数值线性代数北大版问题详解全
高等代数北大版第章习题参考答案精修订
高等代数北大版第章习题参考答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
北大版-线性代数第一章部分课后标准答案详解
北大版-线性代数第一章部分课后答案详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题1.2：1 .写出四阶行列式中11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()()13241τ-11233244a a a a 或()()13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a2. 用行列式的定义证明11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。
故所有因式都为0.原命题得证.。
3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000n n -L L M M M OM L L（2）00100200100000n n-L L M O M O M L L； 解：（1）010000200001000n n -LLM M M OM LL=()()23411n τ-L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()11!n n --（2）00100200100000n n-L LM OM O M L L=()()()()12211n n n τ---L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()()()1221!n n n --- 4.设n 阶行列式：A=1111nn nna a a a LM OM L，B=11111212212221212n n nn n n n n nna ab a b a b a a b a b a b a -----L L MMOM L，其中0b ≠，试证明：A=B 。
北大版线性代数第一章部分课后答案详解
习题：1 .写出四阶行列式中11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()()13241τ-11233244a a a a 或()()13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a2. 用行列式的定义证明11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。
故所有因式都为0.原命题得证.。
3.求下列行列式的值：（1）0100002;0001000n n -（2）001002001000n n-；解：（1）010002001000n n -=()()23411n τ-123n ⨯⨯⨯⨯=()11!n n --（2）0010020010000n n-=()()()()12211n n n τ---123n ⨯⨯⨯⨯=()()()1221!n n n ---4.设n 阶行列式：A=1111nn nna a a a ，B=11111212212221212n n n n n n n n nna ab a b a ba ab a b a b a -----，其中0b ≠，试证明：A=B 。
证明：B=11111212212221212n n n n n n n n nna ab a b a ba ab a b a b a -----=()()[]1212121212121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑！=()()[]1212121212121()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑！=()()[]12121212(1)(2)()121n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+-∈-∑！=()()[]121212121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑！=A命题得证。
北京大学线性代数教程
《线性代数》©THZ-PKU主题•数学重要主题:方程+函数•微积分:非线性 线性(一次)•线性代数:一次方程组+一次函数组y i =y i (x 1,⋯,x n )=a i,1x 1+⋯+a i,n x nb i =a i,1x 1+⋯+a i,n x n , i=1,2,…,m线性变换: n 个n 元线性函数组线性方程组一次方程组n 元线性函数可由其中的系数排列成矩阵来表示线性代数的难与易•易:1.简【方程函数千千万，一次最简单】2.少【算法少：1+1】(1)矩阵初等变换，(2)矩阵乘法•难:概念抽象(应用广泛),运算繁琐(大量重复)•代数好算不好懂,几何好懂不好算•攻略：代数几何熔一炉,空间为体,矩阵为用基本任务•始以正合：熟练掌握两个算法(矩阵初等变换，矩阵乘法),包括借助计算机实现算法•终以奇胜：将遇到的问题变成可用算法来计算的形式(建模),用算法解决(a,b)的二元函数极小最小二乘问题未知量(a,b)的二元一次方程组b前面的系数相同第一章线性方程组的解法§1.1 线性方程组的初等变换引例中学数学: 用数学归纳法证明S n=12+22+…+n2 =n(n+1)(2n+1)/6质疑: 1. 怎样想出来?2. 能否如法炮制S n=1k+2k+…+n k?