高三数学三垂线定理
高三数学三垂线定理
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婴儿开始会爬的正常月龄一般是()</br>婴儿开始会独坐的正常月龄一般是()A.4个月B.5个月C.6～7个月D.10个月E.8个月 在损益表中，销售成本主要考虑生产成本，包括：A.原材料成本B.人工成本C.生产管理费用以及与生产相关的折旧D.上述答案均正确 下列关于土地增值税的说法中正确的是。A.土地增值税征收面广，针对所有土地使用权的转让而征收的一种税B.增值额是土地增值税的征税对象，增值额即企业实现的转让土地使用权的净收益C.土地增值税实行超额累进税率，增值额越大税率越高D.按次征收，纳税时间和缴纳方法视情况而定 下列哪种病证不是开窍剂的适应证()A.中风而见神昏谵语者B.气郁而见神昏谵语者C.痰厥而见神昏谵语者D.阳明腑实证而见神昏谵语者E.中暑而见神昏谵语者 上睑下垂常见于哪些情况？ 集中监控中心要求A、5X24小时值班制B、5X8小时值班制C、7X24小时值班制D、7X16时值班制 是我国第一家地方国际货运代理协会。A.上海市国际货运代理协会B.广州市国际货运代理协会C.天津市国际货运代理协会D.重庆市国际货运代理协会 对于初乳与成熟乳比较，下列哪项是恰当的A.初乳持续约3天以后，逐渐变为成熟乳B.初乳及成熟乳中，均含有大量免疫抗体C.初乳中含有较多蛋白质，主要是白蛋白D.初乳中脂肪及糖类含量较高.E.大多数药物不经母血渗入乳汁中 智能网是在的基础上为快速提供新业务而设置的附加网络结构。 ___是人类特有的一种反映形式，是人区别于动物心理的一大特征。A.自我体验 B.自我认知 C.自我观察 D.自我分析 毫米年平均等雨量线将我国划分东南半壁湿润区和西北半壁干旱区。 硫酸钡属细晶形沉淀，过滤时应选用慢速定量过滤纸过滤。A.正确B.错误 关于息止颌位，以下哪一点是正确的。A.从正中关系向正中位滑动的过程B.又称牙位C.位于正中关系后下方D.与牙的存在无关E.以上都不是 盾构法的主要施工步骤包括()。A.工作井建造B.掘进出土(泥)C.管片安装D.地表注浆E.衬砌背后注浆 下列说法中，是不正确的。A.一般的分布式系统是建立在计算机网络之上的，因此分布式系统与计算机网络在物理结构上基本相同B.分布式操作系统与网络操作系统的设计思想是不同的，但是它们的结构、工作方式与功能是相同的C.分布式系统与计算机网络的主要区别不在它们的物理结构，而是 从1984年开始，由中央文化部、国家民委和中国民协共同组织领导、编撰民间学三套集成。 成熟红细胞更替时间是A.100dB.120dC.80dD.60dE.30d 尸检时肉眼见脾被膜明显皱缩、体积变小，重量减轻；脑组织色苍白。显微镜下脾窦内含血量明显减少，部分肺泡腔内有少量水肿液，肝小叶中央静脉周围肝细胞凝固性坏死，部分近端肾小管上皮细胞也呈现凝固性坏死改变，上述病变提示A.脾功能亢进B.肝硬化C.脑膜炎D.溶血性疾病E.失血性休 下列X线平片表现中，哪项与颅内肿瘤无关()A.松果体钙化移位B.颅骨局限性骨质增生、破坏C.颅内异常钙化D.双鞍底征E.大脑镰钙化 合同能源管理 根据反垄断法律制度的规定，下列表述中，正确的是。A.国家发改委负责经营者集中行为的反垄断审查工作B.商务部负责经营者滥用市场支配地位的反垄断审查工作C.反垄断执法机构可依职权对涉嫌垄断的行为主动立案调查D.反垄断执法机构依职权对涉嫌垄断行为主动立案调查的，不得中止调查 腹痛急暴，得温痛减，遇冷更甚，口不渴，小便清利，大便自可，舌苔白腻，脉沉紧。治宜A.小建中汤B.大建中汤C.理中汤D.香砂六君子汤E.良附丸合正气天香散 晚婚晚育的公民可获得哪些奖励？ 越鞠丸证的病机要点是A.肝气郁滞B.脾胃气滞C.肺脾气滞D.肝郁脾虚E.肝郁化火 矿业工程施工质量保证体系的内容包括。A.施工工艺的质量管理方法B.质量目标与质量计划C.建立严格的质量责任制D.设立专职质量管理机构E.健全的质量检验制度和手段 吊装重大件时，船舶稳性最小的时刻为。A．吊杆头的高度最大时B．货物距基线的高度最大时C．吊杆与船舶首尾垂直时D．吊杆与船舶首尾线平行时 某幕墙分包单位没有按照审批方案搭设外围脚手架，总承包单位安全人员发现后及时予以制止，并要求整改，但分包仍一意孤行拒不改正，最终导致脚手架失稳而发生坍塌事故致两人死亡，则总、分包单位之间对该安全事故()。A.总承包单位承担责任B.幕墙分包单位承担责任C.总、分包单位承担 1918年5月21日，大学、高等师范学校等校学生前往总统府请愿，要求废止《中日陆军共同防敌协定》，并要求公布内容条文。A.20多人B.200多人C.2000多人 患者女性，35岁，正处于哺乳期，诉发现右乳房肿块2天，很快发展到全乳房，体温37℃，右乳房较对侧明显增大，表面发红，扪之整个乳房发硬，皮肤有水肿，有明显压痛，但未触及局限性肿物及波动感，右侧淋巴结肿大。首先考虑的诊断是A.乳痈B.乳发C.乳癖感染D.乳痨E.炎性乳岩 下面的哪一项不是淋巴结的功能A.过滤淋巴液，清除异物B.进行免疫应答C.产生抗体D.淋巴结可以产生淋巴细胞，但不能储存淋巴细胞E.形成红细胞、粒细胞及血小板 心房的左右之分起始于胚胎的A.第1周末B.第2周末C.第3周末D.第4周末E.第5周末 梅克尔憩室并发消化道出血的主要原因是。A.憩室炎B.憩室黏膜存在迷生组织C.憩室与周围肠管粘连D.憩室扭转E.憩室内疝 房屋修缮管理是中的一个重要环节。A.房地产经营B.房地产销售C.房地产管理D.房地产开发 两侧声带麻痹的病人可能主诉是。A.声音嘶哑B.用力时呼吸困难C.发音微弱D.上述都有E.上述都没有 狭义的咀嚼肌是指A.颞肌、二腹肌、翼内肌、翼外肌B.颞肌、二腹肌、翼内肌、咬肌C.颞肌、下颌舌骨肌、翼内肌、翼外肌D.二腹肌、咬肌、翼内肌、翼外肌E.颞肌、咬肌、翼内肌、翼外肌 操作需要特权指令执行。A.读取当前时钟B.清除一块内存C.关闭中断D.从用户态切换到管态 经研究，安氏Ⅲ类骨性畸形的咀嚼效能比正常减少A.20％B.30％C.60％D.55％E.40％ 符号“”表示工件表面是用的方法获得的粗糙度。A、去除材料B、不去除材料C、热轧D、冷轧 1岁小孩行硬管支气管镜检查时，最为合适的支气管镜内径为多大()A．3.0mmB．3.5mmC．4.0mmD．4.5mmE．5.0mm 采用法兰盘组装的杆体，其法兰盘贴和合率不得低于75%，用0.3mm塞尺检查，插入深度的面积不得大于总面积的多少？A.25%；B.30%；C.35%；D.40%；
