时间序列建模中的有关问题
时间序列模型中的残差分析与诊断检验有哪些方法
时间序列模型中的残差分析与诊断检验有哪些方法时间序列模型是对时间顺序上的数据进行建模和预测的统计方法。
在时间序列分析中，残差分析与诊断检验是非常重要的步骤。
残差分析可以用来评估模型的拟合程度和检验模型的假设，进而进行模型的改进和优化。
本文将介绍时间序列模型中常用的残差分析与诊断检验方法。
1. 直方图与正态概率图直方图是一种可视化展示残差分布的图表。
通过观察直方图的形状，可以初步判断残差是否服从正态分布。
正态概率图则是用来更进一步检验残差的正态性。
在正态概率图中，若残差呈现近似直线分布，则说明残差与正态分布拟合程度较好。
2. ACF与PACF图自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是评估时间序列数据中残差的相关性的重要工具。
ACF图展示了不同滞后阶数的残差之间的相关性，PACF图则展示了在其他滞后阶数的影响被排除后，特定阶数的残差和当前残差之间的相关性。
通过观察ACF和PACF图，可以发现残差之间的相关结构，进而判断模型是否包含未解释的信息。
3. Ljung-Box检验Ljung-Box检验是一种常用的时间序列残差诊断检验方法。
该方法基于自相关函数，检验残差序列中是否存在显著的自相关或偏自相关。
若Ljung-Box检验的检验统计量显著小于置信区间，则表明残差序列中的相关结构不能被解释为随机，需要进一步改进模型。
4. ARCH检验ARCH（自回归条件异方差）模型是一种针对时间序列中存在异方差性的模型。
在时间序列建模中，如果残差序列存在异方差性，意味着残差的方差随时间的变化而变化。
利用ARCH检验可以检验残差是否存在异方差性，并对模型进行修正。
5. 稳定性检验时间序列模型中，稳定性是一个重要的性质。
残差序列的稳定性可以用来评估模型的有效性。
常见的检验方法有单位根检验（如ADF检验）和KPSS检验。
若残差序列呈现平稳性，则说明模型具有良好的拟合效果。
6. 白噪声检验白噪声是指序列中的观测值之间没有任何相关性的情况。
金融风险评估中的时间序列模型建模与分析
金融风险评估中的时间序列模型建模与分析近年来，金融市场风险正日益引起人们的广泛关注。
在金融风险评估中，时间序列模型的建模与分析发挥着重要的作用。
本文将介绍时间序列模型的基本概念、建模方法以及在金融风险评估中的应用。
时间序列模型是一种用于处理时间相关数据的统计模型，它通常假设未来的观测值可以通过过去的观测值进行预测。
时间序列模型的基本思想是数据的未来值可以由过去的值或一些相关变量的值来建模。
在金融风险评估中，时间序列模型可以用于预测金融资产价格的变动，分析金融市场的波动性，并提供风险度量和风险管理的决策依据。
下面将介绍几种常用的时间序列模型及其在金融风险评估中的应用。
首先，我们介绍ARIMA模型。
ARIMA模型是一种广泛应用于时间序列分析中的模型。
ARIMA模型具有自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分。
AR部分描述了时间序列变量之间的自相关关系；MA部分描述了时间序列变量与滞后误差项的线性相关关系；I部分描述了时间序列变量的差分过程，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA模型在金融风险评估中可以用于对金融资产价格波动进行建模和预测。
其次，我们介绍GARCH模型。
GARCH模型是一种用于建模金融市场波动性的模型，它是基于ARCH模型（自回归条件异方差模型）的扩展。
GARCH模型引入了滞后的波动度衡量指标，通过建模过去的波动度和过去的误差项来预测未来的波动度。
GARCH模型可以用于金融风险评估中的多个方面，例如计算金融资产的价值风险价值，评估投资组合风险等。
另外，我们还介绍随机波动模型（SVM）。
SVM是一种通过使用高斯正态分布或其他概率分布来建模资产价格波动性的模型。
SVM模型可以用于计算风险价值和条件风险价值，进行金融风险的度量和管理。
SVM模型在金融风险评估中广泛应用，特别在计量金融学领域有很高的实用价值。
除了上述模型，还有其他一些常用的时间序列模型如VAR模型、ARCH模型等等。
金融风险评估中选择合适的时间序列模型需要综合考虑数据的特点、模型的假设前提以及实际应用的需求。
时间序列计量模型优劣比较方法的建立
时间序列计量模型优劣比较方法的建立时间序列分析方法是伯克斯和詹金斯（BOX-Jenkins）于1976年提出的。
这种建模方法的特点是不考虑其他解释变量的作用，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。
目前这种方法已经广泛应用于自然科学和社会科学的个个领域，特别是经济领域。
但是在建模的过程中可能出现几个不同的模型都能拟合数据的生成过程。
本文通过对模型残差和样本外推预测误差的综合分析，建立时间序列计量模型优劣比较的评价方法体系。
标签：时间序列分析残差预测误差时间序列分析方法的基本思想是源于事件的发展通常都具有一定的惯性，这种惯性用统计的语言来描述就是序列值之间存在着一定的相关关系，而且这种相关关系具有某种统计规律。
分析的重点就是寻找这种规律，并拟合出适当的数学模型来描述这种规律，进而利用这个拟合模型来预测序列未来的走势。
在利用时间序列分析方法建立模型的过程中，可能会有若干个适应的模型都能用来描述给定的数据集。
这些不同的模型中到底哪一个更好呢，通常的做法是基于由拟合模型计算出残差的综合统计量，结合由样本外推预测计算出的预测误差来对它们进行比较。
前者相当于是对模型拟合优度的比较，其比较的方法主要有：一、校正的判定系数（adjusted R2）其定义为：adjusted R2=1-(n-1)(1- R2)/n-k其中n为样本数，k为包括截距项在内的模型中的参数个数。
R2为判定系数。
对于不同的模型，校正的R2越大，则认为模型能够更好的拟合时间序列的数据生成过程。
二、Akaike的AIC和BIC准则为了检验模型拟合的质量，Akaike（1974）其定义为：其中M为模型中的参数个数，是对的极大似然估计。
对于不同的模型，我们选择M使AIC(M)达到最小。
