初高中数学衔接因式分解
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
初高中数学衔接材料之三 十字相乘法及三次式的因式分解
初高中数学衔接材料之三 十字相乘法及三次式的因式分解一．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习 1．多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．二．双十字相乘法例4.因式分解:2223116xxy y x y .练习: 因式分解:⑴2223372xxy y x y .⑵224443xy x y .⑶22536x xy x y y .三.解三次方程例5:解方程:⑴3431150x x⑵3760x x练习: :解方程3221360x x x四．练习:1．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3.分解因式:⑴~⑺⑴22010(2009*2011)2010x x⑵22423a b a b⑶(1)(2)(3)(4)120x x x x )⑷233x xy y x⑸22243x y x y⑹(1)(1)2x x y y xy⑺2224912x y z yz4.解下列三次方程:⑴322560x x x⑵322540x x x⑶32284510x x。
2024年初高中衔接数学-第2节+因式分解进阶+课件
一般地，分组分解大致分三步：
1. 将原式适当分组 2. 对每一组进行因式分解 3. 将经过处理的式子再分解
练习：
(1) x3 + x2 -y3-y2 = (1) abc +ab+bc+ac+ a+b+c+1 =
进阶：拆项、添项法
因式分解：
1. x3+x2+x-3= x3-1+x2-1+x-1
2. x4+4= x4+4x2+4-4x2
拆项：把多项式的某项拆成两项的和或差. 添项：把代数式添上两个互为相反数的项.
进阶：主元法
因式分解：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z=
解：原式=-(x2-2xy+y2)z+2x3-4x2y+2xy2=-(x2-2xy+y2)z+2x(x2-2xy+y2) =(2x-z)(x-y)2
－8x4y＋6x3y2－3x3y＝－__x_3y_(_8_x_－__6_y_＋__3_).
复习：公式法
1. a2－b2＝(a＋b)·(a－b) 2. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 3. a2－2ab＋b2＝(a－b)2 4. a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2) 5. a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2) 6. a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3 7. a3－3a2b＋3ab2－b3＝(a－b)3 8. a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2
口诀：首尾化积，十字相乘，求和凑中，横向书写
进阶：双十字相乘法（二次六项式）
(1) x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝ (x－y＋1)(x＋3y＋2)
初高中数学衔接(1)
初高中数学衔接知识数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录一、绝对值二、分式三、二次根式四、乘法公式五、因式分解六、一元二次方程七、一元二次不等式八、二次函数一、绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要的概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展，不断深化．【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．【高中】接触含字母的绝对值，含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲．含字母的绝对值运算贯穿于整个高中数学中.【建议】掌握含字母的绝对值及简单的含绝对值的方程（不等式）的解法． 【补充知识】1. 和差的绝对值与绝对值的和差的关系b a b a b a +≤+≤- b a b a b a +≤-≤-2. 含有绝对值的不等式的解法（1）最简单的含有绝对值的不等式的解法 n无解无解的解为)0()0()0(<<=<<<-><a a x a a x a x a a a x 一切实数的全体实数的解为或的解为)0(0)0()0(<>≠=>-<>>>a a x x a a x a x a x a a x（2）①⎩⎨⎧<+->+⇔<+<-⇔><+cb ax cb axc b ax c c c b ax )0(②c b ax c b ax c c b ax >+-<+⇔>>+或)0( 【高一前应掌握的练习】 例1：解关于x 的不等式14<-x二、分式【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．【高中】不再学习. 但在整个高中学习中都会用到分式的计算. 高二选修中，有少量分式不等式的学习. 【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程． 【补充知识】 1. 繁分式像pn m pn m d c b a++++2,这样的分子或分母中含有分式的分式叫繁分式，一定要分清谁是分子，谁是分母，将其化简。
最新暑期初高中数学衔接教程【含答案】
课堂笔记第一章 乘法公式与因式分解§1.1 乘法公式我们知道(a +b )2=a 2+2ab +b 2，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于(a +b )3=(a +b )2(a +b )=a 2+2ab +b 2 (a +b )=a 3+a 2b +2a 2b +2ab 2+ab 2+b 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，因此得到和的立方公式(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3．将公式中的b 全部改为-b ，又得到差的立方公式(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3．上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为(a ±b )3=a 3±3a 2b +3ab 2±b 3．【例1】化简：(x +1)3-x x 2+3x +3 ．【解答】(x +1)3-x x 2+3x +3 =x 3+3x 2+3x +1-x 3-3x 2-3x =1．由完全立方公式可得(a +b )3-3a 2b -3ab 2=a 3+b 3，即(a +b )(a +b )2-3ab =a 3+b 3，由此可得立方和公式(a +b )a 2-ab +b 2 =a 3+b 3．将立方和公式中的b 全部改为-b ，得到立方差公式(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3．【例2】对任意实数a ，试比较(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 与1的大小．【解析】观察(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简．【解答】(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2=(1+a )1-a +a 2 (1-a )1+a +a 2=1+a 3 1-a 3 =1-a 6因为1-a 6-1=-a 6，对任意实数a ，-a 6≤0，所以课堂笔记(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2≤1．通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式．有兴趣的同学可以将指数推广到4，5，⋯．另外，我们也可以从项数的角度推广(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便．【例3】已知a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【解析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a2+b2+c2用a+b+ c和ab+bc+ca表示．由于a4+b4+c4=a22+b2 2+c2 2，由(1)得到启发，如果知道a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解．【解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．由上式和已知得0=a2+b2+c2-1，即a2+b2+c2=1．(2)由ab+bc+ca=-12，得a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14．因为a+b+c=0，所以a2b2+b2c2+c2a2=14．再由(1)的结论，得a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1．因此a4+b4+c4=12．【例4】已知x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-1=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1=6x2+2．由已知得x2=1-x，故6x2+2=6(1-x)+2=8-6x．因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2x2+2x+1+x2-1+x2-2x+1课堂笔记=6x 2+2．