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山东省淄博市张店区第五中学2019-2020学年高二下学期3月月考数学试题 Word版含解析

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张店区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

张店区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

张店区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1．（+）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）A ．120B ．210C ．252D ．45 2． 在三角形中，若，则的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 设变量x ，y满足，则2x+3y 的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．554． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25 5． 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 6． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）A．该几何体体积为 B．该几何体体积可能为 C．该几何体表面积应为+D ．该几何体唯一7． 从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0.4，则这样的样本容量是（ ）A ．20人B ．40人C ．70人D ．80人8． 设0＜a ＜b 且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ） A ．a 2+b 2 B ．2ab C ．aD．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 若直线y=kx ﹣k 交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则|AB|=（ ） A ．12 B ．10C ．8D ．610．设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-11．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2.3）D ．（3，4）12．已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-二、填空题13．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g （x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a且•=24，则△ABC 的面积是 ．15．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则= ．16．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A．5- BC．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．17．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．18．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则=．三、解答题19．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0} （1）求A∩B（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=2x﹣，且f（2）=．（1）求实数a的值；（2）判断该函数的奇偶性；（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．21．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．22．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．23．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．24．（本小题满分12分）成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）25．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．26．（本小题满分12分）如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．（1）求证：BD⊥MC1；（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．张店区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】【专题】二项式定理．【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，又展开式的通项为=，令5﹣=0解得k=6，所以展开式的常数项为=210；故选：B【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．2．【答案】A【解析】由正弦定理知，不妨设，，，则有，所以，故选A答案：A3．【答案】D【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．4． 【答案】【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P ＝310.5． 【答案】B【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4π个单位得到函数)4(π+x f 的图象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4(++πx f3)43sin(23]6)4(31sin[2++=+++=πππx x .6． 【答案】C【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（）2=．故选：C ．【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．7． 【答案】A【解析】解：由已知中的频率分布直方图可得时间不超过70分的累计频率的频率为0.4，则这样的样本容量是n==20．故选A ．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距=是解答的关键．8．【答案】A【解析】解：∵0＜a＜b且a+b=1∴∴2b＞1∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0∴a2+b2＞2ab∴最大的一个数为a2+b2故选A9．【答案】C【解析】解：直线y=kx﹣k恒过（1，0），恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标，设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物y2=4x的线准线x=﹣1，线段AB中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8，故选：C．【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．10．【答案】A【解析】考点：分段函数的应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 11．【答案】A【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．12．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得()2112x f x x x -==-，则()21'f x x=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 二、填空题13．【答案】 1 ．【解析】解：∵x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数， ∴如图，当x ∈[0，1）时，画出函数f （x ）=x ﹣[x]的图象，再左右扩展知f （x ）为周期函数． 结合图象得到函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．14．【答案】 4 ．【解析】解：∵sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2=ac ，∵c=2a ，可得：b=a ，∴cosB===，可得：sinB==，∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，∴S△ABC =acsinB==4．故答案为：4．15．【答案】 （﹣，） ．【解析】解：∵，，设OC 与AB 交于D （x ，y ）点则：AD：BD=1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．16．【答案】B【解析】17．【答案】4．【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，∴a2=1，b2=，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，解得m=4．故答案为：4．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．18．【答案】．【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）∴直线OA的方程为：y=，联立，解得D（﹣，﹣）∴|BD|==，∵|OF|=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．三、解答题19．【答案】【解析】解：由合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}．∴A={x|﹣1＜x＜6}，，C={x|m＜x＜m+9}．（1），（2）由A∪C=C，可得A⊆C．即，解得﹣3≤m≤﹣1．20．【答案】【解析】解：（1）∵f（x）=2x﹣，且f（2）=，∴4﹣=，∴a=﹣1；（2分）（2）由（1）得函数，定义域为{x|x≠0}关于原点对称…（3分）∵=，∴函数为奇函数．…（6分）（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则=…（10分）∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数…（12分）【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ，从而当时，PQ=50﹣50cos=75．即点P距地面的高度为75米．（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ．又PQ=50﹣50cosθ，所以tan，tan．从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）==．令g（θ）=．θ∈（0，π）则，θ∈（0，π）．由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得．当时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函数．所以当θ=时，g（θ）有极大值，也是最大值．因为．所以．从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．即当时，∠MPN取得最大值．【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．22．【答案】【解析】解：（1）（2）设回归方程为=bx+a则b=﹣5/﹣5=1380﹣5×5×50/145﹣5×52=6.5故回归方程为=6.5x+17.5（3）当x=7时，=6.5×7+17.5=63，所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）．【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．23．【答案】【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，又f（﹣x）=﹣f（x），∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x2，∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8，由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，∴当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8．（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．∴f（0）=0，f（1）=1，当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8，∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0，∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．∴2016=4×504∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．24．【答案】【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.25．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，∴∠FGE=∠BAF∴∠FGE=∠EFG，∴EF=EG…（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，∴EF=EG=4，∴GH=EH﹣EG=8﹣4…【点评】本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．26．【答案】【解析】解：（1）证明：如图，连接AC，设AC与BD的交点为E，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD；又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1，又MC1⊂平面A1ACC1，∴BD⊥MC1.（2）∵AB＝BD＝2，且四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AE＝2AB2－BE2＝23，又△BMC1为等腰三角形，且M为A1A的中点，∴BM是最短边，即C1B＝C1M.则有BC2＋C1C2＝AC2＋A1M2，）2，即4＋C1C2＝12＋（C1C2解得C1C＝46，3所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V ＝S 菱形ABCD ×C 1C＝12AC ×BD ×C 1C ＝12×23×2×463＝8 2. 即四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为8 2.。

2020届 山东省淄博市部分学校 高三下学期3月教学质量检测数学试题(解析版)

2020届 山东省淄博市部分学校 高三下学期3月教学质量检测数学试题(解析版)

2020届山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题一、单选题 1．已知全集，集合，集合，则集合（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】,,则,故选B.【考点】本题主要考查集合的交集与补集运算.2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 【考点】全称命题与特称命题 3．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D 2【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4．二项式()()1nx n N *+∈的展开式中2x项的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．5．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC u u u v u u u v的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =u u u r ，BC b u u u r=，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r ，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r .【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C．D．⎡⎣【答案】A【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：Q 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =Q 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈V 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．7．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，x y e =在y 轴右侧的去掉， 再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.8．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．86π B ．46πC ．26πD 6π【答案】D【解析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++= 36446662338R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=6R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多选题9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】ABD【解析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项. 【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误； 在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题. 10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ABD【解析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.11．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ） A ．当0m =时，FAB V 3 B ．不存在m 使FAB V 为直角三角形 C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB V 的周长最大【答案】AC【解析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】 如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB V 为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB V 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤； 即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB V 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB V 的周长最大.故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质，考查学生识图能力，属于中档题. 12．函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ，则下列说法错误的是：（ ） A ．()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的； B ．2()f x 在3]上具有性质P ；C ．若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[1,3]x ∈；D ．对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有[]123412341()()()+()+()44x x x x f f x f x f x f x +++≤+【答案】AB【解析】根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误； 对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤， 故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦ []12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB 【点睛】本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.三、填空题13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【解析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【解析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa bb -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a =，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，， 222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得sin x x ==代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==所以()min 2222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是2-. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 【解析】（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求n b 的通项公式，结合n n b a n =+可得n a ，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和. 【详解】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++. 又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+.又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S a a a n --+=++⋯+=++++-++++=--L L ()221141322n n n =---. 【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养. 18．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值【答案】（1）或.（2），【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得,恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得.∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又,当,即时，f（θ）取得最大值.【考点】1.余弦定理;2．正弦定理19．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M是»CD上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析 （2）25【解析】（1）先证BC ⊥平面CMD,得BC CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）先建立空间直角坐标系，然后判断出M 的位置，求出平面MAB 和平面MCD 的法向量，进而求得平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值． 【详解】解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD uuu r上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC I CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA u u u v的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD uuu r的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==u u u u v u u u v u u u v设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u vu u uv 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取()1,0,2n =.DA u u u v是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5n DA n DAn DA ⋅==u u u vu u u v u u u v ，25sin ,n DA =u u u v ， 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是25. 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题． 20．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分． （Ⅰ）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA1)2x +1)k +， |PQ|= 2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3()(1)(1)f k k k =--+， 因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．21．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．22．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =. （1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值 （3）证明()*211ln(21)241=>+∈-nk n n N k【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()220000ln 20x x x x a --+=，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+ln x x x>，取*21,21k x k N k +=∈-2121ln(21)ln(21)2121k k k k k k +->+---+，而=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--， 令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增， 注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增， 因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x+->，亦即22(ln)x>，0,ln0x>>ln x>，取*21,21kx k Nk+=∈-，ln(21)ln(21)k k>+--=，故11(ln(21)ln(21))ln(21)nknkk kπ==>+--=+∑11ln(21)()2nix n N*=∴>+∈.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。

山东省淄博市高二下学期数学3月月考试卷

山东省淄博市高二下学期数学3月月考试卷

山东省淄博市高二下学期数学3月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2019高一下·上海月考) “ ”是“ ”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分亦不必要条件2. （2分）(2020·嘉兴模拟) 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m⊥α ，n⊂α，则m⊥nC . 若m⊥α，m⊥n，则n∥αD . 若m∥α，m⊥n，则n⊥α3. （2分）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=， BC=CC1=1，则异面直线AC1与BB1所成的角的大小为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°4. （2分）已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，若，当时，动点的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2015高二下·和平期中) 已知i为虚数单位，a∈R，（2﹣ai）i的实部与虚部互为相反数，则a 的值为________．6. （1分） (2020高二下·北京期末) 已知复数，则 ________.7. （1分） (2019高一下·江门月考) 三条直线两两相交，可确定平面的个数是________个8. （1分）(2019·天津模拟) 已知复数满足，则 ________.9. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知 ( 是虚数单位), 定义:给出下列命题:⑴对任意都有⑵若是的共轭复数,则恒成立；⑶若则⑷对任意结论恒成立.则其中所有的真命题的序号是________.10. （1分）(2019·金山模拟) 若复数（为虚数单位）， ________11. （1分）已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为________12. （1分） (2019高二上·丽水月考) 如图，在长方体中，，，，E、F分别为棱、的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为________.13. （1分）某健康中心研究认为：身高为h（m）的人的其理想体重W（kg），应符合公式W=22h2（kg），且定义体重在理想体重±10%的范围内，称为标准体重；超过10%但不超过20%者，称为微胖；超过20%者，称为肥胖，微胖及肥胖都是过重的现象．对身高h，体重W的人，体重过重的充要条件为W＞ch2+dh+e，则（c，d，e）=________ ．14. （1分） (2019高二下·安徽期中) 设z是虚数，。

