省掉了变量回代的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的.以后在定积分使用换元法时，就按照这种换元同时变换上下限的方法来作. 一般地，定积分换元法可叙述如下：设()f x 在[,]a b 上连续,而()x x ϕ=满足下列条件： （1）()x x ϕ=在[,]αβ上有连续导数；（2）(),()a b ϕαϕβ==,且当 t 在[,]αβ上变化时,()x t ϕ=的值在[,]a b 上变化，则有换元公式：()d [()]()d b af x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰.上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积.应用中，我们强调指出：换元必须换限.（原）上限对（新）上限，（原）下限对（新）下限.例2求ln 0x ⎰.解t =，即222ln(1),d d 1tx t x t t =+=+. 换积分限：当 0x = 时，0t =, 当 ln2x =时，1t =,于是ln 11220021d 2(1)d 11t x t t t t t =⋅=-++⎰⎰⎰10π2(arctan )22t t =-=-. 例3 求24d a ax x ⎰. 解 设sec x a t =，则 d sec tan d x a t t t =. 换积分限:当x a =时，0t =; 2x a = 时，π3t =,于是π23440tan sec tan d sec aa t x a t t t a t =⎰⎰ =π23201sin cos d t t t a⎰π2321sin d(sin )t t a=⎰21a =.3π30sin 3t=例4 求π20d 1sin xI x=+⎰.解一 （换元法）令2222d tan,sin ,d 211x t t t x x t t ===++ ，所以，当0x = 时，0t =；当π2x =时，1t =，于是111220002d 2d 2112(1)1t I t t t t t ===-=++++⎰⎰.解二 （凑微分法） ππ220222d d (sin cos )(tan 1)cos 2222x xI x x x x ==++⎰⎰ππ2202d tan12221(tan 1)tan 122x x x ==-=++⎰.注意:求定积分一定要注意定积分的存在性. 二、定积分的分部积分法设()u x ,()v x 在[a ,b ]上有连续导数，则有d d b bb aaau v uv v u =-⎰⎰.[,]a b该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.例5 求π220cos d x x x ⎰.解ππ22220cos d d(sin )x x x x x =⎰⎰ππ2220sin 2sin d x x x x x =-⎰ππ22222000ππ2d(cos )2cos 2cos d 44x x x x x x π=+=+-⎰⎰π2220ππ2sin 244x=-=-. 例6 求e 1eln d x x ⎰.解e 1e 111eeln d ln d ln d x x x x x x =+⎰⎰⎰.因为11e x <<时, ln 0x <,这时ln ln x x =-;x ≥1时,ln x ≥0,这时ln ln x x =.于是e 1e111eeln d ln d ln d x x x x x x =-+⎰⎰⎰,分别用分部积分求右端两个积分得11111111e e e e1112ln d ln d ln 1e e e x x x x x x x x -=-+=+=-⎰⎰,e e e111ln d ln 1x x x x x =-=⎰,最后得e 1e2ln d 2ex x =-⎰.第四节 定积分的应用一、 定积分应用的微元法(1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [],a b 有关，且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 [],a b 上的整体量，当把 [],a b 分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1ni i F F ==∑ .(2) 所求量 F 在区间 [],a b 上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [],a b 的长不成正比.（否则的话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.定积分应用的微元法：(一) 在区间 [],a b 上任取一个微小区间 [],d x x x +，然后写出在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为F 的微元);（二） 将微元d F 在[],a b 上积分（无限累加），即得()d .b aF f x x =⎰微元法中微元的两点说明：(1) ()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分 d F ;(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 d ()d F f x x = .二、用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（1） 曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及 Ox 轴所围图形，如下页左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d baA f x x =⎰.（2） 由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积[()()]d b aA f x g x x =-⎰.（3）由左右两条曲线(),()x y x y ψϕ==及,y c y d ==所围成图形面积微元（注意，这时就应取横条矩形 d A ，即取 y 为积分变量）d [()()]d A y y y ϕψ=-，面积[()()]d dcA y y y ϕψ=-⎰.例1 求两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形的面积 .解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交点以确定积分区间：解方程组22,,y x y x ⎧=⎨=⎩得交点（0，0）及（1，1）.(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 d A 均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0，1]，于是2d ()d ,A x x x =-(3)将A 表示成定积分，并计算13123200211()d 33 3.A x x x x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰ 2. 极坐标下的面积计算曲边扇形：是指由曲线()r r θ=及两条射线,θαθβ==所围成的图形（如右下图）. 取θ为积分变量，其变化范围为[,]αβ，在微小区间 [,d ]θθθ+上“以常代变”，即以小扇形面积 d A 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为21d ()d ,2A r θθ=将d A 在[,]αβ上积分,便得曲边 扇形面积为Oyx xx d + x1(1,1)Ox αβ (θ)r r =d θ21()d .2A r βαθθ=⎰例2 计算双纽线22cos 2(0)r a a θ=>所围成的图形的面积（如下图所示）.解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在第一象限 θ的变化范围为 π[0,]4，于是ππ22244014cos 2d sin 2.2A a a a θθθ=⨯==⎰三、用定积分求体积例6 设有底圆半径为 R 的圆柱，被一与圆柱面交成 α角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右下图）.解 取坐标系如图，则底圆方程为222,x y R +=在 x 处垂直于 x 轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为y 及 tan y α及α，其面积为221()()tan 2A x R x α=-，从而得楔形体积为222201()tan d tan ()d 2RR R V R x x R x xαα-=-=-⎰⎰22302tan ()tan 33R x R x R αα=-= 例7 求由星形线 222333(0)x y a a +=> 绕x 轴旋转所成旋转体体积（如图）.解 由方程 222333x y a +=2R =解出 2y =22333()a x - ，于是所求体积为 2223330πd 2π()d a aaV y x a x x -==-⎰⎰42242233333322π(33)d π.105aa a x a x x x a =-+-=⎰。