以下同证法1习题1.11.若a +b =8，ab =2，则a 3+b 3=()A.128B.464C.496D.5122.若x +y +z =0，则x 3+y 3+z 3=()A.0B.x 2y +y 2z +z 2xC.x 2+y 2+z 2D.3xyz3.设A =n +1n 3，B =n 3+1n 3+6，对于任意n >0，则A ，B 大小关系为()A.A ≥BB.A >BC.A ≤BD.不一定4.(5-x )25+5x +x 2 =．5.观察下列各式的规律：(a -b )(a +b )=a 2-b 2，(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3，(a -b )a 3+a 2b +ab 2+b 3 =a 4-b 4．可得到(a -b )a n +a n -1b +⋯+ab n -1+b n =．(其中n 为正整数)．6.求函数y =(x -2)3-x 3的最大值．7.当x =33时，求代数式2x +1x 4x 2-2+1x 2 -1x 3的值．8.已知a ，b ，c 为非零实数，a 2+b 2+c 2 x 2+y 2+z 2 =(ax +by +cz )2，求证：x a =yb =zc ．课堂笔记§1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法．下面我们继续学习一些分解因式的方法．1.十字相乘法我们知道，形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p+q可以通过如图1．2-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．这种方法能否推广呢？如果要对2x2-7x+3分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项3分解成1×3或(-1)×(-3)，按图1．2-2至图1．2-5的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算．12311×3+2×1=512131×1+2×3=712-3-11×- 3 +2×-1=-512-1-31×-1+2×-3=-7图1.2-2图1.2-3图1.2-4图1.2-5可以发现图1．2-5对应的结果1×(-1)+2×(-3)=-7，恰好等于一次项系数-7．由于(x-3)(2x-1)=2x2-7x+3，从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例1】将下列各式分解因式：(1)2x2+x-3；(2)-6a2+7a+5【解析】(1)因为2=1×2，-3=(-1)×3=1×(-3)，且一次项系数是1，所以可按图1．2-6用十字相乘法分解因式．(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多．因此先把负号提到括号外面，即-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，然后再把6a2-7a-5按图1．2-7用十字相乘法分解因式．【解答】(1)因为1×3+2×(-1)=1，恰好等于一次项系数1，所以2x2+x-3=(x-1)(2x+3)．(2)因为-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，而根据十字相乘法，6a2-7a-5= (2a+1)(3a-5)，所以-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-5)．11pq1×p+1×q=p+q图1.2-1123-1123-1图1.2-6图1.2-7课堂笔记【例2】分解因式：x 2-x 2-x 2-x -2．【解析】先将x 2-x 视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决．【解答】x 2-x 2-x 2-x -2=x 2-x -2 x 2-x +1 =(x -2)(x +1)x 2-x +1 ．2.分组分解法观察多项式xm +xn +ym +yn ，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式．观察多项式的各项，前两项有公因式x ，后两项有公因式y ，分别提取后得到x (m +n )+y (m +n )．这时又有了公因式(m +n )，因此能把多项式xm +xn +ym +yn 分解因式．分解过程是xm +xn +ym +yn =x (m +n )+y (m +n )=(m +n )(x +y )．一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式．【例3】将下列各式分解因式：(1)x 3-x 2+x -1；(2)x 2+4(xy -1)+4y 2．【解答】(1)【解法1】x 3-x 2+x -1=x 3-x 2 +(x -1)=x 2(x -1)+(x -1)=(x -1)x 2+1 ．【解法2】x 3-x 2+x -1=x 3+x -x 2+1 =x x 2+1 -x 2+1 =x 2+1 (x -1)．(2)x 2+4(xy -1)+4y 2=x 2+4xy -4+4y 2=x 2+4xy +4y 2 -4=(x +2y )2-4=(x +2y +2)(x +2y -2)．【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式．先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法．用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性．【例4】分解因式：x 3+3x -4．【解析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解．【解答】x 3+3x -4=x 3+3x -1-3=x 3-1 +(3x -3)=(x -1)x 2+x +1 +3(x -1)=(x -1)x 2+x +4 ．课堂笔记【例5】已知x3-2x2y-xy2+2y3=0，x>y>0，化简：xz-2yz+1．【解答】因为x3-2x2y-xy2+2y3=x2(x-2y)-y2(x-2y)=(x-2y)x2-y2=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0．又因为x>y>0，所以x+y≠0，x-y≠0，即只有x-2y=0．从而xz-2yz+1=z(x-2y)+1=1．习题1.21.对多项式4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4x2+2x-y+y2B.4x2+2x-y2-yC.4x2-yD.4x2-y+(2x-y2)+2x-y2.要使二次三项式x2-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有()A.2个B.3个C.5个D.6个3.把多项式2ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+．m2+5.将下列各式分解因式：(1)4x2-x-3；(2)3x2+2ax-a2．6.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+xy2；(2)2a2-b2+ab-2a+b．7.已知m=x-y，n=xy，试用m，n表示x3+y32．8.当x=-1时，x3+2x2-5x-6=0．请根据这一事实，将x3+2x2-5x-6分解因式课堂笔记第一章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.多项式-3y 2-2yx +x 2分解因式的结果是()A.-(y +x )(3y +x )B.(x +y )(x -3y )C.-(y -x )(3y -x )D.(x +y )(3x -y )2.若a 3-b 3=3a 2b -3ab 2+1，其中a ，b 为实数，则a -b =()A.0B.-1C.1D.±13.若多项式2x 2+7x +m 分解因式的结果中有因式x +3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x -1B.2x +1C.x +1D.x -14.若a +1a =3，则a 2+a 3+a 4+1a 2+1a 3+1a 4=()A.7B.25C.47D.725.多项式4-x 2-2xy -y 2分解因式的结果是()A.(2+x +y )(2-x -y )B.(2+x +y )(2-x +y )C.(1+x -y )(4-x -y )D.(1-x +y )(4+x +y )6.若x -y -z =3，yz -xy -xz =3，则x 2+y 2+z 2=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有3小题，每小题8分，共24分)7.若8x 3+12x 2y 2+6xy 4+y 6可分解为2x +y m 3，则m =．8.若关于x 的二次三项式ax 2+3x -9的两个因式的和为3x ，则a =．9.x 2+x +1x 2+1x -4=1x +x + 1x +x - ．三、解答题(本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分)10.分解因式：(1)x 3-5x 2+6x ；(2)4m 3+m -1．11.已知x 2-x -1=0，求x 5-x 4-3x 3+3x 2+x 的值．12.已知a 2-9x 2+6xy -y 2(a +3x )2-(ay +3xy )=1，求证：y =6x ．课堂笔记第二章分式与根式§2.1分式及其运算1.分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高．【例1】计算：a2+7a+10a2-a+1×a3+1a2+4a+4÷a+1a+2．【解析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式．