反函数·典型例题精析

2.4 反函數·例題解析

【例1】求下列函數得反函數:

解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2,x ∈(－∞,0]其值域為y ∈[2,＋∞),

由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为

＝－，≥．

y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222

【例2】求出下列函數得反函數,並畫出原函數与其反函數得圖像. 解 (1)∵已知函數得定義域就是x ≥1,∴值域為y ≥－1, 由＝－，得反函数＝＋＋≥－．

函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11

解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2,

它們得圖像如圖2.4－2所示.

(1)求它得反函數;(2)求使f -1(x)＝f(x)得實數a 得值.

(2)f(x)f (x)x 1若＝，即

＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113

x x a ax x 令x ＝0,∴a ＝－3. 或解 由f(x)＝f -1(x),那麼函數f(x)與f -1(x)得定義域与值域相同,定義域就是{x|x ≠a,x ∈R },值域y ∈{y|y ≠3,y ∈R },∴－a ＝3即a ＝－3.

【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d

++ 試求a 、b 、c 、d 滿足什麼條件時,它得反函數仍就是自身.

令x ＝0,得－a ＝d,即a ＋d ＝0.

事實上,當a ＋d ＝0時,必有f -1(x)＝f(x),

因此所求得條件就是bc －ad ≠0,且a ＋d ＝0.

【例5】設點M(1,2)既在函數f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)得圖像上,又在它得反函數圖像上,(1)求f -1(x),(2)證明f -1(x)在其定義域內就是減函數.

解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪--1373137313737373

x 【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x

-+-++-+----12

1212112212

111 解法(二) 由函數y ＝f(x)與其反函數y ＝f -1(x)之間得一一對應關 系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12

【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a

--1

1

1 因為原函數得圖像與其反函數得圖像關於直線y ＝x 對稱,

∴函數y ＝f(x)得圖像關於直線y ＝x 對稱.