国际歌:•从来就没有救世主, 也不靠神仙皇帝,•要创造人类的幸福, 全靠我们自己.尝试自己创造例1:求S=12+22+…+n2n-S n-1=n2分析:Sn反过来, 若一个函数f(n)满足f(n)-f(n-1)=n2, 则S n =(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))=f(n)-f(0),∴当f(0)=0时, S n =f(n).★当f(n)是多项式时, f(n)-f(n-1)是次数降1的多项式.实施解:(待定系数法) 待定Sn =f(n)=an+bn2+cn3满足n2=f(n)-f(n-1)=a+b(2n-1)+c(3n2-3n+1)=(a+b+c)+(2b-3c)n+3c n2比较等式两边的系数，得线性方程组c=1/3b=1/2a =1/6S n=(1/3)n3+(1/2)n2+(1/6)n如法炮制求:S=14+24+…+n4n=f(n)=a1n+a2n2+a3n3+a4n4+a5n5解:待定Snn4= f(n)-f(n-1)⇔a 1,⋯,a n ,b 为已知给定的数,x 1,⋯,x n 为未知量•n 元一次或线性方程组:m 个n 元一次或线性方程组成•n 元一次方程或n 元线性方程a i,1x 1+⋯+a i,n x n =b i , i=1,2,…,ma 1,1x 1+⋯+a 1,n x n =b 1a 2,1x 1+⋯+a 2,n x n =b 2⋮a m,1x 1+⋯+a m,n x n =b m或a 1x 1+⋯+a n x n =b 如果方程组(1.1.3)中的未知量x 1,⋯,x n 分别替换为n 个已知数c 1,⋯,c n 得到m 个恒等式a i,1c 1+⋯+a i,n c n =b i , i=1,2,…,m, 则称有序数组(c 1,⋯,c n )为(1.1.3)的一个解. (1.1.3)如果(1.1.3)中所有的b i =0,则称其为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组.齐次线性方程组有零解(称为平凡解)方程组的全体解的集合称为方程组的解集.例A4:齐次方程组x 1+x 2+x 3=0x 1+x 2−x 3=0解: (0,0,0), (1,-1,0), (-1,1,0), (2,-2,0), ….例A1: 非齐次方程组x 1−x 2=−13x 1+x 2=9解: (2,3)例A2:非齐次方程组x 1−x 2=03x 1−3x 2=1无解!线性方程组何时无解?何时有解? 何时有惟一解? 如何求解?三个未知量的线性方程确定一空间平面. 三个平面的交点就是三个方程组成的线性方程组的解.例A3:非齐次方程组x 1−x 2=13x 1−3x 2=3解: (2,1), (1,0), (3,2),…..1.为什么要学习线性方程组2.三角形方程组的解法3. 不是三角方程组怎么办?方法: 保持同解,变成三角形. 线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组. 大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位.上三角形线性方程组:从上到下每个方程比上一个方程少含一个未知数,即等号左边左下角是空白.插值问题例2. 求曲线y = ax2+bx+c 过(1,1),(2,2),(3,0). 解:尝试用中学的加减消去法a =-3/2, b= 1/2,c=-3因此，曲线方程y =(-3/2)x2+(1/2)x-3§1.1.2(Page 3)方程(3)减方程(2);方程(2)减方程(1);方程(3)减方程(2);基本同解变形1. 两个方程互换位置:2. 某个方程乘非零常数:3. 某个方程的常数倍加到另一方程:•任意方程组U 中各方程分别乘常数再相加得到的新方程称为方程组U 的线性组合•变形前后方程组互为线性组合 它们同解§1.1.2(Page 4)上述三类变形称为线性方程组的初等变换一般的线性方程组的求解化成三角形求解(消元法)U, W 表示方程组作业•习题1.1(Page 7): 3, 4, 5§1.2(Page 7)分离系数法方程组同解变形只是对系数运算(加减乘除):将系数排成矩阵(纵横排列的二维数据表格)代表方程组,进行同样的变形•方程组U的线性组合/初等变换, 相应的是“系数矩阵”的行的线性组合/矩阵的初等行变换.Page 8在数学中，矩阵(Matrix)是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵. 这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.矩阵是线性代数中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中. 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵. 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题. 将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算. 对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法. 