三垂线定理及其逆定理53642

三垂线定理及其逆定理

【学习内容分析】

“三垂线定理”就是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它就是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理,可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。【课程目标】

一. 知识与技能目标理解与掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明与应用。

二. 过程与方法目标

1 通过对定理的学习, 培养学生观察、猜想与论证数学问题的能力。

三.情感、态度与价值观目标

3、培养学生逻辑推理证明的能力与相互转化的思想。

【教学重点与难点】

一. 教学重点

定理的理解与运用

二. 教学难点

如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线与平面。

【教学方法】

以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识规律出发进行启发式教学运用小组学习合作探究。

【教学过程】

一复习引入:

1. 复习提问

1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念;

设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影就是三垂线定理的基础,直线与平面垂直的判定与性质又就是证明三垂线定理的基本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新

作好新课的铺垫。）

2、有意设疑,引入新课。

平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不就是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下就是垂直的呢？

学生思考后,我再引导学生利用三角板与直尺在桌面上搭建模型（如图）,使直尺与三角板的

斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验 ，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时

便与斜边垂直。

启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来 ，表达成数学命题：

平面内的一条直线如果与平面的斜线的射影垂直

，那么就与平面的这条斜线垂直（板书）

设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通 过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）

二、新课讲授：

由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。

P0丄a ,PA 与a 斜交于点 A,AO 丄a ，问PA 与a 所成的角 显然P0丄a 一 PO a

a ' OA a

PO 0A=0

即:PA 与a 所成的角为900

三垂线定理来源于“线面垂直” ，抓住平面a 的垂线 PO ， 才就是抓住了定理的实质与关键

，并启发学生猜想逆命题的真假

本质很容易得出三垂线定理的逆定理。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线垂直 ，那么它与这

条斜线在平面内的射线垂直。

（板书）

设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证 ，加深学生对命题内容的认识 ，使学生 的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结 ，帮助学 生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。 2、利用命题变换，培养学生思维的灵

活性，进一步深化对定理的学习与理解。 3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理 内容的理解与记忆。） 剖析命题

（1）、三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系 ，平面内的直线与平面的

斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价

，本质就就是线面垂直的定义。

（2）、通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结 ：

一找垂面：即先确定平面及平面的垂线 : 二找斜线:接着确定平面的斜线：

三定射影：由上面的垂足与斜足确定斜线的射影

；

四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。

（板书）

设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的

a 平面POA PA 平面POA

应用方法。）三讲解例题

例1、已知：点0就是ABC 的垂心，P0平面ABC ,垂足为O ,求证：PA BC 证明：•••点0就是ABC 的垂心,

••• AD BC

又P0 平面ABC ,垂足为0

PAp 平面 ABC A

所以，由三垂线定理知，PA BC .

例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 个角的平分线上•

已知：/ BAC 在 a 内,P ,PE AB 于 E,PF AC 于 F 且 PE=PF,PO 求证:0在/ BAC 的平分线上（即/ BAO=Z CAO ） 证明:连接OE,OF •/ P0 • EO,FO 分别为PE,PF 在上的射影 •/ PE=PF • OE=OF •/ PE AB,PF AC • OE AB,OF AC （三垂线定理的逆定理 ） • 0到/ BAC 两边距离相等 • 0在/ BAC 的平分线上 变式：

BA0 CA0

推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线 ,如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜

线在平面上的射影就是这个角的平分线所在直线

例3、在三棱锥 P-ABC 中，三条侧棱PA,PB,P （两两垂直,H 就是△ ABC 的垂心 求证：（1）PH 底面ABC （2） △ ABC 就是锐角三角形、

证明：（1）略

，那么这点在平面内的射影在这

已 知

BAC

在平 面

内，

占 八、

P ,PE AB, PF AC

,P°

,垂足分别为E,F,O,PE

PF

5

求证 :BA0

)

CA0.

证明：

•/

PE AB.PF AC,P0

• AB 0E, AC

0F （三垂线定理逆定理）

...PE

PF, PA PA 5

• Rt PAE Rt A0F 5

• AE

AF

,又.

A0 A0 • Rt A0E Rt

5 * *

A0F

P

A

B

O

D

C

f I

C