【解答】原式=a+2a+5a2-a+1×a+1a2-a+1a+22×a+2a+1=a+5【例2】先化简，再求值：m2+n2m2+2mn+n2-2mn÷m+nmn2×m3+3m2n+3mn2+n3m3+m2n-mn2-n3，其中m=57，n=3．【解析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步．本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解．【解答】原式=m2+n2(m+n)2-2mn×m2n2(m+n)2×(m+n)3(m+n)2(m-n)=m2+n2(m+n)2-2mn(m+n)2×(m+n)(m-n)=m2-2mn+n2(m+n)2×(m+n)(m-n)=m-nm+n．当m=57，n=3时，原式=m-nm+n=57-357+3=910．【例3】已知xx2-3x+1=1，求x2x4-9x2+1的值．【解析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的．【解答】因为xx2-3x+1=1，所以x2-3x+1x=1，得x+1x=4．于是x4-9x2+1x2=x2+1x2-9=x+1x2-11=16-11=5．因此x2x4-9x2+1=15．【注】本题解答中灵活应用了x2+1x2=x+1x2-2．课堂笔记2.分式的证明【例4】已知b +1c =1，c +1a =1，求证：a +1b =1，【解析】由已知两式消去c ，即可得到含a ，b 的关系式．【解答】由b +1c =1，得1c =1-b ；由c +1a =1，得c =1-1a ．所以(1-b )1-1a =1，得1-1a -b +b a =1，即-1a -b +b a =0．两边都乘以a ，得-1-ab +b =0，两边再都除以b ，得-1b -a +1=0，移项得a +1b =1．【例5】已知abc =1，求证：a ab +a +1+b bc +b +1+c ac +c +1=1．【解析】此题直接通分太繁，不可取．观察求证式子的左边，发现作轮换a →b→c →a ，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略．【解答】【解法1】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +1+ab a (bc +b +1)+abc ab (ac +c +1)=a ab +a +1+ab abc +ab +a +abc abac +abc +ab=a ab +a +1+ab 1+ab +a +1a +1+ab=a +ab +1ab +a +1=1．【解法2】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +abc +b bc +b +1+bc b (ac +c +1)=1b +1+bc +b bc +b +1+bc bac +bc +b=1b +1+bc +b bc +b +1+bc 1+bc +b=1+b +bc bc +b +1=1．3.繁分式我们知道，像2m ，ab 1+b ，⋯这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像1x +1x ，a 1+b b 1+a，⋯这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，1x +1x =课堂笔记xx x+1x=xx2+1【例6】化简：1+1-xx1-1-xyxy．【解析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式的除法．【解答】【解法1】原式=1+1-xxxy1-1-xyxyxy=xy+y-xyxy-1+xy=y2xy-1．【解法2】原式=1+1-xx÷1-1-xyxy=x+1-xx÷xy-1+xyxy= y2xy-1．【例7】化简：x+1x2-x+1x-11-x-1x2÷x2+1x2-x-1x+3x2+1x2-2x-2x+3．【解析】观察发现，上式中出现最多的是x+1x，而x2+1x2=x+1x2-2，因此设x+1x=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简．换元法在繁分式化简中是一种常用的方法．【解答】设x+1x=a，则x2+1x2=x+1x2-2=a2-2．原式=a2-a-11-a2÷a2-a+1a2-2a+1=a2-a2-a+1a-12×(a-1)2a2-a+1 =a2-a2-a+1=a-1=x+1x-1．课堂笔记习题2.11.下列运算中，错误的是()A.a b =acbc (c ≠0) B.-a -ba +b =-1C.0.5a +b 0.2a -0.3b =5a +10b 2a -3b D.x -y x +y =y -x y +x 2.若x +1x =4，则x 2x 4+x 2+1=()A.10 B.15C.115D.1163.若a +1b=1，b +2c =1，则c +2a =()A.1B.2C.3D.44.化简：11-11-1x ．5.化简：a 3-a 2-a +1a 3-3a 2+3a -1．6.计算：1-a -11-a 2÷a 3+1a 2-2a +1×11-a．7.已知1a +1b+1c =0，求证：a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2．8.已知xyz =1，x +y +z =2，x 2+y 2+z 2=16，求1xy +2z +1yz +2x+1zx +2y的值．课堂笔记§2.2根式及其迲算1.根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母．把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如，620=625=6×525×5=355．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号．【例1】化简：(1)12-3；(2)x-yx+y(x≠y)；(3)x-y3x-3y-x+y3x+3y．【解析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号．其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分．【解答】(1)【解】12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+32-3=-(2+3)=-2-3．(2)【解法1】x-yx+y=(x-y)(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x-y)x-y=x-y．【解法2】x-yx+y=(x+y)(x-y)x+y=x-y．(3)【解】x-y3x-3y-x+y3x+3y=(3x)3-(3y)33x-3y-(3x)3+(3y)33x+3y=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3y)2 =23xy【例2】计算：1+23+5(1+3)(3+5)+5+27+3(5+7)(7+3)．【解析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+23+5，(5+7)+(7+3)=5+27+3．因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化．【解答】原式=11+3+13+5+15+7+17+3=1-3(1+3)(1-3)+3-5(3+5)(3-5)+5-7(5+7)(5-7)课堂笔记+7-3(7+3)(7-3)=-12(1-3+3-5+5-7+7-3)=-12(1-3)=1【例3】计算：1-x -11+x -1+22-x ÷2+xx -1．【解析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便．【解答】原式=(1-x -1)2(1+x -1)(1-x -1)+22-x×x -12+x=1-2x -1+x -11-x +1+2x -12-x =x2-x．【例4】已知a =12+3，求1-2a +a 2a -1-a 2-2a +1a 2-a的值．【解析】先化简再求值，同时注意(a -1)2=|a -1|．【解答】因为a =12+3=2-3<1，所以原式=(a -1)2a -1-(a -1)2a (a -1)=(a -1)-|a -1|a (a -1)=a -1--(a -1)a (a -1)=a -1+1a=2-3-1+2+3=3.2.根式的证明【例5】已知(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，且a 2-c 2=b 2，其中a >b >0，求证：x 2a 2+y 2b2=1．【解析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方．【解答】【证明】因为(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，所以(x +c )2+y 2=2a -(x -c )2+y 2两边平方，整理得a 2-cx =a (x -c )2+y 2．两边再平方，整理得a 2-c 2 x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2 ．把a 2-c 2=b 2代入得b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，两边同除以a 2b 2，得x 2a 2+y 2b2=1．【例6】已知a ，b 都是非负数，并且1-a 2×1-b 2=ab ，求证：a 1-b 2+b 1-a 2=1．【解析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明．但A 2=B 2，未必有A =B ，因此在证明过程中必须确定A ，B 是课堂笔记否同号．【解答】【证明】将1-a2×1-b2=ab两边平方，得1-a21-b2=a2b2，即1-a2-b2+a2b2=a2b2，得a2+b2=1．a1-b2+b1-a22=a21-b2+b21-a2+2ab1-b2×1-a2=a2+b2-2a2b2+2a2b2=1.