在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广.a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 2,1a 2,2⋯a 2,n ⋮⋮⋱⋮a m,1a m,2⋯a m,nm ×n 矩阵: 由m n 个数排列成的m 行n 列的矩形数表m,n 为正整数a i,j 为第i 行第j 列的元素或第(I,j)元素数表中的每个数称为矩阵的一个元素或分量n 维行向量: 1×n 矩阵a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 1,a 2,⋯,a n m 维列向量: m ×1矩阵a 1,1a 2,1⋮a m,1a 1a 2⋮a m m =n 时的矩阵称为m 阶方阵简记为简记为零矩阵:a i,j =0, 1≤i ≤m,1≤j ≤n零向量a i =0, ∀i•PageRank，网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排名，是一种由搜索引擎根据网页之间相互的超链接计算的技术，而作为网页排名的要素之一，以Google公司创办人拉里·佩奇(Larry Page)之姓来命名. Google用它来体现网页的相关性和重要性，在搜索引擎优化操作中是经常被用来评估网页优化的成效因素之一. Google的创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1998年在斯坦福大学发明了这项技术.•PageRank通过网络浩瀚的超链接关系来确定一个页面的等级.Google把从A页面到B页面的链接解释为A页面给B页面投票，Google根据投票来源(甚至来源的来源，即链接到A页面的页面)和投票目标的等级来决定新的等级。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。
nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。
nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。
北大版-线性代数部分课后答案详解
2•用行列式的泄义证明习题1.2：如如如如1 •写岀四阶行列式中幻I'2勺3"24含有因子的项“3】a 32 a 33a 34«41勺 2«43仙解：由行列式的泄义可知，第三行只能从@2、中选，第四行只能从厲2、中选，所 以所有的组合只有（-l ）f （，324）如给角2知或（-1）"网 a H a 23a 34a 42，即含有因子勺］“23的项为一如吹32% 和 a H a 23a 34a 42证明：第五行只有取他「山2整个因式才能有可能不为°,同理，第四行取“42,第三 行取①I 、©2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0 •以第 五行为参考，含有的因式必含有0,同理，含有的因式也必含有0“故所有因式都为0 •原命题得证・。
3 •求下列行列式的值:0 1 0♦ • ♦0 •… 0 1 00 02 ♦ • 00 ... 2 0 0(1)■ ■ ■ ■■ ；（2）• • ■ • • •0 00 • • ”一〃 一 1 0 0 0n 0 0 • •• 00 …0 H0 1 0 ♦ • • 00 2• • • 0解：（1） ■ ■ ■■ ■ ■ ■■ ■/lX r(234...nl)=("1)Ix2x3x--•xn =(-1)*"1 n\0 0 ・•・//-In 0 0 • • • 0a 2l0 01 0 0 ■ …2 • •0 ■ 0 ■■ ”一• • …0 • 0 ■0 0 00 n=(-1)侶心5)» B= 如■ •“22 ■■f 1-n…5少…如尸■5肝・・・a nn证明:A=BoE (T 严•”%叫2…％沪Wi"叫z (T 严％%…讣A 叩2・・％和巾 时2 ••叭和巾命题得证。
5•证明：如下2007阶行列式不等于61 2 …2006 200722 32 …20072 2OO82 D=33 • 43 • …20083 • • 20083■• ■■ •• • • •■ ■证明：最后一行元素，除去2007*”是奇数以外，其余都是偶数，故含2008^7的因式也都 是偶数。
完整word高等代数北大版第7章习题参考答案
第七章线性变换1) 在线性空间 V 中，A,其中 V 是一固疋的向量2) 在线性空间 V 中，A其中 V 是一固疋的向量； 3) 在P 3中，• A (X 1X ,X 3)(xix X 3, x f ) • 4) 在P 3中， A (X 1,X 2, X 3) (2X 1 X 2,X 2 X 3, X 1 )； 5) 在P[x ]中, Af(x) f(x 1)；6) 在P[X ]中, A f(x) f(x 0),其中 X 。
P 是一固定的数； 1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是: A n 是两个固定的矩阵.7) 8)解 2) 当 把复数域上看作复数域上的线性空间，n n「 _ …「 — n 在P 中，AX=BXC 其中B,C P1)当 0时，是;当 0时,不是。
0时，是;当 0时,不是。
(1,0,0), k 2 时,k A ( ) (2,0,0), A (k ) (4,0,0), 3) 不是•例如当 A (k ) k A()。
4) 是•因取 (X 1,X 2,X 3),A () = A (X 1 y 1,X 2= (2x 1 2y 1 X 2 = (2x 1 X 2, X 2 =A + A ，A (k )A (kx 1,kx 2,kx 3)kx 2, kx 2 kx 2, kx 2)，(2kx 1 (2kx 1 =k A ((y 1, y 2, y 3),有 y 2X 『3)y 2,X 2 y X 3 y 3,X 1 yj X 3,xJ (2y 1 y 2,y 2 y 3,yjkx 3,kxj kx 3,kxj故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取 f (x)P[x],g(x)u(x) f(x) g(x)则A (f (x)g(x)) = A u(x) = u(x 再令 v(x) kf (x)则 A (kf(x)) 故A 为P[X]上的线性变换。