Akaike（1978，1979）对原来的AIC准则进行了修改，提出了极小AIC方法的Bayesian推广，称为BIC，其定义为：这里，是的极大似然估计，M是参数个数，是序列的样本方差。
时间序列计量经济学建模简介
第八章 时间序列计量经济学建模简介第一节 时间序列计量经济学模型的基本概念 一、时间序列计量经济学的发展趋势1、上个世纪70年代中期世界复杂的经济格局对计量经济学方法的挑战。
计量经济学模型的主要应用之一就是经济预测，而且早年计量经济学就是通过利用模型的短期预测发展起来的。
在上个世纪50——60年代西方国家经济预测中不乏成功的实例。
但是，进入20世纪70年代以后，人们对计量经济学模型提出了质疑，表现在1973年和1979年，各种计量经济学模型都无法预测到“石油危机”对经济会造成什么影响（尽管当时能够对石油危机提出预报）。
2、传统计量经济学方法存在的主要问题。
传统计量经济学模型是以模拟历史、从已经发生的经济活动中找出变化规律的主要技术手段。
而对于非稳定发展的经济过程和缺乏规范行为理论的经济活动，传统计量经济学模型就显得无能为力。
同时，现实经济活动愈来愈复杂多变，对于社会经济的发展、体制的变迁、技术的创新，要用具有一定的计量经济学或动态多元非线性方程组对其加以描述并非易事。
因此，人们认为传统计量经济学的弱点是过分依赖先验理论，这种弱点一方面表现为缺乏动态的信息反馈；另一方面是所获得的理论与样本数据间满意的吻合结果往往要凭借建模者的艺术。
3、80年代初提出了与传统计量经济学完全不同的建模方法。
最初由萨甘（Sargan ，1964）提出，后经亨德里-安德森（Hendry-Anderson ，1977）和戴维森（Davidson ，1977）进一步完善的误差修正模型，以及由格兰杰（C.W.J.Granger ，1981）提出的协整理论，最终产生了Hendry 的“由一般到特殊”的建模方法。
时间序列的类型： （1）按时间是否连续分为一是离散型的随机过程或时间序列；二是连续型的随机过程或时间序列。
本章主要研究离散时间序列，并用t Y 或t X 表示。
对于连续时间序列，可通过等间隔采样使之转化为离散时间序列后加以研究。
时间序列练习题
时间序列练习题时间序列分析是一种对随时间变化的数据进行建模和预测的统计分析方法。
它在经济学、金融学、气象学、环境科学等领域都有着广泛的应用。
为了加深对时间序列分析的理解，以下是一些时间序列练习题，帮助读者巩固相关知识和技能。
1. 下面是某城市某共享单车平台的日订单量数据（单位：订单数）。
请问这组数据属于哪种类型的时间序列数据？日期订单量1月1日 1201月2日 1601月3日 1501月4日 1801月5日 2002. 下面是某公司某产品在2020年1月至6月的月销售额数据（单位：万元）。
请根据给出数据回答以下问题：1月 802月 853月 704月 905月 956月 100（1）请计算该产品在第二季度（4月、5月、6月）的总销售额。
（2）根据给出数据，绘制该产品的销售额趋势图。
3. 下面是某超市某商品每周销量数据（单位：件）。
请计算该商品的季节性指数。
周次销量1 1002 1203 1354 1405 1506 1557 1608 1809 20010 2204. 假设一家公司的销售额数据如下（单位：万元）：日期销售额2019-01 802019-02 852019-03 902019-04 1002019-05 1102019-06 115（1）请计算该公司在2019年第一季度（1月、2月、3月）的平均月销售额。
（2）根据给出数据，绘制该公司的销售额线性趋势图。
5. 下面是某餐厅某菜品2019年1月至6月的月销售量数据（单位：份）。
请根据给出数据，计算该菜品的季节指标和趋势指数。
1月 502月 553月 484月 605月 656月 70以上是时间序列练习题，通过思考和计算这些问题，读者可以进一步巩固和应用时间序列分析的相关知识和方法。
在实际应用中，时间序列分析可以用于预测未来趋势、制定合理的经营策略、评估政策实施效果等。
希望读者通过练习题的探索，能够更好地理解时间序列分析的重要性和实用性。
时间序列模型bic准则__概述说明以及解释
时间序列模型bic准则概述说明以及解释1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种经典的数学统计方法，用于分析和预测随时间变化的数据。
在时间序列模型中，BIC准则（Bayesian Information Criterion）是一种常用的模型选择准则，用于从多个候选模型中选择最优模型。
本文将对BIC准则进行概述、说明和解释，并探讨其在时间序列分析中的应用与实例分析。
同时，本文还将评估BIC准则的优缺点，并提出结论和研究展望。
1.2 文章结构本文包括以下几个部分：引言、时间序列模型BIC准则的概述、BIC准则的说明、BIC准则的解释、应用与实例分析、优缺点评估以及结论与展望。
通过这样的结构安排，读者能够全面深入地了解BIC准则及其在时间序列模型中的作用。
1.3 目的本文旨在介绍时间序列模型中广泛应用且极具实际意义的BIC准则。
通过对BIC 准则进行概述、说明和解释，读者能够了解其原理和应用场景，在实践中正确运用该准则进行时间序列模型选择和预测分析。
此外，通过实例分析和优缺点评估，我们可以更全面地认识到BIC准则的优势与局限，并提出进一步研究的方向。
以上是《时间序列模型BIC准则概述说明以及解释》这篇文章“1. 引言”部分的内容。
2. 时间序列模型bic准则2.1 BIC准则概述BIC（Bayesian Information Criterion）准则是一种常用的模型选择准则，广泛应用于时间序列分析中。
它是由斯瓦齐蒂基于贝叶斯统计学思想提出的，旨在衡量模型的拟合能力和复杂度之间的平衡。
2.2 BIC准则说明BIC准则通过对模型的极大似然函数值进行修正，考虑了样本量和模型参数个数的影响，以及对复杂模型的惩罚项。
其定义如下：BIC = -2ln(L) + k * ln(n)其中，L表示模型的极大似然函数值，k为自由参数的个数，n为样本量。
BIC 准则越小代表模型越好。
通过引入惩罚项k * ln(n)，BIC准则在选择合适模型时不仅考虑了拟合优度，还考虑了模型中参数个数与样本量之间的平衡关系。
时间序列建模案例VAR模型分析与协整检验.doc
