人教A版高中数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》实用课件1
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3.证明三线共点问题 例 ［2019·江西吉安高一检测］已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β ＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a，b不平行， 求证：a，b，c三条直线必过同一点.
人教A版（ 高2中01数9）学高 《中 空数 间学 点必 、修 直第 线二、册 平 教 面学 之课 间 件 的： 位第 置 八 关章 系》 8实.4用P空P T间1点、直线、平面之间的位置关系 (2份打包)
人教A版（ 高2中01数9）学高 《中 空数 间学 点必 、修 直第 线二、册 平 教 面学 之课 间 件 的： 位第 置 八 关章 系》 8实.4用P空P T间1点、直线、平面之间的位置关系 (2份打包)
训练题 2.［2019·山东临沂高一检测］已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E， F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：（1）D，B，F，E四点共面； （2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线.
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
【名师点拨】 证明共面问题的主要依据： ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（公理1）； ②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
实2 内，那么这条直线 在这个平面内
A∈l，B∈l， 且A∈α，B∈α ⇒l⊂α
①确定直线在平面内的 依据 ②判定点在平面内
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推 论：
人教A版（ 高2中01数9）学高 《中 空数 间学 点必 、修 直第 线二、册 平 教 面学 之课 间 件 的： 位第 置 八 关章 系》 8实.4用P空P T间1点、直线、平面之间的位置关系 (2份打包)
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推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
（1）
（2）
（3）
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
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训练题 2.［2019·江西南昌高一检测］如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线 AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 （ D）
A.点A C.点C但不过点M
B.点B D.点C和点M
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
如果两个不重合的 平面有一个公共点，
公理3 那么它们有且只有
一条过该点的公共 直线
①判定两平面 P∈α且
相交的依据 P∈β⇒α∩β
②判定点在直 ＝l，且P∈l
线上
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
◆证明线线共面的常用方法 （1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这 个平面内. （2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一 个平面内，再证明两个平面重合.
人教A版高中数学《空间点、直线、平 面之间 的位置 关系》 实用PP T1
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训练题 1.［2019·山东潍坊高一检测］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 设A1C∩平面ABC1D1＝E. 求证：B，E，D1三点共线.
◆证明多点共线的策略 证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证 明点分别在两个平面内，证明点在这两个平面的交线上；也可先由其 中的两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
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(1)平面的概念 ①平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义.
绝对的平
无限延展
②几何中的平面的特征：不计大小
不计厚薄
(2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其 锐角画成 45°，且横边长等于邻边长的2 倍
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感， 被遮挡部分用虚线 画出来 (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用Biblioteka Baidu示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
因为A∈l2，l2α，所以A∈α. 因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. 因为不共线的三个点A，B，C既在平面α内， 又在平面β内， 所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
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证明：∵ α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴ a γ，b γ. ∵ 直线a与直线b不平行，∴ a，b必相交. 如图，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. ∵ a β，b α，∴ P∈β，P∈α. 又∵ α∩β＝c，∴ P∈c，即交线c经过点P， ∴ a，b，c三条直线相交于同一点.
证明：如图. （1）因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD. 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 设平面A1ACC1为平面α，平面BDEF为平面β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈ EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点， 同理P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ. 因为A1 C∩β＝R，所以R∈β，R∈A1C，所以R∈α，所以R∈PQ. 故P，Q，R三点共线.
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2.证明三点共线问题 例 ［2019·山东临沂高一检测］已知点A，B，C在平面α外， AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示. 求证：P，Q，R三点共线.
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证明：如图，连接A1B，BD1，CD1， 因为A1C∩平面ABC1D1 ＝E， 所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
因为A1C A1BCD1，
所以E∈平面A1BCD1. 因为平面A1BCD1∩平面ABC1D1＝BD1，所以E∈BD1， 所以B，E，D1三点共线.
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因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC
APR.
因为Q∈B C，所以Q∈平面APR.
又Q∈α，所以Q∈PR.所以P，Q，R三点共线.
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8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平 面
学习目标
1.了解平面及平面的表示法. 2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题. 3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.
重点：平面的基本性质. 难点：符号语言、文字语言、图形语言之间的转换.
知识梳理 一、平面
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训练题 1.［2018·重庆高一检测］下列命题正确的是（ A ） A.两条相交直线确定一个平面 B.三点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.经过一条直线和一个点确定一个平面
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常考题型 1.证明点线共面问题 例1 如图，l1∩l2＝A， l3∩l2＝B，l1∩l3＝C，求证直线l1，l2，l3在同 一平面内.
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【证明】方法一（纳入法）： 因为l1∩l2＝A，所以l1和l2在同一平面α内. 因为l2∩l3＝B，所以B∈ l2. 又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α. 因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二（重合法）： 因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
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证明：（方法一）因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈α.
因为AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
所以点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
所以P，Q，R三点共线.
