幂函数课件(优质课)
合集下载
《幂函数》PPT课件
❖ ★当α为奇数时,幂函数为奇函数,
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
1 x ④y ( ) 否 2
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
《数学幂函数》课件
《数学幂函数》PPT课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
2024年度高一数学《幂函数》PPT课件
举例
(2x)^3 = 2^3 × x^3 = 8x^3；(3a^2b)^4 = 3^4 × a^(2×4) × b^4 = 81a^8b^4
17
复杂表达式化简技巧
利用幂的性质进行化简
如a^(m+n) = a^m × a^n，a^(m-n) = a^m ÷ a^n等
注意运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算；有括号 时，先算括号里面的
2024/3/24
5
幂函数图像与性质
幂函数性质
当a>0时，幂函数在其定义域内是增函数；
2024/3/24
当a<0时，幂函数在其定义域内是减函数；
6
幂函数图像与性质
当a=0时，幂函数为常数函数； 幂函数的值域为[0，+∞)，即所有非负实数。
2024/3/24
7
幂函数与指数函数关系
联系
幂函数和指数函数都是常见的 初等函数，它们在数学和实际 应用中都有广泛的应用。
2024/3/24
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
28
易错难点剖析及注意事项
01
指数取值范围
在幂函数中，指数a可以取Hale Waihona Puke 意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
2024/3/24
图像
一个抛物线
性质
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对称轴为 x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2024/3/24
11
三次幂函数
(2x)^3 = 2^3 × x^3 = 8x^3；(3a^2b)^4 = 3^4 × a^(2×4) × b^4 = 81a^8b^4
17
复杂表达式化简技巧
利用幂的性质进行化简
如a^(m+n) = a^m × a^n，a^(m-n) = a^m ÷ a^n等
注意运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算；有括号 时，先算括号里面的
2024/3/24
5
幂函数图像与性质
幂函数性质
当a>0时，幂函数在其定义域内是增函数；
2024/3/24
当a<0时，幂函数在其定义域内是减函数；
6
幂函数图像与性质
当a=0时，幂函数为常数函数； 幂函数的值域为[0，+∞)，即所有非负实数。
2024/3/24
7
幂函数与指数函数关系
联系
幂函数和指数函数都是常见的 初等函数，它们在数学和实际 应用中都有广泛的应用。
2024/3/24
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
28
易错难点剖析及注意事项
01
指数取值范围
在幂函数中，指数a可以取Hale Waihona Puke 意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
2024/3/24
图像
一个抛物线
性质
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对称轴为 x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2024/3/24
11
三次幂函数
高三数学幂函数PPT优秀课件
正偶数时，幂函数为__偶__函__数___．
4. 5个具体幂函数的性质
性质 特征
y=x
定义域 R
奇偶性 奇
y=x2
R 偶
Байду номын сангаас
y=x3
1
y x2
y=x-1
R {x|x≥0} {x|x≠0}
奇 非奇非偶 奇
在第一 象限单 调增减
性
定点
在第一
象限单 调递_增_
在第一 在第一 象限单 象限单 调递_增_ 调递_增_
链接高考
2
3
2
(2010安徽)设a5 35,b5 25,c5 25 ，
则a，b，c的大小关系是( )
A. a＞c＞b
B. a＞b＞c
C. c＞a＞b
D. b＞c＞a
知识准备：
1. 知道同底数的幂值比较大小借助指数函数的
单调性；
２.知道同指数的幂值比较大小借助幂函数的
单调性．
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2021/02/25
19
则m的取值是( )
A. -1≤m≤2
B. m=1
C. m=2
D. m=1或m=2
D 解析： 由幂函数的定义，m2-3m+3=1，所以m=1或m=2. 又图象不过原点，所以m2-m-2≤0，解得-1≤m≤2. 综上，m=1或m=2.
题型二 幂值的大小比较
【例2】比较下列各组值的大小： (1)30.9,30.7；
题型三 幂函数的图象和性质的应用
【例3】已知幂函数 f(x)xm22m3(m∈Z)的 图象与x轴、y轴均无公共点，且关于y轴对称， 试确定f(x)的解析式．
4. 5个具体幂函数的性质
性质 特征
y=x
定义域 R
奇偶性 奇
y=x2
R 偶
Байду номын сангаас
y=x3
1
y x2
y=x-1
R {x|x≥0} {x|x≠0}
奇 非奇非偶 奇
在第一 象限单 调增减
性
定点
在第一
象限单 调递_增_
在第一 在第一 象限单 象限单 调递_增_ 调递_增_
链接高考
2
3
2
(2010安徽)设a5 35,b5 25,c5 25 ，
则a，b，c的大小关系是( )
A. a＞c＞b
B. a＞b＞c
C. c＞a＞b
D. b＞c＞a
知识准备：
1. 知道同底数的幂值比较大小借助指数函数的
单调性；
２.知道同指数的幂值比较大小借助幂函数的
单调性．
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2021/02/25
19
则m的取值是( )
A. -1≤m≤2
B. m=1
C. m=2
D. m=1或m=2
D 解析： 由幂函数的定义，m2-3m+3=1，所以m=1或m=2. 又图象不过原点，所以m2-m-2≤0，解得-1≤m≤2. 综上，m=1或m=2.
