数列的极限讲解

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数列的极限-高中数学知识点讲解

数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。

《数列的极限》课件

单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接近一个点，那么这个数列就是收敛的，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。

数列的极限知识点归纳总结

数列的极限知识点归纳总结数列的极限是高中数学中重要的概念之一，它在解析几何、微积分等数学领域中起着重要的作用。

本文将对数列的极限进行知识点归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、定义和概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数的集合。

数列可以用公式表示，常用的表示方式为{an}或{an}∞n=1。

2. 数列的极限定义：对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε，那么称数列{an}的极限为a。

3. 数列的收敛和发散：如果数列{an}存在极限，称该数列收敛；否则，称该数列发散。

二、极限的性质1. 极限唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

2. 有界性：对于收敛数列{an}，存在一个正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M。

3. 夹逼定理：如果{an} ≤ {bn} ≤ {cn}，并且lim an = lim cn = a，那么lim bn = a。

4. 四则运算法则：若数列{an}和{bn}收敛，并且lim an = a，lim bn = b，则有以下运算结果：- lim(an ± bn) = a ± b- lim(an · bn) = a · b- lim(an / bn) = a / b (b ≠ 0)三、重要的数列极限1. 常数数列：对于常数c，数列{an} = c（n为正整数）的极限为c。

2. 等差数列：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，极限为lim an = a1。

3. 等比数列：对于等比数列{an} = a1 · q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比，当|q| < 1时，极限为lim an = 0；当|q| > 1时，极限不存在。

4. 幂函数数列：对于幂函数数列{an} = n^p，其中p为实数，当p >0时，极限为正无穷大；当p < 0时，极限为0。

数列极限的知识点总结

数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。

数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。

1.2 数列极限接着要了解数列的极限。

数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。

如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。

如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。

1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。

这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。

1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。

对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。

1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。

2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。

3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。

以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。

二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。

2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。

2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。

§1.1数列的极限讲解

数列的变化趋势.
1 2 3 n ，，，，， 2 3 4 n1
1 1 1 ( 1)n1 1，，，，，， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，， 1 0，， 1 ，， 2
什么叫数列的极限？
lim xn a 0， N Z ，当 n N 时，
n
有 xn a .
关键:正整数N的存在性证明. 其基本思路：从
不等式 xn a 反解 n，再确定 N .
注：证明极限常用的方法是放缩法.
n a 思考题 (1)证明 lim n n 1; (2) lim 0( a 0). n n n !
此时也称数列{ xn }是收敛的，否则称其发散.
注：
(1)定义中的正整数 N 是与任意给定的有关的，它随着的给定而选定，是不唯一的. (2)定义的等价形式：
定义设 { xn }为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数 (无论它多么小)，总存在正整数 N ，使当 n N时，不等式 | xn a | k
1 2 3 n ，，，，， 2 3 4 n1
1 1 1 n 1 1 1，，，，， ( 1) ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，，，， 1 0 1 ，， 2
数列的几何表示(一)
n1
( n 1, 2,
) 是发散的.
1 取，则存在 N ，使当n N 时，有 2
1 1 a xn a 2 2
但因 xn 交替取值 1 与－1，而此二数不可能同时落在长度

§1.3 数列的极限

11
例3
证明 lim
n
n→ ∞
a = 1, 其中 a > 0.
n
证任给 ε > 0, 要使
n
a − 1 < ε,
n
ln a , 若a < 1, 只要 1 − a < ε, a > 1 − ε, 即 : n > ln(1 − ε ) ln a ], 取N 1 = [ ln(1 − ε ) ln a n n , 若a > 1, 只要 a − 1 < ε , a < 1 + ε , 即 : n > ln(1 + ε ) ln a ], N = max{ N 1 , N 2 }, 则当 n > N时, 取N 2 = [ ln(1 + ε )
第三节
数列的极限
1
一、数列的极限的概念
1、数列的定义、
定义:按自数定义按然 1,2,3,L 号次列一数编依排的列
x1 , x2 ,L, xn ,L
(1)
称为无穷数列简称数列.其中的每个数称为数称为无穷数列,简称数列其中的每个数称为数无穷数列简称数列的 , 列(1)记列项 xn 称通 (一项数为项一项).数般列记 { xn }. 为
xk +1 = 6 + xk > 6 + xk +1 = xk + 2
故由归纳法，对一切正整数，故由归纳法，对一切正整数n，都有 x n > x n +1 即 {xn }为单调减少数列，且xn > 0, ( n = 1, 2, L) 为单调减少数列，所以 lim x n 存在为， a = 6 + a a ≥ 0 存在为a 有解得 lim xn = 3. n→ ∞

数列与函数的极限公式概念

极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。

二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则：设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。

