随机过程第三章 泊松过程 ppt课件

第三章 泊松过程
第一节 泊松过程的基本概念
定义3.1(计数过程)随机过程 {N(t),t0}称为计数过程,如 果N (t) 表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数.
由定义,计数过程具有以下两个特点:
(1) N (t)取值为非负的整数;
(2) st时, N(s)N(t)且 N(t)N(s)表示时段 (s, t ] 内
所以 又
1et t 0
F1(t)
0,
t 0
P { X 2 t |X 1 s } P { N ( s t ) N ( s ) 0 |X 1 s }
P { N ( s t ) N ( s ) 0 } P { N ( t ) 0 } et
即 X1, X2 相互独立且均服从参数为 的指数分布.
定义3.3 设{N(t),t0}是计数过程,如果它的相继到达 时间间隔序列相互独立且服从相同的指数分布,则称 N (t) 为泊松过程.
定理3.2的直接推论 设泊松过程的强度为 ,记 X为过
定义3.2(泊松过程)计数过程{N(t),t0}称为参数为(0)
的泊松过程,如果:
(1) N(0)0;
(2) N (t) 有独立增量;
(3)对任意的 s,t 0,有
P {N (ts)N (s)n }(t)ne t, n0,1,2,
n !
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t
的区间中事件的个数服从参数(均值)为 t 的泊松分布.
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N (t)与
N(ts)N(t)相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N (t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N (t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2s)N (t1s)与 N(t2)N(t1)有相同的分布.
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } 1 P { N ( t ) 0 }
et pm( t)met(1p)
m!
(pt)m etp
m!
所以, {M(t),t0}是一个强度为 p 的泊松过程.
第二节 与泊松过程相联系的若干分布
预备知识 (1) 函数定义为:
(z) xz1ezdz
0
(2)有关 函数的几个重要公式:
(z1)z (z)
(n1)n!
1
2
(3)若随机变量 X的概率密度为
[ ( 5 ) 4 e 5 4 ! ] [ ( 2 . 5 ) 2 e 2 . 5 2 ! ] [ ( 4 . 5 ) 3 e 4 . 5 3 ! ]
例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 {N(t),t0}.如 果每次事件发生时以概率 p能够记录下来,并以 M (t)表示到 t时刻被记录下来的事件总数,证明{M(t),t0}是一个强度为
若 wenku.baidu.comN(t),t0}是参数为 的泊松过程,则有
E(N(t))t
于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均次数. 称 为泊松过程的强度、风险率或速率.
例 例112：设{N(t),t 0}服从参数为的泊松过程，求
(1) P{N(5) 4}; (2) P{N(5) 4, N(7.5) 6, N(12) 9}; (3) P{N(12) 9 N(5) 4};
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我 们给出泊松过程另一个等价定义.
定理3.1 计数过程 {N(t),t0} 称为泊松过程 ,参数为(0), 如果
(1) N(0)0; (2) 过程有平稳与独立增量;
(3) P { N (h ) 1 } h o (h );
(4) P {N (h)2}o(h).
(4) P{N(5) 4 N(12) 9}; (5) E[N(5)],D[N(5)],Cov[N(5), N(12)].
解 ： ( 1 )P N 5 4 ( 5 ) 4 e 5 4 !
(2 ) P N 5 4 ,N (7 .5 ) 6 ,N (1 2 ) 9 P N 5 4 ,N (7 .5 ) N (5 ) 2 ,N (1 2 ) N (7 .5 ) 3
P {M (t)m |N (t)n} m n pm (1p)nm 若 nm
由题意
P{N(t)n}(t)net
n!
于是
P { M (t) m } n m m n p m (1 p )n m (n t!)ne t
etpm (t)m(1p)nm (t)nm
m ! nm (nm )!