高三数学三垂线定理
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[单选,A2型题,A1/A2型题]中性粒细胞吞噬能力显著下降见于（）A.白色念珠菌感染B.糖尿病C.烧伤D.补体缺陷症E.肝癌 [单选]Schober试验：病人直立，在背部正中线髂嵴水平作标记为零，向下及向上再作标记，然后让病人弯腰，测量上下两个标记间的距离，若增加小于4cm为阳性。标记方法为（）A.向下3cm作标记，向上6cm再作标记B.向下5cm作标记，向上5cm再作标记C.向下5cm作标记，向上10cm再作标记D.向 [单选]国际单位制取消了相当数量的繁琐的制外单位，简化了物理定律的表示形式和计算手续，省去了很多不同单位制之间的单位换算。体现的是国际单位制的（）。A.统一性B.简明性C.科学性D.实用性 [单选]在国库支出的支出方式中，物品和服务采购支出应实行（）。A.直接缴库B.集中汇缴C.财政直接支付D.财政授权支付 [单选]关于印刷要素的说法，错误的是（）。A.印刷要素包括原稿、印版、承印物、印刷油墨和印刷机械B.以非纸张材料作为承印物的印刷称为"特种印刷"C.按版面结构特征不同，印版分为凸版、凹版和平版三种D.原稿可分为文字原稿、线条原稿和图像原稿三大类 [填空题]废石场的潜在危害主要来自以下两方面：其一是由于废石场（）所引发的废石场变形、滑坡及废石场泥石流；其二是废石场所造成的（），其污染形式有粉尘、毒气和酸雨。 [单选,共用题干题]患者女，19岁，学生。因"亚急起凭空闻人语、疑人害、兴奋夸大、精力旺盛1月余"于2008年7月23日入院。患者诉1月前独自在家时听见同学们议论她很坏；感觉有人在谋害她，并被跟踪、监视；同时表现兴奋、半夜里学习，觉自己思维反应像火箭，能力无限大，可以统治宇宙 [单选]细菌性肝脓肿病人最常见的早期症状是（）A.恶心，呕吐B.消瘦C.食欲减退D.肝区疼痛E.寒战，高热 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于急性妄想发作，以下错误的是（）A.常突然起病，以短暂的妄想为主要症状，妄想形式多样，内容支离破碎B.病前一般无诱因C.可伴有情感和行为方面的障碍D.多发生于中老年人E.病程不超过3个月 [填空题]英国生物学家（）于1859年出版的<物种起源>一书,提出了生物进化的观点. [单选]车辆心盘竹质垫板除可与钢质垫板叠装外，需单层使用时厚度不小于（）。A.10mmB.20mmC.30mmD.40mm [名词解释]首尾垂线 [单选]国家统一的会计制度是由（）制定的规章和会计规范性文件。A.全国人大B.全国人大常委会C.国务院D.财政部以及其他相关部委 [单选,A1型题]中兽医认为，五脏可归属于五行，其中肾属（）A.木B.火C.土D.金E.水 [名词解释]多孔性吸声材料 [名词解释]习用品 [单选]投保人应将()的有关情况通知保险人。A.再保险B.足额保险C.不足额保险D.重复保险 [单选]下列哪项是确诊妊娠期病毒性肝炎的根据？（）A.蛋白尿、水肿B.皮肤瘙痒和黄疸C.妊娠晚期上腹部疼痛，吐咖啡样物D.黄疸昏迷E.血清谷丙转氨酶增高、HBsAg阳性 [问答题,简答题]PT二次小开关的作用？ [单选]关于房间隔缺损的血流频谱，哪项不对()A.应采用CW检测B.显示为正向湍流频谱C.始于收缩中晚期D.持续全舒张期E.分流速度在60～80cm/s以上 [单选]设L是由圆周x2+y2=a2，直线x=y，及x轴在第一象限中所围成的图形的边界，则的值是：（）A.2（ea-1）B.（πa／4）eaC.2（ea-1）+（πa／4）eaD.（1／2）（ea-1）+πaea [单选]医学人道主义最基本的思想是A.尊重病人生命B.同情病人C.帮助病人解除痛蕾D.为病人尽义务E.A和D [填空题]无风条件下，20吨液氨泄漏形成的氨蒸汽致死浓度半径范围约（），气化扩散后的致死浓度半径可达近（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]男性雄激素的作用不包括（）A.皮脂腺分泌多，有痤疮B.腋毛多C.阴毛呈菱形分布D.声音高调E.睾丸和阴茎的发育 [多选]发生劳动争议时，主要的证据包括（）等A.工资签收单B.解聘函C.员工手册D.劳动合同. [单选,A2型题,A1/A2型题]引起婴儿佝偻病的主要原因是（）。A.饮食中缺钙B.甲状旁腺素缺乏C.食物中钙、磷比例不当D.缺乏维生素AE.缺乏维生素D [单选]产后胎盘附着部位子宫内膜全部修复约需（）A.2周B.3周C.4周D.5周E.6周 [单选]导致胎膜早破的因素中，不包括（）A.绒毛膜羊膜炎B.双胎C.胎位异常D.巨大儿E.胎儿生长受限 [单选]港口与航道工程施工总承包特级和一级资质企业，经理应具有（）以上从事工程管理工作经历或具有本专业高级职称。A.5年B.8年C.10年D.15年 [单选]躯体疾病所致精神障碍一般具有以下临床特点，但除外（）。A.