因为a，b都是非负数，所以a1-b2+b1-a2≥0．因此a1-b2+b1-a2=1．3.n次根式实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n 次方根．例如，由于24=16和(-2)4=16，我们把2或-2叫做16的4次方根．当n 是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，也可以把两个方根合起来写作±n a．例如，416=2，-416=-2，合起来写作±416=±2．类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内．【例7】(1)求-32243的5次方根；(2)求(-8)2的6次方根．【解析】根据n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果．需要注意正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个．求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解．【解答】(1)5-32243=5-2535=-23．(2)±6(-8)2=±626=±2．【例8】(1)当x<0时，求|x|+4x4+23x3的值．(2)若n为自然数，2n a2n=-a，a的取值范围是什么？【解析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论．【解答】(1)当x<0时，|x|+4x4+23x3=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0．(2)因为n为自然数，所以2n为偶数，于是2n a2n=|a|．又因为2n a2n=-a，所以a≤0．类似于二次根式的性质，我们也可以得到n次根式的性质：(1)(n a)n=a．课堂笔记(2)当n 为奇数时，na n =a ；当n 为偶数时，na n =|a |=a ,a ≥0；-a ,a <0.(3)mpa mp =na m (a ≥0)，n ab =n a ⋅n b (a ≥0,b ≥0)，na b=na n b(a ≥0,b >0)，n a m =(n a )m (a ≥0)．从指数式的角度看，a =a 12，3a =a 13，⋯，n a =a 1n ，所以a m =na m ，a -mn =1n am ．课堂笔记习题2.21.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根2.当a>0时，-ax3=()A.x axB.x-axC.-x-axD.-x ax3.把a-ba+b(a≠b)分母有理化的结果是()A.-1B.a+ba-b C.a+b-2aba-bD.a+b-2abb-a4.(-1)101的7次方根是，0的8次方根是，(-4)2的4次方根是，(-4)4的4次方根是，5.计算：-5-132=，6(-27)2=，(2×32)4=，18÷32=．6.已知a=13+22，b=13-22，求1b-1-1a-1的值．7.化简：(a-b)3+2a a+b ba a+b b-3b-3aba-b．8.化简：(1)a-2a-1(1<a<2)；(2)n(a-b)n+n(a+b)n a<b<0,n>1,n∈N∗．9.证明：a2+1b2+a2(ab+1)2=a+1b-aab+1．课堂笔记第二章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.若分式x +yx -y中的x ，y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值()A.不变B.是原来的3倍C.是原来的13D.是原来的162.计算a b-b a÷a +b a 的结果是()A.a -b aB.a +b bC.a -bbD.a +b a3.把a +ba -b(a ≠b )分母有理化的结果是()A.-1B.a +b a -bC.a +b +2aba -bD.a +b +2abb -a4.下列式子错误的是()A.(a )2=aB.3a 3=aC.(n a )n =a (n >1的整数)D.na n =a (n >1的整数)5.化简x -|x |x的结果是()A.-|x |B.-xC.x 2D.x6.若n 为自然数，2n +1a 2n +1=a ，则a 的取值范围是()A.a ≥0B.a <0C.a ≤0D.a 为全体实数二、填空题(本题有4小题，每小题6分，共24分)7.64的平方根是，立方根是，6次方根是．8.化简：1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=．9.化简：11+11+1x=．10.当x <0时，5x 5+4x 4+3x 3=．三、解答题(本题有3小题，第11，12题各15分，第13题每题16分，共46分)11.若(x -10)2+4y -4=0，求y x 的10次方根．课堂笔记12.化简：x+1x-1-x-1x+11x2-1．13.当a=12-1时，求a2+6a2-1-a+1a-1+1÷a3+8a4+3a3+2a2的值．课堂笔记第三章方程与方程组§3.1三元一次方程组我们已经学习了二元一次方程组及其解法, 知道解二元一次方程组的基本思想是:二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解二元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法. 消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.在现实生活中, 我们会遇到末知数不止两个的方程, 下面我们就来学习三元一次方程组.像x +y +z =12,x +2y +5z =22,x =4y ,4x +2y +z =0,x +2y -z =3,2x -y +2z =-4这类方程组中含有三个末知数, 含末知数的项的次数都是1 , 这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方程组一致, 通过消元转化为我们会解的方程组:三元一次方程组⟶消元二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解三元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.【例1】解方程组x +y +z =12,①x +2y +5z =22,②x =4y .③【分析】将方程③分别代入方程①②, 得到只含y ,z 的二元一次方程组.【解】将方程③分别代入方程①②, 得方程组5y +z =12④6y +5z =22⑤解得y =2,z =2.把y =2,z =2代人方程①, 得x +2+2=12, 所以x =8.方程组的解是x =8,y =2,z =2.【例2】解方程组课堂笔记4x+2y+z=0①x+2y-z=3②2x-y+2z=-4③【分析】解三元一次方程组的关键是逐步消元, 转化为二元一次方程组. 将方程①+②, 可以消去z, 将方程③+②×2, 也可以消去z, 从而得到二元一次方程组.【解】方程①+②, 得5x+4y=3.④方程③+②×2, 得4x+3y=2. ⑤方程④和方程⑤组成方程组5x+4y=34x+3y=2解得x=-1,y=2.把x=-1,y=2代人方程②, 得-1+2×2-z=3, 所以z=0.方程组的解是x=-1,y=2,z=0.【例3】解方程组x:y:z=1:2:7,2x-y+3z=21.本题含有三个末知数, 只有两个方程, 其中方程①含有比例. 如果设x=a, 则y=2a,z=7a, 就得到了关于x,y,z三个末知数之间的关系, 代入方程②即可求解.【解】由方程①, 设x=a,y=2a,z=7a.代人方程②, 得2a-2a+21a=21, 即a=1.于是x=1,y=2,z=7.方程组的解是x=1,y=2,z=7.【注】本题的解答实际上用了比例的性质(第五章). 虽然方程组形式上是两个方程, 但方程①实际上隐含了两个方程:2x=y,7y=2z.通过上面几道例题, 我们发现, 三元一次方程组的解法仍是用代人法或加减法消元, 化归为二元一次方程组, 再化归为一元一次方程. 实际上, 消元是解一次方程组的主要方法. 解一次方程组的消元“化归”基本思想, 可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.习題3.1课堂笔记1.解方程组3x -y +2z =3,2x +y -4z =11,若要使运算简便,消元的方法应选取.7x +y -5z =1,()A.先消去x .B.先消去y .C.先消去z .D.以上说法都不对.2.已知方程组2x -y +z =5,5x +8y -z =9,则x +y 的值是()A.14.B.2.C.-14.D.-2.3.已知方程3x -y -7=0,2x +3y =1,y =kx -9有公共解, 则k 的值是()A.6.B.5.C.4.D.3.4.当x =0,1,-1时, 二次三项式ax 2+bx +c 的值分别为5,6,10, 则a =b = ,c =.5.已知方程组x -2y +z =0,2x +4y -z =0,则x :y :z =6.解下列三元一次方程组:①x -4y +z =-32x +y -z =18x -y -z =7②x :y :z =2:3:5x +y +z =1007.若|a -b -1|+(b -2a +c )2+|2c -b |=0, 求a ,b ,c 的值.8.己知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,求2x 2+3y 2+6z 2x 2+5y 2+7z 2的值.§3.2一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)由配方法可化为x +b 2a 2=b 2-4ac 4a 2.因为a ≠0, 所以4a 2>0. 式子b 2-4ac 的值有以下三种情况:①b 2-4ac >0这时b 2-4ac 4a 2>0, 由①式得x +b 2a =±b 2-4ac 2a , 方程有两个不相等的实数根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a.