山东省淄博市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析

山东省淄博市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析

山东省淄博市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设i 是虚数单位，则复数22i i -的虚部是（ ） A ．2iB ．2C ．2i -D ．2-【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【详解】 2222112i i i i i-=--=-+Q ，因此，该复数的虚部为2，故选B. 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．在数列|{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭由此归纳出{}n a 的通项公式 B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B Ð是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒【答案】D【解析】分析：演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．详解：A 在数列{a n }中，a 1=1，()111122n n n a a n a --⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，通过计算a 2，a 3，a 4由此归纳出{a n }的通项公式”是归纳推理．B 选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理C 选项“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人数超过50人”是归纳推理；；D 选项选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°，是演绎推理.综上得，D 选项正确故选：D ．点睛：本题考点是进行简单的演绎推理，解题的关键是熟练掌握演绎推理的定义及其推理形式，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理主要形式有三段论，其结构是大前提、小前提、结论． 3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=，若()13f =，则()()()123f f f +++()()42019f f ++=L （）A ．-3B ．0C ．3D ．2019 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()()4f x f x +=，函数()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()2f 、()3f 、()4f 的值，进而结合周期性分析可得答案.【详解】解：根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =-- ，又由()(2)f x f x =-，则有()(2)f x f x --=-，即(2)()f x f x +=-，变形可得：(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0,(2)(02)(0)0,(4)(0)0f f f f f f ==+=-===，又由(1)3f =，则(3)(12)(1)3f f f =+=-=-，故(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+504[(1)(2)(3)(4)]+(1)+(2)+(3)50403030f f f f f f f =+++=⨯++-=.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题.4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为$0.70.35y x =+，那么表中t 的值为（ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5【答案】A【解析】【分析】 先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t 的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t 的一次方程，解方程，得到结果．【详解】 ∵a y bx =- 由回归方程知0.350.7y x =-=2.54 4.534560.744t ++++++-⨯， 解得t=3，故选A ．【点睛】】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错． 5．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】分析：首先根据()()11f x f x -=-+得到函数()f x 关于()1,0对称，再根据对称性画出函数()f x 在区间[]3,5-上的图像，再根据函数()f x 与函数()1cos π12y x =+图像的交点来求得函数()g x 的零点的和. 详解：因为()()11f x f x -=-+故函数()f x 关于()1,0对称，令()0g x =，即()11cos π22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出函数()f x 与函数()1cos π12y x =+图像如下图所示，由于可知，两个函数图像都关于()1,0对称， 两个函数图像一共有8个交点，对称的两个交点的横坐标的和为2，故函数()g x 的8个零点的和为428⨯=.故选D.点睛：本小题主要考查函数的对称性，考查函数的零点的转化方法，考查数形结合的数学思想方法.解决函数的零点问题有两个方法，一个是利用零点的存在性定理，即二分法来解决，这种方法用在判断零点所在的区间很方便.二个是令函数等于零，变为两个函数，利用两个函数图像的交点来得到函数的零点.6．设函数f （x ）＝222,1()log (1),1x x a x f x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，若函数f （x ）的最大值为﹣1，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】【分析】考虑x ≥1时，f （x ）递减，可得f （x ）≤﹣1，当x ＜1时，由二次函数的单调性可得f （x ）max ＝1+a ，由题意可得1+a ≤﹣1，可得a 的范围．【详解】当x ≥1时，f （x ）＝﹣log 1（x+1）递减，可得f （x ）≤f （1）＝﹣1，当且仅当x ＝1时，f （x ）取得最大值﹣1；当x ＜1时，f （x ）＝﹣（x+1）1+1+a ，当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值1+a ，由题意可得1+a ≤﹣1，解得a ≤﹣1．故选：D ．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．7．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．()15,+∞B ．[)15,+∞C ．(),6-∞D ．[)6,+∞ 【答案】B【解析】分析：首先，由()()11f p f q p q +-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x ）=21a x x -+＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a 的取值范围．详解：∵()()11f p f q p q +-+-的几何意义为：表示点（p +1，f （p+1）） 与点（q +1，f （q+1））连线的斜率，∵实数p ，q 在区间（0，1）内，故p +1 和q +1在区间（1，2）内．不等式()()11f p f q p q +-+-＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x ＞﹣1，∴f′（x ）=21a x x -+＞1 在（1，2）内恒成立． 即 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x 2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故 x=2时，y=2x 2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a ∈[15，+∞）．故选A ．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.8．若函数()ln f x x =与()()()2424g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点()1,0M 对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞ 【答案】C【解析】【分析】首先求()g x 关于点()1,0M 的函数，转化为其与ln y x =有交点，转化为ln x a x x =-，这样a 的范围就是ln x y x x=-的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题. 【详解】设(),P x y 关于()1,0M 的对称点是()2,P x y '--在()()2424g x x a x a =-+-+- 上，()()()2224224y x a x a y x ax -=--+--+-⇒=-，根据题意可知，ln y x =与()2y x ax a R =-∈有交点， 即2ln ln x x x ax a x x =-⇒=-， 设ln x y x x=- ()0x >， 221ln x x y x-+'=， 令()21ln h x x x =-+，()0x > ()120h x x x'=+>恒成立， ()h x ∴在()0,∞+是单调递增函数，且()10h =，()h x ∴在()0,1()0h x <，即0y '<，()1,+∞时()0h x > ，即0y '> ，ln x y x x=-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以当1x =时函数取得最小值1，即1y ≥ ，a ∴的取值范围是[)1,+∞. 故选C.【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求()g x 关于M ()1,0对称的函数，根据函数有交点转化为ln x a x x=-，0x >，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.9．已知a ，b R ∈，复数21i a bi i +=+，则a b ⨯=（ ） A ．2-B ．1C ．0D ．2【答案】B【解析】分析：先将等式右边化简，然后根据复数相等的条件即可.详解： 2(1)111{11i a bi i i i ia b ab +==-=++=⇒=⇒=故选B.点睛：考查复数的除法运算和复数相等的条件，属于基础题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ）A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC AD ．四边形1AEC F 不可能为梯形【答案】D【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误；对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误；对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确.故选：D11．已知定义在(1,1)-上的函数()f x 与函数1()ln 1x g x x-=+有相同的奇偶性和单调性，则不等式(1)(23)0f x f x -+-<的解集为（）A ．4(,)3-∞B ．4(1,)3C ．4(,)3+∞D ．4(,2)3【答案】D【解析】【分析】先判断()g x 的奇偶性及单调性，即可由()f x 为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.【详解】函数1()ln1xg xx-=+，定义域为()1,1-；则11()ln ln()11xxg x g xx x+--==-=--+，即()g x为奇函数，12()ln ln 111xg xx x-⎛⎫==-+⎪++⎝⎭，函数21yx=+在()1,1-内单调递减，由复合函数的单调性可知1()ln1xg xx-=+在()1,1-内单调递减，由题意可得函数()f x为在()1,1-内单调递减的奇函数，所以不等式(1)(23)0f x f x-+-<变形可得(1)(23)f x f x-<--，即(1)(32)f x f x-<-，则1111321132xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，解不等式组可得021243xxx⎧⎪<<⎪<<⎨⎪⎪>⎩，即4,23x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.12．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数.设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为. 要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次. 把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以， ，故，，故选B.【点睛】 本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图所示，阴影部分为曲线sin ()y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形，在圆O ：222x y π+=内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为___．【答案】34π【解析】分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线()sin y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形的 面积，利用几何概型求出概率.详解：由题圆O ：222x y π+=的面积为23,πππ⋅= 曲线()sin y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形的面积为sin 2sin 2cos 4,0xdx xdx x πππππ--⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 故该点取自阴影部分的概率为34π. 即答案为34π.点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.14．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【答案】12【分析】 由题得高一学生数为600301500⨯，计算即得解. 【详解】 由题得高一学生数为60030=121500⨯. 故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．已知0π⎰cos 6x dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的系数为__________． 【答案】【解析】分析：由微积分基本定理求出a ，再写出二项展开式的通项1r T +，令x 的指数为1，求得r ，从而求得x 的系数．详解：02cos()2sin()2066a x dx x ππππ=+=+=-⎰， 二项式252()x x -展开式通项为251031552()()(2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031r -=，则3r =．∴x 的系数为335(2)C 80-=-． 故答案为－1．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.16．已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>，使()f x 在[1,2]-上取得最大值3，最小值-29，则b 的值为__________．【答案】3【解析】分析：求函数的导数，可判断()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数在闭区间上[]1,2-的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的()f x 的导数()()2'31234f x ax ax ax x =-=-，0a >Q ，∴由()'0f x <解得04x <<，此时函数单调递减.由()'0f x >，解得4x >或0x <，此时函数单调递增. 即函数在[]1,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，即函数在0x =处取得极大值同时也是最大值，则()03f b ==，故答案为3.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设命题函数在单调递增； 命题方程表示焦点在轴上的椭圆.命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.【答案】【解析】分析：化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围. 详解：由于命题函数在单调递增所以命题方程表示焦点在轴上的椭圆.所以命题“”为真命题,“”为假命题，则命题一真一假①真假时：②：综上所述：的取值范围为：点睛：本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查二次函数的单调性以及椭圆的标准方程与性质，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 18．已知a b ，为实数，函数，函数()ln g x x =．（1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）当0a b ==时，1()ln F x x x=+，定义域为(0,)+∞，由()0F x '=得1x =．列表分析得()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：1()()ln 11G x b x x =+≥-在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立．由于min ()G x 不易求，因此再进行转化：当(0,1)x ∈时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤，令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；同理当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥，令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可. 试题解析：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x'-=，令()0F x '=，得1x =． 列表：x(0,1)1(1,)+∞()F x '-+()F x↘极小值↗所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则1()()ln 11G x b x x =+≥-在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立．1）当(0,1)x ∈时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*）则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x'-=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x '+-=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-≤+-<⨯-=，故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=， 即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故，所以（*）成立，满足题意；②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x '--+-==， 因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-⋂（，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b -->，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=， 即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以，此时（*）不成立；所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+≥-恒成立时，12b ≤；2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x'-=++-，(1)0H '=．令1()ln1bQ x b x bx-=++-，则2(1)1()b xQ xx'+-=．①12b≥时，1(1)1212102b x b+->-≥⨯-=，故()0Q x'>，所以函数()y Q x=在(1,)x∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q>=，即()0H x'>，从而函数()y H x=在(1,)x∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H>=，此时（**）成立；②当12b<时，ⅰ）若0b≤，必有()0Q x'<，故函数()y Q x=在(1,)x∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q<=，即()0H x'<，从而函数()y H x=在(1,)x∈+∞时单调递减，所以，此时（**）不成立；ⅱ）若12b<<，则111b->，所以当11,1xb∈-（）时，221[(1)](1)1()0b xb x bQ xx x'--+-==<，故函数()y Q x=在11,1xb∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q<=，即()0H x'<，所以函数()y H x=在11,1xb∈-（）时单调递减，所以，此时（**）不成立；所以当(1,)x∈+∞，1()()ln11G x b xx=+≥-恒成立时，12b≥；综上所述，当(0,1)(1,)x∈+∞U，1()()ln11G x b xx=+≥-恒成立时，12b=，从而实数b的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭．考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性19．在四棱锥P ABCD﹣中，1//,12AD BC AD AB DC BC====，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．（1）证明：//ED面PAB；（2）若2,3PC PA==A PC D--的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）63.【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P （x ，0，z ），（z ＞0），依题意有，，解得． 则，，．设面PDC 的一个法向量为，由，取x 0=1，得．为面PAC 的一个法向量，且，设二面角A ﹣PC ﹣D 的大小为θ， 则有，即二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．20．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p (01)p <<，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率1P p =；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率22P p =，他发现12P P >，只做一道更容易及格.（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为3P ，从余下的四道题中全做并且及格的概率为4P ，求3P 及4P ；（2）由于p 的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【答案】 (1) 23(32)P p p =-，34(43)P p p =-.(2) 102p <<时，恰做一道及格概率最大；12p =时，13P P =；112p <<时，恰做三道及格概率最大. 【解析】分析：（1）根据题意得到()32331P p p p =+-，()43441P p p p =+-；（2）根据题意得到选择概率较大的即可，分13 P P >且14P P >，31P P >且34P P >，41P P >且43P P >三种情况.详解：（1）()()32233132P p p p pp =+-=-，()()43344143P p p p p p =+-=-；（2）① 13P P >且14P P >，∴102p <<；② 31P P >且34P P >，112p <<； ③ 41P P >且43P P >，无解；综上，102p <<时，恰做一道及格概率最大；12p =时，13P P =；112p <<时，恰做三道及格概率最大.点 睛：这 个 题 目 考 查 的 是 概 率 的 计 算 以 及 多 项 式 比 较 大 小 的 应 用, 分 类 讨 论 的 思 想.。

2020年山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题

2020年山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题

2020年山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测数学试题一、选择题1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U=，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）（ ） A ．{}3B ．{}2,5C ．{}1,4,6D ．{}2,3,52.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-3.设1i2i 1iz -=++，则||z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D4.二项式()()1+∈*N nx n 的展开式中2x项的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A ．58-B ．18C ．14D ．1186.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C．D．⎡⎣7.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）8.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A．B．C．D二、填空题9.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）10.已知,∈R a b ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 11.已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．12.已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 三、解答题13.已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.14.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCNπ∠=，在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、.（Ⅰ）若a b c 、、依次成等差数列，且公差为2．求c 的值； （Ⅱ）若3c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值15.如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．16.如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x ,y ）13-x 22⎛⎫⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值17.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑，7≈2.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑，回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y b t -18.已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中∈R a ，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.（1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值 （3）证明()211ln(21)241=>+∈-∑*N nk n n k四、不定项选择题19.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳20.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF=，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值21.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ）A ．当0m =时，FAB 3B ．不存在m 使FAB 为直角三角形C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB 的周长最大22.函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ，则下列说法错误的是：（ ）A ．()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的；B ．2()f x 在3]上具有性质P ；C ．若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[1,3]x ∈；D ．对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有[]123412341()()()+()+()44x x x x f f x f x f x f x +++≤+参考答案1.【解析】{}2,3,5A =,{}2,5UB =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B ．【答案】B2.【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-【答案】C3.【解析】()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选C. 【答案】C4.【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C rrr n x +T =，令2r得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【答案】C5.【解析】设BA a =，BCb =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【答案】B6.【解析】 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32则[]22122,62ABPSAB d d ==∈ 故答案选A ． 【答案】A7.【解析】画出函数()f x 的图像，e =x y 在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C ．【答案】C8.【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466338V R ∴=π=π⨯=π，故选D ． 【答案】D9.【解析】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【答案】1610.【解析】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224aba b ---+≥⨯==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab+的最小值为14. 【答案】1411.【解析】()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x取得最小值，此时sin x x ==()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭2-.【答案】 12.【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a =，所以椭圆M的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m++∴===∴=，1 213.【解析】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++.又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+.又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S a a a n --+=++⋯+=++++-++++=--()221141322n n n =---. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 14.【解析】（Ⅰ）∵a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴a =c -4、b =c -2．又因∠M C N =π，,可得,恒等变形得c 2-9c +14=0，解得c =7，或c =2． 又∵c ＞4，∴c =7．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得.∴△ABC 的周长f （θ）=|AC |+|BC |+|AB |=,又,当,即时，f （θ）取得最大值.【答案】（1）7c =或2c =.（2）2sin 2sin 33πθθ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭23 15.【解析】（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD ．因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BCCM =C ,所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz.当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取()1,0,2n =.DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5n DA n DA n DA⋅==， 25sin ,5n DA =， 所以面MAB 与面MCD 25. 【答案】（1）见解析 （22516.【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-． （Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A |=211()2k x ++=21(1)k k ++， |PQ |=2221()1Q k x x k +-=-+，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f （k ）在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 17.【解析】（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =，721()28i i t t =-=∑，721()0.55ii y y =-=∑，，．因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．（Ⅱ）由9.32 1.3317y =≈及（Ⅰ）得71721()()2.890.10328()ˆiii i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-≈-⨯≈. 所以，关于的回归方程为：．将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨． 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.18.【解析】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--，令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：x()0,11()1,+∞()'h x -+()h x极小值()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增，注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x +->，亦即22(ln )x >，0,ln 0x >>ln x >，取21,21+=∈-*N k x k k ，ln(21)ln(21)k k >+--=，故1(ln(21)ln(21))ln(21)nk nk k k π==>+--=+∑11ln(21)()2=∴>+∈*N n i x n .【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析.19.【解析】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：AB D 【答案】AB D20.【解析】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：AB D【答案】AB D21.【解析】如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤；即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误. 故选：AC 【答案】AC22.【解析】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误；对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤， 故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB 【答案】AB。