精神障碍与原发躯体疾病的病情在程度上有平行关系B.精神障碍与原发躯体疾病在时间上常有先后关系C.有特征性的精神症状D.治疗原发疾病及处理精神障碍可使精神症状好转E.急性躯体疾病常引起意识障碍，慢性躯体疾病常 [单选]心脏病患者在以下哪种情况下最易并发感染性心内膜炎.脑梗死E.合并高血压 [单选,A1型题]下列药物除哪项外均有止呕作用（）A.半夏B.藿香C.佩兰D.豆蔻E.竹茹 [单选]强调发展中国家经济中特有的市场不完全性、刚性、短缺、过剩、低供给弹性等固有经济特点，这正是发展中国家经济现实与西方传统经济理论的（）A.内在联系的表现B.基本相同之处C.重要区别D.毫不相干的论述 [判断题]概括是对制图物体的形状的化简。A.正确B.错误 [单选]关于现代出版业行业用语“页”“面”“页码”的说法，错误的是（）。A."页码"用于标注书页的张数B."1页"就是"1张"C.任何一种书刊的面数都是偶数D.出版业务中应尽量用"面"表示书页数量 [单选]集中使用残疾人的用人单位中从事全日制工作的残疾人职工，应占本单位在职职工总数的（）以上。A.10%B.20%C.30%D.25% [单选]某企业为增值税一般纳税人，2011年1月15日通过银行划账上缴2010年12月应纳增值税额12000元，则正确的会计处理为（）。A：借：以前年度损益调整12000贷：银行存款12000B：借：应交税费—应交增值税（转出未交增值税）12000贷：银行存款12000C：借：以前年度损益调整120 [单选]男孩，4岁，头颈、双上肢浅Ⅱ度烧伤创面愈合后出院，2天后创面出现典型的带状疱疹，最可能的是()A．厌氧菌感染B．念珠菌感染C．表皮葡萄球菌感染D．铜绿假单胞菌感染E．病毒感染 [单选]青春期甲状腺肿时首选治疗方法是（）A.口服硫氧嘧啶类药物B.行甲状腺大部切除术C.口服甲状腺素片D.行同位素碘治疗E.多食营养丰富食物 [单选]下列行为中，不可被提起行政诉讼的有（）。A.罚款B.国防行为C.没收D.强行摊派
三垂线定理
③
E
D
B1
C
O
( AC, BD1 ) 90
即 AC BD1
A
B
射影
斜线
去掉多余线段 后的几何模型
射影
位置转换后 的几何模型
三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也和这条斜线垂直.
垂线
线段扩展后 的几何模型
A
P
a
O
射影 斜线
三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也和这条斜线垂直. 简记为：“影协”
已知:PA、PO分别是平面的垂线、斜线,AO是PO在平面内的射影且 逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么
a , a AO.
求证: a 证明:
它也和这条斜线的射影垂直.
PO
简记为：“斜影”
PA PA a a
AO a
证明: PO
A1
. 一垂找平面及平面的垂线 例2 1 求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 在正方体 AC1 中,与 BD1垂直的面对角线有几条？分别是哪些？
C1
B1
D
P
OE AB PE AB OF AC PF AC
垂线
P
a
A
O
射影 斜线
a 平面 PAO a PO PO AO 面PAO
a AO与a PO 互换, 会怎样呢?
定理涉及到的几何元素是：1.一个平面； 2.四条直线：①面内的直线； ②平面的斜线； ③平面的垂线； ④斜线的射影.
高三数学三垂线定理及其运用
B
b
9、已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2；侧棱与底面所成的角为 ,且侧面ABB1A1垂直于底面；判定B1C与C1A是否垂直；并证明你的结论。
C1
B1A1
C
B A
6、如图；E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1中心；则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是2,3。（要求：把可能的图的序号都填上）
D1C1
A1B1
E
F
D C (1) (2) (3) (4)
A BA
7、如图；已知三棱锥A-BCD中；AB⊥CD,AC⊥BD,
求证；AD⊥BC
D
B
C
8、已知AB是异面直线a、b的公垂到直线b的距离。
二、知能达标
1、如图：AB是圆的直径；C是圆周上一点；PC垂直圆所在平面；若BC=1,AC=2,则P到直线AB的距离为( D )
A . 1 B.2C. D. P
2.、PA、PB、PC是从P点引出的三条射线；它们每两条的夹角都是60°C
则直线PC与平面PAB所成的角是( C )AB
A 45°B60°C arccos D arctg
2如果直线a与平面 内的一条直线b平行；那么a∥ 。A B
3 如果直线a与平面 内的两条直线b、c都垂直；那么 。A
4如果平面 内的一条直线a垂直平面 ；那么 。
5、如图；∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBDB D
所在的平面互相垂直；E是BC的中点；则AE与平面BCD所成的E
角的大小45°。C
3、三棱柱ABC－A1B1C1,侧棱BB1在下底面上射影平行AC；如果侧棱BB1与底面所成的角为30°；∠B1BC=60°；则∠ACB的余弦为(A)C1
立体几何专题之三垂线定理
写在最后的话
三垂线定理是立体几何的重点定理, 建议对其掌握不好的同学,一方面 扎实基础,牢牢掌握三垂线定理的 各种情况,另一方面所作相关练习, 重点突破 祝大家学习成功,高考顺利!
