初一上 角-角平分线

第一讲 角
【考点聚焦】
1、角的定义：
（1）角是由两条具有公共端点的 组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶点；
（2）角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，起始位置叫做始边，终止位置叫做终边.
2、角的表示方法.
（1）用三个大写字母表示或一个大写字母表示；
（2）用希腊字母或数字表示；
（3）表示角应注意如下问题：
① 用三个大写字母表示时，中间字母必须是 ；
② 用一个大写字母表示时，必须是以该字母为顶点的角 ；
③ 用希腊字母或数字表示时，应在角的内部画一条弧线，表上字母或数字.
3、平角与周角：
（1）一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角.
（2）终边继续旋转当它又和始边重合时，所成的角叫做周角.
4、角的单位：度、分、秒.0360061''='=︒
5、比较角大小的方法：（1）度量法 （2）重叠法
6、角平分线的定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
7、角平分线模型
8、时针每分钟转度，分针每分钟转度.
【典例剖析】
考点题型1：角的计算
【例1】（2014七中）=︒76.3 度 分 秒；=︒''24'3222 度．
【变式1】（2013都江堰）计算=︒+︒'5421'5233 ．
考点题型2：角平分线的性质
【例2】（2015七中育才）如图，已知O 是直线CD 上的点，OA 平分BOC ∠，︒=∠120BOD ， 则AOC ∠的度数是 .
【变式1】（2013成华）如图，点A 、O 、B 在一条直线上，且'40119︒=∠BOC ，OD 平分AOC ∠，则AOD ∠的度数为 .
【变式2】如下图所示，AOB ∠是平角，︒=∠30AOC ，︒=∠60BOD ，OM 、ON 分别是AOC ∠、BOD ∠的平分线，则MON ∠等于 .
考点题型3：方程思想
【例3】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分EOC ∠.
（1）若︒=∠70EOC ，求BOD ∠的度数；
（2）若3:2:=∠∠EOD EOC ,求BOD ∠的度数.
【变式1】（2015青羊）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，COD ∆为等腰直角三角形，当COD ∆绕点O 顺时针旋转α度()900<<α，2:3:=∠∠BOD COB 时，则=∠BOC ．
【变式2】（2013武侯）如图，从点O 引出6条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，且︒=∠100AOB ，OF 平分BOC ∠，DOE AOE ∠=∠，︒=∠140EOF ，则COD ∠的度数为 ．
【变式3】（2014师大附中）如图所示，O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分
AOB ∠，OE 在BOC ∠内，EOC BOE ∠=∠3
1，︒=∠60DOE ，则EOC ∠的度数是 ．
考点题型5：角平分线模型
【例5】如图，点O 是直线AB 上一点，OD 是AOC ∠的平分线，OE 是COB ∠的平分线，求DOE ∠的度数.
【变式1】如图，将长方形纸片沿AC 对折，使点B 落在'B ，CF 平分CE B '∠，求ACF ∠的度数.
【例6】如图，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线。

（1）如图①，当AOB ∠是直角，︒=∠60BOC 时，MON ∠的度数是多少？
（2）如图②，当α=∠AOB ，︒=∠60BOC 时，猜想MON ∠与α数量关系；
（3）如图③，当α=∠AOB ，β=∠BOC 时，猜想MON ∠与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
【变式1】（2013成华）如图，已知OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠.
（1）若AOB ∠是直角，︒=∠60BOC ，求EOF ∠的度数．
（2）若︒=∠x AOC ，︒=∠y EOF ，︒=∠60BOC ，请用x 的
代数式来表示y ．（直接写出结果就行）．
【变式2】（高新）已知︒=∠40AOD ，射线OC 从OD 出发，绕O 点以/20︒秒的速度进行逆时针旋转，旋转时间为()7≤t t ，射线OE 、OF 分别平分AOC ∠、AOD ∠.
（1）如图，如果4=t 秒.求EOA ∠的度数.
（2）如图，若射线OC 旋转时间为t 秒，求EOF ∠的度数（用含t 的代数式表示）.
考点题型6：分类讨论思想
【例7】已知︒=∠60AOB ，从点O 引射线OC ，使︒=∠40AOC ，作AOC ∠的平分线OD . BOD ∠的度数为 .
【变式1】（2016高新）已知︒=∠80AOB ，过点O 在AOB ∠所在平面作一条射线OC ，︒=∠60AOC ，则=∠BOC .
【变式2】（2012成外）已知︒=∠45AOB ，︒=∠30BOC ，则=∠AOC .
考点题型7：时钟问题
【例8】（2014武侯）时钟的时针每小时转过的角是 度，分针每分钟转过的角是 度；在早5点和6点之间，如果时针与分针重合，则此时的时间约是早上5点 分．（结果保留整数）
【变式1】（成华）小明元旦节吃完晚饭后（6点到7点），他陪他妈到成华区SM 广场去买
东西，离家时他发现他家的时钟上时针与分针刚好重合，他离家的时间是 （用几点几分几秒形式表示，注意“四舍五入”）.
【例9】（2016大邑）2点正时，时钟的时针与分针的夹角是 度．
【变式1】（2013武侯）9时45分时，时钟的时针与分针的夹角是 ．
【变式2】（2011高新）时钟40:3，时针与分针所夹的角是 度．
考点题型8：双直角模型
【例10】①如图1，已知射线OC 在平角AOB ∠的内部，且BOC AOC ∠>∠，OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠．
（1）COE COD ∠∠_______（填“<”，“>”或“=”）
（2）_______=∠DOE
（3）若α=∠AOB ，则________=∠DOE （用含α的代数式表示）
②如图2，AOC ∠与BOD ∠都是直角，︒=∠50BOC ．
（1）_______________,=∠=∠DOC AOB
（2）若BOC ∠的具体度数不稳定，其他条件不变，AOB ∠与DOC ∠的数量关系为
________．
（3）猜想AOD ∠与BOC ∠的数量关系为：________
（4）当BOD ∠绕点O 旋转到图3位置时，猜想AOD ∠与BOC ∠在数量上的关系：________
【变式1】如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O 处.
（1）①AOD ∠和BOC ∠相等吗？说明理由；
②AOD ∠和BOC ∠在数量上有何关系？说明理由；
（2）若将这副三角尺按图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O 处. ①AOD ∠和BOC ∠相等吗？说明理由；
②AOD ∠和BOC ∠的以上关系成立吗？说明理由；
【随堂检测】
1、（2015成外）用度、分、秒表示：=︒36.78 ．
2、如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，︒=∠34COF ，则_______=∠BOD
O
D A
B C 14323、如图，OB 平分AOC ∠，且3:5:24:3:2=∠∠∠．求4,3,2∠∠∠各为多少？
4、如图,OM 是AOB ∠的平分线,射线OC 在BOM ∠内部,ON 是BOC ∠的平分线,已知
5、已知︒=∠60AOB ，︒=∠20BOC ，则=∠AOC .
6、现在是9点21分，钟面上的时针与分针的夹角是 .
7、（2013武侯）9时45分时，时钟的时针与分针的夹角是 ．
8、（2013成华）小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨00:8出发，中午30:12到家，设小亮出发时和到家时的时针和分针的夹角分别为α和β，则=-αβ 度．
9、如图，已知︒=∠165AOB ，︒=∠=∠90BOD AOC ，求COD ∠.。