指数式与对数式的运算

指数式与对数式的运算

指数与指数幂的运算

教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾：

1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，

其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质：

（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.

（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：

n a =

,||,a n a n ⎧⎨⎩

为奇数为偶数

；=（a ≥0）.

2.

规定正数的分数指数幂：m n

a

=（0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指

数化为分母，幂指数化为分子），

1()0,,,m m n

n a

a m n N a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．0

3.指数幂的运算性质

①(0,,)r

s

r s

a a a

a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈

③()(0,0,)r r r

ab a b a b r R =>>∈ 范例解析

例1求下列各式的值：

（1

（*1,n n N >∈且）； （2

解：（1）当n

3π=-； 当n

|3|3ππ=-=-. （2

||x y =-.

当x y ≥

x y =-；当x y <

y x =-.

例2

已知21n

a =，求33n n

n n

a a a a

--++的值.

解：332222()(1)1111n n n n n n n n

n n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=-=++.

例3化简：（1）2

115113366

22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-；

（2

a ＞0，

b ＞0）； （3

解：（1）原式=

211115

326236

[2(6)(3)]44

a b ab a

+-+-

⨯-÷-==.

（2）原式=

1

31

23

22

1

23

[()]

(/)

a b ab

ab b a

⋅

⋅

=

11

3

63

2

27

33

a b a b

a b

⋅

=

104

63

27

33

a b

a b

=

a

b

.

）原式

=

==

221

111

44

336

444

(33)(3)(3)33

=⨯=⨯=⨯=

点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂

. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.

例4化简与求值：

（1

（

2

⋅⋅⋅+

解

：（1）原式

=22

+

（

2）原式

+⋅⋅⋅

+

=

1

1

⋅⋅⋅=

1

1)

2

.

点评2A B

-是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.

对数与对数运算

教学目标：1.理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.

2.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.

知识点回顾：

1. 定义：一般地，如果x a N

=(0,1)

a a

>≠，那么数x叫做以a为底N的对数

（logarithm）.记作log

a

x N

=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数

2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数

10

log N简记为N

lg在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作N

ln

3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1

a a

>≠时，

log b

a

N b a N

=⇔=.

4. 负数与零没有对数；log10

a

=，log1

a

a=

5. 对数的运算法则：log()log log

a a a

M N M N

=+，log log log

a a a

M

M N

N

=-，log log

n

a a

M n M

=，log a N

a N

=,其中0,1

a a

>≠

且，0,0,

M N n R

>>∈.

6. 对数的换底公式

log

log

log

b

a

b

N

N

a

=. 如果令N

b=，则得到了对数的倒数公式