2019-2020学年山东省淄博市普通高中部分学校高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年山东省淄博市普通高中部分学校高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年山东省淄博市普通高中部分学校高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限2．若函数，则f'（0）＝（）A．B．C．D．3．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布N（75，σ2），且P （60＜ξ＜90）＝0.8，则P（ξ≥90）＝（）A．0.4B．0.3C．0.2D．0.14．二项式展开式中的常数项为（）A．28B．﹣28C．56D．﹣565．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P缺失数据则随机变量X的期望为（）A．B．C．D．6．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360B．720C．2160D．43207．函数f（x）＝x2﹣sin|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查某大学学生谈恋爱的比例．提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2．随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌．若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回．统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）A．10%B．20%C．25%D．45%二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数，则（）A．f（0）＝1B．函数f（x）的极小值点为0C．函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）D．∀x∈R，不等式f（x）≥e恒成立10．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B．在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好C．随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则n＝45D．以拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为，则c＝e4，k＝0.311．下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件12．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量．一般的，如果函数f （x）存在导函数f'（x），称为函数f（x）的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝C（C为常数）的弹性函数是B．函数f（x）＝cos x的弹性函数是C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝在点（0，1）处的切线方程为．14．用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两面不同色，有种涂法．15．若复数z满足|z﹣3﹣4i|＝1，则|z|的最小值为．16．已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），得a0＝．若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的2×2列联表：满意不满意男顾客女顾客（2）根据（1）中列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818．据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A．为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049．19．已知函数．（1）若a＝0，证明：当x∈（3，+∞）时，f（x）＞3x﹣8；（2）若过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，求a的取值范围．20．线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑．因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑．（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件A，求P（A）；（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求ξ的分布列及ξ的期望值Eξ．21．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份201420152016201720182019编号x123456数量y（辆）4196116190218275（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x的线性回归方程，并用相关指数R2分析其拟合效果（R2精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差．22．已知函数．（1）若时，求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴复数z＝对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：D．2．若函数，则f'（0）＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出函数的导数，令x＝0，计算即可．解：由，得f′（x）＝﹣×，则f′（0）＝﹣，故选：B．3．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布N（75，σ2），且P （60＜ξ＜90）＝0.8，则P（ξ≥90）＝（）A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知P（60＜ξ＜90）＝0.8，结合正态分布曲线的对称性得答案．解：∵数学成绩ξ服从正态分布N（75，σ2），则正态分布曲线的对称轴方程为x＝75，又P（60＜ξ＜90）＝0.8，∴P（ξ≥90）＝＝．故选：D．4．二项式展开式中的常数项为（）A．28B．﹣28C．56D．﹣56【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为0，计算即可求得结果．解：二项式展开式的通项公式为T r+1＝x8﹣r＝（﹣1）r，令8﹣＝0，解得r＝6，∴二项式展开式中的常数项为＝28．故选：A．5．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P缺失数据则随机变量X的期望为（）A．B．C．D．【分析】利用分布列的性质求出缺失数据，然后求解期望即可．解：由分布列的概率的和为1，可得：缺失数据：1﹣﹣＝．所以随机变量X的期望为：＝．故选：C．6．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360B．720C．2160D．4320【分析】根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，②将剩下的3人全排列，安排在第二排，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，有C63A33＝120种排法；②将剩下的3人全排列，安排在第二排，有A33＝6种排法；则有120×6＝720种不同的排法；故选：B．7．函数f（x）＝x2﹣sin|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，可以排除B，结合解析式求出f（0）、f （）的值，排除A、D，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣sin|x|，有f（﹣x）＝x2﹣sin|x|＝f（x），函数f（x）为偶函数，排除B，又由f（0）＝0﹣0＝0，排除A，f（）＝（）2﹣sin＝＜0，函数在x轴下方有图象，排除D；故选：C．8．当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查某大学学生谈恋爱的比例．提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2．随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌．若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回．统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）A．10%B．20%C．25%D．45%【分析】由题意回答问题2的学生有250人，其中有125人回答是，由此得到回答问题的学生有750人，其中200﹣125＝75人回答是，从而能估计该大学学生现在谈恋爱的百分比．解：由题意回答问题2的学生有：1000×＝250人，∴回答问题2的学生有250×＝125人回答是，回答问题的学生有750人，其中200﹣125＝75人回答是，∴该大学学生现在谈恋爱的百分比是：＝10%．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数，则（）A．f（0）＝1B．函数f（x）的极小值点为0C．函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）D．∀x∈R，不等式f（x）≥e恒成立【分析】在已知函数解析式中，取x＝0求得f（0）判断A；把f（0）代入函数解析式，利用导数求函数的单调性并求极值、最值判断BCD．解：在中，取x＝0，可得f（0）＝e0＝1．故A正确；则f（x）＝，f′（x）＝e x+x﹣1，f″（x）＝e x+1＞0．∴f′（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f′（0）＝e0﹣1＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值为f（0）＝e0＝1，故B正确；C，D错误．故选：AB．10．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B．在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好C．随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则n＝45D．以拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为，则c＝e4，k＝0.3【分析】直接利用独立性检测的关系式及回归直线方程的应用和均值和方差关系式的应用求出结果．解：对于选项A：对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故错误．对于选项B：在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好，当R2＝±1时，说明回归直线为理想直线．正确．对于选项C：随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，所以，解得，故p＝，解得n＝90，故错误．对于选项D：，两边取对数，可得＝ln（ce kx）＝lnc+kx．令z＝，可得z＝lnc+kx，由于经z＝lny代换后的线性回归方程为，所以lnc＝4，k＝0.3，故c＝e4，k＝0.3．故正确．故选：BD．11．下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件【分析】由|z|求得判断A；设出z1，z2，证明在满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|时，不一定有z1z2＝0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确．解：A．若|z|＝2，则，故A正确；B．设z1＝a1+b1i（a1，b1∈R），z2＝a2+b2i（a2，b2∈R）．由|z1+z2|＝|z1﹣z2|，得|z1+z2|2＝（a1+a2）2+（b1+b2）2＝|z1﹣z2|2＝（a1﹣a2）2+（b1﹣b2）2，则a1a2+b1b2＝0，而z1•z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝a1a2﹣b1b2＝2a1a2不一定等于0，故B 错误；C．z＝1﹣i，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，其实部与虚部不等，故C错误；D．复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数则a2﹣1≠0，即a≠±1，故“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件，故D 正确．故选：AD．12．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量．一般的，如果函数f （x）存在导函数f'（x），称为函数f（x）的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝C（C为常数）的弹性函数是B．函数f（x）＝cos x的弹性函数是C．D．【分析】结合基本初等函数的求导法则、导数的乘除运算法则以及弹性函数的定义式，逐一判断每个选项即可．解：对A，＝C'•＝0，即A正确；对B，＝（cos x）'•＝﹣sin x•＝﹣x tan x，即B正确；对C，＝[f1（x）+f2（x）]'•＝f1'（x）•+f2'（x）•，而+＝f1'（x）•+f2'（x）•，即C错误；对D，＝•＝•＝•x＝f1'（x）•﹣f2'（x）•＝﹣，即D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝在点（0，1）处的切线方程为x﹣2y+2＝0．【分析】求函数y的导数，然后求出切线的斜率，再求出切线方程．解：y＝的导数为y′＝，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为，则曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝（x﹣0），即x﹣2y+2＝0．故答案为：x﹣2y+2＝0．14．用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两面不同色，有72种涂法．【分析】先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A、B面；给C面，分C与A相同色、C与A不同色，利用乘法原理可得结论．解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，所以共有4×3×2×（2+1）＝72．故答案为：72．15．若复数z满足|z﹣3﹣4i|＝1，则|z|的最小值为4．【分析】根据条件可知，满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，然后求出|z|的最小值．解：满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，如图，则|z|的最小值为．故答案为：4．16．已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），得a0＝1．若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．【分析】令x＝0，可得a0的值；分别令x＝﹣1以及x＝1，即可求解a的值．解：已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），令x＝0，可得a0＝1．令x＝1得，（a﹣1）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，令x＝﹣1得，（﹣a﹣1）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020，而（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝（a0+a1+a2+…+a2020）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020）＝（a﹣1）2020（﹣a﹣1）2020＝[（a﹣1）（﹣a﹣1）]2020＝（a2﹣1）2020＝1，解得a＝（负值和0舍）．故答案为：1，．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的2×2列联表：满意不满意男顾客女顾客（2）根据（1）中列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）由列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成2×2列联表如下；满意不满意男顾客4010女顾客3020（2）根据（1）中列联表，计算K2＝＝≈4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关．18．据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A．为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049．【分析】（1）利用独立重复试验与对立事件的概率求解；（2）利用二项分布求得在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A的概率，与0.05比较大小得结论．解：（1）假设估计值是正确的，即随机抽一口水井，含有杂质A的概率p＝0.1．抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率P＝1﹣（1﹣0.1）5＝0.40951；（2）在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A的概率为＝0.0081＜0.05．说明在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A是小概率事件，它在一次试验中几乎是不可能发生的，说明“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是错误的．19．已知函数．（1）若a＝0，证明：当x∈（3，+∞）时，f（x）＞3x﹣8；（2）若过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，求a的取值范围．【分析】（1）若a＝0，则f（x）＝x3﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣8），求导，利用单调性求得g（x）＞0，即可得证；（2）设切点为N（x，x3﹣x2+ax+1），由k MN＝f’（x），可得关于x的方程x3﹣2x+a ＝0，由过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，可得方程有三个解，令h（x）＝x3﹣2x+a，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】（1）证明：若a＝0，则f（x）＝x3﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣8）＝x3﹣x2﹣3x+9，则g′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），当x∈（3，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，所以g（x）＞g（3）＝0，即f（x）＞3x﹣8，得证．（2）解：设切点为N（x，x3﹣x2+ax+1），又M（﹣1，1），则k MN＝f′（x）＝x2﹣2x+a＝，整理得x3﹣2x+a＝0，由题意可知此方程有三个解，令h（x）＝x3﹣2x+a，∴h'（x）＝2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1），由h'（x）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，由h'（x）＜0解得﹣1＜x＜1，即函数h（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减．要使得h（x）＝0有3个根，则h（﹣1）＞0，且h（1）＜0，解得﹣＜a＜，即a的取值范围为（﹣，）．20．线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑．因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑．（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件A，求P（A）；（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求ξ的分布列及ξ的期望值Eξ．【分析】（1）上午与下午参加的学生只有5种情形有2人，3人，4人，5人，6人，有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，求出样本空间总数为n＝++++＝44100，事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有m＝＝3150，由此能求出P（A）．（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：（1）问题中要做的一件事：10位学生参加在线答疑，样本空间有三种情况：上午与下午均参加，上午参加下午不参加，上午不参加下午参加．而上午与下午参加的学生只有5种情形：有2人，3人，4人，5人，6人，有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，∴样本空间总数为n＝++++＝44100，事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有m＝＝3150，∴P（A）＝＝．（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ23456Pξ的期望值Eξ＝＝3.6．21．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份201420152016201720182019编号x123456数量y（辆）4196116190218275（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x的线性回归方程，并用相关指数R2分析其拟合效果（R2精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差．【分析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求，再求出残差平方和，代入相关指数公式求得R2，根据与1的接近程度分析拟合效果；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9求得y值即可．解：（1），×936＝156．＝＝46，．∴y关于x的线性回归方程为．x＝1时，＝41，x＝2时，＝87，x＝3时，＝133，x＝4时，＝179，x＝5时，＝225，x＝6时，＝271．＝556．≈0.97，相关指数R2近似为0.97，接近1，说明拟合效果较好；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9，可得．故若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划409个停车位．22．已知函数．（1）若时，求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．【分析】（1）将代入函数解析中，求导，即可求得单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，即为若x＞1时，不等式f（x）＜f（1）恒成立，转化为求f（x）在（1，+∞）单调递减时a的取值范围，即可求得a的最大值．解：（1）若，则f（x）＝lnx﹣＝lnx﹣+，求导得f′（x）＝﹣﹣＝﹣≤0，∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，即函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（2）因为f（1）＝0，∴若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，即为若x＞1时，不等式f（x）＜f（1）恒成立，只需满足f（x）在（1，+∞）单调递减，即f′（x）≤0，即f′（x）＝﹣＝≤0，令g（x）＝x a+（a﹣1）x﹣a，则g（x）≤0＝g（1）（x＞1）恒成立，即g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1≤0恒成立，若0＜a＜1，g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1在（1，+∞）单调递减，只需满足g'（x）＜g'（1）＝2a﹣1≤0，解得0＜a≤；若a＝1，g（x）＝x﹣1＞0，不合题意；若a＞1，g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1在（1，+∞）单调递增，g'（x）＞2a﹣1＞1，不满足g'（x）≤0恒成立，综上，可得若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，则0＜a≤，所以实数a的最大值为．。

