平面力系的平衡方程及应用
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平面力系的平衡方程
平面力系的平衡方程
平面力系的平衡方程是用来描述在平面上的力系（多个力的叠加）处于平衡状态时的条件。
平面力系的平衡方程由两个方向上的平衡条件组成，即水平方向（x轴方向）和垂直方向（y轴方向）。
对于平面力系的平衡方程，可以按照以下步骤进行推导和应用：
1.选择参考点：选择一个适当的参考点作为计算平衡方程的基准点。
通常选择一个能够简化计算的点，例如物体的质心或力的交点。
2.建立坐标轴：建立一个合适的坐标轴系统，通常选择x轴和y轴与参考点有关。
确保坐标轴的方向与力的方向相对应。
3.列出受力分量：对于每个作用在物体上的力，将其分解为x轴和y轴上的分量。
使用三角函数，将力的大小分解为水平和垂直分量。
4.编写平衡方程：对于水平方向和垂直方向，分别列出受力的代数和等式。
在平衡状态下，合力和合力矩（力矩是力与参考点之间的距离乘以力）必须等于零。
这将得到平衡方程。
3-2平面一般力系的平衡与应用
一、导入由上节课的简化结果可知：若平面一般力系平衡，则作用于简化中心的平面汇交力系和附加力偶也必须同时满足平衡条件。
由此可知，物体在平面一般力系的作用下，既不发生移动，也不发生转动的静力平衡条件为：力系中的所有各力在两个不同方向的X\Y轴上投影的代数和均为零，且力系中各力对平面内任意一点的力矩大代数和也等于零。
二、新授3-2平面一般力系的平衡与应用一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用平面一般力系平衡的充要条件是力系主矢F R/ 和力系对某一点的主矩m o都等于零。
即：F R/ =0，m o =0要使F R/ =0，必须满足：∑F x =0 ∑F y =0要使m o =0，必须满足：∑m o（F）=0于是，平面一般力系的平衡条件可表达为：∑F x =0基本形式∑F y =0∑m o（F）=0 力矩方程平面一般力系有三个独立方程。
例1：钢筋混凝土钢架的受力及支座情况如图。
已知F=10KN，m=15KN.m，钢架自重不计，求支座反力。
平面一般力系平衡必须同时满足三个平衡方程式，这三个方程彼此独立，可求解三个未知量。
因此，平面一般力系平衡的充要条件又可叙述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零，而且力系中所有各力对任一点力矩的代数和也等于零。
解：1、刚架为研究对象，画刚架的受力图， 建立坐标轴2、列平衡方程求解未知力 ∑F x =0 F －F BX ＝0 F BX ＝F ＝10KN∑m A （F ）=0 －F ×3－m ＋F BY ×3＝0 F BY ＝15KN （） ∑F y =0 F A ＋F BY ＝0 F A ＝－F BY ＝－15KN （） 二、平面一般力系平衡方程的其他形式 1、二力矩式平衡方程的基本形式并不是唯一的形式，还可以写成其他的形式,它与基本形式的平衡方程是等效的,但往往应用起来会方便一些。
形式：三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程00===∑∑∑xBA Fm m如果力系满足0=∑A m 的方程,简化结果就不可能是个合力偶,而只能是合力或平衡；若是合力则合力应通过A 点,同理,力系又满足0=∑B m ，则此合力还应通过B 点,也就是说,力系如果有合力则合力作用为AB 连线,又因为力系还满足=∑xF的方程，则进一步表明力系即使有合力,这合力也只是能与X 轴相垂直,但附加条件是AB 连线不与OX 轴垂直。
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
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l
A
l/2 P
B Q
a
l
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（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
平面汇交力系的平衡方程及应用
平面汇交力系的平衡方程及应用
【例3-1】
图3重物为研究对象，画受力图如图3-1（b）所示。根 据约束特点，绳索必受拉力。 （2）先用几何法求解。 工 程 力 学力系的平衡第3章作力多边形，求解未知 力。选取比例尺1 cm代表15 kN，任取一点A，作力多边 形（点A即为汇交点），如图3-1（c）所示，令AC=W=4 0 kN，过C点作TBC的平行线，过A点作TAB的平行线，两 线相交于B点，得到封闭的力三角形ABC。
平面汇交力系的平衡方程及应用
【例3-2】
图3-2
平面汇交力系的平衡方程及应用