②b 2-4ac =0课堂笔记这时b2-4ac4a2=0, 由①式得x+b2a2=0, 方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4ac<0这时b2-4ac4a2<0, 由①式得x+b2a2<0, 而x取任何实数都不能使x+b2a2<0, 因此方程无实数根.这说明, 根据b2-4ac的值的符号, 我们可以判定一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根的情况. 一般地, 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式, 通常用希腊字母Δ表示它, 即Δ=b2-4ac.归纳起来, 有①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;③Δ<0⇔方程没有实数根.【例1】【例1】不解方程, 判别下列方程的根的情况:②5x2=2(x-10);③8x2+(m+1)x+m-7=0.①x2+2x-1=0;【解】①因为Δ=22-4×(-1)=8>0, 所以方程有两个不相等的实数根.②将原方程整理, 可得5x2-2x+20=0.因为Δ=(-2)2-4×5×20=-396<0, 所以方程没有实数根.③Δ=(m+1)2-4×8×(m-7)=m2-30m+225=(m-15)2.因为无论m取何值, 都有Δ=(m-15)2≥0, 所以方程有两个实数根.【例2】【例2】已知关于x的方程(k-2)x2+k=(2k-1)x有两个不相等的实数根, 求k的范围.【分析】将方程化成一般形式, 二次项系数k-2≠0. 因为一元二次方程有两个不相等的实数根, 所以Δ>0.【解】方程(k-2)x2+k=(2k-1)x可化为(k-2)x2-(2k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根, 所以课堂笔记k -2≠0,Δ=[-(2k -1)]2-4k (k -2)=4k +1>0.解得k >-14且k ≠2.所以k 的取值范围是k >-14且k ≠2.【例3】证明:关于x 的一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根, 只要证Δ<0即可.【证明】二次项系数m 2+1≠0.Δ=(-2m )2-4m 2+1 m 2+4 =-4m 4+4m 2+4 =-4m 2+2 2.因为无论m 取什么实数, 都有m 2+2>0, 所以-4m 2+2 2<0, 即Δ<0. 因此, 一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【例4】当m 为何值时, 关于x 的方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根.和m 2-4≠0两种情形讨论.【解】①当m 2-4=0, 即m =±2时, 2(m +1)≠0, 方程为一元一次方程, 总有实数根.②当m 2-4≠0, 即m ≠±2时, 要使方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根, 则Δ=[2(m +1)]2-4m 2-4 =8m +20≥0, 解得m ≥-52.因此, 当m ≥-52且m ≠±2时, 方程有实数根.综合①②, 当m ≥-52时, 方程有实数根.习题3.21.方程x 2+1=0,x 2+x =0,x 2+x -1=0,x 2-x =0中, 无实根的方程有()A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.2.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中, 若a <0, 则根的情况是().A.有两个相等的实数根.B.有两个不相等的实数根.课堂笔记C.没有实数根.D.无法确定.3.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, 若a与c异号, 则根的情况是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.没有实数根.D.无法确定4.若关于x的一元二次方程(m-2)2x2+2(m+1)x+1=0有两个不相等的实数根, 则m的取值范围是5.若二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积, 则k的取值范围是6.不解方程, 判别下列方程的根的情况:③5x2+1-7x=0.①2x2+3x-4=0;②16y2+9=24y7.证明：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实数根.8.已知关于x的方程k2-1x2+2(k+1)x+1=0有实数根, 求k的取值范围.§3.3书达定理及其应用方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=-b±b2-4ac2a, 不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值, 而且反映了根与系数之间的联系. 本节我们进一步讨论根与系数的关系.根据求根公式可知, 当b2-4ac≥0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba,x1x2=-b+b2-4ac2a⋅-b-b2-4ac2a=(-b)2-b2-4ac4a2=c a.因此, 方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-b a,x1x2=c a.这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理.课堂笔记反过来, 如果x 1,x 2满足x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca, 那么x 1,x 2一定是方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根, 这就是韦达定理的逆定理.特别地,①如果方程x 2+px +q =0的两个根是x 1,x 2, 那么x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q ;②以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-x 1+x 2 x +x 1x 2=0【例1】根据一元二次方程根与系数的关系, 求下列方程两根的和与积:①x 2-5x -8=0;②3x 2=1-6x ;③2x 2-43x -22=0. 化成一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a≠0), 直接应用韦达定理x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca 来求.【解】①x 1+x 2=-(-5)=5,x 1x 2=-8.②方程化为3x 2+6x -1=0, 则x 1+x 2=-2,x 1x 2=-13.③x 1+x 2=--432=26,x 1x 2=-222=-2.【例2】已知方程5x 2+2x -15=0, 求:①两根的倒数和;②两根的平方和.【分析】本题可以先求出方程的根, 但是计算较繁. 根据韦达定理, 将代数式变形成念有x 1+x 2和x 1x 2形式的式子, 可以筒化运算.【解】设方程的两根为x 1,x 2, 根据韦达定理, 有x 1+x 2=-25,x 1x 2=-3.①1x 1+1x 2=x 1+x 2x 2x 2=-25-3=215.②x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-252-2×(-3)=15425.【例3】当k 取何值时, 关于x 的方程3x 2-2(3k +1)x +3k 2-1=0, ①有一根为零;②有两个互为相反数的实根;(3)两根互为倒数.【解】要使方程有根, 必须Δ=[-2(3k +1)]2-4×33k 2-1 ≥0, 解得k ≥-23.①若方程有一根为零, 则x 1x 2=0. x 1x 2=3k 2-13=0, 解得k =±33.课堂笔记因为±33>-23, 所以当k=±33时, 方程有一个根为零.②若方程有两个互为相反数的实根, 则x1+x2=0. x1+x2=23(3k+1)=0, 解得k=-13, 因为-13>-23, 所以当k=-13时, 方程有两个互为相反数的实数根.③若方程两根互为倒数, 则x1x2=1. x1x2=3k2-13=1, 解得k=±233.因为233>-23, 而-233<-23, 所以当k=233时, 方程的两实根互为倒数.【例4】写出一个二元二次方程, 使它的两个根为-5和23.【分析】方程的根是由它的系数决定的, 给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程, 但得到的一元二次方程不唯一, 不过它们各次项的系数对应成比例. 为了方便, 一般设所求的方程为x2+px+q=0.【解】设所求的方程为x2+px+q=0, 由根与系数的关系可知-5+23=-p, -5×23=q, 得p=133,q=-103.因此, 一元二次方程为x2+133x-103=0, 即3x2+13x-10=0.1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根, 则x21+x22的值是().A.15.B.6.C.12.D.3 .2.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是().A.y2+5y-6=0.B.y2+5y+6=0.C.y2-5y+6=0.D.y2-5y-6=0.3.若m,n是方程x2+2x-2002=0的两实数根, 代数式3m+mn+3n的值是().A. -2008.B. -1996.D. 1996 .C. 2008 .课堂笔记4.若关于x 的方程m 2-2 x 2-(m -2)x +1=0的两实根互为倒数, 则m 的值是5.以方程x 2-3x -1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是6.