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。
但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。
为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。
本章所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression ，V AR)和向量误差修正模型(vector error correction model ，VEC)就是非结构化的多方程模型。
向量自回归(V AR)是基于数据的统计性质建立模型，V AR 模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。
V AR 模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA 和ARMA 模型也可转化成V AR 模型，因此近年来V AR 模型受到越来越多的经济工作者的重视。
V AR(p ) 模型的数学表达式是t=1,2,…..,T其中：yt 是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p 是滞后阶数，T 是样本个数。
k ⨯k 维矩阵Φ1，…， Φp 和k ⨯d 维矩阵H 是待估计的系数矩阵。
εt 是 k 维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设 ∑ 是εt 的协方差矩阵，是一个(k ⨯k )的正定矩阵。
注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt 的滞后而被11t t p t p t t --=+⋅⋅⋅+++y Φy Φy Hx ε消除，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。
以1952一1991年对数的中国进、出口贸易总额序列为例介绍V AR模型分析，其中包括;①V AR模型估计;②V AR模型滞后期的选择;③V AR模型平隐性检验;④V AR模型预侧;⑤协整性检验V AR模型佑计数据Lni(进口贸易总额), ,Lne的时间序列见图。
多元时间序列数据建模与分析
多元时间序列数据建模与分析随着科技不断发展，数据分析已经成为了我们生产生活中不可或缺的工具。
然而，单一的时间序列数据往往并不能完全反映出事物的真实状态，因此，我们需要对多元时间序列数据进行分析。
本文将从多元时间序列建模的角度来探讨如何对多元时间序列数据进行建模和分析。
一、多元时间序列数据的基本概念多元时间序列数据是指在不同时间点上对多个变量进行测量的数据。
例如，我们可以通过不同时间点上对于股票价格、财务指标等多个变量的测量，来构建一个多元时间序列数据集。
通常情况下，多元时间序列数据集可以用一个矩阵来表示，其中行代表时间，列代表变量。
二、多元时间序列预处理在进行多元时间序列数据分析之前，我们需要对原始数据进行一系列的预处理工作。
这些工作包括缺失值的填充、异常值的处理、平稳性检验等。
1. 缺失值的填充由于实际数据采集过程中出现了各种各样的问题，导致我们采集到的数据中可能会存在缺失值。
造成缺失值的原因很多，例如仪器故障、采样频率不够等。
在对多元时间序列数据进行处理时，我们需要采用一些有效的方法对缺失值进行填充，以确保后续分析结果的准确性。
2. 异常值的处理多元时间序列数据中的异常值通常指的是那些与其它数据明显不相符的值。
如果不对异常值进行处理，它们会严重地影响时间序列模型的建立和预测结果的准确性。
因此，在进行多元时间序列数据分析时，必须采用一些有效的方法对异常值进行处理。
3. 平稳性检验平稳性是指在同一时间点上不同变量之间的均值和方差都是稳定的。
我们通常需要对多元时间序列数据的平稳性进行检验，以确保时间序列不会出现季节性和趋势性变化，从而保证预测结果的准确性。
三、多元时间序列建模在进行多元时间序列建模之前，需要先对数据进行一系列的预处理工作，包括缺失值的填充、异常值的处理、平稳性检验等。
预处理工作完成后，我们就可以开始进行多元时间序列建模。
1. 时间序列模型常见的时间序列模型有ARIMA、VAR、VMA、ARMA、VARMA等。
异方差性和序列相关性在时间序列模型和面板数据模型中的处理方法有何不同
异方差性和序列相关性在时间序列模型和面板数据模型中的处理方法有何不同在时间序列模型和面板数据模型中，异方差性和序列相关性是常见的数据特征。
它们的存在对模型的准确性和鲁棒性有着重要影响，因此需要采取不同的处理方法进行应对。
本文将介绍异方差性和序列相关性在时间序列模型和面板数据模型中的处理方法的不同之处。
一、时间序列模型中的异方差性处理方法时间序列模型是对单一变量随时间变化的模型，如ARIMA模型、GARCH模型等。
在时间序列模型中，异方差性通常表现为随时间变化的方差，并且可能导致模型结果的不准确性。
1. 条件异方差模型最常见的处理异方差性方法之一是采用条件异方差模型，如ARCH模型、GARCH模型等。
这些模型可以通过引入变量来描述方差的变化，并且能够更准确地估计模型参数。
2. 转换变量另一种常见的方法是通过对变量进行转换来减小或消除异方差性。
常用的转换方法包括对数转换、差分变换等。
这些转换可以将异方差性转换为方差齐性，从而提高模型的准确性。
3. 加权最小二乘法加权最小二乘法是一种适应性加权的回归方法，可以通过加权因子对不同时间点的观测值进行不同程度的调整，从而降低异方差性对模型结果的影响。
二、面板数据模型中的序列相关性处理方法面板数据模型是对多个个体在不同时间点上观测到的数据进行建模，如固定效应模型、随机效应模型等。
在面板数据模型中，序列相关性可能存在于个体之间或个体内部，对模型估计和推断都具有重要影响。
1. 面板数据单位根检验面板数据单位根检验可以判断变量是否存在序列相关性。
常用的面板数据单位根检验方法有Levin-Lin-Chu(LLC)检验、Ng-Perron(NP)检验等。
如果变量存在单位根，说明存在序列相关性，需要进一步处理。
2. 区分组间和组内相关性面板数据模型中的序列相关性可以分为组间相关性和组内相关性。