6) 是•因任取 f(x) P[x], g(x) P[X],并令 1) = f (x 1)A (v(x))P[x]则.A (f(x)g(x))=f(x 。
完整word高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章线性空间1.设M N , 证明：M I NM , M U N N 。
证任取M , 由M N , 得N , 所以MN , 即证M N I M 。
又因M NM , 故M I NM 。
再证第二式，任取M 或N , 但M N , 因此无论哪一种情形，都有N , 此即。
但NM N , 所以M U NN 。
2.M ( N L ) (M N ) (M L)，M (N L) ( M N ) ( M L)。
证明证x M ( N L), 则x M 且x N L. 在后一情形，于是x M N或x M L.所以x (M N ) (M L) ，由此得M( N L) (MN ) (ML) 。
反之，若x (M N ) ( ML) ，则x M N或x M L. 在前一情形，xM , x N , 因此x N L. 故得x M ( N L), 在后一情形，因而x M , x L, xN U L ，得x M ( N L), 故( M N ) ( M L)M (N L),于是M ( N L) (M N ) (M L ) 。
若x M U（N I L），则x M ，x N I L 。
在前一情形XxM U N ，且X M U L，因而x （M U N）。
I（MU L）在后一情形，xN ,x 因而x M U N, 且，即X （M N）（M L）所以L, X M U L U I U（M U N）I（MU L）M U（NU L）故M U（N I L）=（M U N）I（MU L）即证3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算（a1，b1）（ab （a1 a2，b1 b2a1 a2）（kk1） 2k。
北大版线性代数答案
北大版线性代数答案【篇一：北京大学2015年春季学期线性代数作业答案】class=txt>一、选择题（每题2分，共36分）1.（教材1.1）行列式a.13b.11c.10 （c ）。
d.1（ a）。
c.0d. 2.（教材1.1）行列式a.b.3.（教材1.2）行列式（ b）。
a.40b.-40c.0d.14.（教材1.3）下列对行列式做的变换中，（ a）会改变行列式的值。
a.将行列式的某一行乘以3b.对行列式取转置c.将行列式的某一行加到另外一行d.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行5.（教材1.3）行列式（b ）。
(提示：参考教材p32例1.3.3)a.2/9b.4/9c.8/9d.0有唯一解，那么（d）。
6.（教材1.4）若线性方程组a.2/3b.1c.-2/3d.1/3【篇二：线性代数期末考试试卷+答案合集】txt>一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）11. 若0?3521x?0，则??__________。
?2?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足。
?x?x?x?023?13．已知矩阵a，b，c?(cij)s?n，满足ac?cb，则a与b分别是阶矩阵。
?a11?4．矩阵a??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性。
a32??25．n阶方阵a满足a?3a?e?0，则a?1?1. 若行列式d中每个元素都大于零，则d?0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。
3. 向量组a1，a2，（）?0?14. a???0??0100?000??，则a?1?a。
（）?001?010?5. 若?为可逆矩阵a的特征值，则a?1的特征值为?。
()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
高等代数北大版习题参考答案
高等代数北大版习题参考答案GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数北大版课后答案完整版
高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。
解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。
解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。
解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。
4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。
北京大学数学系《高等代数》课后习题详解(行列式)【圣才出品】
010
0
002
0
（2）
000
n 1
n00
0
0 0
（3）
n 1 0
010 200
000 00n
解：（1）
n(n1)
原行列式＝(1) (n , n1 , , 2 , 1) n! (1) 2 n!
