平面力系的平衡方程及应用

通过以上各例可归纳出求解物体系统平衡问题的一般步骤:
（1）分析题意,选取适当的研究对象
物体系统整体平衡时，其每个局部也必然平衡。因此，研究对象可取整体、 部分或单个物体。选取的原则是尽量做到一个平衡方程只含一个未知量，以 避免解联立方程。
(2)画出研究对象的受力图
在受力分析中应注意区分内力与外力，受力图上只画外力不画内力,两 物体间的相互作用力要符合作用与反作用定律。
FB F
F C
Fy 0, FAy FB 0
a
FAy F
A
FAx
FAy
M
2a
D
B
M
2a
D y
B
x FB
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-18 已知AC=CB=l, G=10kN。求铰链A和DC杆受力。
解（1）取AB梁，画受力图。
（2）列平衡方程求解
Fx 0
FAx FC cos 450 0
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
平面一般力系实例
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
平面一般力系实例
F
a b
h
y
B
M
FAy
A
FAx
G
C F
x
H
FA
FB FNB
FNA
FNC
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
复习：1.力的平移定理
MB MB (F ) Fd
F
A
F F
BA
F
F
MB
BA
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
Fz 0
FAz Ft G1 FBz F 1 sin 45o F2 sin 30o G2 0
FAz 6.914kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
xy平面：
MA(F) 0
Fx 0
Fy 0
Fr l Fa r FBx 2l (F1 cos 45o F2 cos 30o) 2.5l 0
固 定 端 实 例
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
1.平面汇交力系的平衡方程
y
F2
Fi
Fx 0
F1
O Fn
x
Fy 0
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
2.平面一般力系的平衡方程
FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO(Fi )
Fx Fy
0 0
Mo 0
复习:2.平面汇交力系的合成
F2
F1 F2
F1
O
FF3
F3 R
F4
F4
FR
O
FR Fi
力多边形规则：作力多边形，找封闭边。
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
复习：３.合力投影定理:
y
FR= F1 + F2 + … + Fn = ∑ Fi
FRx F1x F2x L Fnx Fix
FRy F1y F2 y L
例2-16 AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。
设已知电葫芦和提升重物共重G= 5kN, q = 25º，a=2m，l = 2.5m。
吊车梁的自重略去不计，求钢索BC和铰A的约束力。
C
q
A
D
B
a
l
G
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：选择吊车梁（含电动葫芦和重物）为研究对象，根据
M
解：取刚架AB为研究对象，受力如图所示。
Fx 0 F FAx 0
F
FAx F 8kN
MAF 0 FB 4 M F 2.5 0
FB
M
F 4
2.5
6kN
Fy 0 FB FAy 0
F
A
B
4m
M
FAy FB 6kN
A
B
FAx
FAy
4m
FB
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
三力平衡汇交定理，可画出梁的受力图，取坐标系Oxy
l
a
FA
O FTB
q
A
D
B
FTB
q
y
FA
x G
G
由平面汇交力系 的平衡方程求解
Fx 0, FA cos FTB cosq 0
Fy 0, G FA sin FTB sinq 0
tan
OD AD
BD tanq
AD
(l
a) a
tanq
FA 8.63kN
Fy 0
FAy FC sin 450 F 0
M A 0 FC cos 450 l F 2l 0
G
解得
FC 28.28kN
FAx 20kN
FAx FAy
45o
FC
FAy 10kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-19 已知G1=10kN，G2=40kN，尺 寸如图。求轴承A、B处的约束力。
abgf之间的夹角b称为齿倾角或螺
旋角，平面aedf为切平面，啮合
力Fn与切平面的夹角a称为压力角。 啮合力Fn沿平行于齿轮轴线的分 力Fa称为轴向力，沿啮合圆切线 的分力Ft称为切向力，沿啮合圆 半径方向的分力Fr称为径向力。
Fr Fn sin
Ft
Fn
cos
cos
Fa Fn cos sin
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：（1）取带轮整体为研究对象，选取坐标系，并作受力图。
z
FAz
FBz
ห้องสมุดไป่ตู้
y
FAy
x FAx
FBx
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
（2）将轮轴的轮廓及所受的力向三个坐标平面投影，作出三个投影 图。
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
（3）求解三个平面力系
xz平面：
—— 平面一般力系的平衡方 程（基本形式、两影一矩式）
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
3.平面平行力系的平衡方程
平面平行力系的平衡方程有两种形式
y
F1 F2
Fy 0
M
A
0
（各力不得与投影轴垂直）
O
Fn
Fi
F3
x
M A 0
MB
0
（矩心A、B两点连线不得与各力平行）
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：取起重机，画受力图。
MA 0 Fx 0 Fy 0
FB 5 1.5G1 3.5G2 0 FB 31kN
FAx FB 0
FAx 31kN
FB
FAy G1 G2 0
FAy 50kN
FAx FAy
G1 G2
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-20 已知：F＝8kN，M＝4kN·m求A、B处的约束力。
MA(F) 0 Ftr (F1 F2 )R 0
Q F1 2F2
F2
Ft r R
12 200 600
4kN
F1 2F2 8kN
zy平面：
MA(F) 0
FBz 2l (Ft G1) l (F1 sin 45o F2 sin 30o G2 ) 2.5l 0 FBz 1.57kN
FBx 12.025kN
FAx Fr FBx F 1 cos 45o F2 cos 30o 0
FAx 1.405kN
FAy Fa 0
FAx Fa 0.5kN
FTB 9.46kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-17 已知M=Fa。求支座A、B处约束力。
解法1：
(1) 取刚架为研究对象 (2) 画受力图 (3) 建立坐标系,列方程求解
F C
a
Fx 0, FAx F 0
A
FAx F
M A(F) 0, FB 2a M Fa 0
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
斜齿轮及其受力分析：
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-22 一传动轴如图所示，皮带轮D的半径R=600mm，自重G2＝ 2kN，紧边拉力F1的倾角为45°，松边拉力F2的倾角为30°，且F1＝ 2F2；齿轮C的分度圆半径r=200mm, G1＝1kN，齿轮啮合力的三个分 力为：圆周力Ft=12kN，径向力Fr=1.5kN，轴向力Fa=0.5kN。已知 AC=CB=l，BD=l/2。。求皮带拉力和轴承A、B的反力。
(3)对所选取的研究对象,列出平衡方程求解
为了避免解联立方程,应选取适当的投影轴和矩心,力求一个平衡方程中只包含 一个未知量。
(4)列出非独立的平衡方程，校核计算结果。
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2－21 如图所示，圆柱斜齿轮
轮齿的啮合力Fn的作用线在法平 面abcd内，平面abcd与齿轮端面
Fny
Fiy
F1
F2 FR
Fi
平面汇交力系合力的大小和 方向分别为：
O Fn
x
FR
FR2x FR2y
(
Fix
)2
(
Fiy
)2
tan FRy
FRx
式中为合力与x轴所夹的锐角。
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
平面固定端的约束力分析
F
A
FAy
FAx
MA A
B
FA
F
MA
A
B
F
B
§2-4 平面力系的平衡方程及应用