立体几何大题训练及答案

1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（1）线段的中点为，线段的中点为，

求证：；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC

∴

PMN EBC ∴//PM BCE 平面FE ⊥EBC FCE ∴∠

⊥//AB DE (1)求证：AO ⊥平面CDE ；

(2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值

3、如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于

E ，AC P

F //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面

ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '；

（2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．

解：（1）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．

因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．

…6分

（2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，

所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=．

…8分

A

B

C

D

E F

M .

. C B

F P

A

F C

'

B '

A E

A

B

C

D

E

P M

过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．

由（1）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．

所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分

在Rt △PCE 中，求得a EM 5

5

2=， 所以555

2

2tan =='=a a

EM E A θ． …15分

4、如图，⊥DA 平面ABC ，⊥ED 平面BCD ，DE=DA=AB=AC.0120=∠BAC ，M 为BC 中点. (1)求直线EM 与平面BCD 所成角的正弦值； (2)P 为线段DM 上一点，且⊥AP DM ，求证：AP

解：(1) ED ⊥平面BCD ，为在平面上的射影， 为与平面所成角．

……………………2分 DA ⊥Q 平面ABC ，， 设，又=Q DA AB =AC ，． 在△ABC 中，Q ，， 又Q 为中点，∴⊥DM BC ，

12=

=BM BC ，∴．…5分 在Rt △EDM

中，EM =

3

2

a =

， P

A

B

F C

'B '

A E

（第20题）

M

A B

C

D

E A 1

C 1

sin EMD ∠=

32

DE a EM a =2

3

=． ………………………7分 （2）=AB AC ，M 为BC 中点，∴⊥BC AM ．又⊥DA 平面ABC ， ∴⊥BC DA ，平面． ……………………9分

又平面，， ……………………11分 又，平面． ……………………13分 又ED ⊥平面BCD ，． ……………………14分

5、如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD ，CE∥AF，)1(>=λλAF CE ．

（1）证明：BD⊥EF；

（2）若AF ＝1，且直线BE 与平面ACE 所成角的正弦值

为10

2

3，求λ的值．

解：（1）连结BD 、AC ，交点为Ｏ．∵ABCD 是正方形

∵AF⊥平面ABCD ∴AF⊥BD ……4分 ∴BD⊥平面ACEF ……6分 ∴BD⊥EF ……7分

（2）连结OE ，由（1）知，BD⊥平面ACEF ，

所以∠BEO 即为直线BE 与平面ACE 所成的角． ……10分 ∵AF⊥平面ABCD ，CE∥AF ，∴CE⊥平面ABCD ，CE⊥BC， ∵BC =1，AF ＝1，则CE ＝λ，BE ＝21λ+，BO ＝2

2， ∴Rt△BEO 中， 10

2

3122sin 2=λ+==∠BE BO BEO ， …13分 因为1>λ，解得3

4

=λ． ……15分

6、如图，在几何体中，⊥1AA 平面ABC ，,2,//,111===⊥AA BC AB AA CC BC AB E D CC ,,11=分别是1,AA AB 的中点. (1)求证：//1BC 平面CDE ；

(2)求二面角A DC E --的平面角的正切值.

解：（1）连接ACR 1R 交EC 于点F ，由题意知四边形ACCR 1RE 是矩形，则F 是ACR 1R 的中点，

连接DF ，∵D 是AB 的中点，∴DF 是△ABCR 1R 的中位线，

∴ BCR 1R ⊄⊂ 7分 (2) 作AH ⊥直线CD ，垂足为H ，连接HE ， ∵ AAR 1R ⊥平面ABC ，∴ AAR 1R ⊥DC ，

∴ CD ⊥平面AHE ， ∴ CD ⊥EH ，

∴ ∠AHE 是二面角E – CD – A 的平面角. 11分 ∵ D 是AB 的中点，

∴ AH 等于点B 到CD 的距离，

在△BCD 中，求得：AH ＝

5

5

2， 在△AEH 中， 2

5

tan =

=∠AH AE AHE 即所求二面角的正切值为2

5

.

7、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且, （1）求证：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

解：（1）证明：过点作于点，

∵平面⊥平面，∴平面……2分 又∵⊥平面

∴∥, ………………2分 又∵平面

∴∥平面 ………………6分

（2）∵平面 ∴，又∵

∴ ∴ ………………8分 ∴点是的中点，连结，则 ∴平面 ∴∥，

∴四边形是矩形 ………………10分 设

Q

P

A

B

C