【解】（1）由于AB、BC两杆都是二力杆，假设杆A B受拉力、杆BC受压力，如图3-2(b)所示。为了求出这两 个未知力，可通过求两杆对滑轮的约束力来解决。因此选 取滑轮B为研究对象。
（2）画受力图。滑轮受到钢丝绳的拉力F1和F2（已 知F1＝F2＝P），杆AB和BC对滑轮的约束力为FBA和FBC。 由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系， 如图3-2(c)所示。
和终点重合，力的多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的几
何条件是力的多边形自行封闭。
平面汇交力系的平衡方程及应用
1.2 平面汇交力系平衡的平衡方程及应用
根据平面汇交力系的平衡条件及合力投影定理，可以 得到平面汇交力系的平衡方程为
（3-2） 式（3-2）说明，平面汇交力系的平衡方程是力系中 的各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。平面 汇交力系的平衡方程组有两个独立的方程，最多只能解两 个未知量。其中的未知量包括未知力的大小和方向。另外， 两个坐标轴可任取，只要不平行或共线即可。
工程力学
平面汇交力系的平衡方程及应用
平衡力系是工程实际中较为常见的 一种力系。许多结构和构件都处于平衡 状态，例如，建筑物、桥梁、机器构架 等处于静力平衡状态；以一定速度运转 的转轴则处于动平衡。本章只研究在力 系作用下的平衡方程及其应用。
平面力系的平衡及应用
平面力系的平衡及应用平面力系的平衡及应用平面力系是指在一个平面上作用的多个力的集合。
平面力系的平衡是指作用在物体上的力在该平面上的合力和合力矩都等于零。
平面力系的平衡是力学研究的基本内容，具有广泛的应用价值。
平面力系的平衡与力的平衡是密切相关的。
力的平衡是指作用在物体上的所有力之和等于零，即ΣF=0。
平面力系的平衡可以通过力的平衡方程和力的平衡图进行研究与分析。
力的平衡方程是指将力的平衡条件表示为方程的形式，通过对所有力在X轴和Y 轴上的分量进行求和得到。
对于平面力系，如果力系在X轴和Y轴上的合力都为零，则有ΣFx=0和ΣFy=0。
这两个方程可以帮助我们计算出力系中未知力的大小与方向。
力的平衡图是指将所有力按照其大小和方向画在一个平面上的图形。
通过绘制力的平衡图，可以直观地了解力的平衡情况，进而确定力系中未知力的大小与方向。
平面力系的平衡是力学的基本原理之一，具有广泛的应用。
下面介绍几个应用平面力系平衡原理的实例。
第一个应用是悬挂物体的平衡问题。
当一个物体悬挂在绳子上时，绳子所受的张力需要平衡物体的重力。
在该情况下，可以通过绘制力的平衡图，计算出绳子所受的张力大小。
第二个应用是斜面上物体的平衡问题。
当一个物体放置在斜面上时，斜面对物体的支持力需要平衡物体在斜面上的重力分量。
在该情况下，可以通过绘制力的平衡图，计算出斜面对物体的支持力大小。
第三个应用是平衡梁的问题。
平衡梁是指在一个平面上作用的多个力使得梁保持平衡的情况。
在平衡梁问题中，需要计算出每个支点所受的力大小和方向，以及梁的平衡条件。
第四个应用是静止摩擦力的计算。
在平面力系的平衡中，静止摩擦力是指使物体保持静止的摩擦力。
通过力的平衡图可以求解静止摩擦力的大小。
以上只是平面力系平衡原理的一些应用示例，实际应用中还有更多的情况。
平面力系的平衡原理对于工程设计、物体平衡、结构强度等领域都有重要作用。
总结起来，平面力系的平衡是指作用在物体上的力在该平面上的合力和合力矩都等于零。
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
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3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
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例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
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在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
平面任意力系的平衡方程及应用
FCDl
s in
G1
l 2
G2a
0
(a)
Fx 0 FAx FCD cos 0
(b)
Fy 0 FAy G1 G2 FCD sin 0
(c)
第2章 平面力系的平衡
C
A
D
C
l
2a
G 1
l
G2 (a)
y FAy A
FAx
图2.5
FCD
B x
G1
G2