2019-2020学年 山东省淄博市张店区第五中学 高二下学期4月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年 山东省淄博市张店区第五中学 高二下学期4月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省淄博市张店区第五中学高二下学期4月月考数学试题一、单选题 1．下列式子不．正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则对各选项逐一验证. 【详解】 对于A 选项，，A 选项正确；对于B 选项，，B 选项正确；对于C 选项，由复合函数的求导法则得，C 选项正确；对于D 选项，，D 选项错误.故选：D.【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是导数的运算法则以及复合函数求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 2．已知曲线()ln a f x x x=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】利用导数求出()1f '，由()31tan 14f π'==可求出a 的值． 【详解】()ln a f x x x =+Q ，()21a f x x x'∴=-， 由题意可得()311tan 14f a π'=-==-，因此，2a =，故选D ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题．3．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ）A ．92B ．94C ．174D ．178【答案】D【解析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键. 4．“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】求出函数()f x 的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出a 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】()'sin f x a x =-，当1a >时， ()'0f x >恒成立，即()f x 递增，但当1a =时， ()'0f x ≥恒成立， ()f x 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”.故选A ． 【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②构造命题法：“若p ，则q ”为真命题，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ③数集转化法：p ：x A ∈，q ：x B ∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）A ．()()2019202020202019f f >B ．()()20192020f f >C ．()()2019202020202019f f <D ．()()20192020f f <【答案】A【解析】构造函数()()f x g x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】 令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x '-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >， 即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A. 【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 6．若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为( ) A ．[2,)+∞ B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】B【解析】求出()f x 的导数2'1()0x bx f x x-+=<，由其存在单调递减区间可得b 的取值范围. 【详解】解：由21()ln 2f x x x bx =+-，可得2'1()(0)x bx f x x x-+=>，由题意可得存在0x ＞，使得2'1()0x bx f x x-+=<，即存在0x >，使得210x bx -+<，等价于1b x x>+，由对勾函数性质易得2b >，故选B. 【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题.7．设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图像不可能为()y f x =的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】：()2f x ax b '=+，令()()xg x f x e =则()()()x x g x f x e f x e +''=()(())x f x f x e =+'22(2)[(2)()]x x ax b ax bx c e ax a b x b c e =++++=++++，因为1x =-为函数()g x 的一个极值点，所以1x =-是2(2)()0ax a b x b c ++++=的一个根，即2(2)(1)()0(2)4()0a ab bc a b a b c ++-++=⎧⎨=+-+>⎩V 于是0a cb =⎧⎨≠⎩，()12f a bc a b -=-+=-，22244(2)(2)b ac b a b a b a =-=-=-+V()120f a b -=-=则0=V 故A 、B 可能；对于D ，()120f a b -=->，0a >，则0b >于是0<V出现矛盾，不可能，故选D 8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜6 C ．a ＜－3或a ＞6 D ．a ＜－1或a ＞2【答案】C【解析】易得()'f x 有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式求解即可. 【详解】由题()2'326f x x ax a =+++有两个不相等的实数根,故()()()244360360a a a a ∆=-⨯+>⇒+->,解得3a <-或6a >.故选：C 【点睛】本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.9．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112xxx x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．e BC ．1eD ．1【答案】A 【解析】由2112x x x x <可化为1212ln ln x x x x <，设函数()ln x x x=，()21ln 00xf x x e x >⇒'-=<<，可得答案. 【详解】解：2112x xx x <即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x xx x <， 故()ln x f x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00xf x x e x >⇒'-=<<， 故m 的最大值为e . 故选A . 【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出()ln xx x=后求导是解题的关键.二、多选题 10．已知数列的前n 项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A ．数列的前n 项和为B ．数列的通项公式为C ．数列为递增数列D ．数列为递增数列【答案】AD【解析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以，即A 正确；当时所以，即B ，C 不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 11．我们通常称离心率为51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD【解析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解． 【详解】解：2222:1(0)x y C a b a b+=>>Q()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误；对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+ ()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e = 故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =Q 即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+Q2c e a ∴===不满足题意，故C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得232e +=（舍去）或232e =e ∴=故D 正确 故选：BD 【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =u u u v u u u v时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误.对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a =++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =u u u r u u u r可得122y y =-，142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD. 【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题.三、填空题13．函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列命题正确的有______.①()1,0-为函数()y f x =的单调递增区间； ②()3,5为函数()y f x =的单调递减区间； ③函数()y f x =在0x =处取得极大值；④函数()y f x =在5x =处取得极小值. 【答案】②④【解析】由导函数图象可知()1,3-为()f x 的单调递增区间，()3,5为()f x 的单调递减区间，可知①错误，②正确；由()00f '≠可知③错误；根据()50f '=且在5x =处函数单调性发生变化，由极小值定义可确定④正确. 【详解】①当()1,3x ∈-时，由图象知()0f x '>，可知()f x 的一个单调递增区间为()1,3-()f x 在()1,0-上单调递增，但()1,0-并非完整的单调递增区间，①错误；②当()3,5x ∈时，由图象知()0f x '<，可知()f x 的一个单调递减区间为()3,5，②正确；③由图象知()00f '≠ 0x ∴=不是()f x 的极值点，③错误； ④由图像知()50f '=，且在()3,5上()0f x '<，在()5,+∞上()0f x '>即()f x 在()3,5上单调递减，在()5,+∞上单调递增 5x ∴=是()f x 的极小值点. 故答案为：②④ 【点睛】本题考查根据导函数图象研究原函数的性质，涉及到单调区间的判断、极值点的确定等知识；关键是能够熟练掌握导函数与原函数单调性之间的关系以及极值点的定义. 14．函数()321f x x x =--的图象在点()()0,0f 处的切线方程为________.【答案】10x y ++=【解析】求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可. 【详解】由题知()261f x x '=-，()01f '∴=-，又()01f =-，所以函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x +=-,即10x y ++=. 故答案为：10x y ++=.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题. 15．对于函数()f x ，将满足()00f x x =的实数0x 称为()f x 的不动点.若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是_________【答案】()10,1e e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭U【解析】由题可知()log a f x x =与y x =有且仅有一个公共点,分01a <<与1a >两种情况分别讨论求解即可. 【详解】由题()log a f x x =与y x =仅有一个公共点. ①当01a <<时,根据函数图像的性质易得显然成立.②当1a >时, ()log a f x x =与y x =相切.设切点为(),m m ,则1'()ln f x x a=. 故111ln 1ln log m m e a m e a m a a m a e m m⎧=⎧⎧==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎩,即1e a e =. 综上, a 的取值范围是01a <<或1ea e =.故答案为：()10,1ee ⎧⎫⎨⎬⎩⎭U【点睛】本题主要考查了数形结合求解参数范围的问题.需要根据题意分两种情况进行求解,同时也考查了直线与函数相切时的求解方法.属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x-<'，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是_________ 【答案】()(),20,2-∞-U【解析】根据2()()0xf x f x x -<'构造函数()()f x g x x=,分析()g x 的单调性,得出正负区间再求解即可. 【详解】构造函数()()f x g x x=,因为当0x >时,()2()(')0xf x f x x x g =-<',故当0x >时()g x 为减函数.又定义在R 上的函数()f x 是奇函数,故()()f x g x x=为偶函数.故()()f x g x x=在当0x <时为增函数.又(2)0f =,故()()220g g =-=. 画出()()f x g x x=简图如图所示.又2()0x f x ⋅>即()0f x >,()0x ≠. 故当0x <时, ()()0f x g x x=<,此时(),2x ∈-∞-. 当0x >时, ()()0f x g x x=>,此时()0,2x ∈. 故2()0x f x ⋅>的解集为()(),20,2-∞-U . 故答案为：()(),20,2-∞-U 【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解抽象函数的不等式的解集.需要根据题意确定构造的函数性质,属于中档题.四、解答题17．已知函数()32322,,12f x x x x x ⎡⎤=+++∈-⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）最大值为6，最小值为138.【解析】（1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0，结合已知函数定义域求得原函数的单调区间；（2）求出函数在[﹣2，1]两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案． 【详解】（1） f ′(x)＝3x 2＋4x ＋1＝3(x ＋13)(x ＋1)．由f ′(x)>0，得x<－1或x>－13； 由f ′(x)<0，得－1<x<－13.因此，函数f(x)在[－32，1]上的单调递增区间为[－32，－1]，[－13，1]，单调递减区间为[－1，－13]．（2）f(x)在x ＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x ＝－13处取得极小值为f(－13)＝5027. 又∵f(－32)＝138，f(1)＝6，且5027>138，∴f(x)在[－32，1]上的最大值为f(1)＝6，最小值为f 31328⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．18．如图，三棱锥D-ABC 中，2,AB AC ==23,BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角D-CE-F 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 370. 【解析】（1）取BC 的中点G ，可得BC AG ⊥，BC DG ⊥，从而得到BC ⊥平面DAG ，得到BC DA ⊥，由DA EF ∥，EF CF ⊥，得到DA CF ⊥，从而得到DA ⊥平面ABC ，所以平面DAB ⊥平面ABC ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到120BAC ︒∠=，5DA =DCE 的法向量1n u r，平面FCE 的法向量2n u u r，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角D CE F --的余弦值【详解】（1）如图取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，因为2AB AC ==，所以BC AG ⊥， 因为DB DC =，所以BC DG ⊥，又因为AG DG G =I ，所以BC ⊥平面DAG ，DA ⊂平面DAG所以BC DA ⊥.因为E ，F 分别为DB ，AB 的中点，所以DA EF ∥. 因为90EFC ︒∠=，即EF CF ⊥， 则DA CF ⊥.又因为BC CF C =I ， 所以DA ⊥平面ABC ， 又因为DA ⊂平面DAB ， 所以平面DAB ⊥平面ABC .（2）因为DA ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点，过点A 与AC 垂直的直线为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系.因为2,AB AC ==3,BC =3DB DC ==， 在ABC ∆中，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅4412222+-=⨯⨯12=-， 所以120BAC ︒∠=.在Rt DAB ∆中，DA ==所以点(0,0,0)A，D (0,2,0),C 1,0)B -，1,,222E ⎛- ⎝⎭1,022F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCE 的法向量为()1111,,,n x y z =u r(0,2,DC =u u ur 1,,222DE ⎛=-- ⎝⎭u u u r .所以1100DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v，即1111120102y x y z ⎧=--=，可取1n =u r.设平面FCE 的法向量为()2222,,,n x y z =u u r5,,0,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u ur 0,0,2FE ⎛= ⎝⎭u u u r . 所以2200FC n FE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u v u u u v u u v，即222502202x y z ⎧-+=⎪⎪=⎩，可取2n =u u r，则12cos ,n n <>=u r u ur28=因为二面角D CE F --为钝二面角，所以二面角D CE F --的余弦值为. 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.19．已知函数f (x )＝32(1)ln (1)x ax bx x c x x ⎧-++<⎨≥⎩的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为16x ＋y ＋20＝0. （1）求实数a 、b 的值；（2）求函数f (x )在区间[－1，2]上的最大值；【答案】(1)1,0a b ==;(2)当2ln 2c ≤时,()f x 在[]1,2-上的最大值为2；当2ln 2c >时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c .【解析】(1)利用函数图象在点()()2,2f --处的切线方程为16200x y ++=,结合导数的几何意义列出关于,a b 的关系式再求解即可.(2)根据分段函数,分类讨论c 的范围,利用函数的单调性,即可求()f x 在[]1,2-上的最大值； 【详解】(1)当1x <时,()2'32f x x ax b =-++,因为函数图象在点()()2,2f --处的切线方程为16200x y ++=,所以切点坐标为()2,12-，所以()()284212'212416f a b f a b ⎧-=+-=⎪⎨-=--+=-⎪⎩,解得1,0a b ==；(2)由(1)得,当1x <时,()32f x x x =-+,令()2'320f x x x =-+=可得0x =或23x =,故函数在()1,0-和2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.∴1x <时,()f x 的最大值为()()2max 1,123f f f ⎧⎫⎛⎫-=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；当12x ≤≤时,()ln f x c x =.当0c ≤时,ln 0c x ≤恒成立, ()02f x ≤<,此时()f x 在[]1,2-上的最大值为()12f -=；当0c >时,()f x 在[]1,2-上单调递增,且()2ln 2f c = 令ln 22c =,则2ln 2c =, ∴当2ln 2c >时,()f x 在[]1,2-上的最大值为()2ln 2f c =； 当02ln 2c <≤时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为()12f -= 综上,当2ln 2c ≤时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为2,当2ln 2c >时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解参数的问题,同时也考查了分类讨论分析函数的最值问题等.属于中档题.20．在正项等比数列{}n a 中，已知133510,40a a a a +=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S . 【答案】（1）2nn a =；（2）5050.【解析】（1）根据题意，求得首项1a 和公比q ，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）求得2log n n b a n ==，写出数列{}2(1)n n b -的前100项的和，即可求解.【详解】（1）设公比为q ，则由题意可知21221(1)10(1)40a q a q q ⎧+=⎨+=⎩ 又0q >，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以112n nn a a q -==.（2）由（1）可得22log log 2nn n b a n ===，则数列{}2(1)n nb -的前100项的和()()()222222222222100123499100123499100S b b b b b b =-+-+--+=-++-+-+-+L L3711195199=++++L 50(3199)50502+==.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．已知函数()2(ln )x e f x x x x=--，向量(),e x x =r a ，(sin ,cos )x x =-r b ，函数()g x a b =⋅r r.（1）求()f x 的极值；（2）判断()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数.【答案】(1) ()f x 的极小值为2e -,无极大值；(2) ()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内有一个零点【解析】(1)利用导数研究函数()f x 的单调性,由此可求得()f x 的极值.(2)求出()g x 的解析式,利用导数判断函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调性,结合零点存在性定理即可判断出函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数.【详解】(1)函数()2(ln )xe f x x x x=--的定义域为()0,∞+,()()()()222211212'()2x xx x e x x e x x xe e f x x x x x x -----=-+=-=,令()()20xx e x x ϕ=->,则()'2xx e ϕ=-,令()'2ln 2xx e x ϕ=-⇒=,令()'0x ϕ>得ln 2x >,令()'0x ϕ<有0ln 2x <<,所以函数()y x ϕ=在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增. 所以()()ln 222ln 20x ϕϕ≥=->.故当()'0f x >时解得1x >,当()'0f x <时解得01x <<, 所以,函数()y f x =在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增. 故()y f x =的极小值为()12f e =-,无极大值.(2) ()sin cos x g x a b x x e x =⋅=-+r r,故()()'()sin cos cos sin cos 1sin xxxxg x x x x e x e x e x x e x =--+-=--+, 当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,0x e x ->, 10x e +>,所以()cos 0x e x x ->,()1sin 0xe x +<,故'()0g x >,所以函数()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,又因为()010,022g g ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭,故()g x 在,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内有一个零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值的问题.同时也考查了利用导数与三角函数的性质以及零点存在性定理判断函数的零点个数问题.属于难题.22．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与E交于A ，B 两点.当l 过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =. （1）求椭圆E 的方程.（2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.【解析】（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)． 【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AFk c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =.所以椭圆E 的方程为22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q . 理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程组2229154y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ， 整理得22201600(45)0981k k x x +--=， 所以122209(45)kx x k +=+，122160081(45)x x k =-+， 所以12122416()99(45)y y k x x k +=+-=-+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k -=-++=+，以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ，即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=， 令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++-=++， 解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=-+，所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 的斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B -， 此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=. 显然过点(0,2)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,2)． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．。

山东省淄博市2019-2020学年下学期高二教学质量检测(期末)数学试题 (含解析)

山东省淄博市2019-2020学年下学期高二教学质量检测(期末)数学试题 (含解析)