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根, 利用根与系数的关系求下列各式的值:①x 1+1 x 2+1 ;②x 1x 2+x 2x 1;③x 1-x 27.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0, 两根之比为3:5, 求证:64ac =15b 2.8.已知关于x 的一元二次方程2x 2+ax -2a +1=0, 两个实根的平方和为294, 求a 的值.§3.4可化为一元二次方程的分式方程我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法. 本节学习可化为一元二次方程的分式方程的解法.【例1】解方程4x -1x -1=1.【分析】解分式方程, 首先要找这个分式方程的最简公分母, 然后方程两边同乘以最简公分母, 约去分母, 使分式方程化为整式方程.【解】方程的两边同乘最简公分母x (x -1), 得4(x -1)-x =x (x -1).整理, 得x 2-4x +4=0.解得x 1=x 2=2.检验：当x =2时, x (x -1)=2(2-1)=2≠0.所以原方程的根是x =2.验根的一般方法是:把整式方程的根代人最简公分母, 看结果是不是零, 使最简公分母为零的根是增根, 必须舍去.为什么要检验呢?根据方程同解原理:方程两边都乘以不等于零的同一个数, 所得方程与原方程同解. 而我们在解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母, 它是一个整式, 当这个整式为零时, 就不符合方程的同解原理要求, 所得整式方程的根就不一定是原方程的根, 因此解分式方程必须验根.课堂笔记【例2】解方程1x+2-4x-5x2-x-6=1.【分析】将分式方程的分母进行因式分解, 从而确定出最简公分母是(x+2)(x -3).【解】方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-3), 得x-3-(4x-5)=x2-x-6整理, 得x2+2x-8=0.解得x1=-4,x2=2.检验:当x=-4或x=2时, (x+2)(x-3)≠0.所以原方程的根是x1=-4,x2=2.课堂笔记【例3】解方程8x 2+2x x 2-1+3x 2-1x 2+2x=11.【分析】按一般解法, 应先去分母, 整理后为一元四次方程, 结果较繁. 观察方程, 左边的两个分式x 2+2x x 2-1和x 2-1x 2+2x 互为倒数, 可以通过“换元”, 将方程化简.【解】设x 2+2x x 2-1=y , 则x 2-1x 2+2x=1y , 于是原方程变形为8y +3y =11.方程两边同乘y , 得8y 2-11y +3=0解得y 1=1,y 2=38.经检验, y 1=1,y 2=38都是方程8y +3y=11的根.当y =1时, x 2+2xx 2-1=1, 去分母, 整理, 得x 2+2x =x 2-1.解得x 1=-12.当y =38时, x 2+2x x 2-1=38, 去分母, 整理, 得5x 2+16x +3=0.解得x 2=-3,x 3=-15.检验:把x =-12,x =-3,x =-15分别代人原方程的分母, 各分母都不为零.所以, 原方程的根是x 1=-12,x 2=-3,x 3=-15.习题3.41解下列方程:(1)2x -12x -1=1;(2)2x 2-6xx -3=x +5.2. 解下列方程:(1)x -1x 2-2x -1x =x x -2;(2)24x 2-4x -3-14x 2-8x +3-2x -51-4x 2=0.课堂笔记3.解下列方程:(1)xx+12+5x x+1+6=0;(2)x2-3x+3xx2-3=132.§3.5简单的根式方程像2x2-7x=x-2,3x-5-x+2=1,x+1-2x+1=3这类根号内含有末知数, 且根指数为2的方程, 叫做二次根式方程.二次根式方程可以通过把方程的两边平方, 化为整式(或分式)方程来解. 不过变形有可能产生增根. 因此, 解二次根式方程时, 必须把变形所得整式(或分式)方程的根, 代人原方程进行检验.【例1】解方程2x2-7x=x-2.【分析】通过两边平方化为整式方程.【解】两边平方, 得2x2-7x=x2-4x+4整理, 得x2-3x-4=0.解得x1=4,x2=-1.检验:把x=4代人原方程, 左边=2×42-7×4=2, 右边=4-2=2, 所以x= 4是原方程的根;把x=-1代人原方程, 右边=-3, 而左边的算术平方根不可能是负数, x=-1是增根.原方程的根是x=4.【例2】解方程3x-5-x+2=1.【分析】方程左边有两个二次根式, 如果直接平方, 结果较繁. 一般把其中一个根式移到方程的右边, 使方程左右两边各含有一个根式.【解】移项，得3x-5=x+2+1.两边平方, 得3x-5=1+2x+2+x+2.化简, 得x-4=x+2.两边再平方并整理, 得x2-9x+14=0.解得x1=2,x2=7.课堂笔记经检验, x =2是增根;x =7是原方程的根.【例3】解方程x 2+8x +x 2+8x =12.【分析】x 2+8x 是x 2+8x 的算术平方根, 如果直接平方, 结果很繁. 若设x 2+8x =y , 则原方程就转化为关于y 的一元二次方程.【解】设x 2+8x =y , 那么x 2+8x =y 2, 原方程就变形为y 2+y -12=0.解得y 1=-4,y 2=3.当y =-4时, x 2+8x =-4无解.当y =3时, x 2+8x =3, 解得x 1=-9,x 2=1.经检验, 原方程的根为x 1=-9,x 2=1.习题3.51.解下列方程:(1)2x -2x +1=5；(2)x +x -3=3.2.解下列方程:(1)2x -5-x -3=1；(2)5x +4-x +3=1.1解下列方程:(1)x -1x +2-52=-x +2x -1；(2)x 2+x -x 2+x -2-4=0.§3.6简单的二元二次方程组像x 2+y 2=1,x 2-2y 2+x +3y -10这类含有两个末知数, 并且含有末知数的项的最高次数是2的整式方程, 叫做二元二次方程. 由含有相同的两个末知数的两个二元二次方程, 或一个二元二次方程和一个二元一次方程, 组成的方程组叫做二元二次方程组.解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解. 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次, 消元就是把二元化为一元, 降次就是把二次降为一次, 其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解.本节内容主要解决简单的二元二次方程组问题.【例1】解方程组课堂笔记x2+y2=1------1x+y-1=0----(2【解】由方程(2), 得y=1-x(3)把方程(3)代人方程(1), 得x2+(1-x)2=1.整理, 得x2-x=0.解得x1=0,x2=1把x=0代人方程(3), 得y=1;把x=1代人方程(3), 得y=0.原方程组的解是x1=0,y1=1;x2=1,y2=0.【注】解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 其解法是先由二元一次方程出发, 用含一个末知数的式子表示另一个末知数, 再把这个式子代人二元二次方程, 达到消元的目的, 转化为一元二次方程求解.【例2】解方程组x2+2xy+y2=1,x2+4y2=8【分析】方程(1)变形为(x+y)2=1, 把它化为两个二元一次方程x+y+1=0和x+y-1=0, 分别与方程(2)组成方程组x+y+1=0,x2+4y2=8,x+y-1=0,x2+4y2=8;x2+4y2=8两个方程组即可.【解】由方程(1)得x+y+1=0,x+y-1=0.原方程组变形为x+y+1=0,x2+4y2=8;x+y-1=0,x2+4y2=8.分别解这两个方程组, 得原方程的解为x1=-2,y1=1;x2=25,y2=-75;x3=2,y3=-1;x4=-25,y4=75.【注】由两个二元二次方程组成的方程组, 如果能把其中一个二元二次方程分解为两个二元一次方程, 就可以转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成方程组的形式.。
2020年初升高数学衔接辅导之分解因式(含答案)
02分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >， 则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x 2+6x +8； （2）x 2﹣x ﹣6； （3）x 2﹣5xy +6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
初高中数学衔接之因式分解二次函数的最值问题
初高中数学衔接必会知识 3 ----- 二次函数的最值问题【要点回顾】1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论：①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧；②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部；③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。
【例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．例2当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例4当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2m i n 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【巩固练习】1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
初高中教材衔接之因式分解与二次函数
11.若
分别是一元二次方程
的两根，求值：
（1）
.
