三垂线定理及其逆定理53642
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；；2.三垂线定理的逆定理；3.综合应用； 教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
（4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
PBB例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥；2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心；PDAB C1A C例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知： 求证：说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3PAB PAc π∠=∠=。
(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上；B作业：1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上的点,1EC EF ⊥. 求证: 1EF EB ⊥。
三垂线定理及逆定理
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
P
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线，如果斜线和 这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角 D1 的平分线所在的直线。 B
C1
H
C
A1
A
B1
1.直接利用三垂线定理证明下列各题： (1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P A O B C
P
D1
C1
PC⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点
C A
M B
BC⊥AM
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
证明： ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；；2.三垂线定理的逆定理；3.综合应用； 教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
（4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
PBB例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥；2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心；PDAB C1A C例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3PAB PAc π∠=∠=。
(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上；B作业：1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上的点,1EC EF ⊥. 求证: 1EF EB ⊥。
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理及其逆定理
P
A
2020/8/10
B C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总结：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
D1
C1
A1 D
A
B1
C FE
B
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
三垂线定理及三垂线逆定理
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
9.4.5三垂线定理及其逆定理
D
E
.
F1
C
A
P
B
三垂线定理
例5、 设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA = 3，PB = 4， PA、PB、PC两两互相垂直 两两互相垂直， 3， 4， PC = 6，求点P到平面ABC的距离。 6，求点P到平面ABC的距离。 ABC的距离 P
解: 作PH⊥平面ABC， PH⊥平面ABC， 平面ABC 连AH交BC于E，连PE AH交BC于 ∵PA、PB、PC两两垂直 ∵PA、PB、PC两两垂直 ∴PA⊥平面PBC PA⊥平面 平面PBC ∴PA⊥BC
A
D
4
300 O 3 C
α
B
证：作CD ⊥AB BO⊥OC ⊥ CO ⊥面AOB AO ⊥面α 连结OD 由三垂线定理 ∴DO⊥AB ⊥
在Rt△COD中，CD= 15
在Rt△AOD中， OD=AOsin∠DOA= 2 3
例4：已知矩形 ：已知矩形ABCD中，AB= 3 3 ，BC=3，沿 中 ， 对角线BD将 折起， 移到C′点 对角线 将△BCD折起，使点 移到 点，且C′ 折起 使点C移到 点在平面ABD上的射影 恰在 上 求证（1） 上的射影O恰在 点在平面 上的射影 恰在AB上 求证（ ） BC′⊥平面 ⊥平面AD C′ （2） 求 ） 6 到平面B 点A到平面 C′D的距离 到平面 的距离 （3）求直线 ） AB与平面 C′D所成的角 与平面B 与平面 所成的角
B A C H E
AH为PA在平面ABC内的射影 AH为PA在平面ABC内的射影 在平面ABC ∴BC⊥AH，即BC⊥AE，又AE在平面PBC内的射 BC⊥AH， BC⊥AE， AE在平面PBC内的射 在平面PBC 影是PE PE， 影是PE， ∴BC ⊥PE 4×6 12 Rt△PBC中 在Rt△PBC中，PE= ------ = ---13 42+62 144 2 29 Rt△APE中 在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 9+ --- = ---13 13
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。
它是线面垂直性质的延伸。
利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。
所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】一.知识与技能目标理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。
二.过程与方法目标1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。
三．情感、态度和价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。
【教学重点和难点】一.教学重点定理的理解和运用二．教学难点如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。
【教学方法】以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。
【教学过程】一复习引入：1.复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。
）2.有意设疑，引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。
那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。
经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）二、新课讲授：由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
三垂线定理及其逆定理三垂线定理的应用三垂线法求二面角
三垂线定理及其逆定理•正射影的概念：自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在平面内的正射影（简称为射影）；平面的斜线的概念：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。
•三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
•三垂线定理与其逆定理的关系：即：•三垂线定定理的主要应用：证明线线、线面垂直，求点到线的距离、二面角大小。
应用两个定理解题的一般思路：平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
证明：1）用线面垂直证明已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a三垂线定理的证明三垂线定理的证明求证：OP⊥a证明：过P做PA垂直于α∵PA⊥α且a⊆α∴a⊥PA又a⊥OAOA∩PA=A∴a⊥平面POA∴a⊥OP（2）用向量证明三垂线定理1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，∴PA⊥向量b。
2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。
解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。
用途在做图中，做二面角的平面角在证明中，证明线线垂直在计算中，用归纳法归拢已知条件，便于计算口诀线射垂，线斜垂；线斜垂，线射垂。
三垂线定理及逆定理ppt课件
O Aa α
什么叫平面的垂线、斜线、射影？
直线PA是平面α的垂线, A为垂足;垂足A叫点P在平
面内α的正射影(简称射影）.