对于组间相关性，可以采用固定效应模型进行估计；对于组内相关性，可以采用随机效应模型进行估计。
变形观测数据时间序列建模中的几个问题
王 卫 ，杨 志强 ，杨建 华 ，王滕 军
（１．长 安大 学 地 球 科 学 与 资 源学 院 ，陕 西 西 安 ７１００５４；２．长 安 大 学 地 质 工 程 与 测 绘 学 院 ，陕 西 西 安 ７１００５４） 摘 要 ：针 对 在 变形 观 测 数 据 时 间序 列 建模 中所 遇 到 的 问题 ，对 变 形 观 测 数 据 时 间 序 列 建 模 中 的数 据 预 处 理 、模 型 选 择 、模 型定 阶与 系 统稳 定 性 检 验 等 问题 进 行 了研 究 ，提 出 了分 析 数 据趋 势 项 提 取 的 ＡＲ 模 型方 法 ，编 写 了 ｃ语 言 计 算 程序 ，实现 了样 条 函数 插 值 方 法 、周 期 项 提 取 的差 值 法 ，建 立 ＡＲＭＡ分 析 模 型 ，对 变形 预 测数 据 与 实 际 观测 数 据 进行 了 比较 。结果 表 明 ：该 方 法 的正 确 性 以及 时间 序列 分 析 方 法 在 变 形 数据 处理 与分 析 中 的适 用 性 与 可行 性 。 关键 词 ：时 间 序 列 ；建 模 ；模 型 ；预 报 中 图 分 类 号 ：Ｐ２０７ 文 献标 志码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７２—６５６１（２００８）０２—０２１４—０４
０ 引 言
分 析方 法研 究 系 统 输 出 （观测 值 ）之 间基 于 时 间 的 变 化 关 系 ，是 一 种 动 态 的数 据 分 析 与 处 理 方 法 。
时 间序 列 分 析 是 ２０世 纪 初 出 现 的一 种 现 代 同时 ，由于 该 方 法 只 以系 统 输 出数 据 为 基 础 对 系
数 据分 析 与 处 理 方 法 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是 系 统 辨 识 与 系 统 分 析 的 统进 行 研究 ，对 于 许 多 难 以 确 定 因果 关 系 的 系 统
工业大数据时序序列建模与分析
工业大数据时序序列建模与分析随着工业生产的不断发展，大数据时代的到来，数据成为企业竞争的核心要素。
在工业领域中，工业大数据的应用已经成为改善生产效率，提高产品品质，降低生产成本等诸多方面的关键技术。
工业大数据中的时序序列数据是工业领域中最为常见的数据类型之一，如工业传感器数据，机台产量数据等。
对时序序列数据进行建模和分析可以帮助企业更好地发现数据中蕴含的信息，为工业生产提供更加精确和高效的解决方案。
1. 时序序列数据的特点时序数据是指一组按照时间先后排列的数据序列。
在工业生产中，往往需要记录一些关键性指标或传感器的读数值，在不同的时间点上对这些数据进行采集。
时序序列数据的特点主要表现在以下几个方面：1) 序列依据时间顺序排列，时序数据中每个数据点的时间戳是不可忽略的。
2) 每个数据点都是具有特定时间戳的数值，时间戳与数据值是一一对应的关系。
3) 每个数据点与其前后时间点的数值存在一定的相关性与关联关系。
2. 时序序列数据建模时序序列数据建模是对时序序列数据进行描述和分析的过程。
其目的是通过构建数学模型，对时序数据的特征进行描述和分析，实现对数据的量化分析和预测。
2.1 平稳性检验平稳是指一种统计数据序列的特性，即序列的均值与方差不随时间的变化而改变。
可以通过自相关函数和偏自相关函数图来初步判断数据的平稳性。
如果这些函数图中的时间序列随着时间的推移而减少到零，那么时间序列可以被认为是平稳的。
2.2 时间序列分析时间序列分析是指通过观察和研究时间序列数据本身的规律性以及与时间相关的因素，预测未来的数值。
时间序列模型可以分为自回归模型(AR)，滑动平均模型(MA)和自回归滑动平均模型(ARMA)三种。
2.2.1 自回归模型自回归模型(AR)是指利用过去的数值进行回归预测。
AR模型针对时间序列自身的相关性建模，其中的每个值取决于同一序列的前几个值。
2.2.2 滑动平均模型滑动平均模型(MA)是指利用过去的误差进行预测。
时间序列问题的建模方法和过程
Ｊｎ ｉｓｍｏ ｅｌ ｇ ｅ ｋｎ ｄ ｌｉ ． ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ Ｔｍｅｓｒ ｓ Ｂ ｘ—Ｊ ｎ ｉｓｍｅｈ ｄ Ｓａｉｎ ｒ Ｐ ｒｍｅｅ ｓ ｍａｉｎ Ｓ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｅｉ ｅ ｏ ｅ ｋｎ ｔｏ ｔｔ ａｙ ｏ ａａ ｔｒｅｔ ｔ ＡＳ ｉ ｏ
１ 时 间序 列 概念 和 意义
关键词 时间序列 Ｂ ｘ ｅｋｎ ｏ —Ｊｎ ｉ ｓ方法 平稳 参数估计 ＳＳ Ａ
Ｏｎ ｔ ｅ Ｍ ｏ ｅ ｌ ｇ ｏ ｍ ｅ Ｓ ｒ ｅ ｈ ｄ ｌ ｎ ｆ Ｔｉ ｅ ｉ ｓ ｉ
Ｓ ｕＺ ｏｏ ｇ ｈｏ ｈａ ｙ ｎ Ｙａ ａ ｙ ａ ｎｇ Ｙｕ ｎ ｕ ｎ
自协方差 函数 、 自相关系数 、 自相 关函数 的特征和 Ｂｘ—Ｊｎ ｉ 偏 ｏ ｅｋｎ ｓ建模． ｏ Ｊｎ ｉ Ｂ ｘ— ｅｋｎ ｓ建模 方法一般 包括模 型 识别 、 参数估计 、 型适用性检验和预测等步骤 ， 模 该模型主要运用于单变量、 同方差场合的线性模 型． 通过对模 型的进一 步研 究， 明确 了模型的定阶与参数估计等问题．
时间序列的 Ａ Ｍ （． ） Ｒ Ａ ｐ ｑ 模型具有以下的一般形式 ：
Ｉ
＝ ｏ ＋ 妒ｌ — Ｉｌ＋ … ＋ 尸 — ＋ ８ｌ一 ０ ８ ｔｐ ， 卜１ 一 … 一 Ｏ ｅ — ｑ Ｉｑ
引进延迟算子， 中心化 Ａ Ｍ （ ，） Ｒ Ａ ｐ ｑ 模型又可以简记为： （ ）。 ｅ ｘ ＝０（ ） 式中： （ ）＝１ Ｂ ｓ， Ｂ
．
从系统意义上看 ， 时间序列就是某一系统在不同时间（ 地点 、 条件等 ） 的响应． 这个定义从
系统 运行 的观点 出发 ， 间序 列是 所研究 系统 的历 史行 为 的客观记 录 ， 时 因而它 包含 了系统 结 构 特征 及其运 行规 律．
时间序列预测的常用方法及优缺点分析
时间序列预测的常用方法及优缺点分析时间序列预测是指根据过去的一系列观测值来预测未来的数值变化趋势。
时间序列预测在各行业中广泛应用，如金融领域的股票价格预测、销售预测等。
