函数周期性复习练习题

函数周期性

一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立

则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论

1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

4、 y=f(x)满足f(x+a)=

()

x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()

x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1()()1()

f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()

f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(2

T )=0. 一、选择题

1. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

2．已知函数)(x f y =是一个以4为最小正周期的奇函数，则=)2(f （ ）

A ．0

B ．－4

C ．4

D ．不能确定

3.（2009江西）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），

且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 （ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

4. 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)

x (f 1)2x (f =

+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 ( ) A. 5 B. 5- C. 51 D. 5

1- 5. ()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ） A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数

C. 周期为40的奇函数

D. 周期为40的偶函数

6. 偶函数()f x 是以2为周期的函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为( )

.A 35 .B 85 .C 38- .D 53

7.已知偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+，且当]0,1[x -∈时，943)x (f x +

=， 则)5log (f 3

1的值等于 ( )

A. 1-

B. 5029

C. 45

101 D. 1 8．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线

x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）

A ．()()()1.5 3.5 6.5f f f <<

B ．()()()3.5 1.5 6.5f f f <<

C ．()()()6.5 3.5 1.5f f f <<

D ．()()()3.5 6.5 1.5f f f <<

9（07安徽）定义在R 上函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为 （ ）

A.0

B.1

C.3

D.5

10.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间(0,6)内解的个数的最小值（ ）

A ．6

B ．7

C ．4

D ．5

11.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x ) =1)1(),2

3(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为 （ ）

A ．–2

B ．–1

C ．0

D ．1

【答案】 B A C D C A D B D D C

二、填空题

1、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()

5f f = 。 2.R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有_____个实数根.

3. ()(5)()0,(2)1(2008)f x x f x f x f f ∈+-=== R R 为上的奇函数，对任意，都有若， ．

4. 设函数()y f x =定义在R 上的奇函数，且()y f x =图像关于直线12x =

对称， 则=++++)5(f )4(f )3(f )2(f )1(f .

5.设函数)x (f 为R 上的奇函数，且0)3x (f )x (f =++-，若1)1(f -=-， 2log )2(f a <，

则a 的取值范围是 .

6. 定义在),(∞+∞-上的偶函数)x (f 满足)x (f )1x (f -=+，且在]0,1[-上是增函数，

下面是关于)x (f 的判断：

① )x (f 是周期函数； ② )x (f 的图象关于直线1x =对称；

③ )x (f 在]1,0[上是增函数； ④ ).0(f )2(f =

其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。

7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()(1)1()

f x f x f x -+=+， 当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f = 。

【答案】1.1-5；2. 5； 3. -1； 4. 0； 5.10,12a a <<

>； 6.①②④； 7.-1. 三、解答题

1.函数f x ()定义在R 上，且满足f x f x f x ()[()]()+-=+211，(1)12f =，求(2011)f 的值。(1311)

2. 已知函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-

⎪⎝⎭对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-， 求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值。 （0）