411圆的标准方程OK

4.1.1 圆的标准方程
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y
M r
A
O
x
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了． 因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐 标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心A (a,b) 的距离．
则点M、A间的距离为：MA x a2 y b2 .
即：
p M | MA | r
(x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r2
圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个 方程的坐标的点都在圆上？
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这 就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程.
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带 入圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r2
得：
(x 0)2 ( y 0)2 r 2
整理得：
x2 y2 r2
例1 写出圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1(5,7，) M 2 ( 5,1是) 否在这个 圆上．
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准
方程是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把 M1(5,7的) 坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
y A
o
x
B
C
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
y Co
l A
x B
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
M 1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5,的1) 坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点 的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这 个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
圆心为C的圆的半径长
r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25
知识小结
圆的基本要素
圆的标准方程
圆心在原点的 圆的标准方程
判断点与圆 的位置关系
解此方程组，得：
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
a 2, b 3, r 2 25.
所以，AB的C外接圆的方程 (x 2)2 ( y 3)2 2．5
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）， 求它的外接圆的方程.
怎样判断点 M 0 (在x0 圆, y0 ) (x a)内2 呢(？y 还b是)2在 圆r 2外呢？
y
M3
o
x
M2 A
M1
点与圆的位置关系
怎样判断点 M 0 (在x0 圆, y0 ) (x a)内2 呢(？y 还b是)2在 圆r 2外呢？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
y
M3
o
x
M2 A
M1
例2 的AB三C个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －
8)，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角 形有唯一的外接圆．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 ( y b)2 r2 （1）
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标 都满足方程（1）．于是
(3 , 1), 22
直线AB的斜率:
k AB
21 #39; 的方程是 y 1 1 (x 3)
即x 3y 3 0
23 2
圆心C的坐标是方程组
x 3y 3 0 x y 1 0 的解．
解此方程组，得
x 3,
y
2.
所以圆心C的坐标是 (3,2)
y
M (x, y) r
A(a,b)
O
x
符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述法 来表示这个集合吗？
符合上述条件的点的集合：
p M || MA | r
y
M r
A
O
x
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用 什么公式表示？
根据两点间距离公式： P1P2 x2 x1 2 y2 y12 .