本文将介绍时间序列预测的常用方法，并分析各方法的优缺点。
1. 移动平均法移动平均法是一种常用的简单预测方法，它基于过去一段时间内的平均值来预测未来的数值。
移动平均法的优点是简单易懂，计算复杂度低，并且对于平稳序列的预测效果较好。
然而，移动平均法不能很好地处理非平稳序列或者具有长期趋势的序列。
2. 简单指数平滑法简单指数平滑法也是一种简单的时间序列预测方法。
它将未来的预测值与过去的实际观测值相结合，通过加权平均来预测未来的数值。
简单指数平滑法的优点是计算简单，对于平稳序列和趋势序列的预测效果较好。
然而，简单指数平滑法无法处理季节性数据，并且对于突发事件的预测效果较差。
3. 自回归移动平均模型（ARIMA）ARIMA模型是一种基于时间序列的统计模型，它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA），通过拟合历史数据来预测未来的数值。
ARIMA模型的优点是对于各种类型的时间序列都有较好的适用性，并且可以处理非平稳序列和具有长期趋势的序列。
然而，ARIMA模型需要进行参数估计和模型诊断，对于数据量较大或者噪声较多的情况下计算复杂度较高。
4. 季节性分解法季节性分解法是一种将序列分解为趋势、季节和残差三个部分的方法。
通过对这些部分进行建模来预测未来的数值。
季节性分解法的优点是可以较好地处理季节性数据，并且能够捕捉到数据的长期和短期趋势。
然而，季节性分解法对于非线性、非平稳的序列效果较差，且需要事先对数据进行季节性分解，增加了预测的难度。
5. 神经网络方法神经网络方法是一种基于人工神经网络的时间序列预测方法。
它通过学习历史数据的模式和规律来预测未来的数值。
神经网络方法的优点是对于非线性、非平稳的序列具有较好的适应性，并且可以自动学习数据的特征。
数学建模 时间序列模型
数学建模时间序列模型1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种数学建模方法，用于分析和预测随时间变化而变化的数据。
在各个领域，例如经济学、金融学、气象学等，时间序列模型都被广泛应用于数据分析和预测中。
时间序列模型的核心思想是利用过去的观测数据来预测未来的值。
通过对历史数据的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，并基于这些规律和趋势来进行预测。
这使得时间序列模型成为了许多领域中非常有用的工具。
时间序列模型有许多不同的方法和技术，每种方法都有其适用的场景和特点。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）以及季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
这些模型都基于不同的假设和方程，用于解释和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列模型的基本原理和方法，并探讨在数学建模中的应用。
首先，我们将介绍时间序列模型的基本概念和定义，包括时间序列、平稳性和自相关性等。
然后，我们将深入研究数学建模的基础原理，包括数据预处理、模型选择和参数估计等。
通过学习这些基础原理，读者将能够更好地理解时间序列模型，并能够在实际问题中应用它们进行数据分析和预测。
本文将通过实例和案例分析来说明时间序列模型的应用。
我们将使用真实的数据集，并结合相关的数学模型和算法，在实际问题中进行分析和预测。
通过这种方式，读者将能够更好地理解时间序列模型的实际应用，并能够应用这些方法解决自己遇到的问题。
最后，在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并展望时间序列模型的未来发展方向。
时间序列模型作为一种强大的分析工具，在大数据时代将发挥越来越重要的作用。
随着数据量的增加和计算能力的提升，时间序列模型将更加精确和高效，为各行各业的决策和预测提供更准确的支持。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织：1. 引言：在这一部分，我们将提供一个概述性的介绍，包括对时间序列模型和数学建模的定义和背景的讨论。
我们将介绍本文的目的，并列出本文的主要内容。
stata建模中的各种小问题(我的笔记)
stata建模中的各种小问题（我的笔记）保存估计结果的命令：eststore名称使用保存结果的命令：，estimates（名称）如果你把那个显示你用过的命令的窗口：窗口操作：windows――review如果你把那个显示变量的窗口：窗口操作：windows――variables时间序列充填和拓展时间区间:命令：tsappend,add(n)增加n个观测值窗口操作方式：在上面打听dataedit即为像是一个表格一样的图标点上开即可编辑数据时间序列存在间断点问题，需要补齐处理：命令：tsfill信息准则赤池信息准则（aic）――推论推论模型的最小落后阶数stata命令：1．先重回2．estatic如何看看aic统计数据量：breusch-pagan,cook-weisberg异方差检验stata命令：1．先回归2．estathettest[varlist]或者在statistics――postestimation(倒数第二个)――reportsandstatistics(倒数第二个)――在里面选择（hettest）如何看统计量：white异方差检验:stata命令：3．先重回4．estatimtest,white[varlist]或者在statistics――postestimation(倒数第二个)――reportsandstatistics(倒数第二个)――在里面选择（imtest）如何看统计量：ramsey重回预设误差检验：stata命令：1．先重回2．estatovtest或者在statistics――postestimation(倒数第二个)――reportsandstatistics(倒数第二个)――在里面挑选（ovtest）如何看看统计数据量：多重共线性方差膨胀因子检验：1．先重回2．estatvif[,uncentered]或者在statistics――postestimation(倒数第二个)――reportsandstatistics(倒数第二个)――在里面挑选（vif）如何看看统计数据量：一般的当最大的方差膨胀因子超过10（相对保守的临界值定位30）后者平均方差膨胀因子超过1表示模型存在多重共线性的问题。