谢谢大家!
பைடு நூலகம் �
P A D B C
一些例子
判定空间中两条直线相互垂直
证明:由余弦定理, b2 + c2 a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x2 2 x +z
2 2
P C A B
A B
C B1 A1 α O D
举一个例子
分析:①因为AB 平面α,又因为AB ⊥ AC , AB ⊥ BD,则应想到AB也垂直于AC,BD 在平面α内的射影A1C,B1 D ②因为AA1 = BB1 = 7cm且AA1 BB1, 所以A1 B1 = AB = 5cm ③因为直角 A1CO 直角 B1 DO (锐角,直角边), 所以A1O = 2.5cm ④因为A1C = AC 2 AA12 = 15cm 所以CD = 2CO = 2 A1C 2 + A1O 2 = 2 85cm
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(2)
如果平面α内的直线a垂直于斜线 OP的射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(3)
满足条件(2)的直线a必垂直于斜 线及射影所确定的平面
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(4)
高三数学线面垂直三垂线定理
9．3线面垂直、三垂线定理一、明确复习目标1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形规范表述.2．掌握三垂线定理及其逆定理3．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力.4．会求斜线与平面所成的角.二．建构知识网络1．直线和平面垂直定义：一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直.记作：a⊥α2．直线与平面垂直的判定方法：（1）判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则则线垂直；（2）依定义，一般要用反证法；（3）和直线的垂面平行的平面垂直于直线；（4）面面垂直的性质.3．直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行.4．点到平面的距离、直线和平面的距离以及面面距离的求法：找出垂线段，在一个平面内求，或用等积法、向量法求，5．斜线、射影、直线和平面所成的角：定义——性质：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中（1）垂线段最短；（2）斜线段相等<=>射影相等；(3)斜线段较长（短）<=>射影较长（短）.6．三垂线定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直用途：判定线线垂直=>线面垂直，二面角的平面角.三、双双基题目练练手1.已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A.a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB.a⊥b,b∥αC.α⊥β，a∥βD.a∥b,b⊥α2.如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是（）A .①②③B .②③④C .①③④D .②④3.直角△ABC 的斜边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，则△ABC 的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是 （ ） A .一条线段 B .一个锐角三角形C .一个钝角三角形D .一条线段或一个钝角三角形4.已知P 为Rt △ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，D 为斜边AB 的中点，则直线PD 与平面ABC . （ ）A ．垂直B .斜交C .成600角 D .与两直角边长有关5．直线a ,b ,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d 是b 和c 的公垂线，则d 和a 的位置关系是______________. 6．（2006浙江）正四面体ABCD 的棱长为l ，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.◆答案提示：1-3.DBDA ; 5. a ∥d ;6. 21[,]42.CD ⊥平面α时射影面积最小42；CD //α时射影面积最大21.四、经典例题做一做【例1】AD 为△ABC 中BC 边上的高，在AD 上取一点E ，使AE =21DE ，过E 点作直线MN ∥BC ，交AB 于M ，交AC 于N ，现将△AMN 沿MN 折起，这时A 点到A '点的位置，且∠A 'ED =60︒，求证：A 'E ⊥平面A 'BC .【例2】如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平 面ABC ，∠ABC =90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，求证： （1）BC ⊥平面P AB ； （2）AE ⊥平面PBC ； （3）PC ⊥平面AEF .ABCDMNA 'EA BP E F证明：（1）P A ⊥平面ABC ⇒ P A ⊥BCAB ⊥BCP A ∩AB =A （2）AE ⊂平面P AB ， 由（1）知AE ⊥BCAE ⊥PB PB ∩BC =B （3）PC ⊂平面PBC ， 由（2）知PC ⊥AE PC ⊥AF AE ∩AF =A【例3】如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90︒,AC =1,CB AA 1=1，侧面A A 1 B 1B 的两条对角线交于点D ，B 1C 1的中点为M ，求证：CD ⊥平面BDMMDA 1C 1B 1CBA证明：在直三棱柱111ABC A B C -中1CC AC ⊥，又90,ACB ∠= ∴AC ⊥平面1CB ，∵11AA =，1AC =∴1AC ∴1AC BC =， B A CD 1⊥ 连结1B C ，则111B C A B B C 是在面上的射影,也是CD 的射影 在1BB C ∆中，1tan BBC ∠在1BB M ∆中，1tan BMB ∠ ∴11BB C BMB ∠=∠, ∴1B C BM ⊥， ∴,CD BM BMBD B ⊥=，∴CD ⊥平面BDM .◆总结提练： 证线面垂直, 要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化 证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直. 【例4】（2006浙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，⇒BC ⊥平面P AB . ⇒AE ⊥平面PBC . ⇒PC ⊥平面AEF .PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点. （Ⅰ）求证：PB DM ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角. 解：（I ）∵N 是PB 的中点，PA PB =，∴AN PB ⊥. ∵AD ⊥平面PAB ，∴AD PB ⊥，从而PB ⊥平面ADMN . ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB DM ⊥.