（2）（－1）n－1n!
( n 1)( n 2 )
（3） (1) 2 n!
(1) ( j1 jn )
(1) ( j1 jn ) l k 0
j1 jn
j1 jn
故 l＝k，即奇偶排列各占一半．
12．设
1 x x2
x n 1
P(x) 1 a1 a12
a1n1
1 an1 an21
其中 a1，a2，…，an－1 是互丌相同的数．
a n 1 n1
10．由行列式定义计算
2x x 1 2 1 x 1 1 f (x) 3 2x 1 1 11 x
中 x4 不 x3 的系数，并说明理由．
解：f（x）的展开式中 x 的 4 次项只有一项：2x∙x∙x∙x，故 x4 的系数为 2；x 的 3 次项
也只有一项（－1）r（2134）x∙1∙x∙x，故 x3 的系数为－1．
5．如果排列 x1x2…xn－1xn 的逆序数为 k，排列 xnxn－1…x2x1 的逆序数是多少？ 解：（1/2）n（n－1）－k．
6．在 6 级行列式中，a23a31a42a56a14a65；a32a43a14a51a66a25 这两项应带有什么符号？ 解：a23a31a42a56a14a65 带正号；a32a43a14a51a66a25 带正号．
7．写出 4 级行列式中所有带有负号并且包含因子 a23 的项．
高等代数(北大第三版)习题答案完整
解出(ⅰ)当 u = 0时t + 3t − 3t + 4 = 0(t + 4)(t − t + 1)
3 2 2
1 ± 3¡ ± 3 ¡ t = −4或t = =e 2 ∴
(ⅱ)
π
当u ≠ 0时, 只有t 2 + t + 3 = 0,
t 1 =− t +1 3
t 3 + 3t 2 − (u + 3)t + (4 − u ) ⇒ u =
f ( x ) = x 5 , x0 = 1 ：即 ∴ f ( x) = ( x − 1)5 + 5( x − 1) 4 + 10( x − 1)3 + 10( x − 1) 2 + 5( x − 1) + 1
当然也可以 f ( x) = x = [( x − 1) + 1]
5 5
= ( x − 1)5 + 5( x − 1) 4 + ⋅⋅⋅ + 1
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
所以 d ( x) = u ( x) f1 ( x) d ( x) + v( x) g1 ( x)d ( x). 消去 d ( x ) ≠ 0 得 1 = u ( x) f1 ( x) + v( x) g1 ( x)
P45.11
证：设 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ≠ 0, f ( x) = f1 ( x) d ( x), g ( x) = g1 ( x)d ( x)
t= − 1 ± − 11 2
P45、8 d ( x ) | f ( x ), d ( x ) | g ( x ) 表明 d ( x ) 是公因式 又已知： d ( x)是f ( x)与g ( x)的组合 所以 表明任何公因式整除 d ( x )
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(线性方程组)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第3章线性方程组3.1复习笔记一、消元法1．初等变换变换1：用一非零的数乘某一方程，变换2：把一个方程的倍数加到另一个方程，变换3：互换两个方程的位置，称为线性方程组的初等变换．2．消元法解方程的过程（1）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现的话）去掉；（2）如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解；（3）在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数，小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解．3．定理在齐次线性方程组中，如果s＜n，那么它必有非零解．二、n 维向量空间1．n 维向量的定义所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组a i 称为向量（1）的分量．用小写希腊字母α，β，γ，…来代表向量．2．向量相等的定义如果n 维向量1212(,,...,),(,,...,)n n a a a b b b αβ==的对应分量都相等，即就称这两个向量是相等的．记作α＝β．3．向量和的定义向量1122(,,...,)n n a b a b a b γ=+++，称为向量1212(,,...,),(,,...,)n n a a a b b b αβ==的和，记为γαβ=+．4．零向量和负向量的定义分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0；向量（－a 1，－a 2，…，－a n ）称为向量α＝（a 1，a 2，…，a n ）的负向量，记为－α．5．向量加法的基本运算规律（1）α＋β＝β＋α，（交换律）（2）α＋（β＋γ）＝（α＋β）＋γ，（结合律）（3）α＋0＝α，（4）α＋（－α）＝0，（5）α－β＝α＋（－β）．6．向量与数乘的定义设k为数域P中的数，向量称为向量与数k 的数量乘积，记为kα．7．向量乘法的运算性质：（1）k（α＋β）＝kα＋kβ，（2）（k＋l）α＝kα＋lα，（3）k（lα）＝（kl）α，（4）1α＝α．8．