23隐函数及参数方程求导法
D2_3隐函数及参数方程求导法
dx dx
dt
1 2
t
2
t
1. t
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例7
设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1)
确定函数 y y(x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2
dt
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
(sin x)tan x (sec2 x ln sin x 1)
1 xln x
3
3 x (2 x)2
1 2ln x x
3(2 x)
2x 3(2
x)
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
1. 设 解: 方法1
求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
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d t 1 cos y
故
dy dx
dy dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
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例8 求螺线
在对应于
的点处的切线方程.
x r cos 解: 化为参数方程 y r sin
dy cos cos sin
当
π 2
时对应点
M (0,
π 2
y(0) 1 . e
隐函数与参数方程求导法则
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
23隐函数、参数式求导
r h , 从而 r 1 h .
6 18
3
因漏斗中溶液体积 V0
1 (12)2 32
18
216 (cm)3
，根据题意可知
V0
1 r 2h 3
(10)2 2
H
，
即
H 216 1 h3 ，
25 675
课堂练习
1.
用对数求导法则求函数
y
x
x
1 x
变量 y 有确定的值与之对应，． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化 不能显化的隐函数，如果可导应该如何求导？下面，我们将通过具体的例子来介绍一种方
法 例1 求由下列方程所确定的函数的导数. y sin x cos(x y) 0
例 2 方程 xy e y e 确定函数 y y(x) ，求 y0 ．
比如 y x sin x x 0 ，幂指函数既不是幂函数也不是指数函数
如果 u(x),v(x) 都可导，则幂指函数 y uxvx 可导．求幂指函数 y uxvx 的导数，幂函
数或指数函数的求导法则在此均不适合．我们可以通过把方程两端取对数之后，化幂指函数为隐 函数，然后利用隐函数求导法则求出幂指函数 y uxvx 的导数．这种求导方法称为对数求导 法 (logarithm derivation)．
程为
x
y
v0t cos v0t sin
1 2
gt 2
，
求炮弹在时刻 t0 的运动方向与速率．
例 12
椭圆的参数方程为
x
y
a b
cos t (0
sin t
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
2-3隐函数及参数方程确定的函数求导
练习题答案
4 一 、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解. 求导法求解.
练 习 题
填空： 填空： 1、 设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则 的函数， =________ dx (1,1) 在点（ 曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点 （ 1 ， 2 ） 处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、 曲线 在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、 设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
高等数学同济大学版2.3隐函数的求导法则
若函数 x (t), y (t)都可导, 且 (t ) 0, 则
dy (t) dy / dt
.
dx (t) dx / dt
dy
分析： dy dy dt
dy
1
dt .
dx dt dx dt dx dx
dt dt
例1
求由参数方程
x
y
2t t2
所表示的函数
y
y( x)的导数.
dy
则称此函数为由参数方程所确定的函数.
例如,
x y
2t t2
t
x 2
,
y
t2
x 2
2
x2 4
,
y
x 2
.
又如,
x
y
a(t a(1
sin t) ,
cos t)
求
dy dx
.
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
参数方程求导法则：
设
x (t)
y
(t
)
tI
利用复合函数和 反函数求导法则 可证明该法则
解 等式两边取对数得
ln y sin x ln x
两边对 x 求导得
1 y
y'
cos
x
ln
x
sin
x
1 x
,
y'
ycos x ln x
sin
x
1 x
xsin x cos
x ln
x
sin x
x .
完
例2 设(cos y)x (sin x) y , 求 y'.
外导 •
内导
eln xsin x
cos
x
2-3隐函数导数和由参数方程确定的函数的导数
3（4）解一：
y=－sec2 xsecx+1－tanxsec xtanx
=secx tanx－tan2x－sec2x
3（4）解二：
y= sec x－tanxsecx
=sec xtanx-sec3 x - tan2xsecx
=secx tanx－sec2x－tan2x
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1
dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
dt
14
例5求摆线
x
y
a(t sin t) a(1 cost)
在t
2
处的切线方程
dy
解 dy dt a 1 cost a sin t sin t dx dx a t sin t a a cos t 1 cos t
切线斜率为
dt
k
dy dx
t 2
sin
1
2
cos
1.
2
当t
时,
x
a(
1),
y a.
所求切线方程为
2
2
y a x a( 1) 即 x y a(2 ) 0
2
2
15
练习
求曲线
xy
t2 1 t t3
在
t
1处的切线方程
y的导数 dy , dy dx dx
北京理工大学工科数学分析2-3隐函数和参数方程求导法
Review
❖ 导数四则运算
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
❖ 反函数求导
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
❖ 复合函数求导
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
或 f x fu ux
❖ 高阶导数
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
3 75 25 因此水桶的水平上升速率为16/25(cm/s).
