工程数学第二章习题解答

第二章

1.1. 一鞋店大约每天卖出鞋30双，批发一次货的花费为300元，每双鞋每天的存储费用为0.1元。 问鞋店多少天批发一次货，进货量为多少？ 解：利用经济批量订货公式

T =14(天), Q =420(双)

1.2: 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k>r 。在每个生产周期T 内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品的贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最有生产周期。讨论k>>r 和k ≈r 的情况。

解：总⎰

+=+=T

QT c c dt t q c c C 0

21212

1

)(，

可得出：

,)()(00r T T T r k Q -=-=

k T T r 0=

， k

Tr

r k Q )(-=，

212()2T r k r C c c k

-∴=+

平均12()

(),2c c Tr k r C C T T T T k -=

=+=最优

当r

c c T r k 21

2≈

>>时，，等价于标准EOQ （经济批量订货公式）；

当,∞→≈T r k 时，故为无存贮。

2.1 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：

• 项目1从第一年到第四年每年可以投资，并于次年回收本利115%；

• 项目2第三年可以投资，到第五年回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元； • 项目3第二年可以投资，到第五年回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元； •

项目4每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。

该部门现有资金10万元， 问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到五年后拥有的资

金的本利总额为最大？ 解：假设

⏹ 所有投资发生在年初；

⏹ 所有收益发生在年末，可用于下一年度投资； ⏹ 没有其他资金来源，也没有其他投资和费用发生； ⏹ 题中所给定的收益率不受市场影响发生变化。 模型建立

设yij 表示第i 年年初投资给项目j 的金额 Ai 表示第i 年未投资的金额 第五年末本利总额 约束条件

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨

⎧≤≤==≥++≤+-++=++≤+++-++=++≤++++-+=+≤+++-=≤+4

y ,3y ;4,3,2,1j ,5,4,3,2,1i ,0y y

06.1y 15.1A y )y y (y 06.1y 15.1A A y 06.1y 15.1A y y )y y y (y 06.1y 15.1A A y 06.1y 15.1A y y y )y y y (y 06.1A A y 06.1A y y y )

y y (10A 10

y y 3223ij 44

314544441342134342134441343231241123

24

112343231242321141214124232114111

1411 模型简化

Lingo 程序

max=1.4*y23+1.25*y32+1.15*y41+1.06*y54; y11+y14<=10;

y11-0.06*y14+y21+y23+y24<=10;

-0.15*y11-0.06*y14+y21+y23-0.06*y24+y31+y32+y34<=10;

-0.15*y11-0.06*y14-0.15*y21+y23-0.06*y24+y31+y32-0.06*y34+y41+y44<=10;

-0.15*y11-0.06*y14-0.15*y21+y23-0.06*y24-0.15*y31+y32-0.06*y34+y41-0.06*y44+y54<=10; y23<=3; y32<=4; end

54413223y 06.1y 15.1y 25.1y 40.1f +++=23324154

max 1.40 1.25 1.15 1.06f y y y y =+++111411

1421232411142123243132341114212324313234414411142123243132

100.0610

0.150.060.06100.150.060.150.060.06100.150.060.150.060.150.06y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y +≤-+++≤--++-+++≤---+-++-++≤---+--+-3441445423320.06100,1,2,3,4,5,1,2,3,4;3,4

ij

y y y y i j y y ⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎪

⎪⎪

+-+≤⎪⎪≥==≤≤⎩

计算结果

第一年：y11 =71698元，y14 = 28302元； 第二年：y23 = 30000元；

第三年：y32 =40000元; y34=42453； 第四年：y41 =45000元; 其他为0；

第五年末该部门拥有资金总额为143750元，盈利43.75%。 进一步简化的模型

考虑利润最大化时 A1=A2=A3=A4=0

3.1 5名候选人的百米成绩

如何选拔队员组成4⨯100米混合泳接力队?

甲 乙

丙 丁 戊 蝶泳 1’06”8

57”2

1’18” 1’10” 1’07”4 仰泳 1’15”6 1’06” 1’07”8 1’14”2 1’11” 蛙泳 1’27” 1’06”4 1’24”6 1’09”6 1’23”8 自由泳

58”6 53”

59”4 57”2 1’02”4

23324154

max 1.40 1.25 1.15 1.06f y y y y =+++⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎧≤≤==≥+=+=++=++=++=+4y

,3y ;4,3,2,1j ,5,4,3,2,1i ,0y y 06.1y 15.1y y 06.1y 15.1y y y 06.1y 15.1y y y y 06.1y y y 10

y y 3223ij 44

31543421444124

1134323114242321

1411