三角形的中位线

三角形的中位线（一）

一、教学目的和要求

使学生了解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线性质定理的证明和应用。 通过定理的证明进一步培养学生的逻辑推理能力。 二、教学重点和难点

重点：掌握三角形中位线定义，及性质定理的证明。 难点：证题中正确添加辅助线。 三、教学过程

（一）复习、引入 提问：

1、平行线等分线段定理的内容

2、叙述定理的两个推论（画图示意） 练习：见图1

AD 是ABC ∆中BC 边上的中线，E 为AD 的中点，连结BE 并延长交AC 于F ，若AF=2，求AC 的长。

A

B D

C 图1

过D 点作BF 的平行线交AC 于M ，因为BD=DC ，AE=ED ，利用平行线等分线段定理推论2，可得AF=FM=MC ，所以AC=6。

如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？

已知：D 、E 是ABC ∆中AB 、AC 边的中点，则DE//BC 。这就是我们今天将要研究的课题。

（二）新课

定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 DE 叫做ABC ∆的中位线。 注意：

1. 中位线是线段，它的端点是三角形两边的中点。

2. 中位线与中线都是三角形的重要线段，它们端点位置不同，是两个不同的概念。 每个三角形有三条中位线。

下面我们研究三角形的中位线与第三边的数量及位置关系。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 已知：如图2，ABC ∆中，AD=DB ，AE=EC 求证：BC DE BC

DE 2

1,//=

图2

分析：证明一条线段是第二条线段的一半，可将第一条线段倍长，证明等于第二条线段；也可将第二条线段取中点，证明其一半等于第一条线段。这里我们用第一种方法。

证明：延长DE到F使EF=DE，连结CF

在中

四边形DBCF是平行四边形。

DE//BC

小结：到目前为止，在我们学过的定理中，结论存在一条线段等于另一条线段一半的有哪些？

1. 直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半。

2. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

3. 三角形中位线定理。

例1已知：如图3，中，，D、E、F分别是BC、AB、CA边的中点，求证：AD=EF

C

D

F

A E B

图3

分析：要证AD=EF，我们先要结合图形认识线段AD、EF在图形的位置就会很容易找到解决问题的方法。

AD是斜边BC的中线，所以，EF是的中位线，所以。

证明：

分别是AB、AC的中点

例2求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

已知：矩形ABCD中，H、E、F、G分别是四边AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形HEFG是菱形。

分析：判定菱形，可以用一组邻边相等的平行四边形；四边相等的四边形……。

分析题目条件中，由于中点条件较多，联想到三角形中位线定理，利用对角线将矩形分割成三角形，则得到所证四边形各边均等于对角线的一半，而矩形的对角线相等。

证明：连结AC、BD。

此题还可以用全等三角形证明四边相等，但不如利用三角形中位线简便。

例3已知：如图139，正方形ABCD中，AC、BD交于O点，的平分线交AC于E，交DC于F。

A D

F

B C

图5

求证：

分析：观察图形，在中，DF是底边，O是BD的中点，如果E也是BF中点，那么可得。但是显然E不是BF中点，所以我们要做出这个三角形的中位线，再证明OE就等于中位线长。作OG//DF，那么。只需证OG=OE。

证明：过点O作OG//DC，交BF于Ｇ

在正方形ABCD中，

此题还可以把OE看成是三角形的中位线，作出三角形的底边，再证DF等于三角形的底边。即过D点作AC的平行线交BF的延长线于H，则，只需证DF=DH即

可。

（三）巩固练习

1. 已知顺次连结三角形各边中点所成三角形的周长是10cm，求原三角形的周长。(20cm)

2. 求证：任意四边形一组对边中点的线段，小于两条对角线和的一半。

已知：如图140，四边形ABCD中，M，N分别为AD、BC边的中点。

图6

证明：取AB 的中点E ，连结EM 、EN

)

(2

1

2

1

212

1

,21,,BD AC MN MN AC BD MN EN EM EMN AC

EN BD EM NC

BN EB AE MD AM +<>+∴>+∆==∴===即中在

（四）小结

今天所讲的三角形中位线定理很重要，它的应用广泛且灵活。添加辅助线要根据图形具体分析，可以过三角形的一边中点作底边的平行线；若有两个或两个以上中点时，连结边的端点构造成三角形的中位线的形式。 （五）作业

1. 已知三角形三边之比为3:4:5，且周长为60cm ，连结三边中点，求所得三角形各边长。

2. 已知，在四边形ABCD 中，对边AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 、N 分别是DC 、AB 的中点。求证：PNM PMN ∠=∠。

3. 在ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，E 、F 、G 分别是AC 、AB 、BC 的中点。求证：四边形DEFG 是等腰梯形。

4. 四边形ABCD 两条对角线AC 、BD 相等，M 、N 为一组对边的中点，MN 交BD 于E 、交AC 于F ，两对角线交于O 。 求证：OEF ∆是等腰三角形。