(完整word)2019年高考数学全国一卷导数

已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：

（1）()f x '在区间(1,)2

π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．

分析：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭

存在唯一极大值点的问题就转化为()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭

有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。

（2）这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即

。

首先来画一下函数图象。

)1ln(sin x x +

=

从图象上可以大致确定零点一个为0一个在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ

,2上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。 解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-

+， 21sin ())(1x 'x g x =-+

+. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.

则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭

时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭

存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭

存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.

（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.

（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭

单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，使得()0f 'β=，

且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫ ⎪⎝⎭

单调递减. 又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦

时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π

⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦

有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点.

综上，()f x 有且仅有2个零点.