直线PO是平面α的斜线, O为斜足;
P
o
α
A
（斜线上一点与斜足 间的线段叫斜线段）
AO是PO在平面α内的射影.
P
oa
α
A
如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？
线∴段P扩O展⊥后a， 又的a模⊥型O A, PO∩AOPA==PO
P
∴ a ⊥平面POA，
O
OAAP 平面POA，
α
∴ a ⊥PA.
这线aa⊥⊥就定若定OA是理将理AP三的交与垂逆 换会怎样?
Aa
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直 线，如果它和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条
斜线垂直。
P
已知 PA、PO分别是平
面的垂线、斜线，AO是
PO在平面上的射影。
Oa
a ，a⊥AO。
A求证： a⊥PO NhomakorabeaP
证明：
A
Oa
PA⊥
a
PA ⊥a AO⊥a
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
三垂线定理： 在平面内的 P
一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么， 它就和这条斜线垂直。
引例:正方体ABCD-A’B’C’D’ (1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影; (2)BD’与AC的位置关系如何? (3)BD’与AC所成的角是多少度?
DD’ ’ A’
E
C’ B’
三垂线定理逆定理证明和应用求二面角
∵BC = 1，CD = 2，∴ GF ? 1 ?BC ?CD ? 12? ? 1
2 BD 25
5
而EF = 1，在△EFG中
ta n ? E G F
?
EF GF
?
5
∴所求二面角大小为 arctan 5
小结： ①定基面 平面BCD ②定垂线 过E作EF⊥CD于F 垂线在哪儿?---垂面内
③找斜线or射影 作FG⊥BD于G ④射影or斜线自现 连结EG
OA是PA在内? 的射影?? ? a ? PA
a ? ? 且a ? OA ??
三垂线定理及逆定理包含四线一 面以后称这个平面为基面
2．什么是二面角的平面角？ 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直
于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
3．作二面角的平面角主要有哪几种方法？
的平面角，而用三垂线定理求作二面角 的平面角是最
常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来 回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤：
（1）一定基面，二定垂线，三找斜线或射影，射影 或斜线自现，L随便；
（2）垂线在垂面内．
四、课后作业
1．如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面 ? 内，AC、BC 与平面? 所成角分别为30o和 45o，求△ABC所在平面与?