山东省淄博市2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限2．若函数，则f'（0）＝（）A．B．C．D．3．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布N（75，σ2），且P（60＜ξ＜90）＝0.8，则P（ξ≥90）＝（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.14．二项式展开式中的常数项为（）A．28 B．﹣28 C．56 D．﹣565．已知离散型随机变量X的分布列为：X 1 2 3P缺失数据则随机变量X的期望为（）A．B．C．D．6．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360 B．720 C．2160 D．43207．函数f（x）＝x2﹣sin|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查某大学学生谈恋爱的比例．提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2．随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌．若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回．统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）A．10% B．20% C．25% D．45%二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数，则（）A．f（0）＝1B．函数f（x）的极小值点为0C．函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）D．∀x∈R，不等式f（x）≥e恒成立10．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B．在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好C．随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则n＝45D．以拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为，则c＝e4，k＝0.311．下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件12．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量．一般的，如果函数f（x）存在导函数f'（x），称为函数f（x）的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝C（C为常数）的弹性函数是B．函数f（x）＝cos x的弹性函数是C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝在点（0，1）处的切线方程为．14．用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两面不同色，有种涂法．15．若复数z满足|z﹣3﹣4i|＝1，则|z|的最小值为．16．已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），得a0＝．若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的2×2列联表：满意不满意男顾客女顾客（2）根据（1）中列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.82818．据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A．为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049．19．已知函数．（1）若a＝0，证明：当x∈（3，+∞）时，f（x）＞3x﹣8；（2）若过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，求a的取值范围．20．线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑．因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑．（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件A，求P（A）；（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求ξ的分布列及ξ的期望值Eξ．21．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号x 1 2 3 4 5 6 数量y（辆） 41 96 116 190 218 275（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x的线性回归方程，并用相关指数R2分析其拟合效果（R2精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差．22．已知函数．（1）若时，求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．山东省淄博市2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴复数z＝对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：D．2．若函数，则f'（0）＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出函数的导数，令x＝0，计算即可．解：由，得f′（x）＝﹣×，则f′（0）＝﹣，故选：B．3．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布N（75，σ2），且P（60＜ξ＜90）＝0.8，则P（ξ≥90）＝（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知P（60＜ξ＜90）＝0.8，结合正态分布曲线的对称性得答案．解：∵数学成绩ξ服从正态分布N（75，σ2），则正态分布曲线的对称轴方程为x＝75，又P（60＜ξ＜90）＝0.8，∴P（ξ≥90）＝＝．故选：D．4．二项式展开式中的常数项为（）A．28 B．﹣28 C．56 D．﹣56【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为0，计算即可求得结果．解：二项式展开式的通项公式为T r+1＝x8﹣r＝（﹣1）r，令8﹣＝0，解得r＝6，∴二项式展开式中的常数项为＝28．故选：A．5．已知离散型随机变量X的分布列为：X 1 2 3P缺失数据则随机变量X的期望为（）A．B．C．D．【分析】利用分布列的性质求出缺失数据，然后求解期望即可．解：由分布列的概率的和为1，可得：缺失数据：1﹣﹣＝．所以随机变量X的期望为：＝．故选：C．6．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360 B．720 C．2160 D．4320【分析】根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，②将剩下的3人全排列，安排在第二排，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，有C63A33＝120种排法；②将剩下的3人全排列，安排在第二排，有A33＝6种排法；则有120×6＝720种不同的排法；故选：B．7．函数f（x）＝x2﹣sin|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，可以排除B，结合解析式求出f（0）、f （）的值，排除A、D，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣sin|x|，有f（﹣x）＝x2﹣sin|x|＝f（x），函数f（x）为偶函数，排除B，又由f（0）＝0﹣0＝0，排除A，f（）＝（）2﹣sin＝＜0，函数在x轴下方有图象，排除D；故选：C．8．当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查．为调查某大学学生谈恋爱的比例．提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2．随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌．若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回．统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）A．10% B．20% C．25% D．45%【分析】由题意回答问题2的学生有250人，其中有125人回答是，由此得到回答问题的学生有750人，其中200﹣125＝75人回答是，从而能估计该大学学生现在谈恋爱的百分比．解：由题意回答问题2的学生有：1000×＝250人，∴回答问题2的学生有250×＝125人回答是，回答问题的学生有750人，其中200﹣125＝75人回答是，∴该大学学生现在谈恋爱的百分比是：＝10%．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数，则（）A．f（0）＝1B．函数f（x）的极小值点为0C．函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）D．∀x∈R，不等式f（x）≥e恒成立【分析】在已知函数解析式中，取x＝0求得f（0）判断A；把f（0）代入函数解析式，利用导数求函数的单调性并求极值、最值判断BCD．解：在中，取x＝0，可得f（0）＝e0＝1．故A正确；则f（x）＝，f′（x）＝e x+x﹣1，f″（x）＝e x+1＞0．∴f′（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f′（0）＝e0﹣1＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值为f（0）＝e0＝1，故B正确；C，D错误．故选：AB．10．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B．在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好C．随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则n＝45D．以拟合一组数据时，经z＝lny代换后的线性回归方程为，则c＝e4，k＝0.3【分析】直接利用独立性检测的关系式及回归直线方程的应用和均值和方差关系式的应用求出结果．解：对于选项A：对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故错误．对于选项B：在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归模型拟合的效果越好，当R2＝±1时，说明回归直线为理想直线．正确．对于选项C：随机变量ξ～B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，所以，解得，故p＝，解得n＝90，故错误．对于选项D：，两边取对数，可得＝ln（ce kx）＝lnc+kx．令z＝，可得z＝lnc+kx，由于经z＝lny代换后的线性回归方程为，所以lnc＝4，k＝0.3，故c＝e4，k＝0.3．故正确．故选：BD．11．下列说法正确的是（）A．若|z|＝2，则B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件【分析】由|z|求得判断A；设出z1，z2，证明在满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|时，不一定有z1z2＝0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确．解：A．若|z|＝2，则，故A正确；B．设z1＝a1+b1i（a1，b1∈R），z2＝a2+b2i（a2，b2∈R）．由|z1+z2|＝|z1﹣z2|，得|z1+z2|2＝（a1+a2）2+（b1+b2）2＝|z1﹣z2|2＝（a1﹣a2）2+（b1﹣b2）2，则a1a2+b1b2＝0，而z1•z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝a1a2﹣b1b2＝2a1a2不一定等于0，故B错误；C．z＝1﹣i，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，其实部与虚部不等，故C错误；D．复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数则a2﹣1≠0，即a≠±1，故“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件，故D正确．故选：AD．12．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量．一般的，如果函数f（x）存在导函数f'（x），称为函数f（x）的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝C（C为常数）的弹性函数是B．函数f（x）＝cos x的弹性函数是C．D．【分析】结合基本初等函数的求导法则、导数的乘除运算法则以及弹性函数的定义式，逐一判断每个选项即可．解：对A，＝C'•＝0，即A正确；对B，＝（cos x）'•＝﹣sin x•＝﹣x tan x，即B正确；对C，＝[f1（x）+f2（x）]'•＝f1'（x）•+f2'（x）•，而+＝f1'（x）•+f2'（x）•，即C错误；对D，＝•＝•＝•x＝f1'（x）•﹣f2'（x）•＝﹣，即D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝在点（0，1）处的切线方程为x﹣2y+2＝0．【分析】求函数y的导数，然后求出切线的斜率，再求出切线方程．解：y＝的导数为y′＝，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为，则曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝（x﹣0），即x﹣2y+2＝0．故答案为：x﹣2y+2＝0．14．用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两面不同色，有72种涂法．【分析】先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A、B面；给C面，分C与A相同色、C与A不同色，利用乘法原理可得结论．解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，所以共有4×3×2×（2+1）＝72．故答案为：72．15．若复数z满足|z﹣3﹣4i|＝1，则|z|的最小值为4．【分析】根据条件可知，满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，然后求出|z|的最小值．解：满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，如图，则|z|的最小值为．故答案为：4．16．已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），得a0＝1．若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．【分析】令x＝0，可得a0的值；分别令x＝﹣1以及x＝1，即可求解a的值．解：已知（ax﹣1）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），令x＝0，可得a0＝1．令x＝1得，（a﹣1）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，令x＝﹣1得，（﹣a﹣1）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020，而（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝（a0+a1+a2+…+a2020）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020）＝（a﹣1）2020（﹣a﹣1）2020＝[（a﹣1）（﹣a﹣1）]2020＝（a2﹣1）2020＝1，解得a＝（负值和0舍）．故答案为：1，．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的2×2列联表：满意不满意男顾客女顾客（2）根据（1）中列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828【分析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）由列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成2×2列联表如下；满意不满意男顾客40 10女顾客30 20 （2）根据（1）中列联表，计算K2＝＝≈4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关．18．据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A．为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049．【分析】（1）利用独立重复试验与对立事件的概率求解；（2）利用二项分布求得在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A的概率，与0.05比较大小得结论．解：（1）假设估计值是正确的，即随机抽一口水井，含有杂质A的概率p＝0.1．抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率P＝1﹣（1﹣0.1）5＝0.40951；（2）在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A的概率为＝0.0081＜0.05．说明在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A是小概率事件，它在一次试验中几乎是不可能发生的，说明“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是错误的．19．已知函数．（1）若a＝0，证明：当x∈（3，+∞）时，f（x）＞3x﹣8；（2）若过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，求a的取值范围．【分析】（1）若a＝0，则f（x）＝x3﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣8），求导，利用单调性求得g（x）＞0，即可得证；（2）设切点为N（x，x3﹣x2+ax+1），由k MN＝f’（x），可得关于x的方程x3﹣2x+a ＝0，由过点M（﹣1，1）可作曲线y＝f（x）的3条切线，可得方程有三个解，令h（x）＝x3﹣2x+a，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】（1）证明：若a＝0，则f（x）＝x3﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣8）＝x3﹣x2﹣3x+9，则g′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），当x∈（3，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，所以g（x）＞g（3）＝0，即f（x）＞3x﹣8，得证．（2）解：设切点为N（x，x3﹣x2+ax+1），又M（﹣1，1），则k MN＝f′（x）＝x2﹣2x+a＝，整理得x3﹣2x+a＝0，由题意可知此方程有三个解，令h（x）＝x3﹣2x+a，∴h'（x）＝2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1），由h'（x）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，由h'（x）＜0解得﹣1＜x＜1，即函数h（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减．要使得h（x）＝0有3个根，则h（﹣1）＞0，且h（1）＜0，解得﹣＜a＜，即a的取值范围为（﹣，）．20．线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑．因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑．（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件A，求P（A）；（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求ξ的分布列及ξ的期望值Eξ．【分析】（1）上午与下午参加的学生只有5种情形有2人，3人，4人，5人，6人，有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，求出样本空间总数为n＝++++＝44100，事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有m＝＝3150，由此能求出P（A）．（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：（1）问题中要做的一件事：10位学生参加在线答疑，样本空间有三种情况：上午与下午均参加，上午参加下午不参加，上午不参加下午参加．而上午与下午参加的学生只有5种情形：有2人，3人，4人，5人，6人，有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，∴样本空间总数为n＝++++＝44100，事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有m＝＝3150，∴P（A）＝＝．（2）用ξ表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6Pξ的期望值Eξ＝＝3.6．21．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号x 1 2 3 4 5 6 数量y（辆） 41 96 116 190 218 275（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x的线性回归方程，并用相关指数R2分析其拟合效果（R2精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差．【分析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求，再求出残差平方和，代入相关指数公式求得R2，根据与1的接近程度分析拟合效果；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9求得y值即可．解：（1），×936＝156．＝＝46，．∴y关于x的线性回归方程为．x＝1时，＝41，x＝2时，＝87，x＝3时，＝133，x＝4时，＝179，x＝5时，＝225，x＝6时，＝271．＝556．≈0.97，相关指数R2近似为0.97，接近1，说明拟合效果较好；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9，可得．故若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划409个停车位．22．已知函数．（1）若时，求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．【分析】（1）将代入函数解析中，求导，即可求得单调区间；（2）若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，即为若x＞1时，不等式f（x）＜f（1）恒成立，转化为求f（x）在（1，+∞）单调递减时a的取值范围，即可求得a的最大值．解：（1）若，则f（x）＝lnx﹣＝lnx﹣+，求导得f′（x）＝﹣﹣＝﹣≤0，∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，即函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（2）因为f（1）＝0，∴若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，即为若x＞1时，不等式f（x）＜f（1）恒成立，只需满足f（x）在（1，+∞）单调递减，即f′（x）≤0，即f′（x）＝﹣＝≤0，令g（x）＝x a+（a﹣1）x﹣a，则g（x）≤0＝g（1）（x＞1）恒成立，即g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1≤0恒成立，若0＜a＜1，g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1在（1，+∞）单调递减，只需满足g'（x）＜g'（1）＝2a﹣1≤0，解得0＜a≤；若a＝1，g（x）＝x﹣1＞0，不合题意；若a＞1，g'（x）＝ax a﹣1+a﹣1在（1，+∞）单调递增，g'（x）＞2a﹣1＞1，不满足g'（x）≤0恒成立，综上，可得若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，则0＜a≤，所以实数a的最大值为．。

2019-2020学年山东省淄博市数学高二下期末考试试题含解析

2019-2020学年山东省淄博市数学高二下期末考试试题含解析

2019-2020学年山东省淄博市数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数12log,01()(1)(3),1x xf xx x x x≤⎧⎪=⎨⎪---⎩＜＞，函数()()g x f x kx=-有3个零点，则k的取值范围是() A．（0，1）B．()0,623-C．()0,623+D．()623,623-+【答案】A【解析】【分析】画出()f x的图像，()()g x f x kx=-有3个零点等价于()f x kx=有3个交点。

【详解】()()g x f x kx=-有3个零点等价于()f x kx=有3个交点记(1)(3())x xh x x---=则过原点作()h x的切线，()()g x f x kx=-有3个零点等价于()f x kx=有3个交点记(1)(3())x xh x x---=则过原点作()h x的切线，设切点为00(,)x y则切线方程为：000()()()y h x h x x x'-=-，又切线过原点，即000()()h x h x x'=，将000(1)(3)()x xh x x---=，2003()38xh xx'-+=-，代入解得2x=，所以切线斜率200(2)3831h x x+'--==所以01k<<【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题，属于中档题。

2．已知三棱锥A BCD-的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，4AB=，5AD=，2BC CD==O的体积为（）A．105πB205πC．5πD105π【答案】B【解析】【分析】根据所给关系可证明BC CD ⊥，即可将三棱锥A BCD -可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥A BCD -的外接球半径，即可得球O 的体积.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BD ⊥，又AB=4，25AD =，所以2BD =，又2BC CD ==，所以222BC CD BD +=，则BC CD ⊥．由此可得三棱锥A BCD -可补形成长方体如下图所示：设长方体的外接球半径为R ， 则()()222222425R =++=，所以球O 的体积为3344205ππ5π33V R ===， 故选:B.【点睛】 本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.3．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ）A ．0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.48 【答案】A【解析】【分析】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，计算出()P A 和()P AB ，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，则()0.8P A =，()()0.6P AB P B ==，因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()()()0.60.750.8P AB P B A P A ===，故选A. 【点睛】 本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．若321()n x x -二项展开式中的系数只有第6项最小，则展开式的常数项的值为（ ） A ．-252B ．-210C ．210D ．10【答案】C【解析】 10n =，3103051101021()(1)rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令30506r r -=⇒=，所以常数项为6641010(1)C C -=210=，故选C ． 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.5．某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（ ）A ．45A 种B ．45C 种 C ．45种D ．54种 【答案】D【解析】【分析】5名乘客选4个车站，每个乘客都有4种选法．【详解】每个乘客都有4种选法，共有54种，选D【点睛】每个乘客独立，且每个乘客都有4种选法6．已知集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则MN =（ ） A ．(2,3]B ．(1,2)C ．(1,3]D ．[2,3]【答案】A【解析】【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则(2,3]MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.7．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 【答案】A【解析】【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】 本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．已知()()21cos f x x x =+-，则不等式()ln 11f x -<的解集为（ ）A ．()0,eB ．()1,+∞C ．()e,+∞D ．()1,e【答案】A【解析】【分析】利用导数判断出()f x 在R 上递增，而()01f =，由此将不等式()ln 11f x -<转化为()()ln 10f x f -<，然后利用单调性列不等式，解不等式求得x 的取值范围.【详解】由()2sin 0f x x '=+>，故函数()f x 在R 上单调递增，又由()02cos01f =-=，故不等式()ln 11f x -<可化为，()()ln 10f x f -<，得ln 10x -<，解得0e x <<．故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.9．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ）A ．349B ．198C ．197D ．350【答案】A【解析】【分析】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ，求出()P A 和()P AB ，即可求得答案.【详解】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ； 则949394936(),()100991009998P A P AB =⨯=⨯⨯ ∴()63(|)()9849P AB P B A P A === 故选：A.【点睛】本题是一道关于条件概率计算的题目，关键是掌握条件概率的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ）A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个【答案】C【解析】先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有3344243248A A +=⨯⨯⨯=个，应选答案C 。

山东省淄博第五中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题 word版无答案

山东省淄博第五中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题 word版无答案

高二年级第二学期第一次模块考试数 学一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1. 设f (x )＝ln(2x ＋1)，则f (x )的导函数f ′(x )＝( )A.12x ＋1B.22x ＋1C.－12x ＋1D.－22x ＋12. 两个等差数列，它们的前n 项和之比为1235-+n n ，则这两个数列的第9项之比是( )A ．35 B ．58 C ．38 D ．473. 函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是( )A.π－1B.π2－1 C.π D.π＋14..已知数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S （a 是既不为0也不为1的常数），那么{}n a （ ）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列5.已知等比数列满足，且，则当时，（ ）A. (21)n n - B. C. 2n D. 6. .若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．27已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为（ ）A ．32 B ．53 C. 94 D ．2568. 设a ＝e ，b ＝πln π，c ＝3ln 3，则a ，b ，c 大小关系是( )A.a <c <bB.b <c <aC.c <b <aD.c <a <b 二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，公差为d ，已知312a =，120S >，70a <，则（ ）{}n a 0,1,2,n a n >= 25252(3)n n a a n -⋅=≥1n ≥2123221log log log n a a a -+++= 2(1)n +2(1)n -A ．560S =B ．742d -<<-C ．60a >D ．0n S <时，n 的最小值为1310.已知()ln x f x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 在1x =处的切线方程为y=x--1D ．()f x 的单调递增区间为(),e +∞11.已知递减的等差数列的前n 项和为n S ，若711S S ＝ ，则（ ）A ．100a >B ．当9n ＝时，n S 最大C ．170S >D ．190S >12.已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．{}n a 为递增数列C ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=三．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(1)(21)n n a n =-⋅-，则数列{}n a 的前21项和21S =___________.14.已知直线x ＋y ＝b 是函数f (x )＝ax ＋2x的图象在点(1，m )处的切线，则a ＋b ＝________15.等比数列中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2=16.若数列{}n a 满足1=1a ，()*114n n n a a n N +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，设21123444n n n S a a a a -=+++⋯+，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得54n n n S a -=______________四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本题满分10分) 已知下列数列{}n a 的前n 项和S n 的公式132+-=n n s n (1)求{}n a 的通项公式;（2）判断该数列是否为等差数列并说明理由。