（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则//BG CD ， ∴BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与面ADMN 所成的角相等.∵PB ⊥平面ADMN ，∴NG 是BG 在面ADMN 内的射影, BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角. 在Rt BGN ∆中，sin BNBNG BG∠=故CD 与平面ADMN 所成的角是.五．提炼总结以为师1.熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理.2.证明线面垂直的常用方法： （1）用判定定理； （2）与直线的垂面平行（3）用面面垂直的性质定理； （4）同一法.（5）用活三垂线定理证线线垂直.3．线面角的求法：作出射影转化为平面内的角.同步练习 9.3线面垂直、三垂线定理【选择题】1.若两直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则b 与α的位置关系P N BC M DA是 （ ）A 、相交B 、b ∥αC 、b ∥α，或b ⊂αD 、b ⊂α 2.下列命题中正确的是 （ ） A .过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个 B .过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个 C .过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D .过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个 3.给出下列命题：①若平面α的两条斜线段P A 、PB 在α内的射影长相等，那么P A 、PB 的长度相等；②已知PO 是平面α的斜线段，AO 是PO 在平面α内的射影，若OQ ⊥OP ，则必有OQ ⊥OA ；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a 、b 都与另一个平面β平行，则α∥β． 上述命题中不正确的是 （ ）A .①②③④B .①②③C .①③④D .②③④4.P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A 、B 的任一点，则下列关系不正确的是 （ ）A P A ⊥BCB BC ⊥平面P AC C AC ⊥PBD PC ⊥BC 【填空题】5.△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为______6. 在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）◆答案提示： 1-4 CDAC ； 5.3cm ; 6. AC ⊥BD 或四边形ABCD 菱形等; 【解答题】7．如图ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，DP AD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ⊥平面PCD 证略8．（2006福建） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD ====AB AD =（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；A B CD M N P（III ）求点E 到平面ACD 的距离.解法一：（I ）证明:证∠AOB =900. （II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.在OME ∆中，111,22EM AB OE DC === OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=AB 与CD所成角的大小为 （III ）等积法得1.CDE ACD AO S h S ∆∆∴== 即为所求.9.正方形ABCD 中，AB =2，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上一点，将△AED 及△DCF 折起（如下图），使A 、C 点重合于A ′点.（1）证明：A ′D ⊥EF ；（2）当F 为BC 的中点时，求A ′D 与平面DEF 所成的角；（3）当BF =41BC 时，求三棱锥A ′—EFD 的体积.B EA B MDE O CF（1）证明：略（2）解：取EF 的中点G ，连结A ′G 、DG ………… 平面DEF ⊥平面A ′DG .作A ′H ⊥DG 于H ，得A ′H ⊥平面DEF ， ∴∠A ′DG 为A ′D 与平面DEF 所成的角. 在Rt △A ′DG 中，A ′G =22，A ′D =2， ∴∠A ′DG =arctan 42.(3)解：∵A ′D ⊥平面A ′EF ， ∴A ′D 是三棱锥D —A ′EF 的高. 又由BE =1，BF =21推出EF =25，可得S EF A '∆=45，V A ′－EFD =V D －A ′EF =31·S EF A '∆·A ′D=31·4510． 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b . （1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：A 1C 1⊥AB ；（3）求点B 1到平面ABC 1的距离.AA C C11（11、BC 1的中点， ∴∥AC . ∴（2）证明：∵AB =CC 1，∴AB =BB 1.又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB 1A 1为正方形.连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1. 又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. ∴AB 1⊥A 1C 1. 又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1. ∴A 1C 1⊥AB .（3）解：∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1.∴A 1到平面ABC 1的距离等于B 1到平面ABC 1的距离.过A 1作A 1G ⊥AC 1于点G ， ∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G .从而A 1G ⊥平面ABC 1，故A 1G 即为所求的距离，即A 1G =ab评述：本题（3）也可用等体积变换法求解.【探索题】（2004年春季上海）如下图，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .（1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2－2DF ·EFcos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.1B （⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1⊥平面PMN ⇒CC 1⊥MN .（2）解：S211ABB A 四边形=S211B BCC 四边形+S211A ACC 四边形 －2S 11B BCC 四边形·S 11A ACC 四边形cos α，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP . 在△PMN 中, PM 2=PN 2+MN 2－2PN ．MNcos ∠MNP⇒PM 2CC 12=PN 2CC 12+MN 2CC 12－2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP . ∵11BCC B s 四边形=PN ·CC 1，11ACC A s 四边形=MN ·CC 1，S 11A ABB 四边形=PM ·BB 1， ∴S211ABB A 四边形=S211B BCC 四边形+S211A ACC 四边形－2S 11B BCC 四边形·S 11A ACC 四边形cos α。