射影
∴BD1⊥AC
D
C
而A1B是BD1在平面 ∴BD1⊥AB1
ABB1A1内的射影A
B
∴BD1⊥平面AB1C
例2.已知：在正方体AC1中， 求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
射影定位（三棱锥定位）
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 【2 】常识点： 1.三垂线定理;; 2.三垂线定理的逆定理; 3.分解运用; 教授教养进程：1．三垂线定理：平面内一条直线,假如和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直;已知：,PA PO 分离是平面α的垂线和斜线,AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥. 求证：a PO ⊥; 证实： 解释：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）（2）证实线线垂直的办法：界说法;线线垂直剖断定理;三垂线定理;（3）三垂线定理描写的是PO(斜线).AO(射影).a(直线)之间的垂直关系. （4）直线a 与PO 可以订交,也可以异面.（5）三垂线定理的本质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的剖断定理. 例1.已知P 是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥. P2．写出三垂线定理的逆命题,并证实它的准确性; 命题： 已知：求证：证实： 解释：例2．在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥. 求证：（1）AD BC ⊥;（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心;例3.求证:假如一个角地点平面外一点到角的双方的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的等分线上 已知： 求证：解释：可以作为定理来用.例5．已知：Rt ABC ∆中,,3,42A AB AC π∠===,PA 是面ABC 的斜线,3PAB PAc π∠=∠=.(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于若干的时刻,点P 在平面ABC 内的射影正好落在边BC 上; PDABC第3页，－共3页2.已知：PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =是BC 的中点. 求证：BC AM ⊥;3.填空并证实：（1）在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心. （2）在四面体ABCD 中,AB.ＡＣ.ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心 （3）在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.（4）在四面体ABCD 中,极点A 到BC.CD.DB 的距离相等,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.4.正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, （1）求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值; （2）求证：PQ⊥AD ．5.在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 是棱1AA 上的点,且1:1:2A E EA =,F 是棱AB 上的点,12C EF π∠=.求AF ：FB.6.点P 是ABC ∆地点平面外一点,且PA ⊥平面ABC.若O 和Q 分离是ΔABC 和ΔPBC 的垂心,试证：OQ ⊥平面PBC.7.已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈.求证：D AT ∈;。
三垂线定理及其逆定理
C
A
B
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么，它就和这条斜线垂 直。
三垂线定理的逆定理 ：
在平面内的一条直线，如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么， 它也和这条斜线的射影垂直。
线斜垂直
；https:/// 电子杂志制作 电子画册制作 HTML5电子杂志 企业期刊制作 企业内刊制作 ；
a
α
a ,a ⊥PO 求证：a ⊥AO
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边 距离相等，那么这一点在平面上的射影在这 个角的平分线上。 P
E A F C
B
O
已知：∠BAC在平面内，点P， PE⊥AB， PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
A
B O C
D
练
习
1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中 点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成 的角的大小为（ D ） A 30° B 45° C 60° D 90° D1 A1 E D C1
B1
M
G
C
EB1是EC1在平面AB1 内的射影
A
F
B
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC 证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，CD 平面BCD ∴BO⊥CD，同理CO⊥BD， 于是O是△BCD的垂心， ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
三垂线的逆定理证明
三垂线的逆定理证明引言三垂线的逆定理是平面几何中的一个重要定理，它是三角形理论中的基础性结果。
在本文中，我们将详细证明三垂线的逆定理，并探讨其重要性和应用。
三垂线的定义首先，让我们回顾一下三垂线的定义。
在一个三角形ABC中，我们可以从顶点A、B和C分别向对边BC、AC和AB引垂线。
这些垂线分别称为三角形ABC的高，它们的交点称为三角形ABC的垂心。
三垂线的逆定理三垂线的逆定理陈述如下：如果在一个三角形的内部选择一点P，并分别从P向三条边引垂线，垂线交三边于D、E和F，那么垂线AD、BE和CF交于一点，且这个点是三角形ABC的垂心。
证明过程为了证明三垂线的逆定理，我们将使用以下步骤：步骤1：证明垂心的存在性首先，我们需要证明三角形ABC的垂心存在。
为此，我们可以利用三角形的性质和垂线的定义。
根据垂线的定义，我们知道垂线AD与边BC垂直相交，即∠BAD = 90°。
同理，垂线BE与边AC垂直相交，即∠CBE = 90°。
最后，垂线CF与边AB垂直相交，即∠ACF = 90°。
由于三角形ABC的三个内角和为180°，我们可以得出∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
同时，根据直角三角形的性质，我们知道∠BAD + ∠CBE + ∠ACF = 180°。
将上述两个等式相加，我们可以得到：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB + ∠BAD + ∠CBE + ∠ACF = 360°由于∠BAD = ∠CBE = ∠ACF = 90°，我们可以将上述等式简化为：∠BAC +∠ABC + ∠ACB + 90° + 90° + 90° = 360°∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 360° - 270° ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 90°根据三角形内角和的性质，我们知道∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