题型二 幂值的大小比较
【例2】比较下列各组值的大小： (1)30.9,30.7；
题型三 幂函数的图象和性质的应用
【例3】已知幂函数 f(x)xm22m3(m∈Z)的 图象与x轴、y轴均无公共点，且关于y轴对称， 试确定f(x)的解析式．
幂函数(课件)
04
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
幂函数(优秀)ppt课件
1
y x2
0.5 0
0.13 0
0.5 1
0.13 1
x
0
1
y x2 0
0.5
1
2
3
4
0.71 1 1.41 1.73 2
1.5 3.38
6 2.45
y
y x3
1
-2 -1 o 1
x
-1
y
1 -1 o 1 2
-1
1
y x2
x
-2
-2
8
名称
yx
2、能利用幂函数的性质来解决一些实际问题
3、通过对情景的观察、思考、归纳、总结形成结 论，培养发现问题、解决问题的能力。
重点:
从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
难点:
画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
2
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
y (yx13)
y=x
(＝1 1
y x2
1
O
1 ( y
(0
x10)
x
1
10
归纳
幂函数图象在第一象限的分布情况：
y
1 ＝1
0 1
1
0
0
1
x
11
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数图象恒过点(1,1);
(2)＞０，在第一象限内递增；若＜
０，在第一象限内递减.
2只有形如的函数才叫做幂函数12122111211221描点法作图11定义域值域奇偶性单调性11111111奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数11在同一平面直角坐标系内作出幂函数11归纳幂函数图象在第一象限的分布情况
y x2
0.5 0
0.13 0
0.5 1
0.13 1
x
0
1
y x2 0
0.5
1
2
3
4
0.71 1 1.41 1.73 2
1.5 3.38
6 2.45
y
y x3
1
-2 -1 o 1
x
-1
y
1 -1 o 1 2
-1
1
y x2
x
-2
-2
8
名称
yx
2、能利用幂函数的性质来解决一些实际问题
3、通过对情景的观察、思考、归纳、总结形成结 论，培养发现问题、解决问题的能力。
重点:
从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
难点:
画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
2
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
y (yx13)
y=x
(＝1 1
y x2
1
O
1 ( y
(0
x10)
x
1
10
归纳
幂函数图象在第一象限的分布情况：
y
1 ＝1
0 1
1
0
0
1
x
11
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数图象恒过点(1,1);
(2)＞０，在第一象限内递增；若＜
０，在第一象限内递减.
2只有形如的函数才叫做幂函数12122111211221描点法作图11定义域值域奇偶性单调性11111111奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数11在同一平面直角坐标系内作出幂函数11归纳幂函数图象在第一象限的分布情况
幂函数教学(共43张PPT)高一数学人教B版必修第二册
R
R
奇函数
增函数
（5）如图所示中已经作出了函数 y＝x－1，y＝x，y＝x2 的图象，在其中作出函数 y＝x3 图象．
一般地，幂函数 y＝xα，随着 α 的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0 , ＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点（1 , 1）．
[0，＋∞）
非奇非偶函数
增函数
[0，＋∞）
根据以上信息可知，函数 的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示
给出研究函数 y＝x3 的性质与图象的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）单调性是___________；
在关系式 N＝ab 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造出来的函数 y＝xb 就是本节要讨论的幂函数.
我们以前学过函数 y＝x，y＝x2，y＝，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
幂函数
上面提到的函数 y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.了解幂函数的概念
数学抽象
2.了解五个常见幂函数的图象
直观想象
3.了解幂函数的图象与性质
逻辑推理
我们已经知道，在关系式 N＝ab 中，当底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 b＝logaN ）．那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？
R
奇函数
增函数
（5）如图所示中已经作出了函数 y＝x－1，y＝x，y＝x2 的图象，在其中作出函数 y＝x3 图象．
一般地，幂函数 y＝xα，随着 α 的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0 , ＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点（1 , 1）．
[0，＋∞）
非奇非偶函数
增函数
[0，＋∞）
根据以上信息可知，函数 的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示
给出研究函数 y＝x3 的性质与图象的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）单调性是___________；
在关系式 N＝ab 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造出来的函数 y＝xb 就是本节要讨论的幂函数.
