数列的极限讲解

不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
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3、保号性
定理3 若 lim xn=a,a＞0（或a＜0），则N＞0,
当n＞N时, xn ＞0（或
n
xn ＜ 0 ） .
a 证 由极限定义 ，对 0 ，N 0，当 n N 2 时， xn a a ，即 a xn 3 a ，故当 n N 2 2 2 时 ， xn a 0 . 2 类似可证 a 0 的情形.
当上述不等式中等号都不成立时,则分别称{xn} 是
严格单调增加和严格单调减少数列.
收敛准则
单调增加且有上界的数列必有极限;
单调减少有下界的数列必有极限.
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1 n 例5 证明数列 {(1 ) }收敛. n 1 n 证 只需证明 {(1 ) }单调增加且有上界 . n 当a b 0时, 有 a n 1 b n 1 (a b )( a n a n 1b ab n 1 b n ) ( n 1)( a b )a n a n [( n 1)b na ] b n 1 1 1 取a 1 , b 1 代入, 得 n n1 1 n 1 n 1 (1 ) (1 ) , n n1 1 n 即数列{(1 ) }是单调增加的 . n 即
第二节
数列的极限
一、 数列极限的定义 二、 收敛数列的性质 三、 收敛准则
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概念的引入
引例 设有半径为 R 的圆 , 用其内接正 n 边形的面
积An 逼近圆面积 S .
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周合体而无所失矣” —— 刘徽割圆术 (公元三世纪)
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近 ;
可以看到, 随着n 趋于无穷, 数列的 通项有以下两种变
化趋势:
(1) 通项无限趋近于
一个确定的常数;
(2) 通项不趋近于任何确定的常数.
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
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正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
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2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2


1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
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一、数列极限的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列, 简称数列. 其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 注 无界数列必定发散. 关系：
xn 收敛
xn 有界
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极限的唯一性
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
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数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意：
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n
故 lim x n a .
n
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时， lim 例4-1 证明当a 1
证 注意到 n a 1.
n
n
n
a 1.
a 1 n a 1.
令 n a 1 n 0, 于是
1 n n n n a a n 0, 为了使 a 1 λn ε , 只要使 n , ε n 因此, 取N a , 则当n > N 时,有 n a 1 n . 即 lim n a 1.
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000
给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
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定义
如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么
0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
取 K N,
则当 k K 时, nk nk nK N .

lim x nk a . xnk a . k
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证 毕．
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三、收敛准则
定义5 数列{xn}的项若满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,则称 数列{xn}为单调增加数列; 若满足 x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…, 则称数列 {xn} 为单调 减少数列;
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
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1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
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3、子数列的收敛性
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn , 注意：在子数列 x nk 中，一般项 x nk 是第 k 项，
n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
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q 0, 其中 q 1. 例3 证明 lim n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1) n1 1. 就有 1 即 lim n n n
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例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
n
a = (1 n )n 1 nn n n
a λn n
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
例5 证明数列x n ( 1) n 1 是发散的.
1 xn a , 由定义, 对于 , 证 设 lim n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2 而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
而 x nk 在原数列 x n 中却是第 x k 项，显然，nk k .
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定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限 相同． 证
设数列 x nk 是数列 x n 的任一子数列．
n
lim x n a ,
[ M , M ]上.
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收敛数列的有界性
如果数列xn 收敛,那么数列
xn 一定有界.
问题
xn
对于无限多项
( n 1, 2, ...)，
如何求 M ？
可取 M
max{ x1 , x2 ,..., x N , a 1}.
定理1
收敛的数列必定有界.
n
n
n 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
若0 q 1,
xn 0 q n , n ln q ln ,
ln 取N [ ], 则当n N时, ln q
lim q n 0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
ln n , ln q
2. N与任意给定的正数有关.
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xn a N定义 : lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
就有 q n 0 ,
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例4 设x n 0, 且 lim x n a 0,
n
求证 lim x n a .
n
xn a, 证 任给 0, lim n
N使得当n N时恒有 x n a 1 ,
从而有 x n a xn a xn a 1 xn a a a
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数 xn f ( n).
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观察上述数列 当 n 时的变化趋势：
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例如
2,4,8,,2 n ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
{2 } 1 { n} 2
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n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
n ( 1) n 1 { } n