三垂线逆定理的证明
三垂线逆定理的证明引言三垂线逆定理是解析几何中关于三角形的重要定理之一。
它描述了一个三角形内部的垂线与三条边所构成的长度之间的关系。
在本文中，我们将对三垂线逆定理进行详细的证明。
定理表述三垂线逆定理可以用如下方式表述：对于任意给定的三角形ABC，设AD、BE和CF 分别是BC、AC和AB上的高（即垂直于对边）。
则有：AD² + BE² + CF² = BD² + CE² + AF²证明过程为了证明上述定理，我们需要从几何图形出发，运用相关几何知识进行推导。
首先，我们假设点D在线段BC上，并且有BD < DC。
同样地，假设点E在线段AC 上，并且有AE < EC。
最后，假设点F在线段AB上，并且有AF < FB。
接下来，我们需要利用勾股定理来计算各个线段的长度。
根据勾股定理可知：BD² = AD² - AB² CE² = AE² - AC² AF² = CF² - AB²将上述等式代入到待证等式中得：AD² + BE² + CF² = (AD² - AB²) + (AE² - AC²) + (CF² - AB²) = AD² + AE² + CF² - (AB² + AC² + AB²)化简得到：AD² + BE² + CF² = AD² + AE² + CF² - 2(AB² + AC²)再进一步，我们利用余弦定理来计算三角形的边长。
根据余弦定理可知：AB² = AC² + BC² - 2(AC)(BC)cos∠A AC² = AB² + BC² - 2(AB)(BC)cos∠C将上述等式代入到待证等式中得：AD² + BE² + CF = AD^2 + AE^2+ CF^2 -2((AB^2+ BC^2− 2(AC)(BC)cos∠A)+ (AB^2+ BC^2− 2(AB)(BC)cos∠C)) = AD^2+ AE^2+ CF2−4(AB2+ BC^2)+(AC)(BC)(cos∠A)+(AB)(BC)(cos∠C)在继续推导前，我们需要注意到一个关键的几何性质：三角形ABC的三个内角的和为180度。
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三垂线定理及其逆定理
【学习内容分析】
“三垂线定理”就是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。
它就是线面垂直性质的延伸。
利用三垂线定理及其逆定理,可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。
所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】
一. 知识与技能目标理解与掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明与应用。
二. 过程与方法目标
1 通过对定理的学习, 培养学生观察、猜想与论证数学问题的能力。
三.情感、态度与价值观目标
3、培养学生逻辑推理证明的能力与相互转化的思想。
【教学重点与难点】
一. 教学重点
定理的理解与运用
二. 教学难点
如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线与平面。
【教学方法】
以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识规律出发进行启发式教学运用小组学习合作探究。
【教学过程】
一复习引入:
1. 复习提问
1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念;
设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影就是三垂线定理的基础,直线与平面垂直的判定与性质又就是证明三垂线定理的基本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新
作好新课的铺垫。
）
2、有意设疑,引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不就是与每一条直线都不垂直。
那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下就是垂直的呢？
学生思考后,我再引导学生利用三角板与直尺在桌面上搭建模型（如图）,使直尺与三角板的
斜边垂直，引导学生猜想发现规律。
经过实验 ，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时
便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来 ，表达成数学命题：
平面内的一条直线如果与平面的斜线的射影垂直
，那么就与平面的这条斜线垂直（板书）
设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通 过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）
二、新课讲授：
由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
P0丄a ,PA 与a 斜交于点 A,AO 丄a ，问PA 与a 所成的角 显然P0丄a 一 PO a
a ' OA a
PO 0A=0
即:PA 与a 所成的角为900
三垂线定理来源于“线面垂直” ，抓住平面a 的垂线 PO ， 才就是抓住了定理的实质与关键
，并启发学生猜想逆命题的真假
本质很容易得出三垂线定理的逆定理。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线垂直 ，那么它与这
条斜线在平面内的射线垂直。
（板书）
设计意图（1证明命题。
通过对猜想得到的命题的论证 ，加深学生对命题内容的认识 ，使学生 的思维提高到演绎推理的水平上来。
我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结 ，帮助学 生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。
2、利用命题变换，培养学生思维的灵
活性，进一步深化对定理的学习与理解。
3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理 内容的理解与记忆。
） 剖析命题
（1）、三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系 ，平面内的直线与平面的
斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价
，本质就就是线面垂直的定义。
（2）、通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结 ：
一找垂面：即先确定平面及平面的垂线 : 二找斜线:接着确定平面的斜线：
三定射影：由上面的垂足与斜足确定斜线的射影
；
四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。
（板书）
设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的
a 平面POA PA 平面POA
应用方法。
）三讲解例题
例1、已知：点0就是ABC 的垂心，P0平面ABC ,垂足为O ,求证：PA BC 证明：•••点0就是ABC 的垂心,
••• AD BC
又P0 平面ABC ,垂足为0
PAp 平面 ABC A
所以，由三垂线定理知，PA BC .