Hw: p110 1(双),2(4,5),3,6,7(2,4,10),8(2,8,9),10,12, 16,17. p119 6(2,4,6),7(2,4),8,11,12.
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解.
x1(t )( y y1(t )) y1(t )( x x1(t ))
令 y 0,得到切线与 x 轴交点的坐标为:
x0
x(t) y(t) x(t) y(t) y(t )
x1(t )
dx dy
y1(t )
x(t) a cos2 t , sin t
W2_3隐函数与参数方程求导
例1
两边取对数
a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
11
例2
( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)
两边取对数
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
三、由参数方程确定的函数的导数 若变量 y 是 x 的函数， 其对应关系是通过第三个变量 t 联系在一起的，即 x , y 是 t 的函数。 x t 参数方程的一般形式为： t 是参变量。 y t x 2t 2 例如： 表示抛物线 yx 2 y 4t
e y y xy 0
y
0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
dy dy 2 1 21x 6 0 5y dx dx
4
()
因 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 故 直接将
x 0, y 0
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
16
作业
P104 1(1) , ; (3)
3 (1), (4); 4 (2) (4) ; 5
17
2
2
x a (t sin t ) y a1 cos t
处的切线方程。
x a ( 1) 2 ya
解：点坐标：
t
d y a sin t 1 d x t t a ( 1 cos t ) 2 2
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
隐函数与参数方程确定函数的求导方法
隐函数与参数方程确定函数的求导方法在微积分中，隐函数与参数方程是两种特殊的表示函数的方法。
隐函数是指在一个方程中，变量的关系是通过隐含的方式给出的，即不能直接通过解方程得到一个明确的公式。
参数方程则是将自变量通过一个参数来表示，从而将函数的定义域与值域分开描述。
在使用这些方法确定函数时，我们需要了解如何对这些函数进行求导。
隐函数是指在一个方程中，变量的关系是通过隐含的方式给出的，即不能直接通过解方程得到一个明确的公式。
为了对隐函数进行求导，我们可以利用隐函数求导的基本原理，即根据隐函数给出的方程，使用链式法则和隐函数公式进行推导。
首先，我们假设有一个隐函数方程 F(x, y) = 0，其中 y 表示 x 的函数。
我们要求的是 y 对 x 的导数 dy/dx。
步骤如下：1.对方程两边同时对x求导，应用链式法则。
2. 用 dy/dx 表示 dy/dx 与 dx/dx 的商：dy/dx = -F_x(x, y) /F_y(x, y)。
3. 将 dy/dx 表示为关于 x 和 y 的表达式。
其中，F_x(x,y)为F(x,y)对x的偏导数，F_y(x,y)为F(x,y)对y的偏导数。
通过这种方法，我们可以求得隐函数的导数。
这种方法在解决隐函数问题时非常有用，因为它能够处理一些无法用显式函数表达的关系。
参数方程是将自变量通过一个参数来表示，从而将函数的定义域与值域分开描述。
在求参数方程确定的函数的导数时，我们需要使用参数方程求导公式。
假设有一组参数方程x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于t的函数。
步骤如下：1. 分别对 x 和 y 关于 t 求导，得到 dx/dt 和 dy/dt。
2. 将 dx/dt 和 dy/dt 表示为关于 t 的函数。
3. 计算 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
在计算 dy/dt 和 dx/dt 的时候，可以使用求导的基本规则。
然后，将 dy/dt 和 dx/dt 的表达式代入 dy/dx 的公式中，就可以求得参数方程确定的函数的导数。
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
23隐函数、参数方程求导法则
第三节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 教学目的：教学重点：教学过程：一、隐函数的导数以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：x e y x z e xx y x y y x sin ln ,2sin ,52+=+=+=等等，象这样一类的函数称为显函数。
但在实际问题中，函数并不全是如此，设),(y x F 是定义在区域2R D ⊂上的二元函数，若存在一个区域I ，对于I 中的每一个x 的值，恒有区间J 上唯一的一个值y ，使之与x 一起满足方程：0),(=y x F ……（1） 就称方程（1）确定了一个定义域为I ，值域含于J 中的函数，这个函数就称为由方程（1）所确定的隐函数，若将它记为I x x f y ∈=),(，则有：在I 上，0))(,(≡x f x F 。
【例1】01452=-+y x 确定了隐函数：4512x y -=。
【例2】122=+y x 能确定出定义在]1,1[-上的函数值不小于0的隐函数21x y -=，也能确定出定义在]1,1[-上的函数值不大于0的隐函数21x y --=。