数列的极限

如
1，−1，1，−1，
{x2 k −1} 收敛于1；
{x2k }收敛于 −1；
但此数列发散.
【注 2】对于 {xn}，若 x2k−1 → a，x2k → a，则 xn → a.
20
1.2 数列的极限
一、数列极限的定义二、收敛数列的性质
1
一、数列极限的定义
1.引例割圆术
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
2
割圆术过程：
……
3
记正六边形的面积为 A1；
正十二边形的面积为 A2；
R
正 6 × 2n−1 边形的面积为 An.
=
a
或 xn → a（n → ∞）
如果数列没有极限，就说数列是发散的.
【注1】不等式 xn − a < ε 刻划了xn 与a的接近程度；【注2】】lim n→∞
xn
=
a 的几何意义：
注意到 xn − a < ε ⇔ a − ε < xn < a + ε.
∀ε > 0，可找到一个 N，只要 n > N，所有 xn 都落在
的极限为0.
证明: ∀ε > 0 (设 ε < 1)，要使 xn − 0 < ε ，
由于 xn − 0 = qn−1 − 0 = q n−1，只要 q n−1 < ε，
即 (n −1) ln q < ln ε ，亦即，n > 1+ ln ε ，
ln q
因此，取
N=
[1
+
ln ln
ε
q
]，
当n

数学分析讲解数列极限

例7 设数列{xn}对常数A和0 < q <1满足条件
| xn1 A | q | xn A | (n N)
证明
lim
n
xn
A.
例8
设
x1
1,
xn1
1 1 xn
,
(n
N).求
lim
n
xn
三、收敛数列的性质
定理1 （唯一性）若数列{xn}存在极限，则其极限值必唯一. 即
若lim n
xn
A, 又 lim n
推论1 若
lim
n
an
a , 则有
lim a1 a2 L
n
n
an a
推论2
若an
>
0,
且
lim
n
an
a
,
则有
lim n
n
a1 a2 L
an
a
推论3
若an
>
0,
且lim n
an an1
a , 则有
lim n
n
an
a
例14
求极限
12 lim
22
n
2 32 3 3L n2 n n n3
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim
n
yn ;
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim n
yn ;
(lim n
xnm
Am ,
m N)
(lnim(cxn
)
cA
c
lim

数列的极限与无穷级数知识点总结

数列的极限与无穷级数知识点总结数学中的数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列的极限与无穷级数是数学中重要的概念，对于理解和应用数学具有重要作用。

本文将对数列的极限与无穷级数的知识点进行总结和讲解。

一、数列的极限1. 数列的定义：数列是一种按照规律排列的数的序列。

数列可以用一般形式表示为 {an} = a1, a2, a3, ..., an, ...，其中 an 表示第 n 个数。

2. 数列的极限定义：若数列 {an} 中的数随着 n 的增大趋向于一个确定的数 L，即lim(n→∞) an = L，我们称数列 {an} 的极限为 L。

3. 数列极限的性质：a) 如果数列 {an} 的极限存在且为 L，则数列 {an} 是有界的，即存在常数 M，使得|an| ≤ M 对于所有 n 成立。

b) 数列的极限存在的充分必要条件是其数列是收敛的。

4. 数列的常见极限：a) 等差数列的极限：对于公差为 d 的等差数列 {an} = a1, a1 + d,a1 + 2d, ..., a1 + (n-1)d, ...，其极限为无穷。

b) 等比数列的极限：对于公比为 q 的等比数列 {an} = a1, a1q,a1q^2, ..., a1q^(n-1), ...，若 |q|<1，则极限为 0。

二、无穷级数1. 无穷级数的定义：无穷级数是数列中所有项的和，通常用∑ 表示。

无穷级数可以表示为 S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中 an 表示第 n 项。

2. 无穷级数的收敛与发散：a) 若无穷级数的部分和数列 {Sn} 收敛于一个确定的数 S，则称该无穷级数为收敛级数，记作∑ an = S。

b) 若无穷级数的部分和数列 {Sn} 发散，则称该无穷级数为发散级数。

3. 无穷级数的收敛性测试：a) 正项级数收敛性测试：若对于正数项级数∑ an，当且仅当∑ an 的部分和数列 {Sn} 有界时，该级数收敛。

数列的极限与无穷级数详细解析与归纳

数列的极限与无穷级数详细解析与归纳数列（Sequences）是数学中非常重要的一个概念，它在各个数学分支如微积分、线性代数和实分析等中都扮演了重要的角色。

数列的极限以及与之相关的无穷级数（Infinite Series）也是数学学习过程中不可或缺的内容。

本文将详细解析数列的极限和无穷级数，并进行归纳总结。

一、数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的数值逐渐接近于某个固定的值。

数列的极限可以分为有界数列的极限和无界数列的极限两种情况。

1. 有界数列的极限对于有界数列，存在一个实数M，使得数列中的所有项都小于等于M。

有界数列的极限可以通过一些基本的定理判断。

（1）夹逼定理（Squeeze Theorem）对于数列{an}、{bn}和{cn}，如果对于所有的n，有an ≤ bn ≤ cn，且lim(an) = lim(cn) = L，那么lim(bn) = L。