时间序列预测模型评估和改进
时间序列预测模型评估和改进时间序列预测是指根据过去的数据来预测未来一段时间内的数值或事件。
时间序列预测模型是通过对历史数据的分析和建模，来预测未来的趋势和变化。
然而，现有的时间序列预测模型往往存在一定的局限性和不准确性。
因此，评估和改进时间序列预测模型是提高预测准确性的关键步骤。
首先，评估时间序列预测模型的准确性是非常重要的。
准确的评估可以帮助我们了解模型的性能，并为后续的改进提供指导。
常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）和平均绝对百分比误差（MAPE）。
除了这些传统的评估指标之外，还可以使用更高级的评估指标，如时序交叉验证和自适应参数调整等。
其次，改进时间序列预测模型需要考虑一些常见的问题和挑战。
首先是数据的稳定性和平稳性问题。
时间序列数据往往存在趋势、季节性和周期性，并且可能存在非线性关系。
因此，在应用模型之前，我们需要对数据进行平稳性检验和适当的差分处理，以减小相应的趋势和季节性成分。
另外，特征选择对于时间序列预测模型的准确性也起着重要的作用。
合理选择和构造特征可以帮助模型更好地捕捉到数据的规律和变化。
一种常见的方法是使用自相关函数和偏自相关函数来确定最佳滞后阶数，并利用滞后阶数构造特征来改进模型。
此外，选择合适的预测模型也是改进时间序列预测的一个关键因素。
常见的时间序列预测模型包括移动平均模型（MA）、自回归模型（AR）、自回归滑动平均模型（ARMA）、季节性模型（SARIMA）和长短期记忆网络（LSTM）等。
根据实际情况，我们可以选择最适合数据的模型或者进行模型融合以提高预测的准确性。
最后，模型的调优和改进是提高时间序列预测准确性的关键步骤。
模型调优包括参数调整、模型结构优化和模型组合等。
参数调整可以通过网格搜索、贝叶斯优化等方法来实现。
模型结构优化可以通过添加更多隐藏层、调整神经元数量等操作来提高模型的复杂度和拟合能力。
模型组合可以使用集成学习方法，如随机森林、梯度提升树等，将多个模型的预测结果进行集成，从而提高预测的准确性。
多模态时间序列数据的序列建模与预测
多模态时间序列数据的序列建模与预测随着科技的不断发展，多模态时间序列数据的序列建模与预测成为了一个热门的研究领域。
多模态时间序列数据是指在不同领域中采集到的具有不同类型特征的时间序列数据，例如音频、视频、文本等。
这些数据具有丰富的信息，可以用于各种应用，如自然语言处理、音频识别、视频分析等。
在多模态时间序列数据中，每个样本都是一个由不同类型特征组成的向量。
这些特征可以是时域特征、频域特征或文本特征等。
为了对这些样本进行建模和预测，需要考虑到每个样本中各个类型特征之间的时空关系。
在进行多模态时间序列数据建模之前，首先需要对原始数据进行处理和分析。
对于音频和视频数据，可以采用信号处理技术进行降噪和滤波；对于文本数据，则可以采用自然语言处理技术进行分词和向量化。
通过这些预处理步骤可以提取出每个样本中各个类型特征之间的相关性。
接下来，在建立多模态时间序列预测模型时需要考虑到以下几个方面。
首先，需要选择合适的模型结构。
可以使用深度学习模型，如循环神经网络（RNN）、长短期记忆网络（LSTM）或卷积神经网络（CNN）等。
这些模型可以有效地捕捉到时间序列数据中的时空关系。
其次，需要选择合适的损失函数和优化算法。
在多模态时间序列数据中，不同类型特征之间可能存在不同的重要性和关联性。
因此，可以使用加权损失函数来平衡各个类型特征之间的重要性。
同时，为了提高模型的泛化能力和减少过拟合现象，可以采用正则化技术和优化算法。
此外，在进行多模态时间序列预测时还需要考虑到数据集划分和交叉验证等问题。
为了评估预测模型的性能，在建立预测模型之前需要将数据集划分为训练集、验证集和测试集等部分。
在训练过程中可以使用交叉验证技术来选择最优的超参数。
最后，在进行多模态时间序列预测时还需要考虑到特征选择和维度约简等问题。
对于高维度数据，可以采用特征选择技术来筛选出最相关或最具有代表性的特征。
同时，可以使用维度约简技术来减少特征的维度，从而提高模型的效率和准确性。
时间序列数据的预测与建模
时间序列数据的预测与建模时间序列数据是指按照时间顺序排列的数据。
这类数据具有时间维度上的相关性和规律性，如气温、股票价格、交通流量等。
预测和建模时间序列数据是一项重要的任务，可为各个领域提供价值，如经济、能源、交通、环境等。
本文将介绍一些时间序列数据的预测和建模方法。
一、时间序列分解时间序列分解是时间序列分析的一种方法，可将数据分解为趋势、季节和随机三个组成部分。
趋势部分反映了时间序列整体的长期发展趋势，季节部分表示时间序列在某一周期内的循环变化，随机部分则表示不受趋势和季节影响的、随机波动的成分。
通过时间序列分解，可以更好地理解时间序列的变化规律。
二、平稳性检验平稳性是指时间序列数据在统计学意义下的稳定性。
时间序列数据的平稳性是进行时间序列预测和建模的前提条件。
平稳性检验是检测时间序列数据是否平稳的一种方法，一般用单位根检验（unit root test）或自相关函数检验（autocorrelation function test）。
如果时间序列数据不平稳，需要进行差分处理（differencing）或其他方法使其平稳化。
三、ARIMA模型ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average）模型是一种常用的时间序列预测和建模方法。
该模型包含三个主要参数：AR参数（自回归系数）、I参数（差分次数）、MA参数（移动平均系数）。
ARIMA模型将时间序列数据分解为趋势、季节和随机成分，在此基础上进行参数估计和预测。
ARIMA模型在经济、气象、股票等领域得到广泛应用。
四、神经网络模型神经网络模型是近年来发展起来的一种时间序列预测方法。
神经网络模型利用反向传播算法对网络权重进行调整，通过对时间序列数据的学习和训练得到模型的参数，最终实现对时间序列数据的预测。
神经网络模型不需要预设模型的结构，可以自适应调整模型的参数。