(b)
FR'
Fx 2 Fy 2 0, MO MO (Fi ) 0
第2章 平面力系的平衡
由此可得平面任意力系的平衡方程为
Fx 0
Fy 0
Байду номын сангаас
MO (F ) 0
式（2.6）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一 力矩式方程。它说明平面任意力系平衡的解析条件是: 力系中各 力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，以及 各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。这三个方程是 各自独立的三个平衡方程，只能求解三个未知量。
解（1） 选圆球为研究对象，取分离体画受力图。 主动力: 重力G。 约束反力: 绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。 受力图如图2.6（b）所示。
第2章 平面力系的平衡
（2） 建立直角坐标系Oxy
∑Fx=0
FT-Gsin30°=0
FT=50N( ∑Fy=0
FN-G cos30°=0
FN=86.6N
解 （1）以横梁AB为研究对象，取分离体画受力图。
作用在横梁上的主动力: 在横梁中点的自重G1、起吊重量 G2。作用在横梁上的约束反力: 拉杆CD的拉力FCD、铰链A点的 约束反力FAx、FAy，如图2.5（b）所示。
平面力系的平衡方程及应用分析
PART 5
平面力系平衡方程的实例分析
实际工程中的应用案例
桥梁工程：分析桥梁受力情况，确保桥梁安全稳定 建筑工程：分析建筑物受力情况，确保建筑物安全稳定 机械工程：分析机械设备受力情况，确保机械设备安全稳定 航空航天工程：分析飞机、火箭等受力情况，确保飞行器安全稳定
经典物理中的平衡问题
牛顿第二定律：物体受到的 力与其质量和加速度成正比
多重平衡问题分析
多重平衡问题：多个力系同时作用于同一物体，需要同时满足多个平衡条件 应用领域：工程设计、建筑结构、机械制造等 解决方法：利用平面力系平衡方程，分别求解各个力系的平衡条件 实例分析：桥梁设计、汽车悬挂系统设计等
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PART 3
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
牛顿第二定律： F=ma
力矩平衡条件： ΣM=0
平面力系的平衡 条件：ΣFx=0， ΣFy=0
平面力系的平衡 方程：ΣFx=0， ΣFy=0，ΣM=0
平衡方程的形式
平面力系的平衡方程：Fx=0，Fy=0，M=0 Fx：x轴方向的合力 Fy：y轴方向的合力 M：力矩
求解未知力的方法
利用平衡方程求解未知力
利用力偶平衡方程求解未知力
添加标题
添加标题
利用力矩平衡方程求解未知力
添加标题
添加标题
利用力系简化方法求解未知力
平衡方程的解题步骤
确定已知条件：包括力的大小、方向、作用点等 建立平衡方程：根据已知条件，列出平衡方程 求解未知量：利用平衡方程求解未知量 验证结果：检查求解结果是否满足平衡条件，如有不满足，重新求解
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平面力系的平衡方 程及应用ssibilities
平面一般力系—平面一般力系的平衡方程及其应用(建筑力学)
平面一般力系
(3) 列平衡方程求解未知量。
为简化计算，避免解联立方程:在应用投影方程时，选取 的投影轴应尽量与多个未知力相垂直；应用力矩方程时，矩 心应选在多个未知力的交点上，这样可使方程中的未知量减 少，使计算简化。
平面一般力系
例4-1 梁AB一端是固定端支座，另一端无约束，这样的 梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如图所示。已知FP=2ql， α=60°，梁的自重不计。求支座A的反力。
特别注意，固定端的约束反力偶千万不能漏画。
平面一般力系
例4-2 钢筋混凝土刚架，受荷载及支承情况如图所示。 已知FP1=40， FP2= 10kN， M = 6kN·m,刚架自重不计。求支 座A、B的反力。
解 取刚架为研究对象，画其受力图如图示。
平面一般力系
Fx 0 FAx F2 0
FAx F2 10kN ()
平面一般力系
例4-3 管道支架的结构简图如图所示。 Fp=8kN，求支座 A的反力和杆CD所受的力。
容易判断：杆CD为二力杆，且为受压。
由
平面一般力系
解 取梁AB为研究对象，其受力图如图示。
M A(F ) 0 FNCD sin 30 60 F 30 F 60 0
FNCD
8 30 8 0.5 60
其中前两式称为投影方程，第三式称为力矩方程.