n维向量空间的定义以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间．三、线性相关性1．定义向量α称为向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合，如果有数域P 中的数k 1，k 2，…，k s 使112s k k k 2s αβββ =+++．由定义知，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）．当向量α是向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合时，也说α可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出．2．等价的定义（1）定义如果向量组α1，α2，…，αt 中每一个向量αi （i＝1，2，…，t）都可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，那么向量组α1，α2，…，αt 就称为可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出．如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价．（2）向量等价的性质：①反身性：每一个向量组都与它自身等价．②对称性：如果向量组α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 等价，那么向量组β1，β2，…，βt 也与α1，α2，…，αs 等价．③传递性：如果向量组α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 等价，β1，β2，…，βt 与γ1，γ2，…，γp 等价，那么向量组α1，α2，…，αt 与γ1，γ2，…，γp 等价．3．线性相关性的定义如果向量组α1，α2，…，αs （s≥2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组α1，α2，…，αs 称为线性相关的．定义的另一种表述为：向量组α1，α2，…，αs （s≥1）称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数k 1，k 2，…，k s ，使120s k k k 12s ααα +++=4．线性无关性的向量组（1）定义：一向量组α1，α2，…，αs （s≥1）不线性相关，即没有不全为零的数k 1，k 2，…，k s 使120s k k k 12s ααα +++=就称为线性无关；或者说，一向量组α1，α2，…，αs 称为线性无关．（2）两个小结论：①如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关．②如果一向量组线性无关．那么它的任何一个非空的部分组也线性无关．5．向量组的基本性质的几种表述（1）设α1，α2，…，αr 与β1，β2，…，βs 是两个向量组，如果①向量组α1，α2，…，αr 可以经β1，β2，…，βs 线性表出，②r＞s，那么向量组α1，α2，…，αr 必线性相关．（2）如果向量组α1，α2，…，αr 可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，且α1，α2，…，αr 线性无关，那么r s．（3）任意n＋1个n 维向量必线性相关．（4）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量．6．极大线性无关组（1）定义一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组．如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关．（2）性质：①向量组的极大线性无关组不是唯一的；②每一个极大线性无关组都与向量组本身等价；③一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的；④一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量．7．向量组的秩（1）定义向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩．（2）性质①线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同．②每一向量组都与它的极大线性无关组等价．由等价的传递性可知．任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价．所以，等价的向量组必有相同的秩．③含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组，全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组．规定这样的向量组的秩为零．。
高一下学期数学北师大版必修第二册2.4专题：线性运算中的最值问题课件
双系数最值问题
9.向量a=(1，x)，b=(x，
1.平行关系坐标运算
y-2)，其中x>0，若a与
b共线，则 最小值为＿
2. 成为对勾函数，用
基本不等式可得最小
值
双系数最值问题
9.向量a=(1，x)，b=(x，y2)，其中x>0，若a与b共线，
则 最小值为＿
________．
∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1.