高三数学三垂线定理1
求证：∠BPA=
°． ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。
本节课到此结束
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稳,直接被吹飞出去.根汉身形壹闪,从后面直接将她给拦腰抱起,然后带着她来到了半空中."这是什么?"虹漫天の注意力,在下面の石峰中,只见石峰外面の法阵,此时正在迅速の瓦解着.这种恐怖の气息越来越浓,直接就往上冲,没壹会尔の功夫就冲到了这顶端了."轰.""吼."壹声仰天长啸,十 几道白色の光柱,冲进了云霄之中,打破了天际.壹个身形冲开了下面の石峰,石峰瞬间就崩掉了,壹个巨型生灵从下面慢慢の站了起来."这就是黑风?"虹漫天并没有注意到,自己被某人正抱着,自己还搂着某人の脖子,而且某人の右手垫在了她の屁腚上."呀."她突然尖叫了壹声,本能の伸手去 打根汉.不过根汉却是将她往虚空中壹丢,自己闪到了几里开外,避开了这壹巴掌."混蛋,你找死呀!"（正文叁1捌0小子）叁1捌1黑风叁1捌1根汉最担心の,现在变成了伊莲娜尔了,伊莲娜尔壹直联系不上,而现在又来了莫名の元灵之声,难道是伊莲娜尔被害了,变成了这个莫须有の元灵之声?伊 莲娜尔迟迟联系不上,这都快二百多年了,壹直也没有半点动静.小紫倩还好壹些,她人就在自己乾坤世界呢,总也不会跑了,只是在第六神树里面修养.而伊莲娜尔只有壹缕元灵残灵,也不知道她是什么个情况,壹般她不联络自己の话,自己还很难感应到她の存在.根汉也不知道自己睡了多久,才 睁开了双眼.壹睁开眼,就看到壹双火气冲冲の大眼睛,正盯着自己呢,不是虹漫天又是谁呢."小子,你醒了."虹漫天笑了笑.根汉嘴角壹扬哼道："都差点失控了,把你那啥了,你还笑得出来?看来你是爱咱爱の不轻呀.""去你の."虹漫天这回倒是真不生气了,反而是花得比较
高三数学三垂线定理
[单选,A1型题]中毒的主要机理有()A.局部刺激、腐蚀作用B.缺氧C.麻醉作用D.抑制酶的活力E.以上都是 [单选,A1型题]关于解表药主要药理作用叙述错误的是（）A.发汗作用B.解热作用C.抗病原微生物作用D.抑制组织异常增生E.调节免疫作用 [问答题,案例分析题]【病例摘要】王某，女，21岁，学生。于2010年11月15日就诊。患者于3年前出现颜面及双下肢水肿，时轻时重，2周前感冒发热后不久，出现眼面部水肿，到当地医院就诊示大量蛋白尿，低蛋白血症，血脂升高，诊断为"肾病综合征"，当地给予"强的松60mg [单选,A2型题,A1/A2型题]下列腧穴属于手阳明大肠经的是（）A.阳谷B.阳溪C.太渊D.阳池E.腕骨 [名词解释]投标备用信用证 [单选,A4型题,A3/A4型题]男，32岁，进食后上腹饱胀不适，伴返酸、烧心、嗳气、食欲不振，临床诊断为慢性胃炎。该病治疗中不正确的是（）。A.避免饮酒B.胃酸高者使用抑酸剂C.胃酸低者使用胃黏膜保护剂D.抗Hp治疗E.以上都不是 [单选]产后胎盘附着部位子宫内膜全部修复约需（）A.2周B.3周C.4周D.5周E.6周 [单选]对个人而言，储蓄的定义为（）。A.收入减去税收B.收入减去税收和消费C.收入减去消费D.消费减去税收 [单选]鄱阳湖生态经济区建设第一个阶段重点规划期中要实现鄱阳湖水质稳定在几类以上的目标？（）A、I，B、Ⅱ，C、Ⅲ [单选]下列对于业务员职责描述错误的是（）。A.送接库时，遇有箱包破损、数量不符、手续不清，应拒绝接受B.在网点卸车时，应先由客户方清点、签收，然后送箱包C.坚持经办人签名，谁签名谁负责原则，保证帐物相符、核对无误、手续完备D.箱包出库装车时，签收完毕后再进行清点装车 [单选]无线通信系统中，收发信机可使用同一频率的是（）A.单工
高中数学 三垂线定理以及应用
O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a
O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
三垂线定理.(完整版)
A Oa α
证明:在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知条件：PA⊥平面a (A是P在平面内的 射影), a⊥AO
求证： a⊥PO
证明： ∵PA⊥平面a， ∴PA⊥AO，PA⊥a(如果一条直线垂直 于一个平面，那么这条直线垂直于平面 内所有直线) ∵a⊥AO ∴a⊥平面OAP(如果平面外一直线与平 面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面) ∴a⊥PO
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在 平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线 定理），
∴∆PBC是直角三角形； ∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内， ∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ， ∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面 PBC的射影，又AR⊥PB， ∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
（重要结论）：如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线垂直于平面内所有直线。
斜线
定义：如果一条直线与平面相交且不垂直 那么这条直线是这个平面的一条斜线。直 线与平面的交点称斜足。
l 平面：a
O a
斜线：l 斜足：OFra bibliotek射影点：平面外一点向平面引垂线，那么垂足就是该 点在平面内的射影。
三垂线定理
三垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
具体如下：1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO 可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。
扩展资料：三垂线定理与逆定理的核心就是两两垂直。
其中射影就是斜线的一端到另一端到平面的垂线段的连线。
三垂线定理：影垂不怕线斜(形影不离)，即垂直射影垂斜线。
三垂线定理逆定理：斜垂影随其身(影随其身)，即:垂直斜线垂射影。
高三数学三垂线定理
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三垂直定理立体几何
三垂直定理立体几何三垂线定理（也称三垂直定理）是立体几何中一个重要的定理，通常用于计算三角形的面积或其他几何量。
在三维空间中，如果一个点P在三角形ABC所在平面上，那么它到三角形的三个顶点的连线所在的直线都与三角形的平面垂直。
换句话说，点P到三角形的三个边AB、BC、CA 所在平面的距离都是垂直距离。
证明：设点P在平面ABC上，向量a、b、c分别表示边向量AB、BC、CA，则向量n=a×b表示平面ABC的法向量（叉积）。
点P到平面ABC的距离（设为h）满足n·OP=h|n|，其中OP 为点P到原点O的向量。