这三个方程是相互独立的，应用这三个独立的平衡方程可 求解三个未知量。
平面一般力系
2.二力矩式
Fx M
0
A F
0
M B F 0
式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
3.三力矩式
M M
A B
F F
0 0
MC F 0
式中A、B、C三点不共线。
5-2 平面一般力系的平衡
FL
11
答案：
m
FA y
A
F Ax
A
AB梁:
Q 1 qL 2
Fx 0
B
F Ax 0
Fy 0
F Ay Q 0
1 F Ay 2 qL
mA 0
mA
Q
L 3
0
mA
qL2 6
12
其他例题
P92-94例5-2，例5-3，例5-5 。
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梁的自重不计
求：A、B支座反力。 解：取简支梁AB为研究对象
Q
1 2
qc
L 2
3kN
AD 2 L L 2m 32 3
yQ F
F L/3 L
x
αF
mA 0
F B cos 300 L m Q AD 0
F B 1.54kN （ ）
FX 0
α
F Ax F B sin 300 0
e G1
由(4)、(5)式 得：
G3
G1(b a
e)
6
A
B
FN A
b
FN B
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致
翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：
G2L G1e ab
G3
G1(b a
e)
8
例4.匀质刚杆ABC
θ
FA
P
θ θ
θ 2P
已知: BC=2AB=2L
mA 0
求：当刚杆ABC平衡时 BC与水平面的倾角θ? 解：取刚杆ABC为研究
2P
L
cos
L
cos(900
)
P
L 2
cos(900
1-4 平面力系的平衡方程及应用
【例 1—4—1】 试求图中所 示F1、F2、F3 各力在 X 轴及Y轴上 的投影。
力系
解题过程
2．平面一般力系的简化 设刚体上作用有平面一般力系（F1、F2…Fn） ，在平 面内任取一点 O作为简化中心。
这种画有隔离体及其所受的全部作用力的简图，称为物 体的受力图。
刚体受力的简化
得到一个平面汇交力系和一个附加力偶系：
§1 —4
平面力系的平衡方程及应用
1．会分析平面力系。 2．会建立平衡方程并计算未知力。
一、平面力系的分析方法
1. 力的分解与投影 力的分解——将一个力化作等效的两个或两个以上分 力的过程。 工程中最常用的是正交分解法， 即分解成两个互相垂直的分力。
注意：力的分解是矢量 分解的概念，分解后的力F1 和 F2 是矢量，既有大小， 又有方向 。 力的分解
【例 1—4—3】 铣床夹具上的压板AB如图所示，在 拧紧螺母后，螺母对压板的压力F=4kN，已知l1=50 mm， l2=75 mm，试求压板对工平面一般力系的平衡方程解题的步骤为：
选取研究对象→进行受力分析并画出受力图→选取
坐标系，计算各力的投影；选取矩心→计算各力的矩→ 列平衡方程，求解未知量。 恰当选取矩心的位置和坐标轴的方向，可使计算简 化。例如，矩心可选在两未知力的交点，坐标轴尽量与 未知力垂直或与多数力平行。
【例 1—4—2】 曲柄冲压机如图所示，冲压工件时冲 头B受到工件的阻力F=30 kN，试求当α=30°时连杆AB所受的 力及导轨的约束力。
平面一般力系平衡必须同时满足以下三个平衡方程式， 这三个方程彼此独立，可求解三个未知量。
基本形式 ∑FX＝0 ∑FY＝0 ∑FX＝0 ∑M0(F)＝0 前两个方程称为 投影方程，后一个 方程称为力矩方程 二力矩式 ∑FX＝0 ∑MA(F)＝0 ∑MB(F)＝0 使用条件：X轴与AB 连线不垂直 前一个方程称为投影 方程，后两个方程称为 力矩方程 三力矩式 ∑MA(F)＝0 ∑MB(F)＝0 ∑MC(F)＝0 使用条件：A、B、 C三点不共线 三个方程均为力 矩方程
平面力系的平衡方程及应用
研究方法：几何法，解析法。
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
平衡方程及应用
FAx 31kN
FB
FAy G1 G2 0
FAy 50kN
FAx FAy
G1 G2
平面一般力系的平衡方程及应用
例2-20 已知：F＝8kN，M＝4kN·m求A、B处的约束力。
M
解：取刚架AB为研究对象，受力如图所示。