1 2 1 2
∴a＋b＝a＋b(2a＋b)
b 4a
＝4＋a＋ b ≥4＋2
b 4a
a·b ＝8.
1
1
b 4a
当且仅当a＝ b ，即 a＝4，b＝2时取等号．∴
1 2
a＋b的最小值是 8.
双系数最值问题
11.
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知
B. C. 15 . 10 + 2 3
1.用坐标表示，
显得关系非常明
2.依向量平行关
系，求出3a+2b=1
3.用【常量代换法】
求出目标最小值
双系数最值问题
8.已知向量m=(a，-1)，
n=(2b-1、3)(a>0，b>0)，
2
1
若m//n，则 + 的最小值
为()
A. 12 . 8 + 4 3
双系数最值问题
10.
1.用坐标表示，
→ ＝(1，－2)，OB
→ ＝(a，－1)，OC
→ ＝(－
设OA
b,0)，a>0，b>0，O 为坐标原点，若 显得关系非常明
数值线性代数北大版问题详解全
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
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数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
６．设的定义如下证明A有满足的三角分解。
[证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。
定义如下容易验证：７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式证明仍是对称阵。
[证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为其中，将A分块为那么即由A的对称性，对称性则是显而易见的。
８．设是严格对角占优阵，即A满足又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式试证：矩阵仍是严格对角占优阵。
由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。
[证明] 依上题的分析过程易知，题中的于是主对角线上的元素满足（1）非主对角线上的元素满足由于A是严格对角占优的，即故从而（2）综合（1）和（2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵。
９．设有三角分解。
指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？[解] 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。
而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有这就是说，方程组和是同解方程。
而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解。
这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。
算法如下：（1）用初等变换化；（2）利用回代法求解方程组。
该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为的矩阵，证明仍是正定阵。
[证明]不妨设从而有由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有由x的任意性知，正定。
11．设并且是非奇异的。
矩阵称为是在A中的Schur余阵。
证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵[证明] 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。
即有如下单位下三角矩阵使注意到比较两式便知，，故有12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有[证明] 略。
13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。
[解]设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。
于是，通过求解下列n个方程组便可求得于是也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：（1）用列主元Gauss消去法得到：；（2）经求解：得；（3）对X进行列置换得：。
14．假定已知的三角分解：A=LU。
试设计一个算法来计算的（i，j）元素。
[解]求解方程组则x的第i个分量就是的（i,j）元素。
15．证明：如果是严格对角占优阵（参见第8题），那么A有三角分解A=LU并且[证明] 仿照第8题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到其中仍是严格对角占优阵。
A的三角分解A=LU中这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。
因此，16．形如的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中.（1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。
（2）向量满足何种条件才能保证存在使得?（3）给出一种利用Gauss-Jordan变换求的逆矩阵的算法。
并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。
