小升初数学专项题 鸡兔同笼问题

第九讲鸡兔同笼问题
【基础概念】：鸡兔同笼问题也称置换问题：这类应用题常常把问题中的一个未知数假定为已知的，然后根据题目中的已知条件推算，其结果常与题目对应的已知数不符，再加以适当调整，就可以求出结果。

此类应用题也称为假定法或比较法。

基本数量关系式：（1）假设全是鸡，兔的只数=（总腿数－总头数×2）÷2，鸡的只数=总头数－兔的只数；（2）假设全是兔，鸡的只数=（4×总头数－总腿数）÷2，兔的只数=总头数－鸡的只数。

【典型例题1】：鸡兔同关在一只笼里，共48个头，100只脚．问：鸡有多少只？兔有多少只？
【思路分析】：假设全是兔子，那么就有48×4=192只脚，这就比已知的100只脚多出了192-100=92只脚，因为1只兔比1只鸡多4-2=2只脚，由此即可求得鸡的只数，进而求得兔的只数。

解答：假设全是兔子，则鸡就有：
（48×4-100）÷（4-2）
=92÷2
=46（只）
则兔子有48-46=2（只）
答：鸡有46只，兔子有2只。

【小结】：解决这类问题关键是假设之后，多出脚数与对应的鸡的只数的关系。

此题也可以这样解答：设兔有x只，那么鸡有（48-x）只，由等量关系：鸡和兔共有100只脚，可得方程：4x+2（48-x）=100，解答即可。

【巩固练习】1、张洪正好用20元钱买了2元的邮票和5角的邮票，一共16张，问这两种邮票各有多少张？
2、鸡兔同笼，鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有168条，鸡和兔各有多少只？
【典型例题2】：鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡脚却比兔脚少60只，问鸡兔各多少只？
【思路分析】：设兔有x只，则鸡有（10+x）只，根据等量关系：兔的脚数-鸡的脚数60只列方程解答即可。

解答：解：设兔有x只，则鸡有（10+x）只，
4x-2（10+x）=60
4x-20-2x=60
2x=80
x=40
40+10=50（只）
答：鸡有50只，兔有40只。

【小结】：解决此类问题关键是找到等量关系：兔的脚数-鸡的脚数=60只，再根据等量关系列方程就可以了。

【巩固练习】3、现在有相同只数的鸡、兔同笼，已知兔脚比鸡脚多56只，问鸡、兔各有多少只？
4、鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只．问：鸡、兔各多少只？
【知识梳理】问题类型与解决方法：
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数；或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。

已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数，或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。

【典例精讲3】典出《孙子算经》：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
思路分析：假设都是鸡，则脚数为35×2=70只，比实际少94-70=24只，因为每只鸡比每只兔少4-2=2只脚，所以兔的只数是24÷2=12只，再进而用减法即可求出鸡的只数。

解答：假设全是鸡，兔有：
（94-35×2）÷（4-2）
=（94-70）÷2
=24÷2
=12（只）；
鸡有：35-12=23（只）．
答：鸡有23只，兔有12只
小结：解决这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。

【举一反三】5.李明小红有1分、5分的硬币共35枚，一共是9角5分，问两种硬币各多少枚？
6. 在我区举行的“希望杯”数学竞赛中，供15道题，每做对一道题得8分，不没、做错一道题倒扣4分，玛丽把15道题全做了，共得了72分，她做错了多少道题？
【典例精讲4】鸡、兔共30只，鸡脚比兔脚多30只．问：鸡、兔各多少只？
思路分析：假设30只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚60只，这样鸡脚比兔脚多60只，而实际上只多30只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多60-30=30只，现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6只，而30÷6=5只，因此有兔子5只，鸡30-5=25只．解答：兔子：（30×2-30）÷（4+2）
=30÷6
=5（只）
鸡：30-5=25（只）
答：兔子有5只，鸡有25只。

小结：解决这类问题关键是假设之后，要弄清楚脚的变化情况。

【举一反三】7.鸡、兔共有150只，兔脚的总只数比鸡脚的总只数多60只，鸡、兔各有多少只？
8. 汇丰机床产要运一批钢材，用小卡车装载要90辆，用大卡车装载只要72辆。

已知每辆大卡车比每辆小卡车多装8吨，那么这批钢材有多少吨？
答案及解析：
1.【解析】假设全是2元的邮票，则一共用2×16=32元，比实际多用32-20=12元，因为5角=0.5元，一张2元的比一张0.5元的多用2-0.5=1.5元，所以5角的共有：12÷1.5=8张，进而用减法即可求出2元的邮票张数。

【答案】5角=0.5元
5角的有：
（16×2-20）÷（2-0.5）
=12÷1.5
=8（张）
2元的有：16-8=8（张）
答：2元的有8张，5角的有8张。

2.【解析】根据鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有168条，可知本题的数量关系：鸡的腿数+兔的腿数=168，据此等量关系可列方程解答。

【答案】解：设鸡有x只，根据题意得：
2x+4x=168
6x=168
x=168÷6
x=28
答：鸡和兔各有28只。

3.【解析】可以设鸡兔各有x只，根据兔的只数×4-鸡的只数×2=56条腿，列出方程就可以解决问题。

【答案】：解：设鸡兔各有x只，根据题意可得方程：
4x-2x=56
2x=56
x=28
答：鸡兔各有28只。

4.【解析】假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120-60=60只，现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡
脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6只，而60÷6=10，因此有兔子10只，鸡60-10=50只。

【答案】：兔子：（60×2-60）÷（4+2）
=60÷6
=10（只）
鸡：60-10=50（只）
答：兔子有10只，鸡有50只。

5．【解析】假设这35枚都是1分的，那么总钱数就应该是35分，比实际95分少了60分，这是因为把其中5分的硬币都当成1分了，一枚5分硬币，少算4分，少算的60分中有几个这样的4分，就有几个5分硬币，从而得出1分硬币的枚数。

【答案】：9角5分 =95分，
95-35×1=60（分），
5分：60÷（5-1）=15（枚），
1分：35-15=20（枚），
答：5分硬币有15枚，1分硬币有20枚．
6.【解析】：根据“每做对一道得8分，不做错一道题扣4分，”可知：不做与做错一题比做对一题少得8+4=12分；全部做对15道题共得8×15=120（分）；假设全部做对得分是120分，比72分多得120-72=48（分），那么她做错了：48÷12=4（道）。

【答案】：假设她全做对了，
做错：（15×8-72）÷（8+4）
=48÷12
=4（道）；
答：他做错了4道题。

7.【解析】如果补上鸡脚少的60只的话，就要增加60÷2=30只鸡，这样鸡兔共有150+30=180只，这样鸡兔的脚数一样多，那么1只鸡脚是1只兔脚的一半，
而现在它们脚的总数相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和倍问题即可解决。

【答案】：兔：（150+60÷2）÷（2+1）
=180÷3
=60（只）
鸡：150－60=90（只）
答：鸡共有90只，兔共有60只。

8.【解析】利用假设法，假设只用72辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装8吨，所以要剩下8×72=576（吨）。

根据条件，要装完这576吨钢材还需要90-72=18（辆）小卡车。

这样每辆小卡车能装576÷18＝32（吨）。

由此可求出这批钢材有多少吨。

【答案】：8×72÷（90-72）×90＝2880（吨）。

答：这批钢材有2880吨。