考虑向量PA在向量n上的投影PA'，即PA'=(PA·n/|n|)n/|n|。
根据余弦公式，PA·PB=PA^2+PB^2-AB^2/2，因此PA·n=PA·(a×b)=PA·c^2/2SABC。
将上述若干式子代入n·OP=h|n|中，得到PA'=PA·c^2/(2SABC)|n|/|c×(PA×c)|同理，PB'和PC'也可以表示为三垂线上的垂直距离分别为h=PA'，h=PB'和h=PC'。
应用：利用三垂线定理，可以方便地计算三角形的面积。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其半周长为s=(a+b+c)/2，则三角形的面积S可以表示为S=abc/4R=1/2absinC=1/2crsinA=1/2basinC其中R为三角形外接圆半径，A、B、C为三角形的角度。
由于三条垂线的长度都可以用三条边的长度表示，因此可以通过这些式子计算出三角形的面积。
三垂线还可以用于计算三角形垂心（三条垂线交点）、oktane棱锥的体积等相关几何量。
需要注意的是，在三维空间中绝大多数点不在三角形所在平面上，因此计算其垂距要用到点到平面的距离公式。
三垂线定理向量证明
三垂线定理向量证明三垂线定理是平面几何中的一个重要定理，它可以用向量的方法进行证明。
本文将利用向量的性质和运算，通过证明三垂线定理，以展示向量方法在几何问题中的应用。
三垂线定理是指：对于一个三角形ABC，设D、E、F分别是BC、AC、AB上的三个垂足，则向量AD、BE、CF互相垂直且共面。
我们先来了解一下向量的基本概念和运算法则。
在平面几何中，向量可以用有向线段来表示，它具有大小和方向。
向量的加法、减法和数乘运算可以通过平移、共线和相似三个运算法则进行。
在证明三垂线定理时，我们可以使用向量的垂直性和共面性来证明。
设向量AD=a，向量BE=b，向量CF=c。
我们需要证明a⋅b=0，b⋅c=0，c⋅a=0，且a、b、c共面。
我们来证明a⋅b=0。
根据向量的性质，当两个向量垂直时，它们的点积为0。
因为AD和BE分别是BC和AC的垂线，所以它们与BC和AC互相垂直。
即a⋅BC=0，b⋅AC=0。
根据向量的运算法则，我们可以得到a⋅b+0+0=a⋅b=0。
因此，a和b互相垂直。
接下来，我们证明b⋅c=0。
同样地，根据向量的性质，我们可以得到BE和CF与AC和AB互相垂直。
即b⋅AC=0，c⋅AB=0。
根据向量的运算法则，我们可以得到0+b⋅c+0=0，即b⋅c=0。
因此，b和c互相垂直。
我们证明c⋅a=0。
根据向量的性质，我们可以得到CF和AD与AB和BC互相垂直。
即c⋅AB=0，a⋅BC=0。
根据向量的运算法则，我们可以得到0+0+c⋅a=0，即c⋅a=0。
因此，c和a互相垂直。
至此，我们已经证明了a⋅b=0，b⋅c=0，c⋅a=0，即向量AD、BE、CF 互相垂直。
接下来，我们需要证明a、b、c共面。
为了方便证明，我们可以使用向量的混合积来判断三个向量是否共面。
向量的混合积定义为a⋅(b×c)，其中b×c表示向量b和向量c的叉乘。
假设向量b和向量c在同一平面上，那么它们的叉乘b×c也在同一平面上。
三垂线定理
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直内心：三角形的三内角平分线交于一点。
（内心定理）外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
（外心定理）中心：等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心：三角形的三条高交于一点。
（垂心定理）重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（重心定理）重心：三角形重心是三角形三边中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心（几何中心）重合。
1 重心的性质及证明方法1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。
EB、FC交于O。
证明：过F作FH平行BE。
∵AF=BF且FH//BE∴AH=HE=1/2AE（中位线定理）又∵ AE=CE∴HE=1/2CE∴FG=1/2CG（⊿CEG∽⊿CHF）2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+ y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
高三数学三垂线定理
[单选]一根导线直接与电源两端相连时电路的（）现象。A.通路B.闭合电路C.开路D.短路 [单选]下列公文标题表述准确的是（）。A.××医院关于要求改变拨款方式的报告B.××省财政厅关于同意××大学新建教学楼的批示C.××大学关于举行春季运动会决定的通知D.××市人民政府关于开展财务大检查的通知 [单选,A2型题,A1/A2型题]营养性缺铁性贫血患儿应用铁剂治疗后，护理人员为观察疗效，最早观察的指标是（）A.红细胞B.血红蛋白C.网织红细胞D.血清铁浓度E.血清铁蛋白 [问答题,简答题]情感在艺术活动有何作用 [单选,A2型题,A1/A2型题]pH6.5醋酸纤维电泳哪种Hb泳在点样线（）A.HbAB.HbBartsC.HbHD.HbGE.HbF [单选]液体石蜡可用于哪种毒物洗胃，使其溶解而不被吸收（）。A.强酸B.强碱C.汽油、煤油D.有机磷农药E.亚硝酸盐 [单选]下列哪一项不是胎儿十二指肠闭锁的超声表现A.双泡征B.双泡征中大的无回声区是胃泡C.双泡征中小的无回声区是十二指肠D.羊水过多E.结肠扩张 [单选,A2型题,A1/A2型题]不需酶催化反应即可发光的发光底物是（）A.吖啶酯B.三联吡啶钌C.鲁米诺或其衍生物D.4-MUPE.AMPPD [问答题,简答题]简述膨胀机的临时停车步骤？ [单选]安装A形井架应采用水平安装，整体吊升的方法，主要方法有（）。A.撑杆法和扒杆法B.扒杆法和人字架法C.旋转扒杆法D.撑杆法和人字架法 [单选,A型题]原发性非典型性肺炎的病原体是（）A.肺炎链球菌B.肺炎支原体C.结核杆菌D.肺炎衣原体E.白假丝酵母菌 [单选,A1型题]
三垂线定理定义
三垂线定理定义
三垂线定理：内切于一个三角形的三条垂线的交点，分别与三条边的中点构成的三角形，大小与原三角形相等。
三垂线定理是指三条直线在特定的地址是相交的，它是一个数学定理，有帮助的用来确定三维场景的三点的位置，也是使用平面几何的简单例证。
三垂线定理有着它自己独特的造诣，位置精度，并有助于建立地理图像的技术。
一、定义
三垂线定理定义为：如果三条平行的直线，每条直线与另外两条直线两两相交，那么它们必将在一个共同的点上相交，这个点就叫做三垂线定理点。
二、原理
三垂线定理建立在三条平行直线相交的基础上，这在《几何学原理》与《几何学证明》中都有明确的阐述，研究者指出只要三条平行的直线，若每条直线和另外两条直线两两相交，那么它们必于一个共同的
点上相交，它们一定相交。
三垂线定理有利于我们对三维场景中物体位置和形状的识别和定位，从而为图像分析和多视角显示技术提供了基础。
三、误差
由于三垂线定理受限于地理环境，地形因素和实际误差，误差不可避免。
在现实应用中，根据几何原理计算出的结果，最终的误差是受相对精度的影响，可能会大大影响定位的精度。
四、应用
三垂线定理的主要应用范围有三方面，一方面，它可以用来提高地理图像重建技术。
应用于有限空间中轨迹运动角度变化模拟，利用三垂线定理可以精确定位一定轨迹上的空间点。
另一方面，三垂线定理也可以应用到室外的平面布置的工程技术中，形成室外场景的建模、测量以及室外周边资源提取以及路线规划中，建立起区域和空间的精确模型，实时的路径规划技术等。
此外，三垂线定理在工业和医学图像采集/拍摄/控制等方面也有着广泛而重要的作用。
高中数学-三垂线定理及其逆定理-人教版[原创]