Fx 0 F FAx 0
F
FAx F 8kN
【例 2-7】
平面力系的平衡方程及应用
4.平面力偶系的平衡方程 作用在物体同一平面内力的许多力偶，称为平面 力偶系。
平面力偶系平
衡的必要充分 条件是：力偶 系中各力偶矩 的代数和为零。
M=M1+M2+…+Mn=0
【例2-8】
平面力系的平衡方程及应用
通过以上各例可归纳出求解物体系统平衡问题的一般步骤: （1）分析题意,选取适当的研究对象
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系的平衡方程
若使刚体处于平衡，则必须满足作用于 刚体上的合力矢FR=0，合力偶矩M=0，即
FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO(Fi )
Fx Fy
0 0
M o 0
—— 平面一般力系的平衡方 程（基本形式、两影一矩式）
平衡 方程
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系实例
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系实例
y
B
M
FAy
A
FAx
C F
x
FNC
F
a b
h
G
FA
H
FB FNB
FNA
平面力系的平衡方程及应用
工程力学 第2版 第3章 平面力系的平衡方程及其应用
3.2 物系的平衡问题
物体系统:由若干个物体通过约束联系所组成的系统，简称为 物系。
系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每个物体也都 平衡。因此研究这类问题时，既可以取系统中的某一个物体为 分离体，也可以取几个物体的组合或者取整个系统为分离体。
1 静定和超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
注意：不能漏画固定端的约束反力偶MA，力偶只参与力矩方程，将力偶矩的大小直接代入方程， 而不参与投影方程。
在需同的样不求建要的平的一的立指矩衡，样结平定心方求，果矩位程解但是衡心置是过最一方，列不程终样程不出一也所，时，的在们的不正结这 要 选 同 确果个 意 择 ， 的就过 识 所 但 道是程 到 经 只 路正中 ， 历 要 ，确同 不 的 选 最的学 同 就 择 后。
Fx 0
Fy
0
➢ 平面平行力系的平衡方程
Fx 0( Fy 0)
M0(F) 方程组，皆可解与其平衡方程数对 应的未知数。应用力系平衡方程可以确定工程中构件在平衡时 的未知力。
2 平面力系平衡方程的应用
步骤
1）确定研究对象，画受力图 2）建立直角坐标系，确定各力与坐标轴的夹角 3）确定该平面力系的种类，列出相应的平衡方程求解未知力。
第3章 平面力系的平衡方程及其应用
平面力系的平衡方程及其应用
单个物体的平衡问题 物系的平衡问题
考虑摩擦时物体的 平衡问题
3.1 单个物体的平衡问题 1 平面力系的平衡条件
平面力系平衡的充要条件是：合力为零
➢ 平面一般力系的平衡方程 ➢ 平面汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的平衡方程及应用
2. 平行力系的平衡方程
对于平面平行力系， 若投影轴垂直于各力作 用线，无论力系是否平 衡，力系中的各力向该 轴的投影恒为零，因此， 平衡方程组中不应含有 向该轴的投影式子，如 图3-3所示。
图3-3
平面任意力系的平衡方程及应用
平面平行力系的平衡方程组为
（3-6） 使用式（3-6）解题时，投影轴y与力系中的各力的作用线不能 垂直。平面平行力系有两个独立的平衡方程，因此最多能求解两个 未知量。 平面平行力系的平衡方程组还有一种表达式：
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的平衡方程还有另外两种表达形式：二矩式与三矩式。 二矩式平衡方程：
（3-4） 式（3-4）有两个力矩式子和一个投影式子，该方程组的适用条件为x轴与 A、B两点的连线不能垂直。 三矩式平衡方程：
（3-5） 式（3-5）有三个力矩式子，该方程组的适用条件为A，B，C三点不共线。
工程力学
平面任意力系的平衡方程及应用
1.1 平面任意力系的平衡方程及应用 1. 一般情况下的平衡方程
平面任意力系向一点简化可得到一个主矢R和一个主矩M，当主矢和 主矩同时为零时，力系平衡。所以平面任意力系平衡的充分必要条件是R =0，M=0，于是，力系的平衡方程为