（2）单调有界数列的极限单调有界数列指的是数列满足单调性并且有界。

如果一个数列既是递增的又是有上界的，或者既是递减的又是有下界的，那么它一定有极限。

2. 无界数列的极限对于无界数列，其项数随着增大而无限增大或无限减小。

无界数列的极限可以通过数列的增长趋势来判断。

（1）正无穷大和负无穷大的极限当数列中的项数趋向于无穷大时，如果数列的值无限增大，我们称之为正无穷大，记作lim(an) = +∞；如果数列的值无限减小，我们称之为负无穷大，记作lim(an) = -∞。

（2）无界变号数列的极限当数列中的项数趋向于无穷大时，如果数列的值在正值和负值之间变换，且无限接近于无穷大或无穷小的极限，我们称之为无界变号数列，并且它没有极限。

二、无穷级数无穷级数是指数列的所有项之和，而不是有限项之和。

无穷级数可以表示为S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中an为数列的第n项。

对于无穷级数，有以下几个重要的概念和定理：1. 部分和（Partial Sum）无穷级数的部分和指的是前n项的和，记作Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。

数列极限的解释

数列极限的解释
在数学中，数列极限是一种重要的概念，用来描述数列中的值如何无限接近某个特定的值。

数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的列表。

数列极限的定义是：对于给定的数列，如果随着数列项的无限增多，数列中的值趋近于一个特定的值，我们就说这个特定的值是该数列的极限。

可以将这种趋近视为无限接近特定值的过程。

通常，数列的极限可以通过数学表达式或符号来表示。

当我们说数列{1，1/2，1/3，1/4，...}的极限为0时，可以用数学符号表示为lim(1/n) = 0，其中lim代表极限，n代表数列的索引。

数列极限的概念有助于我们研究数列中的趋势和性质。

在数学和应用领域中，数列极限的研究具有重要的意义。

它可以帮助我们预测数列的未来行为，解决各种实际问题，以及推导出其他数学定理。

数列极限的理解与实际生活中一些有趣的现象相似，当我们不断增加一个球的弹跳次数时，每一次弹跳的高度都会趋近于某个极限值。

这个极限值可以被视为数列的极限。

数列的极限讲解(课堂PPT)

函数与极限
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
函数与极限
R
目录上一页下一页退3出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
函数与极限
目录上一页下一页退9出
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
令n a 1 n 0, 于是
a = (1 n )n 1 nn nn
1 nn nn
0, 为了使
n
a
1
λn
a n
ε,
λn
a n
只要使
n
a, ε
因此,
取N
a
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则当n > N 时,有
n
a
1
n
. 即
函数与极限
lim
n
n
a
1.
16
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界,
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .