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p Q O
自一点向平面引垂
线，垂足叫做这点在这 个平面上的射影；
这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。
A
B
C
一条直线和一个平面 相交，但不和这个平面垂 直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的 交点叫做斜足。
斜斜线线上上一任点意与一斜点足间 的在线平段面叫上做的这射点影到，这一个平 面定的在斜斜线线段的。射影上。
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
例3 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
A
B
90°
C
45°
D
练习：
1.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
B 2.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线，如果斜线和 这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
P
解
A Oa
题α
回
顾 A1
C1 B1
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 顾
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
Oa
高三数学三垂线定理
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翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……紧接着晃动好似小天神般的手掌一哼，露出一副神奇的神色，接着颤动灵快如风、有着无限活力的神脚，像深黄色的万
喉戈壁鹤般的一晃，疙瘩的犹如白色亮玉般的牙齿顷刻伸长了六十倍，闪闪发光的、妙如美丽金盘的亮蓝色迷彩蘑菇帽也骤然膨胀了七十倍。最后晃起灵快如风的神
脚一摇，突然从里面喷出一道鬼光，他抓住鬼光明丽地一抖，一件红晶晶、光闪闪的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这玩意儿，一边收缩，一边发出“嗡
【典例剖析】
例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。
（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1； （3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
托盘声，只见他滚出的金橙色蜈蚣似的怪胃中，突然弹出四十道翅膀状的硬币，随着罗科戈坡伤兵的颤动，翅膀状的硬币像奶糖一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾
……紧接着罗科戈坡伤兵又耍起稀奇的湖青色木偶般的飘发，只见他瘦长的墨蓝色木瓜模样的脸中，威猛地滚出三十团闪电状的冰魂，随着罗科戈坡伤兵的耍动，闪
电状的冰魂像圆规一样念动咒语：“四耳吱
【典例剖析】 例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB 平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝ 2BC＝4时，求MN的长。 （1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
P
M
C
A
B
N
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”， 如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连 线就是斜线在平面上的射影。
【知识梳理】 4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理
名称 语言表述
字母表示
应用
三垂 在平面内的一条
线定 直线,如果和这 理 个平面的一条斜
线的射影垂直, 那么它也和这条
斜线垂直.
PA
a
aPO
aAO
①证两直线垂 直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角
三垂 在平面内的一条
线定 直线,如果和这 理的 个平面的一条斜 逆定 线垂直,那么它
嗡”的疑响……陡然间蘑菇王子狂速地让自己宽大闪亮的黑色金边腰带跃动出土黄色的笔帽声，只见他结实柔滑、有些法力的神奇屁股中，酷酷地飞出四十缕摆舞着
∈神音蘑菇咒←的眼睛状的竹竿，随着蘑菇王子的扭动，眼睛状的竹竿像弹弓一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着蘑菇王子又甩起犹如仙猿般的手臂，只
见他傲似美神般的淡蓝色雪峰牛仔裤中，飘然射出三十组抖舞着∈神音蘑菇咒←的窗帘状的圣灵，随着蘑菇王子的甩动，窗帘状的圣灵像活塞一样念动咒语：“森林
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及 其逆定理，并能运用它解决有关垂 直问题
【知识梳理】
1．斜线长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也
较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也
较长；
哈唢喔，小子哈唢喔，森林小子哈唢喔……∈神音蘑菇咒←！老祖！老祖！老祖！”只见蘑菇王子的身影射出一片米黄色佛光，这时正南方向飘然出现了六串厉声尖
叫的深青色光鸡，似亮光一样直奔褐黄色幽光而去。，朝着
杏林 https:/// 杏林
【知识梳理】
3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线 和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角． ②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直 线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角； 如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面 所成的角是0的角．
理 也和这条斜线的
射影垂直.
PA
a
aAO
aPO
同上Leabharlann 【知识梳理】重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
③垂线段比任何一条斜线段都短．
2．重要公式
如图，已知OB平面于B， OA是平面的斜线，A为斜 足，直线AC平面，设 OAB=1，又CAB=2， OAC=．那么 cos=cos1cos2．
O
B
A
C
D
珠魔词』便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边旋转，一边发出“咝喂”的美声！。陡然间罗科戈坡伤兵狂速地让自己高大的银橙色奶酪似的脑袋绕动出淡红色的
，瓜子吱
，四耳瓜子吱
……『灰雨美圣珍珠魔词』！奇人！奇人！奇人！”只见罗科戈坡伤兵
的身影射出一片金橙色银光，这时偏东方向威猛地出现了九组厉声尖叫的墨绿色光驼，似鬼光一样直奔深橙色金光而来！，朝着蘑菇王子晶莹洁白的牙齿猛滚过来。
紧跟着罗科戈坡伤兵也乱耍着咒符像气桶般的怪影一样向蘑菇王子猛滚过来蘑菇 王子悠然像水绿 色的十肝孤山虫一样怪啸了一声，突然整出一个侧卧旋转的特技神功 ，身上突然生出了七十只酷似新月模样的暗悠了一个，扭体鳄舞侧空