（3-3）
式（3-3）说明：平面任意力系平衡时，力系中各力在两个坐标轴投 影的代数和均为零，力系中的各力对其作用面内任一点的力矩代数和也 为零。由于方程中含有一个力矩式子，因此这一方程组称为一矩式。
平面任意力系的平衡方程及应用
在解决实际问题时，可以先以整体为研究对象，解出一部 分未知力，再以单个物体或小系统为研究对象，求出剩下的未 知力；也可以分别以系统中的单个物体为研究对象，求解问题。 选择研究对象时，以选择已知力和未知力共同作用的物体为好， 还要尽量使计算过程简单，尽可能避免解联立方程组。另外还 应注意一点，在以整体为研究对象时，系统内各物体间的相互 作用力是内力，相互抵消，不体现出来；而若以单个物体为研 究对象时，内力则转化成外力，必须考虑。
1.4平面力系的平衡方程及应用教案
课题 1.4平面力系的平衡方程及应用
课时 1 班级21机电3/4班课型新课时间2021年10月22日
教学目标知识目标：熟记任意力系和汇交力系平衡的条件能力目标：能通过列平衡方程计算力的大小
德育目标：提高合作探究能力，增强合作意识
教学重点任意力系和汇交力系平衡的条件
教学难点根据平衡方程进行计算
教法直观教学法
学法小组合作探究
教学评价师生互评，小组互评
教具多媒体课件，教具，动画
教学过程及主要教学内容师生活动一、汇交力系平衡方程及图示：
所有的力都汇聚于一点的称为汇交力系。
二、平面任意力系及图示：教师：精讲
互问互答
学生：小组合作学生：组间竞赛
三、例题：
作业减速器中的齿轮轴受力如图所示，已知F、a，求：（1）绘制齿轮轴的受力图；（2）求支座A/B的约束力。
课后反思（教学收获、特色创新、存在不足、改进措施）。
平面力系的合成与平衡—平面一般力系的平衡方程和应用(建筑力学)
y
0
FAy FB 80 5 2 0
M F 0
A
FB 4 80 2 5 2 5 0
解上述方程，得：
FAy 37.5kN
FB 52.5kN
结果均为正，说明其实际方向与假设方向相同。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
例4.10 在图示刚架中，已知q=3kN/m，F 6 2kN ，M=10kN.m，不计刚架自重。
求固定端A处的约束力。
解：(1)取刚架为研究对象；(2)画受力图；
(3) 列平衡方程：
Fx 0
Fy 0
M A F 0
解得：
1
FAx q 4 F cos45 0
2
FAy F sin 45 0
1
1
M A q 4 4 M F sin 45 3 F cos45 4 0
M
M
i
( Fi ) 0
B ( Fi ) 0
A
不能选择与力垂直
的投影轴
A、B两点的连线
不与各力作用线
平行。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
三、平面一般力系平衡方程的应用
基本步骤：
1、根据求解的问题，恰当选取研究对象：要使所取物体上既包括已知条
件，又包含待求的未知量。
2、对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
一、平面一般力系的平衡方程
平面一般力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR'=0
MO=0
因为 FR‘= （∑）2 + （∑）2
理论力学第3章力系平衡方程及应用
a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx
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Fy 0
FAy FC sin 450 F 0
M A 0 FC cos 450 l F 2l 0
G
解得
FC 28.28kN
FAx 20kN
FAx FAy
45o
FC
FAy 10kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-19 已知G1=10kN，G2=40kN，尺 寸如图。求轴承A、B处的约束力。
例2-16 AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。
设已知电葫芦和提升重物共重G= 5kN, q = 25º，a=2m，l = 2.5m。
吊车梁的自重略去不计，求钢索BC和铰A的约束力。
C