上面求)(x f 的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化。
注 1：在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明；2：并不是任一方程（1）都能确定出隐函数，比如：0122=++y x ，不可能找到)(x f y =，使得01)]([22=++x f x ；3：即使方程（1）能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中解出y ，如：0sin 21=--y x y ，我们可证明它确实能确定一个隐函数，但无法表示成)(x f y =的形式，即不能显化。
实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化，则求导没什么问题，同前一样，若隐函数不能显化，我们就直接从（1）算出其隐函数的导数。
（以后我们还将介绍更一般的方法）。
【例3】01452=-+y x ，求dxdy 。
3.2隐函数与参数方程的导数
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铃
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 例 2 求摆线 2 y = a ( 1 − cos t ) 和法线方程 解 由参数方程的求导方法 , 得
dy [a (1 − cos t )]′ t sin t = ′ = 1 − cos t = cot 2 dx [a ( t − sin t )]
当t=
π
π 处切线斜率为 k = dy = cot t =1 a ( − 1), a 2 t =π dx t =π 2 2 2 aπ π 切线方程为 y − a = x − a − 1 即 y − x + − 2a = 0 2 2 π 即 y + x − aπ = 0 法线方程为 y − a = − x + a − 1 2 2
x
铃
x y ′ = (arctan x ) ln arctan x + (1 ห้องสมุดไป่ตู้ x 2 ) arctan
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dy 例3 设 x = y 求 dx
y x
解
两边取对数得 两边对 x 求导得
y ln x = x ln y
1 1 y′ ln x + y ⋅ = ln y + x ⋅ ⋅ y′ x y
1+ 21x6 . 由此得 y′ = 4 5y + 2 因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以 x=0 , y=0,
y′ x = 0, y = 0 1 + 21 x 6 = 5 y4 + 2
x =0 y =0
1 = 2
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隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
2_3隐函数及参数方程及高阶导数
2_3隐函数及参数方程及高阶导数隐函数的概念是在一些函数表达式难以直接给出的情况下，通过关联的多个变量之间的关系来隐式表示函数。
参数方程是一种用参数表示的函数表达方式，其中每个参数的取值都有助于确定函数的输出值。
高阶导数则是指函数的导数的导数，即对函数进行多次求导。
一、隐函数在一些情况下，给定的函数表达式无法直接通过解析方式表示出来，这时就需要使用隐函数来描述函数关系。
隐函数是通过关联的多个变量之间的关系来隐式表示函数。
在二元函数中，如f(x,y)=0，我们可以将y 表达为关于x的函数y(x)。
这里的y(x)即为隐函数。
当无法直接通过解析方式给出函数表达式时，可以通过求导来求解隐函数。
假设有一个同时关联了x和y的函数表达式，可以通过求导来推导出其中一个变量关于另一个变量的导函数，然后进行求解，得到隐函数的解析表达式。
二、参数方程参数方程是一种将函数表示为参数的函数表达方式，其中每个参数的取值决定了函数的输出值。
通常使用参数t来表示，参数t的取值范围以及对应的输出值可以描述出函数的图像。
以平面曲线为例，当我们使用参数方程来表示曲线时，我们可以将x 和y分别表示为关于参数t的函数。
例如，对于一条简单的曲线，可以表示为x=f(t)，y=g(t)。
这里的函数f(t)和g(t)分别给出了参数t取值时的x和y值。
参数方程的优势在于可以方便地描述出相对复杂的曲线，例如圆形、椭圆形等。
通过在参数方程中引入额外的参数，可以进行轨迹的变换与变形。
同时，参数方程还可以描述出三维空间中的曲面。
三、高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数，即对函数进行多次求导。
一阶导数表示函数的变化速率，而高阶导数则表示函数变化速率的变化速率。
对于一个实值函数f(x)来说，其n阶导数可以表示为f⁽ⁿ⁾(x)，其中n是一个非负整数。
一阶导数表示函数的变化趋势，二阶导数可以表示函数的凸凹性，三阶导数可以表示函数的图像特征以及曲线的弯曲情况。
高阶导数在数学和科学工程领域中有广泛的应用。
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例 3设 y=y(x)由方 ar程 cyt)= aln nx2 (+y2 x
确定 y. ，求
例4 求曲线x+ y= a在点 (a,a)处 44
的切线方程和法； 线证 方明 :程 在它的 人一点处的切线标 在轴 两上 坐截距的a.和为
二、对数求导法
观察函数 y=(x (x ++ 1)43)2 xe- x1, y=xsix n. 方法:
g(1)
(3)y=e x
(4)f(x)=u(x)v(x)
例16 证明双曲 y=线 a上任一点处的切线 x
介于两坐标轴间 被的 切一 点段 所.平分
例17 确定a,b的值，使
f
(
x)
=
1 0x