2020届山东省淄博市高三下学期3月月考数学(文)试题Word版含答案

2020届山东省淄博市高三下学期3月月考数学(文)试题Word版含答案

2020届山东省淄博市高三下学期3月月考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{1,0,1,2},{|lg(1)0}M N x x =-=+>，则M N =IA ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2、已知21z i i =++，则复数z = A ．13i -+ B ．13i - C ．13i -- D ．13i +3、下列命题正确的个数是①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“20,13x R x x ∀∈+≤ ”；②“函数()22cos sin f x ax ax =- 的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立2min max (2)()x x ax ⇔+≥在[1,2]x ∈上恒成立；④“平面向量a r 与b r 的夹角是钝角”的充要条件是0a b ⋅<r r .A ．1B ．2C ．3D ．44、已知函数()sin()(0,0)f x A wx A w ϕ=+>>的图像如图所示，则()f x 的解析式为A ．()2sin()263f x x ππ=++ B ．()13sin()236f x x π=-+ C ．()2sin()366f x x ππ=++ D ．()2sin()363f x x ππ=++ 5、某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如下表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中a 的值的A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.56、已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且当0x ≥时，恒有31()()22f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，()1x f x e =-，则(2016)(2015)f f +-= A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e +7、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是A ．56B ．2C ．52D ．3 8、函数3()x y x x e =-的图象大致是9、已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为A ．43-B ．23-C ．43D ．2310、已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()()2f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 的导函数，e 是自然对数的底数），则(1)(2)f f 的范围为 A ．211(,)2e e B ．211(,)e eC ．(,2)e eD ．3(,)e e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、在ABC ∆中，若点E 满足123,BE EC AE AB AC λλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12λλ+=12、已知0x >，观察下来结果不等式：23414272562,3,4,5,x x x x x x x x+≥+≥+≥+≥L 归纳猜想一般的不等式为13、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为 14、已知,x y 满足23y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是其最小值的2倍，则a =15、点A 是抛物线24x y =的对称轴于准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上，且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，在双曲线的离心率为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）已知函数()223sin sin()2cos 2f x x x x a π=-++的最大值为3.（1）求()f x 的单调增区间和a 的值；（2）把函数()y f x =的图像向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[0,]2π 上的值域.17、（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校的人数；（2）估计该校学生身高在170185cm :之间的概率；（3）从样本中身高在180190cm :之间的男生中任选2人，求至少有1人升高在185190cm :之间的概率.18、（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//,2AB EF AB FE =，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直.（1）证明：//OF 平面BEC ；（2）证明：平面ADF ⊥平面BCF .19、（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为21,8n S a =，且1231,,16S S S +成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，若对任意n N *∈，不等式121212n n c c c S λ+++=+-L 恒成立， 求λ的取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数()2ln (,0,1),x f x a x x a b b R a a e =+--∈>≠为自然对数的底数. （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当1a >时，若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-，求实数a 的取值范围.22、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为6，以(1,0)M 为圆心，椭圆的短半轴为半径的u 圆与直线210x y -+-=相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(3,2)N 和平面内一点(,)(3)P m n m ≠，过点M 任作直线l 与椭圆C 相较于,A B 两点，设直线,,AN NP BN 的斜率分别为123,,k k k ，1323k k k +=，试求,m n 满足的关系式.。

山东省淄博市张店区第五中学2019-2020学年高二数学下学期3月月考试题(含解析)

山东省淄博市张店区第五中学2019-2020学年高二数学下学期3月月考试题(含解析)

山东省淄博市张店区第五中学2019-2020学年高二数学下学期3月月考试题（含解析）一、单选题（9个小题，每小题5分） 1.下列式子不．正确的是（ ） A. ()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+-B.23112ln x x x x '+=-（） C. ()sin 22cos 2x x '= D. 2sin cos sin x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则对各选项逐一验证.【详解】对于A 选项，()()()223cos 3cos 6cos sin x x x x x x x x x x '''+=+=+-，A 选项正确；对于B 选项，23112ln x x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，B 选项正确； 对于C 选项，由复合函数的求导法则得()()sin 2cos 222cos 2x x x x ''=⋅=，C 选项正确；对于D 选项，()22sin sin sin cos sin x x x x x x x x x x x '''⋅--⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选D. 【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是导数的运算法则以及复合函数求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.已知曲线()ln a f x x x=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）A. 2-B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出()1f '，由()31tan 14f π'==可求出a 的值． 【详解】()ln a f x x x =+，()21af x x x'∴=-，由题意可得()311tan14f a π'=-==-，因此，2a =，故选D ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题．3.已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ）A.92B.94C.174D.178【答案】D 【解析】 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f '【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键. 4.“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出a 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】()'sin f x a x =-，当1a >时， ()'0f x >恒成立，即()f x 递增，但当1a =时，()'0f x ≥恒成立， ()f x 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”.故选A ．【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法： ①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②构造命题法：“若p ，则q ”为真命题，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ③数集转化法：p ：x A ∈，q ：x B ∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.5.已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()'>xf x f x ，则下列一定成立的是（ ）A. ()()2019202020202019f f >B. ()()20192020f f > C ()()2019202020202019f f < D. ()()20192020f f <【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()f xg x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.【详解】令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 6.若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为( ) A. [2,)+∞ B. (2,)+∞C. (,2)-∞D. (,2]-∞【答案】B【解析】 【分析】求出()f x 的导数2'1()0x bx f x x-+=<，由其存在单调递减区间可得b 的取值范围.【详解】解：由21()ln 2f x x x bx =+-，可得2'1()(0)x bx f x x x-+=>，由题意可得存在0x ＞，使得2'1()0x bx f x x-+=<，即存在0x >，使得210x bx -+<，等价于1b x x>+，由对勾函数性质易得2b >， 故选B.【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题.7.设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图像不可能为()y f x =的图像是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【详解】()2f x ax b'=+，令()()xg x f x e =则()()()x x g x f x e f x e +''=()(())x f x f x e =+'22(2)[(2)()]x x ax b ax bx c e ax a b x b c e =++++=++++，因为1x =-为函数()g x 的一个极值点，所以1x =-是2(2)()0ax a b x b c ++++=的一个根，即2(2)(1)()0(2)4()0a a b b c a b a b c ++-++=⎧⎨=+-+>⎩于是0a cb =⎧⎨≠⎩，()12f a bc a b -=-+=-，22244(2)(2)b ac b a b a b a =-=-=-+()120f a b -=-=则0=故A 、B 可能；对于D ，()120f a b -=->，0a >，则12ba->-，与图矛盾，不可能，故选D8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. －1＜a ＜2B. －3＜a ＜6C. a ＜－3或a ＞6D. a ＜－1或a ＞2【答案】C 【解析】 【分析】易得()'f x 有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式求解即可. 【详解】由题()2'326f x x ax a =+++有两个不相等的实数根,故()()()244360360a a a a ∆=-⨯+>⇒+->,解得3a <-或6a >.故选：C【点睛】本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.9.已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A. eC.1eD. 1【答案】A 【解析】 【分析】由2112x xx x <可化为1212ln ln x x x x <，设函数()ln x x x =，()21ln 00x f x x e x>⇒'-=<<，可得答案.【详解】解：2112x x x x <即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln x f x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00xf x x e x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e . 故选A .【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出()ln xx x=后求导是解题的关键.二、多选题（3个小题，每小题5分）10.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n=B. 数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C. 数列{}n a 为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 11.的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A. 111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B. 11290F B A ∠=︒C. 1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD. 四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD 【解析】 【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解．【详解】解：2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误； 对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e =（舍去）满足条件 故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得232e +=（舍去）或232e =e ∴=故D 正确 故选：BD【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.12.过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A. 以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B. 以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C. 当2AF FB =时，92AB = D. AB 的最小值为4【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.【详解】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误.对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B a a ⎛⎫-⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a =++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题. 三.填空题13.函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列命题正确的有______.①()1,0-为函数()y f x =的单调递增区间； ②()3,5为函数()y f x =的单调递减区间； ③函数()y f x =在0x =处取得极大值； ④函数()y f x =在5x =处取得极小值. 【答案】②④【解析】 【分析】由导函数图象可知()1,3-为()f x 的单调递增区间，()3,5为()f x 的单调递减区间，可知①错误，②正确；由()00f '≠可知③错误；根据()50f '=且在5x =处函数单调性发生变化，由极小值定义可确定④正确.【详解】①当()1,3x ∈-时，由图象知()0f x '>，可知()f x 的一个单调递增区间为()1,3-()f x 在()1,0-上单调递增，但()1,0-并非完整的单调递增区间，①错误；②当()3,5x ∈时，由图象知()0f x '<，可知()f x 的一个单调递减区间为()3,5，②正确； ③由图象知()00f '≠ 0x ∴=不是()f x 的极值点，③错误； ④由图像知()50f '=，且在()3,5上()0f x '<，在()5,+∞上()0f x '>即()f x 在()3,5上单调递减，在()5,+∞上单调递增 5x ∴=是()f x 的极小值点. 故答案为：②④【点睛】本题考查根据导函数图象研究原函数的性质，涉及到单调区间的判断、极值点的确定等知识；关键是能够熟练掌握导函数与原函数单调性之间的关系以及极值点的定义. 14.函数()321f x x x =--的图象在点()()0,0f 处的切线方程为________.【答案】10x y ++= 【解析】 【分析】求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可. 【详解】由题知()261f x x '=-，()01f '∴=-，又()01f =-，所以函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x +=-,即10x y ++=.故答案为：10x y ++=.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题.15.对于函数()f x ，将满足()00f x x =的实数0x 称为()f x 的不动点.若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是_________ 【答案】()10,1e e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由题可知()log a f x x =与y x =有且仅有一个公共点,分01a <<与1a >两种情况分别讨论求解即可.【详解】由题()log a f x x =与y x =仅有一个公共点. ①当01a <<时,根据函数图像的性质易得显然成立.②当1a >时, ()log a f x x =与y x =相切.设切点为(),m m ,则1'()ln f x x a=. 故111ln 1ln log m m e a m e a m a a m a e m m⎧=⎧⎧==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎩,即1e a e =. 综上, a 的取值范围是01a <<或1e a e =. 故答案：()10,1ee ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解参数范围的问题.需要根据题意分两种情况进行求解,同时也考查了直线与函数相切时的求解方法.属于中档题.16.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x -<'，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是_________ 【答案】()(),20,2-∞-【解析】 【分析】根据2()()0xf x f x x -<'构造函数()()f x g x x=,分析()g x 的单调性,得出正负区间再求解即可.【详解】构造函数()()f x g x x=,因为当0x >时,()2()(')0xf x f x x x g =-<',故当0x >时()g x 为减函数.又定义在R 上的函数()f x 是奇函数,故()()f xg x x=为偶函数.故()()f xg x x=在当0x <时为增函数.又(2)0f =,故()()220g g =-=. 画出()()f xg x x=简图如图所示.又2()0x f x ⋅>即()0f x >,()0x ≠.故当0x <时, ()()0f x g x x=<,此时(),2x ∈-∞-. 当0x >时, ()()0f x g x x=>,此时()0,2x ∈. 故2()0x f x ⋅>的解集为()(),20,2-∞-.故答案为：()(),20,2-∞-【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解抽象函数的不等式的解集.需要根据题意确定构造的函数性质,属于中档题.四、解答题(共6个大题，第17题10分，其他5个大题每个题12分) 17.已知函数()32322,,12f x x x x x ⎡⎤=+++∈-⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）最大值为6，最小值为138. 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0，结合已知函数定义域求得原函数的单调区间；（2）求出函数在[﹣2，1]两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案．【详解】（1） f′(x)＝3x 2＋4x ＋1＝3(x ＋13)(x ＋1)．由f′(x)>0，得x<－1或x>－13； 由f′(x)<0，得－1<x<－13.因此，函数f(x)在[－32，1]上的单调递增区间为[－32，－1]，[－13，1]，单调递减区间为[－1，－13]．（2）f(x)在x ＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x ＝－13处取得极小值为f(－13)＝5027. 又∵f(－32)＝138，f(1)＝6，且5027>138，∴f(x)在[－32，1]上的最大值为f(1)＝6，最小值为f 31328⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．18.如图，三棱锥D-ABC 中，2,AB AC ==23,BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角D-CE-F 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 37028-.【解析】 【分析】（1）取BC 的中点G ，可得BC AG ⊥，BC DG ⊥，从而得到BC ⊥平面DAG ，得到BC DA ⊥，由DA EF ∥，EF CF ⊥，得到DA CF ⊥，从而得到DA ⊥平面ABC ，所以平面DAB ⊥平面ABC ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到120BAC ︒∠=，5DA =，得到DCE 的法向量1n ，平面FCE 的法向量2n ，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角D CE F --的余弦值 【详解】（1）如图取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，因为2AB AC ==，所以BC AG ⊥， 因为DB DC =，所以BC DG ⊥， 又因为AGDG G =，所以BC ⊥平面DAG ，DA ⊂平面DAG所以BC DA ⊥.因为E ，F 分别为DB ，AB 的中点，所以DA EF ∥. 因为90EFC ︒∠=，即EF CF ⊥， 则DA CF ⊥ 又因为BCCF C =，所以DA ⊥平面ABC ， 又因为DA ⊂平面DAB ， 所以平面DAB ⊥平面ABC .（2）因为DA ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点，过点A 与AC 垂直的直线为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系.因为2,AB AC ==3,BC =3DB DC ==， 在ABC ∆中，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅4412222+-=⨯⨯12=-， 所以120BAC ︒∠=.在Rt DAB ∆中，2232DA =-5=所以点(0,0,0)A ，5),D (0,2,0),C 3,1,0)B -，315,2E -⎝⎭31,02F ⎫-⎪⎪⎝⎭. 设平面DCE 的法向量为()1111,,,n x y z =(0,2,5),DC =315,2DE ⎛=- ⎝⎭.所以1100DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112503150222y z x y z ⎧-=--=⎩， 可取1(15,5,2)n =.设平面FCE 的法向量为()2222,,,n x y z =35,0,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭50,0,2FE ⎛= ⎝⎭. 所以2200FC n FE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2223502250x y z ⎧-+=⎪⎪=，可取2(5,3,0)n =，则12cos ,n n <>==因为二面角D CE F --为钝二面角，所以二面角D CE F --的余弦值为. 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.19.已知函数f (x )＝32(1)ln (1)x ax bx x c x x ⎧-++<⎨≥⎩的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为16x＋y ＋20＝0.（1）求实数a 、b 的值；（2）求函数f (x )在区间[－1，2]上的最大值；【答案】(1)1,0a b ==;(2)当2ln 2c ≤时,()f x 在[]1,2-上的最大值为2；当2ln 2c >时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c .【解析】 【分析】(1)利用函数图象在点()()2,2f --处的切线方程为16200x y ++=,结合导数的几何意义列出关于,a b 的关系式再求解即可.(2)根据分段函数,分类讨论c 的范围,利用函数的单调性,即可求()f x 在[]1,2-上的最大值； 【详解】(1)当1x <时,()2'32f x x ax b =-++,因为函数图象在点()()2,2f --处的切线方程为16200x y ++=,所以切点坐标为()2,12-，所以()()284212'212416f a b f a b ⎧-=+-=⎪⎨-=--+=-⎪⎩,解得1,0a b ==；(2)由(1)得,当1x <时,()32f x x x =-+,令()2'320f x x x =-+=可得0x =或23x =,故函数在()1,0-和2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. ∴1x <时,()f x 的最大值为()()2max 1,123f f f ⎧⎫⎛⎫-=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；当12x ≤≤时,()ln f x c x =.当0c ≤时,ln 0c x ≤恒成立, ()02f x ≤<,此时()f x 在[]1,2-上的最大值为()12f -=； 当0c >时,()f x 在[]1,2-上单调递增,且()2ln 2f c = 令ln 22c =,则2ln 2c =, ∴当2ln 2c >时,()f x 在[]1,2-上的最大值为()2ln 2f c =； 当02ln 2c <≤时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为()12f -= 综上,当2ln 2c ≤时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为2,当2ln 2c >时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解参数的问题,同时也考查了分类讨论分析函数的最值问题等.属于中档题.20.在正项等比数列{}n a 中，已知133510,40a a a a +=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S . 【答案】（1）2nn a =；（2）5050.【解析】 【分析】（1）根据题意，求得首项1a 和公比q ，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）求得2log n n b a n ==，写出数列{}2(1)n n b -的前100项的和，即可求解.【详解】（1）设公比为q ，则由题意可知21221(1)10(1)40a q a q q ⎧+=⎨+=⎩ 又0q >，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以112n nn a a q -==.（2）由（1）可得22log log 2nn n b a n ===，则数列{}2(1)n nb -的前100项的和()()()222222222222100123499100123499100S b b b b b b =-+-+--+=-++-+-+-+3711195199=++++50(3199)50502+==.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知函数()2(ln )x e f x x x x =--，向量(),e xx =a ，(sin ,cos )x x =-b ，函数()g x a b =⋅.（1）求()f x 的极值；（2）判断()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数.【答案】(1) ()f x 的极小值为2e -,无极大值；(2) ()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内有一个零点【解析】 【分析】(1)利用导数研究函数()f x 的单调性,由此可求得()f x 的极值.(2)求出()g x 的解析式,利用导数判断函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调性,结合零点存在性定理即可判断出函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数.【详解】(1)函数()2(ln )xe f x x x x=--的定义域为()0,∞+,()()()()222211212'()2x xx x e x x e x x xe e f x x x x x x -----=-+=-=,令()()20xx e x x ϕ=->,则()'2xx e ϕ=-,令()'2ln 2xx e x ϕ=-⇒=,令()'0x ϕ>得ln 2x >,令()'0x ϕ<有0ln 2x <<,所以函数()y x ϕ=在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增. 所以()()ln 222ln 20x ϕϕ≥=->.故当()'0f x >时解得1x >,当()'0f x <时解得01x <<, 所以,函数()y f x =()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增.故()y f x =的极小值为()12f e =-,无极大值. (2) ()sin cos x g x a b x x e x =⋅=-+,故()()'()sin cos cos sin cos 1sin xxxxg x x x x e x e x e x x e x =--+-=--+, 当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,0x e x ->, 10x e +>,所以()cos 0x e x x ->,()1sin 0xe x +<,故'()0g x >,所以函数()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,又因为()010,022g g ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭,故()g x 在,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内有一个零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值的问题.同时也考查了利用导数与三角函数的性质以及零点存在性定理判断函数的零点个数问题.属于难题.22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与E 交于A ，B 两点.当l 过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =. （1）求椭圆E 的方程.（2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程； （2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AF k c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =.所以椭圆E 的方程为22154x y +=. （2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q .理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程组2229154y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ， 整理得22201600(45)0981k k x x +--=， 所以122209(45)k x x k +=+，122160081(45)x x k =-+， 所以12122416()99(45)y y k x x k +=+-=-+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k -=-++=+， 以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ，即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=，令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++-=++， 解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=-+， 所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B -，此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=.显然过点(0,2)．综上可知，以AB为直径的圆过定点(0,2)．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．。

