数列求和 公开课

1 n＋1＋ n
∴a＝n＝f（n＋n＋11－）1＋n，f（n）＝
1 n＋1＋ n
＝
n＋1－ n，
＝ S2n0＋19＝1－a1＋n，a2＋a3＋…＋a2 019＝(
S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝(
2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)
2－
1)＋(
3－
＋…＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1.]
＋S…2 ＋019＝( a21＋02a02－＋a32＋0…19＋)＝a2 02190＝20( －21－.] 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)
＋…＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1.] 12
裂项相消法求和的常见类型
an＝n（n1＋k）＝1k1n－n＋1 k.
k=2时，求和
an＝
1 n＋k＋
• 研究数列的前n项和的关键是分析数列 的构成规律，而数列的构成规律反应在 数列的通项公式。因此，求数列的和要： • 1、找到、找准数列的通项公式 • 2、观察分析数列通项公式的特征。
考点 1 分组转化法求和
例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和． [解] (1)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋2 n－（n－1）2＋2 （n－1）＝n. 当 n＝1 时，a1＝S1＝1 满足 an＝n，
分类讨论
故数列{an}的通项公式为 an＝n.
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(2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn.
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(所2(所 (所 (所)222以因(所)))以 以 以2因 因 因)为T以因为 为 为TTTn＝nnnc为T＝ ＝ ＝ncccn3＝1nnn＝0333c＝ ＝ ＝111＋n000ba3＝＋ ＋ ＋1nnbbbaaa03＝3nnnnnn＋b1a333＝ ＝ ＝333＋nn11123＝＋ ＋ ＋33n222135n333－nnn＋－22333555nnn－ － －＋31n－ － －22213＋ ＋ ＋5n－111，－1112…＋1， ， ，… … …1＋，…＋ ＋ ＋2＋3n222n333－nnn－2nnn－ － －31－ － －n1n－ 111.－1111...等1. 差*等比展开和
记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则
T2n＝分组(2转1＋化22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记 A＝公21式＋法22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝2（11－－222n）＝22n＋1－2，
并项求和
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
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分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组 求和法求{an}的前 n 项和．
bn，n为奇数， (2)通项公式为 an＝cn，n为偶数 的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
提醒：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
当 n≥2 时，an1bn＝2n（21n＋2）＝141n－n＋1 1， 则 Sn＝214＋1412－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1， ＝214＋1412－n＋1 1，
＝12（2nn－＋11）， 当 n＝1 时满足上式，故 Sn＝12（2nn－＋11）.
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裂项相消
例 3 、 已 知 函 数 f(x) ＝ xa 的 图 象 过 点 (4 ， 2) ， 令 an ＝
故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
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[变式训练] 在本例(2)中，若条件不变求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] 由本例(1)知 bn＝2n＋(－1)nn. 当 n 为偶数时， Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝ 2－1－2n2＋1＋n2＝2n＋1＋n2－2；
n＝1k(
n＋k－
n).
提醒：求和抵消后不一定只剩下首末两项，剩余的项对
称
【当堂演练】1、 (2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
n
a3＝3，S4＝10，则∑ k＝1
S1k＝________．
2n n＋1
[设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
依题意有4aa1＋1＋26dd＝＝31，0，解得ad1＝＝11，， 所以 Sn＝n（n＋ 2 1），S1n＝n（n2＋1）＝21n－n＋1 1，
f（n＋1）1＋f（n），n∈N*，记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2 019＝
(
[)由 f(4)＝2 得 A． 2 018－1
4a＝B．2，2解0得19－a＝1 12，C．则[由f2(xf0)(＝240)＝－x21.得
D4a．＝2，2 解02得0＋a＝1 12，则
f(x)＝
x.
[由∴af(n4＝)＝f（2 n得＋41a）＝12＋，f（解n得）a＝＝12，n＋则11f＋(x)∴＝ann＝x.f（n＋1）1＋f（n）＝
n
因此∑
k＝1
S1k＝2(1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1)＝n2＋n1.]
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2、求和 S＝1＋1
＋ 3
1 3＋
＋…＋ 5
1 119＋
1
A
[S＝11－－33＋
3－ 3－5
5＋…＋
111199－－121121＝1－－211＝5，故选
A.]
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考点3 错位相减法求和
数学 人教A版 高三一轮复习 《数列》第四节
数列求和
高考定位
考纲要求：1、掌握一些简单的数列求和方法
2、能应用数列求和解决一些数列问题
考试热点：1、以选择题或填空题的形式考查等差、
等比数列的前n项和 2、以考查等差、等比数列前n项和为主，
同时考查错位相减法、裂项相消法、 分组求和法等常用方法。
怎么求数列的和呢？
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考点2 裂项相消法求和
例 2、 (2019·厦门一模)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列， 数列{bn}满足 b1＝6，b1＋b22＋b33＋…＋bnn＝an＋1.
(1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列an1bn的前 n 项和．
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(2)当 n＝1 时，S1＝a11b1＝4×1 6＝214.
例 4、 (2019·莆田模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，an＋1 ＝2Sn＋1，数列{bn}满足 a1＝b1，点 P(bn，bn＋1)在直线 x－y＋2＝0 上， n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设 cn＝bann，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.