例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 个角的平分线上•
已知：/ BAC 在 a 内,P ,PE AB 于 E,PF AC 于 F 且 PE=PF,PO 求证:0在/ BAC 的平分线上（即/ BAO=Z CAO ） 证明:连接OE,OF •/ P0 • EO,FO 分别为PE,PF 在上的射影 •/ PE=PF • OE=OF •/ PE AB,PF AC • OE AB,OF AC （三垂线定理的逆定理 ） • 0到/ BAC 两边距离相等 • 0在/ BAC 的平分线上 变式：
BA0 CA0
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线 ,如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜
线在平面上的射影就是这个角的平分线所在直线
例3、在三棱锥 P-ABC 中，三条侧棱PA,PB,P （两两垂直,H 就是△ ABC 的垂心 求证：（1）PH 底面ABC （2） △ ABC 就是锐角三角形、
证明：（1）略
，那么这点在平面内的射影在这
已 知
BAC
在平 面
内，
占 八、
P ,PE AB, PF AC
,P°
,垂足分别为E,F,O,PE
PF
5
求证 :BA0
)
CA0.
证明：
•/
PE AB.PF AC,P0
• AB 0E, AC
0F （三垂线定理逆定理）
...PE
PF, PA PA 5
• Rt PAE Rt A0F 5
• AE
AF
,又.
A0 A0 • Rt A0E Rt
5 * *
A0F
P
A
B
O
D
C
f I
C
⑵设AH 与直线BC 的交点为E 连接PE 由(1)知PH 底面ABC ••• AE 为PE 在平面 ABC 的射影， 由三垂线定理:PE BC
••• PB PC 即厶BPC 就是直角三角形,BC 为斜边 • E 在BC 边上 由于AE BC 故B Z C 都就是锐角 同理可证：Z A 也就是锐角
ABC 为锐角三角形
设计意图(为了培养学生灵活应用定理的能力 ，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选了三 条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅出地引导学 生寻找证题的基本思路，确定适应定理的“四线一面” ，然后，由学生板书解答后，我再较正学生 的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力与逻辑推理能力。
)
四小结：
知识：三垂线定理以及逆定理
问题:平面中斜线与射影的垂直问题 方法：空间垂直与平面垂直互相转化 思想：转化思想
五作业：
1、边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面内，PA 1 ，PA=a 则P 到CD 的距离为_，P 至U BC 的距离为 ________ 、 AC 就是平面 的斜线，且AO=a ，AO 与 成60o 角，0C ，AA Z
± 于A'，Z A OC=45o,
.7 14 2
2a ，—a ------------a,—
答案：1、 2 ; 2、 4 4
3、如图，已知ABCD 就是矩形，AB=a ，AD= b ，PA 平面ABCD ，PA=2c ，C 就是PA 的中点.
六板书设计： 七教学后记
本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式 ，学生反映较好，定理记得牢，理解深 刻，应用灵活，不仅让学生学习了新的知识，而且培养了能力。
从学生的课后作业瞧，书写规 范,推理正确,取得较好的教学效果，圆满完成本节课的教学任务。
2、
则A 到直线OC 的距离就是
，Z AOC 的余弦值就是
D。