（方法二）因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
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三、平面的基本性质
公理
文字语言
基本事 过不在一条直线上 实1 的三个点，有且只 有一个平面
图形语言
符号语言
作用
A，B，C三点不 ①确定平面的依据
共线⇒存在唯一 ②判定点线共面
的平面α使A，B， C∈α
如果一条直线上的 基本事 两个点在一个平面
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训练题 2.［2019·山东临沂高一检测］已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E， F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：（1）D，B，F，E四点共面； （2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线.
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【名师点拨】 证明共面问题的主要依据： ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（公理1）； ②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.
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实2 内，那么这条直线 在这个平面内
A∈l，B∈l， 且A∈α，B∈α ⇒l⊂α
①确定直线在平面内的 依据 ②判定点在平面内
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利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推 论：
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推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
（1）
（2）
（3）
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训练题 2.［2019·江西南昌高一检测］如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线 AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 （ D）
A.点A C.点C但不过点M
B.点B D.点C和点M
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如果两个不重合的 平面有一个公共点，
公理3 那么它们有且只有
一条过该点的公共 直线
①判定两平面 P∈α且
相交的依据 P∈β⇒α∩β
②判定点在直 ＝l，且P∈l
线上
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◆证明线线共面的常用方法 （1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这 个平面内. （2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一 个平面内，再证明两个平面重合.
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训练题 1.［2019·山东潍坊高一检测］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 设A1C∩平面ABC1D1＝E. 求证：B，E，D1三点共线.
◆证明多点共线的策略 证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证 明点分别在两个平面内，证明点在这两个平面的交线上；也可先由其 中的两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
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(1)平面的概念 ①平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义.
绝对的平
无限延展
②几何中的平面的特征：不计大小
不计厚薄
(2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其 锐角画成 45°，且横边长等于邻边长的2 倍
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感， 被遮挡部分用虚线 画出来 (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用Biblioteka Baidu示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
因为A∈l2，l2α，所以A∈α. 因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. 因为不共线的三个点A，B，C既在平面α内， 又在平面β内， 所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
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证明：∵ α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴ a γ，b γ. ∵ 直线a与直线b不平行，∴ a，b必相交. 如图，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. ∵ a β，b α，∴ P∈β，P∈α. 又∵ α∩β＝c，∴ P∈c，即交线c经过点P， ∴ a，b，c三条直线相交于同一点.
证明：如图. （1）因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD. 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 设平面A1ACC1为平面α，平面BDEF为平面β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈ EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点， 同理P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ. 因为A1 C∩β＝R，所以R∈β，R∈A1C，所以R∈α，所以R∈PQ. 故P，Q，R三点共线.
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2.证明三点共线问题 例 ［2019·山东临沂高一检测］已知点A，B，C在平面α外， AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示. 求证：P，Q，R三点共线.
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人教A版（ 高2中01数9）学高 《中 空数 间学 点必 、修 直第 线二、册 平 教 面学 之课 间 件 的： 位第 置 八 关章 系》 8实.4用P空P T间1点、直线、平面之间的位置关系 (2份打包)
人教A版（ 高2中01数9）学高 《中 空数 间学 点必 、修 直第 线二、册 平 教 面学 之课 间 件 的： 位第 置 八 关章 系》 8实.4用P空P T间1点、直线、平面之间的位置关系 (2份打包)
证明：如图，连接A1B，BD1，CD1， 因为A1C∩平面ABC1D1 ＝E， 所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
因为A1C A1BCD1，
所以E∈平面A1BCD1. 因为平面A1BCD1∩平面ABC1D1＝BD1，所以E∈BD1， 所以B，E，D1三点共线.
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因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC
APR.
因为Q∈B C，所以Q∈平面APR.
又Q∈α，所以Q∈PR.所以P，Q，R三点共线.
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8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平 面
学习目标
1.了解平面及平面的表示法. 2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题. 3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.
重点：平面的基本性质. 难点：符号语言、文字语言、图形语言之间的转换.
知识梳理 一、平面
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训练题 1.［2018·重庆高一检测］下列命题正确的是（ A ） A.两条相交直线确定一个平面 B.三点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.经过一条直线和一个点确定一个平面
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常考题型 1.证明点线共面问题 例1 如图，l1∩l2＝A， l3∩l2＝B，l1∩l3＝C，求证直线l1，l2，l3在同 一平面内.
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【证明】方法一（纳入法）： 因为l1∩l2＝A，所以l1和l2在同一平面α内. 因为l2∩l3＝B，所以B∈ l2. 又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α. 因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二（重合法）： 因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
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证明：（方法一）因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈α.
因为AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
所以点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
所以P，Q，R三点共线.
（方法二）因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
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三、平面的基本性质
公理
文字语言
基本事 过不在一条直线上 实1 的三个点，有且只 有一个平面
图形语言
符号语言
作用
A，B，C三点不 ①确定平面的依据
共线⇒存在唯一 ②判定点线共面
的平面α使A，B， C∈α
如果一条直线上的 基本事 两个点在一个平面