q
A
D
B
a
l
G
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：选择吊车梁（含电动葫芦和重物）为研究对象，根据
FBx 12.025kN
FAx Fr FBx F 1 cos 45o F2 cos 30o 0
FAx 1.405kN
FAy Fa 0
FAx Fa 0.5kN
三力平衡汇交定理，可画出梁的受力图，取坐标系Oxy
l
a
FA
O FTB
q
A
D
B
FTB
q
y
FA
x G
G
由平面汇交力系 的平衡方程求解
Fx 0, FA cos FTB cosq 0
Fy 0, G FA sin FTB sinq 0
tan
OD AD
BD tanq
AD
(l
a) a
tanq
FA 8.63kN
解：取起重机，画受力图。
MA 0 Fx 0 Fy 0
FB 5 1.5G1 3.5G2 0 FB 31kN
FAx FB 0
FAx 31kN
FB
FAy G1 G2 0
FAy 50kN
FAx FAy
G1 G2
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-20 已知：F＝8kN，M＝4kN·m求A、B处的约束力。
复习:2.平面汇交力系的合成
F2
F1 F2
F1
O
FF3
F3 R
F4
F4
FR
O
FR Fi
力多边形规则：作力多边形，找封闭边。
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
复习：３.合力投影定理:
y
FR= F1 + F2 + … + Fn = ∑ Fi
FRx F1x F2x L Fnx Fix
FRy F1y F2 y L
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
斜齿轮及其受力分析：
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-22 一传动轴如图所示，皮带轮D的半径R=600mm，自重G2＝ 2kN，紧边拉力F1的倾角为45°，松边拉力F2的倾角为30°，且F1＝ 2F2；齿轮C的分度圆半径r=200mm, G1＝1kN，齿轮啮合力的三个分 力为：圆周力Ft=12kN，径向力Fr=1.5kN，轴向力Fa=0.5kN。已知 AC=CB=l，BD=l/2。。求皮带拉力和轴承A、B的反力。
FB F
F C
Fy 0, FAy FB 0
a
FAy F
A
FAx
FAy
M
2a
D
B
M
2a
D y
B
x FB
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-18 已知AC=CB=l, G=10kN。求铰链A和DC杆受力。
解（1）取AB梁，画受力图。
（2）列平衡方程求解
Fx 0
FAx FC cos 450 0
abgf之间的夹角b称为齿倾角或螺
旋角，平面aedf为切平面，啮合
力Fn与切平面的夹角a称为压力角。 啮合力Fn沿平行于齿轮轴线的分 力Fa称为轴向力，沿啮合圆切线 的分力Ft称为切向力，沿啮合圆 半径方向的分力Fr称为径向力。
Fr Fn sin
Ft
Fn
cos
cos
Fa Fn cos sin
—— 平面一般力系的平衡方 程（基本形式、两影一矩式）
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
3.平面平行力系的平衡方程
平面平行力系的平衡方程有两种形式
y
F1 F2
Fy 0
M
A
0
（各力不得与投影轴垂直）
O
Fn
Fi
F3
x
M A 0
MB
0
（矩心A、B两点连线不得与各力平行）
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
Fz 0
FAz Ft G1 FBz F 1 sin 45o F2 sin 30o G2 0
FAz 6.914kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
xy平面：
MA(F) 0
Fx 0
Fy 0
Fr l Fa r FBx 2l (F1 cos 45o F2 cos 30o) 2.5l 0
Fny
Fiy
F1
F2 FR
Fi
平面汇交力系合力的大小和 方向分别为：
O Fn
x
FR
FR2x FR2y
(
Fix
)2
(
Fiy
)2
tan FRy