山东省淄博市2019-2020学年数学高二下学期理数第一次月考模拟卷B卷

山东省淄博市2019-2020学年数学高二下学期理数第一次月考模拟卷B卷

山东省淄博市2019-2020学年数学高二下学期理数第一次月考模拟卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分） (2016高一下·霍邱期中) 某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为（）A . h＜4.5B . h＞4.5C . h≤4.5D . h≥4.52. （2分）等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝（）A . 12B . 14C . 16D . 183. （2分） (2018高三上·广东月考) 若复数满足(其中为虚数单位)，则z=（）A .B .C .D .4. （2分）曲线与直线围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .5. （2分）有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥ ”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误6. （2分）(2017·凉山模拟) 设函数f（x）=8lnx+15x﹣x2 ，数列{an}满足an=f（n），n∈N+ ，数列{an}的前n项和Sn最大时，n=（）A . 15B . 16C . 17D . 187. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，则（）.A .B .C .D . a与b的大小关系不能确定8. （2分） (2016高二上·友谊开学考) 若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A . 1B .C .D . ﹣39. （2分）已知直线l，m，平面α，β满足l⊥α，m⊂β，则“l⊥m”是“α∥β”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为（）A .B .C . （x﹣1）2+y2=1D . x2+（y﹣1）2=111. （2分） (2019高三上·西湖期中) 已知数列满足，，若，设数列的前项和为，则使得最小的整数的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分）(2017·天津) 已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．13. （1分）从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．14. （1分） (2018高二上·南阳月考) 已知为椭圆上的点，O 为原点，则的取值范围是________．15. （1分） (2016高二上·河北期中) 若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的范围________．三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分）(2017高三上·湖南月考) 已知锐角的三个内角、、满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围．17. （10分）如图在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E为PA的中点．（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；（2）求点E到平面PBC的距离；（3）求二面角A﹣EB﹣D的正切值．18. （10分）(2017·贵港模拟) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）求证：{ + }为等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）• •an，求数列{bn}的前n项和Tn．19. （10分）(2019·河南模拟) 已知动点到定点和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于、两点，直线：与曲线交于、两点，与相交于一点（交点位于线段上，且与、不重合）.（1）求曲线的方程；（2）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.20. （5分） (2018高二上·无锡期末) 已知函数（a为实数）.（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数a的值；（2）若，求函数在区间上的值域；（3）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围．21. （5分） (2018高二下·南宁月考) 在数列中，，，求、、的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、。

山东省淄博市高青一中教学II部2020学年高二数学下学期第三次月考试题(无答案)文

山东省淄博市高青一中教学II部2020学年高二数学下学期第三次月考试题(无答案)文

2020级月考数学试题一.选择题（本题共50分）1．集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-≤<，那么A B =U （ ）（A ）{|23}x x -<< （B ）{|-12}x x ≤<（C ）{|21}x x -<≤ （D ）{|-23}x x <<2．“xy ＞0”是“|x +y |=|x |+|y |”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．已知集合{|27}A x x =-<<，{}=+1<<2-1B x m x m ，且∅≠B ，若A B A =Y ，则（ ）（A ）－3≤m ≤4 （B ）－3<<m 4 （C ）42<<m （D ）m <2≤44．设集合=M {1|-x ≤<x 2}，=N {x x |≤a }，若∅≠N M I ，则a 的取值范围是（ ）（A ）（－∞，2）（B ）（－1，+∞） （C ）[－1，+∞） （D ）[－1，1]5．命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）06、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x > 7、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)8、已知)2(log ax y a -=(01)a a >≠且在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞］9、若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有（ ）A 、(2)(3)(0)f f g <<B 、(2)(3)(0)f f g >>C 、(2)(0)(3)f g f <<D 、(0)(2)(3)g f f <<10．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或C ．{}|33x x x <->或D ．{}|3003x x x -<<<<或二、填空题(本题共25分)11．已知集合=A {1，2}，集合B 满足=B A Y {1，2}，则这样的集合B 有 个．12．若不等式20x x m +->的解集为{x x<-3或x>2}，则m = .13．设集合{5,(1)}A a =+，集合{,}B a b =．若{2}A B =I ，则A B =U .14、设g(x)为R 上不恒等于0的奇函数，11()()1x f x g x a b ⎛⎫=+⋅⎪-⎝⎭(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则常数b 的值为 _______． 15.设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意t R ∈都有()(1)f t f t =-，且1[0,]2x ∈时，2()f x x =-，则3(3)()2f f +-的值等于_______．．三、解答题(本大题共6小题，共75分.)16. (本小题满分12分)已知集合{}221,1,3A a a =-+-,{}4,1,1B a a =--+,且{}2A B ⋂=-，求a 的值.17、(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；18．(本小题满分12分)设集合}2|||{<-=a x x A ，}1212|{<+-=x x x B ，且B A ⊆，求实数a 的取值范围．19.(本小题满分12分)设p:实数x 满足22-4+3x ax a <0,其中a <0；q:实数x 满足x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0,且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求a 的取值范围.20．(本小题满分13分)已知m ∈R ，对p ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立；q ：函数f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点.求使“p 且q ”为真命题的实数m 的取值范围．21、(本小题满分14分) 已知函数221,1x c f c X -⎧⎪⎨⎪+≤<⎩cx+1,0<x<c （x)= ， 满足29()8f c = (1)求常数c 的值；(2)解不等式()f x 28＋1.高二数学月考答题纸二．填空题11． ． 12. ．13. ． 14. ． 15. ．三、解答题：16.。

山东省淄博临淄中学2020学年高二数学3月月考试题

山东省淄博临淄中学2020学年高二数学3月月考试题

山东省淄博临淄中学2020学年高二数学3月月考试题卷Ⅰ请把正确答案涂到答题纸的相应位置一、 选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） 1、在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、复数31i i--等于（ ）.A 、i 21+B 、12i -C 、2i +D 、2i - 3、设f (x )存在导函数，且满足＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 4、曲线在处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( ).A ．1B ．C ．D ．5、设，则)2('πf （ ）A ．B ．C ．1D ．6、函数()22ln f x x x =-的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7、设，若3)(0'=x f ，则=（ ）A ．B ．C ．D ．8、有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有（ ）种 A ．25B ．52C ．35D ．539、已知函数，，则的单调增区间是( )A ．B ．C ．D ．10、函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）A B CD11、将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种 12、已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的是 A ．函数的值域与的值域相同B ．若是函数的极值点，则是函数的零点C ． 函数和在区间上都是增函数D ．把函数的图像向右平移个单位，就可以得到函数的图像卷Ⅱ请把正确答案用中性笔写到答题纸的相应位置 二、填空题（每个5分，共20分） 13、已知函数x x x f 3)(3-=，则函数单调递减区间是_______．14、已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于____． 15、函数y ＝的导函数为________________．16、已知函数()()323321fx x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．三、解答题（共六个大题，70分）1 2 3 3 1 2 23117、（10分）已知函数2)1()(x e x k x f x +-=（1）求导函数f′（x ）； （2）当k=e1-时，求函数f （x ）在点（1，1）处的切线方程.18、（12分）已知z 是复数，z+2i 、iz-2均为实数，（1）求复数z （2）若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。

山东省淄博市张店区实验中学2020-2021学年高二数学理月考试卷含解析

山东省淄博市张店区实验中学2020-2021学年高二数学理月考试卷含解析

山东省淄博市张店区实验中学2020-2021学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，则（）A. 14B. 15C. 16D. 17参考答案：B2. 若实数满足则的取值范围是（）A. B.[ C. D.参考答案：B3. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f （x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确参考答案：A【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．4. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．5. 曲线在点(1,1)处的切线方程是（）A．或B．C．或D．参考答案：B切线方程是选B6. 过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条参考答案：C【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据直线截距的意义即可得到结论．【解答】解：若直线过原点，则满足条件，此时设直线方程为y=kx，则4=﹣2k，解得k=﹣2，此时直线为y=﹣2x，若直线不经过原点，则设直线的截距式方程为，∵直线过点（﹣2，4，），∴，∵|a|=|b|，∴a=b或a=﹣b，若a=b，则方程等价为，解得a=b=2，此时直线方程为x+y=2，若a=﹣b，则方程等价为，解得b=6，a=﹣6，此时直线方程为x﹣y=﹣6，故满足条件的直线有3条，故选：C【点评】本题主要考查直线截距式方程的应用，注意要进行分类讨论．7. 长方体有共同顶点的三条棱长分别为1，2，3，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球体的表面积为（）（）A． B． C． D．参考答案：C8. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )参考答案：C 略9. p：m＞﹣3，q：方程+=1表示的曲线是椭圆，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程+=1表示的曲线是椭圆充要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若方程+=1表示的曲线是椭圆，则，解得：m＞1，故q：m＞1，则p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了集合的包含关系，考查椭圆的定义，是一道基础题．10. 将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①⊥；②△是等边三角形；③与平面所成的角为60°；④与所成的角为60°．其中错误的结论是-----------------------------------------------------------------（）A．① B．② C．③ D．④参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ①的最小值为6；②当a＞0，b＞0时，；③最大值为；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．以上命题是真命题的是．参考答案：②③【考点】基本不等式．【分析】①取x=﹣1时，=﹣2＜6，即可判断出真假；②当a＞0，b＞0时，两次利用基本不等式的性质即可判断出真假；③，可得y=≤=，即可判断出真假；④当且仅当0时，恒成立，即可判断出真假．【解答】解：①取x=﹣1时，=﹣2＜6，因此是假命题；②当a＞0，b＞0时，≥4，当且仅当a=b＞0时取等号，是真命题；③，∴y=≤=，当且仅当x=时取等号．因此其最大值为，是真命题；④当且仅当0时，恒成立，因此是假命题．以上命题是真命题的是②③．故答案为：②③．12. F1 F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则= _________.参考答案：略13. 函数的图像在点）处的切线与轴的交点的横坐标为（）若，则=参考答案：14. 设函数的图象关于直线对称，则实数的值为_______参考答案：略15. 椭圆经过点且长轴是短轴的倍，则椭圆的标准方程是 ___________。