我们以前学过函数 y＝x，y＝x2，y＝，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
幂函数
上面提到的函数 y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.了解幂函数的概念
数学抽象
2.了解五个常见幂函数的图象
直观想象
3.了解幂函数的图象与性质
逻辑推理
我们已经知道，在关系式 N＝ab 中，当底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 b＝logaN ）．那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？
《_幂函数》精品课件
谢 谢
例3
证明幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2; (2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号； (4). 下结论. 证明:任取
高中数学必修1
幂函数
-3 -2 -1
y
y = x3 y = x2 y=x
4 3 2 1 1 -1 -2 -3 2 3
1
y= x2 y=x
1
x
我国著名数学家华罗庚教授在其 《数学的用场与发展》中指出:
“宇宙之大,粒子 之微,火箭之速,化 工之巧,地球之变， 生物之谜，日用之 繁，无处不用数 学。”
问题 1 ：如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w千克， 这里p是w的函数 。 yx 那么她需要付的钱数p = w元， 问题2：如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 2 yx 是S = a²， 这里S是a的函数。 问题3：如果立方体的边长为 a，那么立方体的体积 3 yx 是 V = a³ ， 这里V是a的函数 。 问题 4: 如果正方形场地的面积为 S ，那么正方形的 1 边长aS = ， 这里a是S的函数 。 y x2 问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车 1 1 t 的平均速度v = km/s ， 这里v是t的函数 。 y
R R
R
R ［0,+∞） R ［0,+∞）
［0,+∞）
奇
偶
奇
非奇 非偶
奇
单调性
在R 在（-∞，0]上减, 在R上 上增 在［0，+∞）上增， 增
在［0， 在（-∞，0)上减， +∞）上增， 在(0，+∞)上减
幂函数优质课件PPT课件
小结：
1.学习了幂函数的概念； 2.利用“还原根式”求幂函数定义
域的方法； 3.利用幂函数在第一象限内的图象 特征，并会根据奇偶性完成整个 函数的图象。 4.利用函数的单调性比较几个“同 指数不同底数”的幂的大小.
课后再探究
整数m, n的奇偶性与幂函数 y x (m, n Z , 且m, n互质)的定 义域以及奇偶性有什么 关系？
一 幂函数的定义：
我们把形如：
yx
的函数称为幂函数，其中 是实常数。 ------为了研究方便，我们只对 是 有理数的情况进行一些讨论
研究几个具体的幂函数
例1 求下列函数的定义域，判断 它们的奇偶性：
(1) y x （3） yx
1 2
(2) y x
2
3 5
例２ 判定函数y=x0.5在定义域上 的单调性.
2 1 0 0 1 2
知识理解、运用
图象性质应用（奇偶性和单调性）
例3、试解下列各题 1
1.画出幂函数 y x 3的图象，并指出它
的单调性
2.比较下列各组数的大小.
(1) 1.5 ,1.7 ,1 (2) ( 2) ,( 3) ,( 5)
3 7 3 7 3 7
1 3
1 3
课堂探究
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 2-2m-3 m （2）已知幂函数y=x （m∈N) 的图像与x轴、y轴都没有公共点， 且关于y轴对称，求m的值。
重点研究 幂函数在第一象限的图象
• 因为函数的奇偶性能够帮助我们 完成左半平面内的图象，所以只需 要研究它们在第一象限内的图象
二 幂函数在第一象限的图象
利用Excel作出下列幂函数在第一象限的图
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
）增
(,0)减 （0， )减
公共点
(1,1)
幂函数的性质
1
函数 y x, y x2 , y x3 , y x 2 , y x1 的图像都
过点（1,1）
函数 y x, y x3 , y x1 是奇函数，函数 y x2
是偶函数
1
在区间 (0,)上，函数 y x, y x2 , y x3 , y x 2
1
函数 y x y x2 y x3 y x 2 y x1
定义域 R
R
值域 R
R
奇偶性 奇 偶
R
0,
(,0) （0， ）
R
0,
(,0) （0， ）
奇 非奇非偶 奇
单调性
,
增 (,0)减
（0， ）增
,增（0，
y
y x3
O
x
幂函数的性质
类比指数函 数和对数函 数，幂函数 的图像都经 过哪一点？
哪些函数是 奇函数？哪 些函数是偶 函数？
每个函数的 单调性如何 ？