FRx
式中为合力与x轴所夹的锐角。
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
平面固定端的约束力分析
F
A
FAy
FAx
MA A
B
FA
F
MA
A
B
F
B
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
固 定 端 实 例
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
1.平面汇交力系的平衡方程
y
F2
Fi
Fx 0
F1
O Fn
x
Fy 0
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
2.平面一般力系的平衡方程
FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO(Fi )
Fx Fy
0 0
Mo 0
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
平面一般力系实例
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
平面一般力系实例
F
a b
h
yBMF源自yAFAxG
C F
x
H
FA
FB FNB
FNA
FNC
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
复习：1.力的平移定理
MB MB (F ) Fd
F
A
F F
BA
F
F
MB
BA
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
M
解：取刚架AB为研究对象，受力如图所示。
Fx 0 F FAx 0
F
FAx F 8kN
MAF 0 FB 4 M F 2.5 0
FB
M
F 4
2.5
6kN
Fy 0 FB FAy 0
F
A
B
4m
M
FAy FB 6kN
A
B
FAx
FAy
4m
FB
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
(3)对所选取的研究对象,列出平衡方程求解
为了避免解联立方程,应选取适当的投影轴和矩心,力求一个平衡方程中只包含 一个未知量。
(4)列出非独立的平衡方程，校核计算结果。
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2－21 如图所示，圆柱斜齿轮
轮齿的啮合力Fn的作用线在法平 面abcd内，平面abcd与齿轮端面
通过以上各例可归纳出求解物体系统平衡问题的一般步骤:
（1）分析题意,选取适当的研究对象
物体系统整体平衡时，其每个局部也必然平衡。因此，研究对象可取整体、 部分或单个物体。选取的原则是尽量做到一个平衡方程只含一个未知量，以 避免解联立方程。
(2)画出研究对象的受力图
在受力分析中应注意区分内力与外力，受力图上只画外力不画内力,两 物体间的相互作用力要符合作用与反作用定律。
MA(F) 0 Ftr (F1 F2 )R 0
Q F1 2F2
F2
Ft r R
12 200 600
4kN
F1 2F2 8kN
zy平面：
MA(F) 0
FBz 2l (Ft G1) l (F1 sin 45o F2 sin 30o G2 ) 2.5l 0 FBz 1.57kN
FTB 9.46kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-17 已知M=Fa。求支座A、B处约束力。
解法1：
(1) 取刚架为研究对象 (2) 画受力图 (3) 建立坐标系,列方程求解
F C
a
Fx 0, FAx F 0
A
FAx F
M A(F) 0, FB 2a M Fa 0
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：（1）取带轮整体为研究对象，选取坐标系，并作受力图。
z
FAz
FBz
y
FAy
x FAx
FBx
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
（2）将轮轴的轮廓及所受的力向三个坐标平面投影，作出三个投影 图。
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
（3）求解三个平面力系
xz平面：