但由于其黑盒结构，对于参数问题和过拟合问题需要加以注意。
时间序列分析的挑战和解决方案
时间序列分析的挑战和解决方案时间序列分析是统计学和经济学中的重要研究领域。
它的主要目的是研究时间变量和其它变量之间的关系，进而预测未来趋势和做出决策。
但是，时间序列分析也面临着很多挑战，例如数据的稳定性、样本大小、季节性、非线性、误差结构等等。
本文将介绍时间序列分析所面临的挑战以及解决方案。
1. 数据的稳定性时间序列数据往往具有趋势、周期性、季节性以及不稳定的方差等特点，这给模型的建立带来了很大的挑战。
其中一个重要问题是如何去除数据的非平稳性。
对于非平稳时间序列，一般需要通过差分运算、对数变换等方式使得数据变得平稳，以便进行下一步的建模。
2. 样本大小时间序列数据的样本大小通常是比较小的，这使得统计分析很难得到可靠的结论。
特别是在金融领域或人口统计等领域，数据采集成本昂贵，而且往往只能得到很少的数据。
因此，如何充分利用有限的数据资源来预测未来的趋势，是时间序列分析面临的一大挑战。
3. 季节性时间序列数据中的季节性是指在一年中某些特定时间出现的周期变化。
例如，零售业中的销售量、收益或耗电量等都受到季节性的影响。
如何在季节性变化对数据进行分析，成为时间序列分析的一个挑战。
这需要使用适当的季节性调整方法，如X-11、SEATS、TRAMO/SEATS等。
4. 非线性时间序列数据中的非线性关系往往比较复杂，不易建立可靠的模型。
例如，某一地区的酒店住宿量在旅游旺季呈指数增长，但受到天气、航班取消等因素影响时较难建立简单的线性模型。
在应对时间序列数据的非线性关系时，可以采用非线性回归模型、ARCH/GARCH模型等。
5. 误差结构时间序列分析中的误差结构对于模型的精度和稳定性至关重要。
标准的假设是误差是一个白噪声过程，但实际上往往不是这样。
在建立时间序列模型时，需要对误差结构进行检验，以验证假设是否成立。
同时，还需要选择适当的误差结构模型，如ARMA,ARCH,GARCH等。
在面对时间序列分析的挑战时，需要掌握一些常用的解决方案。
序列建模问题
序列建模问题摘要：一、序列建模问题的背景与定义1.背景介绍2.序列建模问题的定义二、序列建模问题的应用领域1.自然语言处理2.语音识别3.时间序列预测4.其他应用场景三、序列建模问题的挑战与解决方案1.长期依赖问题2.模型设计3.训练方法4.解决方案举例四、序列建模问题的前景与展望1.未来研究方向2.实际应用的拓展3.对我国人工智能发展的影响正文：序列建模问题是机器学习和人工智能领域的一个重要课题。
它的核心目标是通过分析序列数据，挖掘数据中的模式和结构，并预测序列的未来状态。
本文将介绍序列建模问题的背景与定义，应用领域，挑战与解决方案，以及前景与展望。
一、序列建模问题的背景与定义随着大数据时代的到来，序列数据在各个领域中呈现出爆炸式的增长。
例如，在自然语言处理中，文本数据可以看作是一种序列数据；在语音识别中，声音信号可以看作是一种序列数据；在时间序列预测中，股票价格、气象数据等也可以看作是一种序列数据。
序列建模问题旨在通过建立合适的模型来对这些序列数据进行建模，从而实现对序列未来状态的预测。
二、序列建模问题的应用领域序列建模问题在许多领域都有广泛的应用。
首先，在自然语言处理领域，研究者们通过序列建模方法来解决诸如机器翻译、文本摘要、情感分析等问题。
其次，在语音识别领域，序列建模方法被用于建立声学模型，从而实现对语音信号的识别。
此外，序列建模方法还被广泛应用于时间序列预测、金融领域、生物信息学等领域。
三、序列建模问题的挑战与解决方案序列建模问题在实际应用中面临着许多挑战，如长期依赖问题、模型设计、训练方法等。
为了解决这些问题，研究者们提出了许多有效的解决方案。
例如，在模型设计方面，循环神经网络（RNN）和长短时记忆网络（LSTM）等模型被提出，有效地解决了长期依赖问题。
在训练方法方面，采用自注意力机制（如Transformer）的模型在许多序列建模任务上取得了显著的性能提升。
四、序列建模问题的前景与展望序列建模问题在人工智能领域具有广泛的研究价值和应用前景。
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• 条件分布形式
E[ xt | t 1 ] 0, E[ xt2 | t 1 ] ht
GARCH模型的平稳性
• GARCH模型表达的是鞅差过程，但不 一定是平稳的； • 如果 1 ，那么GARCH(1,1)模型 能够表达唯一的二阶平稳过程，此时
Rk
f ( )e d
ik
f ( ) cos(k )d ,
k 0, 1, 2,
• 如果自协方差函数绝对可加，谱密度 函数连续且能够写成
1 f ( ) 2
k
Rk eik
无条件和条件分布
• 平稳性针对的是无条件分布的特征不 随时间变化； • 各种时间序列模型往往是给出的是具 体的条件分布，条件分布的一些特征 必须是随时间变化的， • 预测的基础是条件分布。
k
ij
(k )
d d
, rdd (0)} diag{Γ(0)}
Γ(k )e i k ,
多维时间序列模型
• • • • 向量白噪声； 向量鞅差序列； VARMA模型； 多维GARCH模型
讨论几个问题
• 先对一些宏观经济或者金融的变量数 据进行统计描述，计算其平均值等， 再检验其存在单位根； • 根据几种经济变量的时间序列数据采 用主成分分析、因子分析等方法进行 综合评价（比如竞争力评价等）？
长期方差不存在的情形
• 长记忆过程： 自相关函数存在但是不 可无穷相加； • 非平稳过程：自相关函数不存在或者 难以按照常规的方式定义。
3. 白噪声的检验
ARMA模型的建模思路
• 通过自相关函数识别模型的结构初步 判断模型的阶数；如果是白噪声，不 需要建立模型； • 估计模型中的参数； • 对残差数据进行诊断；如果残差已经 是白噪声，就不需要再改变模型的设 置；
;
• 于是
(1) f (0) 0 2 (1)
2 a 2
GARCH模型
• 条件方差模型： • GARCH(1,1)模型的形式：
t ~ i.i.d .(0,1) 2 ht ht 1 xt 1 xt21 1 1 B
长期方差的参数估计
• 对数据拟合一个ARMA模型，利用
(1) 2 f (0) (1)
2 L 2 a 2
• 特别地，拟合一个AR(p)模型，利用