14
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专题四 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
由配方法可化为
，
因为
，所以
，所以方程是否有解就取决于
与 0的大小关系了。因此
我们把
叫做一元二次方程
的根的判别式，通常用“△ 来表
示。当△＞０时，方程有两个不等的实数根；当△＝０时，方程有两个相等的实数根；当△ ＜０时，方程没有实数根。而且无论是判别式还是方程的根的值都是由一元二次方程
12
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1．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） 2．解下列关于 的方程 （1）
（6） （2）
1．方程
的根是（ ）
A．5
B．-5
C．5或-5
D．5或 0
2．多项式 A．3或 7
的值等于 11，则 的值为（ ）
B．-3或 7
C．3或-7
（2） 由思考我们可以得到下列公式 立方差公式
立方和公式 逆过来我们又得到了一组公式
例1． 化简：
1
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分析：根据和的立方公式把
展开，化简即可
解：
例 2．当
时，求
的值。
解：
=
例 3．化简
解：法一：
法二：
利用完全平方公式展开得到
例 4．已知 解：∵ ∴
二、配方法：用配方法解方程 ；然后将二次项系数化为 1：
项系数的一半的平方：
初高中数学衔接集训(一)因式分解
初高中数学衔接集训 （一）因式分解一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设实数满足321x x =-+，若72x ax bx c =++，则2a b c -+的值为( ) A ．14-B ．14C ．6-D ．62．已知六元方程222222a b c d e f b a d c f e +++++=-+-+-，满足a b c d e f <<<<<，且a ，b ，c ，d ，e ，f 为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为( ) ①1a =，2b =，3c =，4d =，5e =，6f =是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解；③若10a b c d e f <<<<<<，则该六元方程有20组解； ④若23a b c d e f +++++=，则该六元方程有1组解． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知m ，n 均为正整数且满足23200mn m n ---=，则m n +的最小值是( )A ．20B ．30C ．32D ．374．已知4322125d x x x x =-+--，则当2250x x --=时，d 的值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．105．已知正整数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足a b c d e f <<<<<，且222222a b c d e f b a d c f e +++++=-+-+-，关于这个六元方程下列说法正确的个数是( ) ①1a =，2b =，3c =，4d =，5e =，6f =是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解；③若10a b c d e f <<<<<<，则该六元方程有21组解； ④若53a b c d c f +++++=，则该六元方程有28组解． A ．1B ．2C ．3D ．46．已知4322125d x x x x =-+--，则当2250x x --=时，d 的值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．107．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：(n p q p =⨯，q 是正整数，且)p q ，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如：12可以分解成112⨯，26⨯或34⨯，因为1216243->->-，所以34⨯是12的最佳分解，所以3(12)4F =．如果一个两位正整数t ，10(19t x y x y =+，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有( )（1）3(48)4F =； （2）15和26是“吉祥数”； （3）“吉祥数”中，()F t 的最大值为34． （4）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，则对任意一个完全平方数m ，总有()1F m =． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设正整数a ，b ，100c >，满足2221(1)c a b -=-，则ab的最小值是( ) A ．13 B ．12 C ．2 D ．3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
初高中数学衔接：第2讲+因式分解
第2讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)；2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x +(2)30.12527b -解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+2.2提取公因式法与分组分解法【例3】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例4】分解因式：（1）()()255ab a b -+-； （2）32933x x x +++．解：（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．【例5】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++． （2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-练习：1．多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是__________． 2．()()()∙-=-+-y x x y n y x m _____． 3．()()()∙-=-+-222y x x y n y x m ____．4．()()()∙--=-++--z y x x z y n z y x m _________． 5．()()∙--=++---z y x z y x z y x m ______． 6．2105ax ay by bx -+-=_________________ 7．2222()()ab c d a b cd ---【答案】1．2xy ；2．()m n -；3．()m n +；4．()m n -；5．(1)m -．6．21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=-- 7．22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+2.3 十字相乘法2.3.1 形如2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法． 【例7】把下列各式因式分解：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1.1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－p qx x1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图5）． 练习：把下列各式因式分解(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x -- 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-，∴276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+=，∴21336(4)(9)x x x x ++=++．(3)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=，∴2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x +-=+-+=-+．(4)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-，∴2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x --=+-+=-+． 【例8】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数；(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．－1 －2x x图1－1 －21 1图2－2 61 1图3－ay －byx x图4－1 1x y图5(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-．2.3.2 形如一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解我们知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法．【例9】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 2.4 配方法【例10】把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =--，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．【练习】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2.5 拆、添项法【例11】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．1．把下列各式分解因式： (1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6)3331121627x y c + 2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-(7) 27()5()2a b a b +-+-(8) 22(67)25x x --5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+-(2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +-- (7) 66321x y x --+(8) 2(1)()x x y xy x +-+参考答案1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)nax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．。
初高中数学衔接因式分解
23 March 2017
二、分组分解法
2ax 10ay 5by bx 【例4】因式分解：
解 : ab(c 2 d 2 ) (a 2 b 2 )cd abc 2 abd 2 a 2cd b 2cd (abc 2 a 2cd ) (b 2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd (bc ad ) (bc ad )(ac bd ).
23 March 2017
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
【例8】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2
解 : (1)12 x 2 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1). ( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
23 March 2017
三、十字相乘法
1． x2 ( p q) x pq 型的因式分解
【例6】因式分解：(1) x 2 7 x 6
(2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
(2)x 2 13 x 36
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6).
