23隐函数及参数方程求导法

作业:P93, 5,6,8,10
第三节 隐函数与参数方程求导法
一、隐函数的导数
y=f(x)形式称为显函数. F(x,y)=0 y=f(x)使 F (x ,f(x) )0 , y=f(x)称为由 F(x方 ,y)=程 0所确定的 . 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
上式两边 x求对导得 y=1 + 1 - 2 -1 y x+1 3(x-1) x+4
y = (x (x + + 1 ) 4 3 )2 x e - x 1 [x 1 + 1 + 3 (x 1 - 1 )- x 2 + 4 - 1 ]
例6 设 y = x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y= sixn ln x
复习：
1.函数的四则运算(和、差、积、商) 求导法则
设u = u( x), v = v( x)可导，则
（1）(u v) = u v, （2）(cu) = cu ( C是常数)
（3）(uv) = uv + uv,
（4）(
u) v
=
uv v2
uv
(v
0).
2.反函数的求导法则 f (x) = 1
( y)
例 14 证l明 n x=： 1 x0
x
证x ： 0 ,则 l若 n源自文库x = ln x =1
x
若 x 0 ,则 lx n = ln - x )( = 1 -x =1
-x
x
综上 lnx： =1 x0
x
一般地: ln f(x)=ln f(x)=f(x)
f(x)
例15 求下列函数的导数：
(1)y= f(x2) (2)y= f2(x)+g2(x)
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
适用于:
(1)幂指函数u( x)v( x)的情形. (2)由多个函数相乘除的形情.
例5 设y=(x+1)3 x-1,求 y. (x+4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n = ln x + 1 ) ( + 1 ln x - 1 ) ( - 2 ln x + 4 ) ( - x 3
例 3设 y=y(x)由方 ar程 cyt)= aln nx2 (+y2 x
确定 y. ，求
例4 求曲线x+ y= a在点 (a,a)处 44
的切线方程和法； 线证 方明 :程 在它的 人一点处的切线标 在轴 两上 坐截距的a.和为
二、对数求导法
观察函数 y=(x (x ++ 1)43)2 xe- x1, y=xsix n. 方法:
上式两x边 求对 导得
1y=coxslnx+six n1
y
x
y=y(cx o ln sx+sixn 1) x
=xsix n(cx olsn x+six n ) x
一般地
f(x )= u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 ) lf ( n x ) = v ( x ) l u ( x n )
例1 求由方x程 y-ex +ey =0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx=0.
解 方程两边 x求对导 ,
y+xdy -ex+eydy =0
dx
dx
解得
dy ex - y dx= x + ey ,
由原方x=程 0,y知 =0,
ddxyx=0
=exx+-eyy
x=0 y=0
=1.
例2 设曲C线 的方程x3为 +y3 =3xy,求过 C上
g(1)
(3)y=e x
(4)f(x)=u(x)v(x)
例16 证明双曲 y=线 a上任一点处的切线 x
介于两坐标轴间 被的 切一 点段 所.平分
例17 确定a,b的值，使
f
(
x)
=
1 0x
(1
-
cos
ax )
1 ln( b + x 2 ) x
x0 x=0 x0
在(-,+)内可导， 并求导函.数
例18 求函 y=f数 n[ n(sx inn )的 ] 导 . 数
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
3.复合函数的求导法则
设 y=f(u),而 u=(x)则 , 复y 合 =f[函 (x)的 ]数 导数 d= yd 为 ydu或y(x)=f(u)(x).
dxdu dx
利用导数的定义及法则求得基本初等函数的导数. 4.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) = 0 (sin x ) = cos x (tan x ) = sec 2 x (sec x ) = sec x tan x
(e x ) = e x
(ln x ) = 1 x
(arccosx) = - 1 1- x2
(
arccot
x)
=
1
1 + x2
结论:初等函数的求导问题均可完全解决,且 可导的初等函数的导数仍为初等函数.
注意:复合函数的求导法则是最基本最重要的; 使用时,关键是合理分解初等函数的复合结构, 正确使用链式法则.
点(3,3)的切线方 , 并程证明曲 C在线该点的法 22
线通过原 . 点
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2+ 3 y 2 y = 3 y + 3 x y
y (3,3) 22
y-x2 =
y2 -x
3=3 -1.
(,) 22
所求切线方程为 y-3=-(x-3) 即 x+y-3=0.
2
2
法线方 y-3 程 =x为 -3即y=x, 显然通过原点. 22
解 y = n n - 1 [ f n (s x n ) if ] n [ n (s x n ) i] n n n - 1(sx in )n (sx in )n co xns nn- x 1
=n3xn-1co xns fn-1[ n(sx in)n] n-1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
又 dln f(x)=1df(x) dx f(x)dx
f(x)=f(x)dln f(x) dx
f(x )= u (x )v (x )[v (x )lu n (x )+ v (x )u (x )] u (x )
三、由参数方程所确定的函数的导数
(a x ) = a x ln a
(log a
x)
=
1 x ln a
(arcsin x ) = 1 1- x2
(arctan
x )
=
1 1+ x2
( x ) = x -1 (cos x ) = - sin x (cot x ) = - csc 2 x (csc x ) = - csc x cot x