(1
-
cos
ax )
1 ln( b + x 2 ) x
x0 x=0 x0
在(-,+)内可导， 并求导函.数
例18 求函 y=f数 n[ n(sx inn )的 ] 导 . 数
上式两x边 求对 导得
Байду номын сангаас
1y=coxslnx+six n1
y
x
y=y(cx o ln sx+sixn 1) x
=xsix n(cx olsn x+six n ) x
一般地
f(x )= u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 ) lf ( n x ) = v ( x ) l u ( x n )
例 14 证l明 n x=： 1 x0
x
证x ： 0 ,则 l若 n x = ln x =1
x
若 x 0 ,则 lx n = ln - x )( = 1 -x =1
-x
x
综上 lnx： =1 x0
x
一般地: ln f(x)=ln f(x)=f(x)
f(x)
例15 求下列函数的导数：
(1)y= f(x2) (2)y= f2(x)+g2(x)
作业:P93, 5,6,8,10
第三节 隐函数与参数方程求导法
一、隐函数的导数
y=f(x)形式称为显函数. F(x,y)=0 y=f(x)使 F (x ,f(x) )0 , y=f(x)称为由 F(x方 ,y)=程 0所确定的 . 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方x程 y-ex +ey =0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx=0.
解 方程两边 x求对导 ,
y+xdy -ex+eydy =0
dx
dx
解得
dy ex - y dx= x + ey ,
由原方x=程 0,y知 =0,
ddxyx=0
=exx+-eyy
x=0 y=0
=1.
例2 设曲C线 的方程x3为 +y3 =3xy,求过 C上
复习：
1.函数的四则运算(和、差、积、商) 求导法则
设u = u( x), v = v( x)可导，则
（1）(u v) = u v, （2）(cu) = cu ( C是常数)
（3）(uv) = uv + uv,
（4）(
u) v
=
uv v2
uv
(v
0).
2.反函数的求导法则 f (x) = 1
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
3.复合函数的求导法则
设 y=f(u),而 u=(x)则 , 复y 合 =f[函 (x)的 ]数 导数 d= yd 为 ydu或y(x)=f(u)(x).
dxdu dx
利用导数的定义及法则求得基本初等函数的导数. 4.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) = 0 (sin x ) = cos x (tan x ) = sec 2 x (sec x ) = sec x tan x
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
适用于:
(1)幂指函数u( x)v( x)的情形. (2)由多个函数相乘除的形情.
例5 设y=(x+1)3 x-1,求 y. (x+4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n = ln x + 1 ) ( + 1 ln x - 1 ) ( - 2 ln x + 4 ) ( - x 3
(a x ) = a x ln a
(log a
x)
=
1 x ln a
(arcsin x ) = 1 1- x2
(arctan
x )
=
1 1+ x2
( x ) = x -1 (cos x ) = - sin x (cot x ) = - csc 2 x (csc x ) = - csc x cot x
解 y = n n - 1 [ f n (s x n ) if ] n [ n (s x n ) i] n n n - 1(sx in )n (sx in )n co xns nn- x 1
=n3xn-1co xns fn-1[ n(sx in)n] n-1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
点(3,3)的切线方 , 并程证明曲 C在线该点的法 22
线通过原 . 点
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2+ 3 y 2 y = 3 y + 3 x y
y (3,3) 22
y-x2 =
y2 -x
3=3 -1.
(,) 22
所求切线方程为 y-3=-(x-3) 即 x+y-3=0.
2
2
法线方 y-3 程 =x为 -3即y=x, 显然通过原点. 22
又 dln f(x)=1df(x) dx f(x)dx
f(x)=f(x)dln f(x) dx
f(x )= u (x )v (x )[v (x )lu n (x )+ v (x )u (x )] u (x )
三、由参数方程所确定的函数的导数
(e x ) = e x
(ln x ) = 1 x
(arccosx) = - 1 1- x2
(
arccot
x)
=
1
1 + x2
结论:初等函数的求导问题均可完全解决,且 可导的初等函数的导数仍为初等函数.
注意:复合函数的求导法则是最基本最重要的; 使用时,关键是合理分解初等函数的复合结构, 正确使用链式法则.
上式两边 x求对导得 y=1 + 1 - 2 -1 y x+1 3(x-1) x+4
y = (x (x + + 1 ) 4 3 )2 x e - x 1 [x 1 + 1 + 3 (x 1 - 1 )- x 2 + 4 - 1 ]
例6 设 y = x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y= sixn ln x