2 L
(1 1
2 a
p )2
一个例子
2 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
60
主要目的
主要针对在以往的一些参赛作品或者 学术研究论文中进行时间序列建模时存 在的一些概念性、技术性的问题进行讨 论。
主要内容
• • • • • 平稳性的讨论； 长期方差的估计； 白噪声的检验； 单位根的检验； 其他话题；
1. 平稳性的讨论
平稳过程及自相关函数
• 平稳性：严平稳和弱平稳； • 自协方差函数和自相关函数：
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0 5 10 15 20 25 30
相空间图形
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
xt 4 xt 1 (1 xt 1 )
x(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 x(t-1)
0.6
0.7
0.8
Newey-West估计
• Newey-West(1987)
(q) R 0 2 (1
k 1 2 L q
k ) Rk q 1
1 T k T ( yt y )( yt k y ), k 0 R k t 1 R , k0 k
长期方差（long-run variance)
如果存在极限
T 1 2 L lim E[ ( ( yt ))2 ] T T t 1
那么称其为该时间序列的长期方差 ，此时
2 var[ y] L / T , SE( y) L / T
长期方差的性质
• 如果自协方差函数绝对可加，那么长 期方差存在且满足
无条件相关和条件相关
• 通过移动窗研究多个时间序列之间的 相关性; • 主成分和条件不相关成分的问题（Fan, Wang & Yao 2008）
2. 长期方差的问题
对均值的估计
• 假设一个平稳序列{yt }的均值 E( yt ) ， 那么样本平均值
y (1/ T ) t 1 yt
白噪声过程
• 如果一个过程{at } 满足
2 E(at ) 0, R0 a >0, Rk 0, k 1, 2,
• 称其为白噪声（White Noise）, 白噪声过 程总是平稳的， 此时
2 f () a /(2 )
鞅差过程
• 如果一个过程满足
E[ yt | t 1 ] 0
Rk cov( yt , yt k ), k 0, 1, 2,
k co rr( yt , yt k ), k 0, 1, 2,
2 R0 var( yt ) y , E ( yt )
平稳过程的谱函数
• 谱密度函数是定义在 [ , ]上的偶函数
一种修正的Q检验
• Lobato, Nankervis, Savin (2002)：考虑 对长期协方差矩阵C的估计，并由此构 造Q统计量QLNS ; • 同前面的模拟分析，在5%的显著水平 下， 按照QLNS （10）的结果拒绝白噪 声假设的比率为4.3%，在10%的显著 水平下的拒绝比率为9.36%.
T
显然是无偏的估计，估计的误差？
SE( y) y / T
样本均值的方差
T 1 var[ y ] E[( y ) ] 2 E[( ( yt )) 2 ] T t 1 2
1 2 T
E[( y
t 1 s 1
T
T
t
)( ys )]
1 T T 1 2 E[( yt )( yt k )] T t 1 k 1T 1 2 {TR0 2(T 1) R1 2(T 2) R2 2 RT 1} T 1 1 2 T 1 {R0 2(1 ) R1 2(1 ) R2 2(1 ) RT 1} T T T T
• 如果( z) 0, for | z | 1 ，那么ARMA模 型定义了唯一的二阶平稳过程
( B) yt at j at j ( B ) j 0
ARMA模型的可逆性
• 如果 ( z) 0, for | z | 1，那么ARMA模 型能够唯一地表达成如下的形式
• HACC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance matrix )
• 非参数估计方法：估计谱密度函数在 零点的值。 Newey &West(1987); Andrews(1991); Andrews & Monahan (1992) ; Newey & West (1994).
Q统计量的核密度估计（实线）
原因分析
样本自相关函数的渐近方差依赖于更 高阶过程的关联性，此处是
wt ( w1t , w2t , , wmt ) ; wit ( yt )( yt i ), i 1, 2, , m
的长期协方差
C
d
E[w t w t d ]
• 称其为鞅差（Martingale-Difference） 过程，鞅差不一定是平稳的，除非
E[ y ]
2 t 2 y
一个白噪声而非鞅差的例子
(a) Data
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
(b) ACF
对白噪声的Q检验
• 根据独立同分布（i.i.d.）情形下样本自 相关函数的渐近分布，构造Q统计量
QLB (m) T (T 2)
1 m
2
T
• 检验“时间序列是白噪声”的假设。 2 (m) 采用的渐近分布是i.i.d.假设下的
Q检验用于模型诊断
• 如果对数据拟合了一个ARMA(p,q)模型 之后，可以通过对残差进行Q检验来诊 断模型的设置是否充分。 • 注意此时不管模型当中是否考虑了常数 项，Q统计量的渐近分布都是 2 Q(m) ~ (m p q)
0.9
1
ARMA过程
• ARMA(p,q)模型
( B )( yt ) ( B)at ( B ) 1 1B ( B ) 1 1B pB p, q B q ,
• 其中{a }是白噪声
t
2 at ~ WN (0, a )
ARMA模型的平稳性
2 L k
R
k
R0 2 Rk 2 f (0)
k 1
• 对于白噪声的情形才有
2 2 L R0 y
多维的情形
• 长期协方差矩阵：
L
k
Γ
k
Γ0 (Γk Γ k ) 2 f (0)
k 1
长期方差的非参数估计
E[ x ] 1
2 t
高阶的关联性
• GARCH模型表达了二阶的关联； GARCH(1,1)模型可以写成平方项的 ARMA(1,1)的形式