数列极限的通俗理解

数列极限的通俗理解1. 导言数列是指从一个自然数开始，按照某一个法则依次列出的一串数字。

而数列极限是指随着数列中的数字不断增多，最终趋于一个确定的数值。

本文将从通俗易懂的角度讲解数列极限的概念以及其背后的原理。

2. 数列极限的定义一个数列的极限定义为当数列中的数值趋近于某个确定的值时，这个确定的值即为该数列的极限。

比如，数列：1，2，3，4，5……它的极限为无穷大（∞），因为这个数列中的数值不断增大，但没有达到一个确定的值。

3. 实例分析现在我们来看一个例子：1/2，2/3，3/4，4/5，5/6……这个数列中的数值逐渐逼近1，那么我们可以说这个数列的极限为1。

为什么数列的极限是1呢？我们可以用小学数学知识来解释，因为这个数列中的每一个数值都是比前一个稍微大一点，而且永远比1小，所以我们可以确定这个数列的极限是1。

4. 数列极限的重要性数列的极限在数学中是一个非常重要的概念，因为它很好地解释了一些复杂的数学现象。

比如在微积分中，导数和积分这两个概念都和极限息息相关。

同样，极限还能用来解决一些物理问题，如速度和加速度问题等。

5. 数列极限的思考数列极限和普通的数学概念不同，它需要我们更加深入地去思考。

在计算数列的极限时，我们需要明确数列中的每一个数值是否满足某种规律，并从中寻找这个数列的极限。

这在一定程度上对我们的逻辑思维能力提出了挑战。

6. 结语总之，数列极限是数学中一个重要而有趣的概念，它在现代数学和物理学中都占有着重要的地位。

在计算数列极限时，需要我们不断去思考、尝试，这也正是数学研究的魅力所在。

数列极限的定义怎么理解

数列极限的定义怎么理解
常考数列极限定义怎么去理解？正在学习这个知识点的考生可以看看，下面小编为你准备了“数列极限的定义怎么理解”，仅供参考，祝大家阅读愉快！
数列极限的定义怎么理解
极限就是当n无限增大时,an无限接近某个常数A；
也就是n足够大时,|an-A|可以任意小,小于我给定的正数E；
也就是当n大于某个正整数N时,|an-A|可以小于给定的正数E；
即:对于任意E>0,存在正整数N,当n>N时,|an-A|。

拓展阅读：数列极限定义与性质
数列极限定义
定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|Xn - a|<ε都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。

记为lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)。

数列极限的性质
1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的;
2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。

几个常用数列的极限：
an=c 常数列极限为c；
an=1/n 极限为0；
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0。

数列极限的定义和性质

数列极限的定义和性质数列是指按照一定规律排列的一系列数，而数列极限是数列理论中的重要概念之一。

在本文中，我们将探讨数列极限的定义和性质，并对其应用进行简要介绍。

一、数列极限的定义在数列中，当它的项逐渐趋于某个值时，我们称这个值为该数列的极限。

形式化地说，设有数列{an}，若对于给定的数ϵ（ϵ>0），总存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an与极限值之差的绝对值|an - A|<ϵ都成立，则称极限A为数列{an}的极限，记为lim(an) = A。

要注意的是，数列的极限并不一定要存在，可能是有限的，也可能是无穷的。

二、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它是唯一的，即一个数列只能有一个极限。

2. 数列收敛的必要条件：若数列{an}收敛，那么它是有界的。

即如果一个数列存在极限，那么它必然是有上下界的。

3. 数列极限的保号性：若数列{an}的极限为A，并且A>0（或A<0），那么当n充分大时，数列的每一项an也大于0（或小于0）。

4. 收敛数列的四则运算性质：设有两个收敛数列{an}和{bn}，它们的极限分别为A和B，则：(1) 数列和的极限：lim(an + bn) = A + B(2) 数列差的极限：lim(an - bn) = A - B(3) 数列积的极限：lim(an * bn) = A * B(4) 数列商的极限（假设B≠0）：lim(an / bn) = A / B5. 数列极限与数列项的关系：若数列{an}的极限为A，则对于任意正整数m，都有：lim(an) = Alim(am) = A三、数列极限的应用1. 数列极限在微积分中的应用：数列极限是极限的概念之一，而极限是微积分中的基本概念。

在微积分中，我们经常使用数列极限来定义导数和积分等重要概念。

2. 数列极限在数学分析中的应用：数列极限是数学分析中的重要内容，它也是许多数学定理的基础。

高中数学中的数列极限

高中数学中的数列极限数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限也是数学教学中的重要内容。

数列极限是数列中的一个重要属性，它描述了数列随着项数无限增加时所趋近的值。

本文将介绍数列的概念，解释数列极限的定义并探讨数列极限的性质和计算方法。

一、数列的概念数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。

数列可以用公式或递归关系式表示，其中公式表示数列的通项公式，递归关系式表示每一项与前一项之间的关系。

二、数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋近无穷大时，数列中的数值趋近的一个值。

设数列{an}表示一个数列，当对于任意给定的正数ε（epsilon），存在一个正整数N，当n>N时，对应的数列项an满足|an - A|< ε，其中A为数列的极限。

三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它的极限是唯一的。

2. 有界性：如果数列{an}是有界的，那么它一定存在极限。

3. 数列极限的保号性：如果数列{an}的极限为A，且A>0（或A<0），那么从某一项开始，数列的项都大于0（或小于0）。

4. 数列极限的四则运算法则：设{an}和{bn}分别是两个数列，且它们的极限分别为A和B，那么以下四个极限成立：- {an + bn}的极限为A + B；- {an - bn}的极限为A - B；- {an * bn}的极限为A * B；- {an / bn}的极限为A / B（当B≠0时）。

四、数列极限的计算方法1. 常见数列的极限：- 等差数列的极限为首项与末项的平均值；- 等比数列（公比小于1）的极限为0；- 等比数列（公比大于1）的极限为正无穷大或负无穷大。

2. 利用数列极限的性质进行计算：- 利用极限的保号性可以确定极限的正负性；- 利用数列极限的四则运算法则进行极限的计算。

3. 利用数列的局部性质进行计算：- 极限运算与局部性质：如果数列的部分项与极限的差异可以忽略不计，那么这两个数值可以互相替代。