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淄博五中高二数学月考试题一、单选题（9个小题，每小题5分）1.下列式子不．正确的是（ ） A. ()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+-B.23112ln x x x x '+=-（） C. ()sin 22cos 2x x '= D. 2sin cos sin x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则对各选项逐一验证.【详解】对于A 选项，()()()223cos 3cos 6cos sin x x x x x x x x x x '''+=+=+-，A 选项正确；对于B 选项，23112ln x x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，B 选项正确； 对于C 选项，由复合函数的求导法则得()()sin 2cos 222cos 2x x x x ''=⋅=，C 选项正确；对于D 选项，()22sin sin sin cos sin x x x x x x x x x x x '''⋅--⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选D. 【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是导数的运算法则以及复合函数求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.已知曲线()ln a f x x x=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）A. 2-B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出()1f '，由()31tan14f π'==可求出a 的值． 【详解】()ln a f x x x =+，()21af x x x'∴=-，由题意可得()311tan 14f a π'=-==-，因此，2a =，故选D ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题．3.已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ）A.92B.94C.174D.178【答案】D 【解析】 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f '【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键. 4.“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出a 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】()'sin f x a x =-，当1a >时， ()'0f x >恒成立，即()f x 递增，但当1a =时，()'0f x ≥恒成立， ()f x 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”.故选A ．【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法： ①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②构造命题法：“若p ，则q ”为真命题，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ③数集转化法：p ：x A ∈，q ：x B ∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.5.已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()'>xf x f x ，则下列一定成立的是（ ）A. ()()2019202020202019f f >B. ()()20192020f f > C ()()2019202020202019f f < D. ()()20192020f f <【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()f xg x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.【详解】令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 6.若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为( ) A. [2,)+∞ B. (2,)+∞C. (,2)-∞D. (,2]-∞【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 的导数2'1()0x bx f x x-+=<，由其存在单调递减区间可得b 的取值范围.【详解】解：由21()ln 2f x x x bx =+-，可得2'1()(0)x bx f x x x-+=>，由题意可得存在0x ＞，使得2'1()0x bx f x x-+=<，即存在0x >，使得210x bx -+<，等价于1b x x>+，由对勾函数性质易得2b >， 故选B.【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题.7.设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图像不可能为()y f x =的图像是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【详解】()2f x ax b'=+，令()()xg x f x e =则()()()x x g x f x e f x e +''=()(())x f x f x e =+'22(2)[(2)()]x x ax b ax bx c e ax a b x b c e =++++=++++，因为1x =-为函数()g x 的一个极值点，所以1x =-是2(2)()0ax a b x b c ++++=的一个根，即2(2)(1)()0(2)4()0a a b b c a b a b c ++-++=⎧⎨=+-+>⎩于是0a cb =⎧⎨≠⎩，()12f a bc a b -=-+=-，22244(2)(2)b ac b a b a b a =-=-=-+()120f a b -=-=则0=故A 、B 可能；对于D ，()120f a b -=->，0a >，则12ba->-，与图矛盾，不可能，故选D8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. －1＜a ＜2 B. －3＜a ＜6C. a ＜－3或a ＞6D. a ＜－1或a ＞2【答案】C 【解析】 【分析】易得()'f x 有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式求解即可. 【详解】由题()2'326f x x ax a =+++有两个不相等的实数根,故()()()244360360a a a a ∆=-⨯+>⇒+->,解得3a <-或6a >.故选：C【点睛】本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.9.已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A. eB.C.1eD. 1【答案】A 【解析】 【分析】由2112x xx x <可化为1212ln ln x x x x <，设函数()ln x x x =，()21ln 00x f x x e x>⇒'-=<<，可得答案.【详解】解：2112x x x x <即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln x f x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00xf x x e x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e . 故选A .【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出()ln xx x=后求导是解题的关键.二、多选题（3个小题，每小题5分）10.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n=B. 数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C. 数列{}n a 为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 11.的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A. 111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B. 11290F B A ∠=︒C. 1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD. 四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD 【解析】 【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解．【详解】解：2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误； 对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e =（舍去）满足条件 故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得232e +=（舍去）或232e =e ∴=故D 正确 故选：BD【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.12.过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ） A. 以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B. 以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C. 当2AF FB =时，92AB =D. AB 的最小值为4【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.【详解】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误.对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫-⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题.三.填空题13.函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列命题正确的有______.①()1,0-为函数()y f x =的单调递增区间； ②()3,5为函数()y f x =的单调递减区间； ③函数()y f x =在0x =处取得极大值； ④函数()y f x =在5x =处取得极小值. 【答案】②④ 【解析】【分析】由导函数图象可知()1,3-为()f x 的单调递增区间，()3,5为()f x 的单调递减区间，可知①错误，②正确；由()00f '≠可知③错误；根据()50f '=且在5x =处函数单调性发生变化，由极小值定义可确定④正确.【详解】①当()1,3x ∈-时，由图象知()0f x '>，可知()f x 的一个单调递增区间为()1,3-()f x 在()1,0-上单调递增，但()1,0-并非完整的单调递增区间，①错误；②当()3,5x ∈时，由图象知()0f x '<，可知()f x 的一个单调递减区间为()3,5，②正确； ③由图象知()00f '≠ 0x ∴=不是()f x 的极值点，③错误； ④由图像知()50f '=，且在()3,5上()0f x '<，在()5,+∞上()0f x '>即()f x 在()3,5上单调递减，在()5,+∞上单调递增 5x ∴=是()f x 的极小值点. 故答案为：②④【点睛】本题考查根据导函数图象研究原函数的性质，涉及到单调区间的判断、极值点的确定等知识；关键是能够熟练掌握导函数与原函数单调性之间的关系以及极值点的定义. 14.函数()321f x x x =--的图象在点()()0,0f 处的切线方程为________.【答案】10x y ++= 【解析】 【分析】求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可.【详解】由题知()261f x x '=-，()01f '∴=-，又()01f =-，所以函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x +=-,即10x y ++=.故答案为：10x y ++=.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题. 15.对于函数()f x ，将满足()00f x x =的实数0x 称为()f x 的不动点.若函数()log a f x x=（0a >且1a ≠）有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是_________ 【答案】()10,1e e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由题可知()log a f x x =与y x =有且仅有一个公共点,分01a <<与1a >两种情况分别讨论求解即可.【详解】由题()log a f x x =与y x =仅有一个公共点. ①当01a <<时,根据函数图像的性质易得显然成立.②当1a >时, ()log a f x x =与y x =相切.设切点为(),m m ,则1'()ln f x x a=. 故111ln 1ln log m m e a m e a m a a m a e m m⎧=⎧⎧==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎩,即1e a e =. 综上, a 的取值范围是01a <<或1e a e =. 故答案：()10,1ee ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解参数范围的问题.需要根据题意分两种情况进行求解,同时也考查了直线与函数相切时的求解方法.属于中档题.16.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x-<'，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是_________ 【答案】()(),20,2-∞-【解析】 【分析】 根据2()()0xf x f x x -<'构造函数()()f x g x x=,分析()g x 的单调性,得出正负区间再求解即可.【详解】构造函数()()f x g x x=,因为当0x >时,()2()(')0xf x f x x x g =-<',故当0x >时()g x 为减函数.又定义在R 上的函数()f x 是奇函数,故()()f xg x x=为偶函数.故()()f xg x x=在当0x <时为增函数.又(2)0f =,故()()220g g =-=. 画出()()f xg x x=简图如图所示.又2()0x f x ⋅>即()0f x >,()0x ≠.故当0x <时, ()()0f x g x x=<,此时(),2x ∈-∞-. 当0x >时, ()()0f x g x x=>,此时()0,2x ∈. 故2()0x f x ⋅>的解集为()(),20,2-∞-.故答案为：()(),20,2-∞-【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解抽象函数的不等式的解集.需要根据题意确定构造的函数性质,属于中档题.四、解答题(共6个大题，第17题10分，其他5个大题每个题12分)17.已知函数()32322,,12f x x x x x ⎡⎤=+++∈-⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）最大值为6，最小值为138. 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0，结合已知函数定义域求得原函数的单调区间；（2）求出函数在[﹣2，1]两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案．【详解】（1） f′(x)＝3x 2＋4x ＋1＝3(x ＋13)(x ＋1)．由f′(x)>0，得x<－1或x>－13； 由f′(x)<0，得－1<x<－13.因此，函数f(x)在[－32，1]上的单调递增区间为[－32，－1]，[－13，1]，单调递减区间为[－1，－13]．（2）f(x)在x ＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x ＝－13处取得极小值为f(－13)＝5027. 又∵f(－32)＝138，f(1)＝6，且5027>138，∴f(x)在[－32，1]上的最大值为f(1)＝6，最小值为f 31328⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．18.如图，三棱锥D-ABC 中，2,AB AC ==23,BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角D-CE-F 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 37028-.【解析】 【分析】（1）取BC 的中点G ，可得BC AG ⊥，BC DG ⊥，从而得到BC ⊥平面DAG ，得到BC DA ⊥，由DA EF ∥，EF CF ⊥，得到DA CF ⊥，从而得到DA ⊥平面ABC ，所以平面DAB ⊥平面ABC ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到120BAC ︒∠=，5DA =，得到DCE 的法向量1n ，平面FCE 的法向量2n ，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角D CE F --的余弦值 【详解】（1）如图取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，因为2AB AC ==，所以BC AG ⊥， 因为DB DC =，所以BC DG ⊥， 又因为AGDG G =，所以BC ⊥平面DAG ，DA ⊂平面DAG所以BC DA ⊥.因为E ，F 分别为DB ，AB 的中点，所以DA EF ∥. 因为90EFC ︒∠=，即EF CF ⊥， 则DA CF ⊥ 又因为BCCF C =，所以DA ⊥平面ABC ， 又因为DA ⊂平面DAB ， 所以平面DAB ⊥平面ABC .（2）因为DA ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点，过点A 与AC 垂直的直线为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系.因为2,AB AC ==3,BC =3DB DC ==， 在ABC ∆中，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅4412222+-=⨯⨯12=-， 所以120BAC ︒∠=.在Rt DAB ∆中，2232DA =-5=所以点(0,0,0)A ，5),D (0,2,0),C 3,1,0)B -，315,2E -⎝⎭31,02F ⎫-⎪⎪⎝⎭. 设平面DCE 的法向量为()1111,,,n x y z =(0,2,5),DC =315,2DE ⎛=- ⎝⎭.所以1100DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112503150222y z x y z ⎧-=--=⎩， 可取1(15,5,2)n =.设平面FCE 的法向量为()2222,,,n x y z =35,0,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭50,0,2FE ⎛= ⎝⎭. 所以2200FC n FE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2223502250x y z ⎧-+=⎪⎪=，可取2(5,3,0)n =，则12cos ,n n <>==因为二面角D CE F --为钝二面角，所以二面角D CE F --的余弦值为. 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.19.已知函数f (x )＝32(1)ln (1)x ax bx x c x x ⎧-++<⎨≥⎩的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为16x ＋y ＋20＝0.（1）求实数a 、b 的值；（2）求函数f (x )在区间[－1，2]上的最大值；【答案】(1)1,0a b ==;(2)当2ln 2c ≤时,()f x 在[]1,2-上的最大值为2；当2ln 2c >时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c .【解析】 【分析】(1)利用函数图象在点()()2,2f --处的切线方程为16200x y ++=,结合导数的几何意义列出关于,a b 的关系式再求解即可.(2)根据分段函数,分类讨论c 的范围,利用函数的单调性,即可求()f x 在[]1,2-上的最大值； 【详解】(1)当1x <时,()2'32f x x ax b =-++,因为函数图象在点()()2,2f --处的切线方程为16200x y ++=,所以切点坐标为()2,12-，所以()()284212'212416f a b f a b ⎧-=+-=⎪⎨-=--+=-⎪⎩,解得1,0a b ==； (2)由(1)得,当1x <时,()32f x x x =-+,令()2'320f x x x =-+=可得0x =或23x =,故函数在()1,0-和2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. ∴1x <时,()f x 的最大值为()()2max 1,123f f f ⎧⎫⎛⎫-=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；当12x ≤≤时,()ln f x c x =.当0c ≤时,ln 0c x ≤恒成立, ()02f x ≤<,此时()f x 在[]1,2-上的最大值为()12f -=； 当0c >时,()f x 在[]1,2-上单调递增,且()2ln 2f c = 令ln 22c =,则2ln 2c =, ∴当2ln 2c >时,()f x 在[]1,2-上的最大值为()2ln 2f c =； 当02ln 2c <≤时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为()12f -= 综上,当2ln 2c ≤时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为2,当2ln 2c >时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解参数的问题,同时也考查了分类讨论分析函数的最值问题等.属于中档题.20.在正项等比数列{}n a 中，已知133510,40a a a a +=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S . 【答案】（1）2nn a =；（2）5050.【解析】 【分析】（1）根据题意，求得首项1a 和公比q ，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）求得2log n n b a n ==，写出数列{}2(1)n n b -的前100项的和，即可求解.【详解】（1）设公比为q ，则由题意可知21221(1)10(1)40a q a q q ⎧+=⎨+=⎩ 又0q >，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以112n nn a a q -==.（2）由（1）可得22log log 2nn n b a n ===，则数列{}2(1)n nb -的前100项的和()()()222222222222100123499100123499100S b b b b b b =-+-+--+=-++-+-+-+3711195199=++++50(3199)50502+==.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知函数()2(ln )x e f x x x x=--，向量(),e xx =a ，(sin ,cos )x x =-b ，函数()g x a b =⋅. （1）求()f x 的极值；（2）判断()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数.【答案】(1) ()f x 的极小值为2e -,无极大值；(2) ()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内有一个零点【解析】 【分析】(1)利用导数研究函数()f x 的单调性,由此可求得()f x 的极值.(2)求出()g x 的解析式,利用导数判断函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调性,结合零点存在性定理即可判断出函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数.【详解】(1)函数()2(ln )xe f x x x x=--的定义域为()0,∞+,()()()()222211212'()2x xx x e x x e x x xe e f x x x x x x -----=-+=-=,令()()20xx e x x ϕ=->,则()'2xx e ϕ=-,令()'2ln 2xx e x ϕ=-⇒=,令()'0x ϕ>得ln 2x >,令()'0x ϕ<有0ln 2x <<,所以函数()y x ϕ=在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增. 所以()()ln 222ln 20x ϕϕ≥=->.故当()'0f x >时解得1x >,当()'0f x <时解得01x <<, 所以,函数()y f x =()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增.故()y f x =的极小值为()12f e =-,无极大值. (2) ()sin cos x g x a b x x e x =⋅=-+,故()()'()sin cos cos sin cos 1sin xxxxg x x x x e x e x e x x e x =--+-=--+, 当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,0x e x ->, 10x e +>,所以()cos 0x e x x ->,()1sin 0xe x +<,故'()0g x >,所以函数()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,又因为()010,022g g ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭,故()g x 在,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内有一个零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值的问题.同时也考查了利用导数与三角函数的性质以及零点存在性定理判断函数的零点个数问题.属于难题.22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与E 交于A ，B 两点.当l 过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =. （1）求椭圆E 的方程.（2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程； （2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AF k c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =所以椭圆E 的方程为22154x y +=. （2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q .理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程组2229154y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ， 整理得22201600(45)0981k k x x +--=， 所以122209(45)k x x k +=+，122160081(45)x x k =-+， 所以12122416()99(45)y y k x x k +=+-=-+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k -=-++=+， 以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ，即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=，令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++-=++， 解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=-+， 所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B -，此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=.显然过点(0,2)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．。

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