(1)x 2 xy 6 y 2 (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 【例7】因式分解： 解 : (1)x 2 xy 6 y 2 x 2 yx 62 ( x 3 y )( x 2 y ). (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 ( x 2 x 6)( x 2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).
因式分解的拓展(精讲)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。
初高中数学衔接知识点
初高中数学衔接知识点从初中升入高中，数学学科的知识难度和深度都有了明显的提升。
为了帮助同学们更好地适应高中数学的学习，下面我们来梳理一下初高中数学衔接的重要知识点。
一、数与式1、绝对值初中阶段，我们对绝对值的理解主要是基于数轴上的距离。
例如，｜3| ＝ 3，｜－3| ＝ 3。
但在高中，绝对值的概念会被更深入地运用，例如在求解不等式|x 2| ＞ 5 时，需要分情况讨论 x 2 的正负，得到 x ＜－3 或 x ＞ 7。
2、二次根式初中我们学习了二次根式的基本运算，如化简、乘法法则和除法法则。
高中会在此基础上，结合函数、不等式等知识进行更复杂的运算和应用。
3、因式分解初中常见的因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。
高中数学中，因式分解的应用更加广泛，有时需要使用十字相乘法、分组分解法等更复杂的方法来分解因式，以解决方程和不等式的问题。
二、方程与不等式1、一元二次方程初中我们重点学习了一元二次方程的求解方法，如配方法、公式法和因式分解法。
高中则会更多地关注一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），以及利用一元二次方程解决实际问题和函数问题。
2、不等式初中主要学习了一元一次不等式的解法。
高中会拓展到一元二次不等式、简单的分式不等式和绝对值不等式。
例如，求解不等式 x² 2x 3 ＜ 0，需要先求出方程 x² 2x 3 ＝ 0 的根，然后根据函数图象的开口方向和与 x 轴的交点来确定不等式的解集。
三、函数1、函数的概念初中对于函数的定义是基于变量之间的对应关系。
高中则会从集合的角度来重新定义函数，使函数的概念更加严谨和抽象。
2、一次函数与反比例函数初中我们对一次函数和反比例函数的性质有了一定的了解。
高中会在这些基础上，进一步研究它们的图象和性质，并与其他函数进行综合应用。
3、二次函数初中主要学习了二次函数的基本表达式、图象和简单的应用。
高中会深入探讨二次函数的最值问题、与一元二次方程和不等式的关系，以及二次函数在实际生活中的优化问题。
初高中数学衔接教材 时因式分解立方和差公式
初高中数学衔接教材第二课时课前练习：解下列不等式：（1）21x -< （2）213x +> (3)13x x -+-＞4．1.1乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-例题解析：例1 计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．（2）42(2)(2)(416)a a a a +-++例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例3.已知3321,013x x x x +=+-求的值. 针对训练：1.填空，使之符号立方和或立方差公式：(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-82.填空，使之符号立言和或立方差公式：(1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；(3) ( )(41 -xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 3.计算：(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)；(3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)（5） （6） 3.已知x 2+y 2=6，xy=2，求x 6+y 6的值．1.2 分解因式1．分组分解法例1 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）12422+--a b a(3)ay bx by ax +-- (4)x x x x -+-235 (5)14424---a a a2.立方差公式例2.分解因式：（1）66b a - （2）3232)(b m b a m -+ 3.十字相乘法例3.分解因式：(1)226y xy x -- (2)12)(8)(222++-+x x x x(3)25122--x x (4)2675x x -+ 针对训练：（1）232)2(a x a --(2）8a 3－b 3； (3)6466y x - (4)4)4)(2(2-++-x x x(5))(22a a x x --+ (6)y x xy -+-1 \\(7)2265a ax x +- (8)22352x xy y +- (9)m m x m x +++-22)12(。
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第二讲 因式分解知识清单一、常用的运算公式1、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±2、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+3、立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4、立方和公式： 3322))((b a b ab a b a +=+-+5、完全平方公式：()2222222,2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+6、三个数的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 7完全立方公式：()322333223333.33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+二、常用的因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。
自主练习：问题1：平方差公式下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a能利用平方差公式计算的是问题2：完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(aa -的值问题3：立方和（差）公式设0422=+-x x ，求93+x 的值问题4：提取公因式法分解因式：（1）2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-问题5：公式法分解因式（1）412+-x x （2）162+-a （3）142+-x x 问题6：十字相乘法分解因式：（1）232+-x x （2）2762+-x x问题7：分组分解法分解因式：y x xy x 332+-- 例题讲解例1：化简：例2：已知4,4=++=++ca bc ab c b a ，求222c b a ++的值例3、把下列各式分解因式（1）22)()23(y x y x --- （2）22338b ab a -+例4：把下列各式分解因式：（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）22)24(4+--x x巩固拓展1、⋅+=-)3121(419122a b b a （___________） 2、若 k mx x ++212是一个完全平方式，则k= 3、已知2)(,8)(22=+=-n m n m ，则=+22n m 4、不论a ，b 为何实数，84222+--+b a b a 的值（ ）A 、总是正数B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数5、若实数x ，y ，z 满足 (x -z)2-4(x -y)(y -z)=0 ，则下列式子一定成立的是（ ）A 、x+y+z=0B 、x+y -2z=0C 、y+z -2x=0D 、x+z -2y=06、化简：20172016)23()23(-⋅+ 7.在多项式中①x 2+7x+6；②x 2+4x+3；③x 2+6x+8；④x 2+7x+10；⑤x 2+15x+44，有相同因式的是（ ）A 、只有①②B 、只有③④C 、只有③⑤D 、①和②；③和④；③和⑤8、若多项式x 2-3x+a 可分解为(x -5)(x -b)，则a 、b 的值分别是（ ）A 、10,2B 、10,-2C 、-10,-2D 、-10,29、多项式2x 2-xy -15x 2 的一个因式是（ ）A 、2x -5yB 、x -3yC 、x+3yD 、x -5y10、把下列各式分解因式：（1）523623913x b a x ab -- （2）z y x z y x m ++---)(（3）3132-x （4）338b a -（5）3762+-x x （6）12--x x（7）913424+-x x （8）1222-+-b ab a10、已知：052422=+--+b a b a ，求ab a ab b a ++-4)(2的值 因式分解练习题一、填空题：2．(a －3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m ＋2=(m ＋a)(m ＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（）A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是（）A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．－12 B．±24C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得（）A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为（）A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为（）A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－39．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得（）A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)210．把x2－7x－60分解因式，得（）A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得（）A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2)C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y)12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得（）A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b)C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)13．把x4－3x2＋2分解因式，得（）A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1)C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1)14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（）A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是（）A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（）A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是（）A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为（）A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数C．相等的数D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是（）A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为（）A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果（）A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy23．64a8－b2因式分解为（）A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b)C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b) 24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为（）A．(5x－y)2B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)225．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为（）A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2 C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)2 26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为（）A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2 D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为（）A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是（）A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y) C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y) 30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是[]A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c)C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．。