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（3）CD=7200-2 240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）。
练习：1：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（A）
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
略解：设 ，则由题可得 ，所以做功就是求定积分
例3：计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积.
题型四：需分割图形面积的计算
例4：计算由直线 ，曲线 以及x轴所围图形的面积S.
：合作探究
求曲边梯形面积的方法与步骤：
（1）
（2）
（3）
（4）
：独立完成
【达标检测】
1、求曲线 与直线 所围图形的面积。
2、求直线 与抛物线 所围成的图形面积。
3、求由抛物线 及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
：自主学习
【学法指导】：预习教材56页-57页完成下面内容：
（一）利用定积分求平面图形的面积
题型一：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
S=______________ S=______________ S=______________
例1．求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
4、求曲线 与曲线 以及 轴所围成的图形面积。
5、在曲线 上的某点A处作一切线使之与曲线以及 轴所围成的面积为 .试求：切点A的坐标以及切线方程.
答案
题型一：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
S=______________ S=______________ S=______________
例5．如图1·7一4，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F ( x）与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F ( x）= kx ,
其中常数k是比例系数．
由变力作功公式，得到
答：克服弹力所作的功为 .
例6．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求
题型二：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
S1=______________ S2=______________
例2：.如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0<t<1)，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积
题型三：两曲线围成的平面图形的面积的计算
（2）．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x)相同的方向从x =a移动到x=b (a<b)，那么如何计算变力F(x）所作的功W呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
3、求曲线 与曲线 以及 轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为
4、在曲线 上的某点A处作一切线使之与曲线以可设切点坐标为 ，则切线方程
为 ，切线与 轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为
二、定积分在物理中应用
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC＝
（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s),
1.如果1N力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,克服弹力所作的功为( )
(A)0.18J(B)0.26J(C)0.12J(D)0.28J
2.一物体在力 (单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)所作的功为( )J
(A)44(B)46(C)48(D)50
例1．求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
题型二：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
S1=______________ S2=______________
例2：.如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0<t<1)，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积
7.答案：
解析：S(t)＝ (t2－x2)dx＋ (x2－t2)dx＝ t3－t2＋ ，
题型三：两曲线围成的平面图形的面积的计算
例3：计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积.
题型四：需分割图形面积的计算
例4：计算由直线 ，曲线 以及x轴所围图形的面积S.
：合作探究
求曲边梯形面积的方法与步骤：
（1）
课题
§1.7.1定积分
课时
1
学习
目标
初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；
重点难点
曲边梯形面积的求法
学习流程
[知识链接]：
微积分基本定理（牛顿--莱布尼兹公式）
如果ƒ(x)是区间[a,b]上的______函数,并且Fˊ(x)=f(x),那么 = _______________= ___________________________
（2）
（3）
（4）
：独立完成
求曲线 与直线 所围图形的面积。
6.答案：
解析： 与直线 交点为（1，1），所以面积为 。
________；
1、求直线 与抛物线 所围成的图形面积。
答案：
2、求由抛物线 及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解： ，切线方程分别为 、
，则所求图形的面积为
3.一物体以速度 (m/s)作直线运动,媒质的阻力F(N)与速度v(m/s)的关系为 ,试求在时刻 (s)到 (s)这段时间内阻力做的功.
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分，即
例4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7一3所示．求汽车在这1 min行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
因此汽车在这1 min行驶的路程是：
答：汽车在这1 min行驶的路程是1350m .