人教版九年级数学上培优讲义精编

一元二次方程

概念、解法、根的判别式（讲义）

一、知识点睛

1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成

_______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．

思考次序：______________、__________、_______________．

2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程

的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．

3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要

解法有：________________，________________，_____________，_____________等．

4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；

分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根．

5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此

_________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）；

当__________时，方程没有实数根（无根或无解）．

二、精讲精练

1. 下列方程：①3157x x +=+；②

21

10x x

+-=； ③2

5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322

=-m m ；⑤2

02

y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________．

2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是

______．

3. 若关于x 的方程2

1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为

___________．

4. 若方程01)1(2

=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是

（ ） A ．m =0

B ．m ≠1

C ．m ≥0且m ≠1

D ．m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的方程230x x a -+=的一个根，则2a -1的值是（ ）

A ．2

B ．-2

C ．3

D ．-3

6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ）

A ．x =1

B ．x =21

C ．x 1=1，x 2=-9

D ．x 1=-1，x 2=9

7. 关于x 的方程210x kx --=的根的情况是（ ）

A ．方程有两个不相等的实数根

B ．方程有两个相等的实数根

C ．方程没有实数根

D ．根的情况与k 的取值有关

8. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么

m =_________．

9. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是

________． 10. 用配方法解方程： （1）2210x x --=； （2）210x x +-=；

解：22____x x -=，

22___1___x x -+=+，

()

2

___________=，

_______=_____， x =

∴1x = ，2x =

（3）23920x x -+=； （4）24810x x --=；

（5）20ax bx c ++=（a ≠0）．

11. 用公式法解方程： （1）23100x x +-=； （2）22790x x --=；

解：a =___，b =___，c =___，

∵24b ac -=________

=________>0

∴ x =

=

∴1x = ，2x =

（3）21683x x +=；

（4）2352x x -+=-．

12. 用分解因式法解方程： （1）(54)54x x x +=+； （2）(1)(8)12x x ++=-；

解：( _____ )(54)0x +=， _______=0或_______=0， ∴1x = ，2x =

（3）22(2)(23)x x -=+； （4）29x -=；

（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．

13. 阅读题：

解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，换元法是降次的常用工具． 例 解方程：42320x x -+=． 解：设2y x =，则2320y y -+=， 解得，11y =，22y =． 当21x =时，11x =，21x =-；

当22x =时，3x =，4x =

故原方程的解为11x =，21x =-，3x =4x = 仿照以上作法求解方程：222(5)2(5)240x x x x +-+-=．

三、回顾与思考

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