[解] 为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：性质1：.事实上，性质2：Gauss-Jordan变换非奇异的充分必要条件是.（1）运用待定法，首先设的逆矩阵为，则有故应有（2）欲使，则应有即因此，应满足，便可按上述方法得到使得。
（3）设A的逆矩阵，则应有下面我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。
算法如下：假定A的各阶主子阵非零，记第1步：假若，令，构造，用左乘和，得到其中第2步：假定，令，构造，用左乘和，得到其中照此下去，直到第n步：假定，，构造，用左乘和，得到经上述n步，我们得知：故从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：我们可以仿照定理1.1.2给出下列定理。
定理：的充分必要条件是矩阵的各阶顺序主子阵非奇异。
[证明] 对于用归纳法。
当时，，定理显然成立。
假定定理直到成立，下面只需证明：若非奇异，则非奇异的充要条件是即可。
由归纳假定知因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行步，即可得到个Gauss-Jordan变换使（16-1）由此可知的阶顺序主子阵有如下形式若将的阶顺序主子阵分别记为，则由（16-1）知注意到所以即非奇异的充要条件是17．证明定理1·3·1中的下三角阵L是唯一的。
[证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。
为证明L的唯一性，不妨设有和使那么注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。
因此，只能是对角阵，即从而于是得知18．证明：如果A是一个带宽为2m+1的对称正定带状矩阵，则其Chelesky因子L也是带状矩阵。
L的带宽为多少？[证明] 带宽为2m+1的矩阵的认识：当m=1时，2m+1=3，该带宽矩阵形为：对m为任意一个合适的正整数来说，带宽为2m+1的矩阵元素有如下特征：结合这一特征，对于带宽为2m+1的对称正定带状矩阵Ar的Colicky 分解算法，可改写成下列形式：从算法不难看出：Colicky因子L是下三角带状矩阵，L的带宽为m+1.19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子阵的Cholesky因子。
[证明] 将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。
显然故有。
即是的Colicky分解。
20．证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。
[证明] 先证明存在性。
根据定理1·1·2知，存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU，且U的主对角线上元素除外，其余都不为零。
令，则有单位上三角阵使，即有又因为，则从而根据L和的可逆性知：该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。
因此它们等于对角阵。
再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。
因此两端都等于D。
于是从而有再证唯一性。
令，故有。
左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。
又因，故。
21．给出按行计算Cholesky因子L的详细算法。
[解] 略。
22．利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。
[解] 算法可分为以下几个步骤：（1）首先利用算法1·3·2计算出正定矩阵的如下分解其中，L是单位下三角阵，D是对角阵。
（2）求解矩阵方程其解矩阵.（3）求解矩阵方程其解矩阵（4）求解矩阵方程其解矩阵[注意] 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。
23．设用平方根法证明A是正定的，并给出方程组的解。
[解] 由Colicky分解可得其中显然，L是非奇异矩阵。
因此，对.于是所以是正定的。
由方程组，解得，再由方程组，解得24．设是一个正定Hermite矩阵，其中证明：矩阵是正定对称的。
试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组[解] 既然是正定的，又对，有，且.且注意到显然H正等价于A、B正定。
对，则有由前面的讨论，知道若H是正定的，则A是正定的，故矩阵C是正定的。
由于于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组其矩阵形式为：由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解。
习题22.1 设是个正数。
证明：由定义的函数是一个数。
证明只需验证满足定义2.1.1的三个条件。
其中（1）和（2），即正定性和齐次性显然成立，下面给出（3）三角不等式的证明。
像2数的证明一样，要证明三角不等式，需要用到Cauchy-Schwartz不等式欲证明这个不等式，只需证明：对任意的，有下列等式成立用数学归纳法证明。
当时，等式显然成立。
不妨归纳假设当时，等式仍然成立，即有（E2.1）现在来考虑时的情形，注意到至此，我们便证明了前述等式。
亦即证明了Cauchy-Schwartz不等式。
又因为是个正数，因此有从而对，我们有2.2 证明：当且仅当和线性相关且时，才有.证明因为对任意的于是，当且仅当由等式（E2.1）可知，当且仅当，即，对任意的，此式成立不外乎二种情形：或；或；或.即和线性相关。
2.3 证明：如果是按列分块的，那么证明因为.2.4 证明：证明记，那么，根据第3题的结果我们有根据Frobenius数定义易知，对. 于是2.5 设是由定义的。