y
y x3 y x2
yx
1
y x2
y x1
O
x
y
yx
函数 y x
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y O
∴ 1.73 的1单.53调 1性；若底数，∵指函数数都y 不x 相2在同0,，上是增函数，
（3）函构数造y 中 1间.4量x 在。R
上是增函数，0.5< 3
∴
(
4
)
1 2
(
9
1
)2∴
(
4
)
1 2
(
9
1
)3
5
10
5
10
∴ 1.40.5 1.43
课堂练习
1、下列函数不是幂函数的是（c ）
是增函数，函数 y x1 是减函数
在第一向限内，函数 y x1的图像向上与y轴无限的 接近，向右与x轴无限的接近。
幂函数性质的应用
例1 比较下列各组中值的大小，并说明理由 （1）1.10.5 , 1.40.5;(2) 1.53 , 1.73 , 1 ;
(3)
1.40.5 ,
1.4 3
y x2
函数 y x2
定义域 R
x
值 域 （0，+∞）
奇偶性 偶
单 调 性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1
y x2
函数
1
y x2
定义域[0,+∞)
O
x 值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶
单调性 增
幂函数的性质
4、比较下列各组数的大小：
1
1
(1) 0.752 0.762
(2) (3.14)2 2
5、幂函数y (m2 m 1)xm 在区间(0,+∞)上是减函数，
则m的值为 1
课堂小结
了解幂函数的概念 会画常见幂函数的图象
结合图像了解幂函数图象的变化情况和简 单性质
会用幂函数的单调性比较两个底数不同而 指数相同的幂的大小
y y x1 y x2 yx
O
x
幂函数的图象
1
y
画出函数 y x 2 的图像
x
y
0
0
0.5 0.707
1
1
1.5 1.225
2 1.414
3 1.732
O
4
2
5 2.236
1
y x2
x
幂函数的图象
画出函数 y x 3 的图像
x
y
1.5 3.375
1
1
0.5 0.125
0
0
幂函数的图象和性质
情景导入
写出下列y关于x的函数关系式：
(1)购买每千克1元的蔬菜x千克，需要支付的钱数y；
(2)正方形的边长为x，正方形的面积y；
(3)正方体的边长为x，正方体的体积y；
(4)正方形的面积为x，正方形的边长y；
(5)某人x s内骑车进行了1 km，她骑车的平均速度y；
A y x B y x 3C y 2x D y x1
y C1 C2
C3
2、如图所示，曲线是幂函数 y x 在
第一象限内的图像，已知α分别取
1,
1,
1 ,
2
2
C4
四个值，则相应图像以此为 C1,C3 ,C4 ,C2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
x
3、若幂函数y=f(x)的图像经过点（9,3），则f(25)= 5
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x叫做幂函数
其中x是自变量，α是常数。
对于幂函数，我们只讨论α=1,2,3，1 ,1时的情景，
2
1
即只讨论函数 y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
幂函数的图象
画出函数 y x, y x2 , y x1 的图像
(6)某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个…以此类推，
1 个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y.
yx y x2
y x3
共 同 幂的形式
幂的底是自变量
1
y x2
特 幂的指数是常数
y x
y x1 征
y 2x(x N)
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数,其中x是自变量，α是常 数。
;(4)
(
4
)
1 2
,
1
( 9 )3
解（1）函数y
上是增函数，1.1<
x 0.5在 50，
1.4
10
(4y)取 (中9间)量x 在(1R90上) 12是，增∵函函数数
（∴上2）1是.1增0函.函5 比 底 单数数1，y.较 数 调4103.幂 相 性5x值 同 ；31在大，若(,且小若底1,<关指数1.5键数相)<1是相同.7 ∴看同，(指利利1901数用用)012 相幂指 (同函数1190)还 函数13 是 数的
2
思考：利用幂函数的性质画出函数 y x 5
的图象
课后作业
1 比较下列各组数的大小：
(1)1.10.1 ,1.20.2; (2)0.24-0.2,0.250.2 ; (3)0.20.3 ,0.30.3 ,0.30.2
2 课本P79第一题
小试牛刀
1、判断下列函数是否是幂函数?
①y
1 x3
是
②y 2x2 否
④y
(
1 2
)
x
否
⑤y x0 是
③y x2 x 否 ⑥y 1 否
2、若函数 f (x) (a2 3a 3)x2是幂函数，求a的值。
-1或4
规律 x 的系数是1
底数是单一的x
总结 指数是常数